概率初步统计初步
概率初步
一、学习要求：
（1）理解什么是必然发生事件、不可能发生事件，什么是随机事件.
（2）在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概率，理解概率取值范围的意义.
（3）能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.
（4）能够通过试验，获得事件发生的频率，知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系.
（5）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题.
（6）了解进行模拟试验的必要性，能根据问题的实际背景设计合理的模拟试验.
二、例题分析
1、概率的有关概念
1、下列事件中是必然事件的是（）
A、小婷上学一定坐公交车
B、买一张电影票，座位号正好是偶数
C、小红期末考试数学成绩一定得满分
D、将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上
2、下列说法正确的是（）
A、一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出
5点
B、某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖
C、天气预报说明天下雨的概率是50％．所以明天将有一半时间在下雨
D、抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
2、用列举法求概率
（1）直接列举法
3、四张不透明的卡片为，除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为_______.
（2）两步、三步试验的问题：列表和树状图
4、甲盒中装有2张相同的卡片，它们分别写有字母A和B；乙盒中装有3张相同的卡片，它们分别写有字母C、D和E；丙盒中装有2张相同的卡片，它们分别写着字母H和I，从3个盒中各随机取出一张卡片.
（1）取出的3张卡片上恰好有1个，2个，3个元音字母的概率是多少？
（2）取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少？
解：根据题意，画出树形图：
（1）P（一个元音）=；P（两个元音）=；P（三个元音）=；
（2）P（三个辅音）=；
5、把一副扑克牌中的张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是、、）洗匀后正面
朝下放在桌面上．
（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是的概率是多少？
（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当张牌面数字相同时，小王赢；当张牌面数字不相同时，小李赢．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.
解：（1）P（抽到牌面数字４）=
（2）游戏规则对双方不公平．
3 4 5
3 （3，3）（3，4）（3，5）
4 （4，3）（4，4）（4，5）
5 （5，3）（5，4）（5，5）
或
由上述表格或树状图知：所有可能出现的结果共有9种．
P（抽到牌面数字相同）=，
P（抽到牌面数字不相同）=．
∵，∴此游戏不公平，小李赢的可能性大．
3、用频率估计概率
1、通过实例让学生体会有频率估计概率的必要性和科学性.强调“同样条件，大量试验”
2、蒙特卡罗方法：有些事情是动态的，或者很难将每一个一一数出，这时可用试验频率来估计总数.
其思想依据是：理论概率=试验概率.常用方法是：先做记号，再数记号
6、为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条．
7、一个密封不透明的盒子里有若干个白球, 在不允许将球倒出来的情况下, 为估计白球的个数, 小刚向其中放入8个黑球, 摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回盒中, 不断重复, 共摸球400次, 其中88次摸到黑球. 估计盒中大约有白球( )
A、28个
B、30个
C、36个
D、42个
一、本章知识结构框图
二、学习目标：
1．理解什么是必然发生的事件、不可能发生的事件，什么是随机事件；
2．在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，发展随机观念。能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；
3．能够通过试验，获得事件发生的频率；知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系。通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。了解进行模拟试验的必要性，能根据问题的实际背景设计合理的模拟试验。
三、知识要点：
1.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件（random event）。
阅读：确定事件与随机事件：
在现实世界中，有许多现象我们是可以事先预言其结果的，如下雨必有云；同性电荷相斥；在中，若AB=AC，则；因为，所以。以上事实的反面，下雨而无云；同性电荷相吸；，而等。这种在一定条件下必然发生或必
然不发生的现象称为确定性事件（或现象）。确定性事件的特点是：当条件给定时，其结果可以事先确切地预言或推算。代数、几何都是研究这类现象的工具。
然而，在现实世界中还存在着许多现象，我们无法事先断定其结果。例如，向上抛出一枚硬币，落地时其结果是正面向上，还是背面向上？事先是无法准确断言的。又如新生儿的体重，在出生之前也无法准确断言是多少。某一路段，在一定时间段内有多少车辆通过，也是无法事先断定的。这类事件很多。它们的共同特点是：在相同的条件下，重复同一试验（或观察）时，会得到不同的结果，就一次或少数几次试验来看，其结果是不确定的、无规律的，但当大量重复试验（或观察）时，其结果就整体来说呈现出某种固有规律性。例如，将上述的抛硬币试验大量重复时，就可以发现正面朝上或反面朝上的次数总是大致相等的。通过大量统计新生婴儿的体重时，也会发现这些数字绝大多数集中在某一点附近，离开这点越远数字越少，呈现出一种确定的分布。这种大量重复试验（或观察）时所呈现出的规律性，称为统计规律。这类在个别试验中呈现出不确定性，而在大量重复试验中，又具有某种统计规律的现象，这就是随机事件。
2.概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为。
可理解为：
（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；
（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件Ａ的概率；
（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
（5），必然事件的概率为，不可能事件的概率为，
随机事件时。
理解概率与频率的内在联系与区别：
概率这一概念是建立在频率这一统计量的稳定性基础之上的，而统计也离不开概率的理论支撑。相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固有的属性决定的，但是如果用概率试验的方法，频率会随着样本空间的变化而变化，但随着样本的增加，频率会越来越集中于一个常数，这个数就是概率。所以用频率估计出来的概率通常是不精确的，要有误差。这就是所说的“试验概率稳定于理论概率而又不等于理论概率”。
四、例题解析：
例1．在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其他完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了。下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？
(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；
(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；
(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球。
例2．指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？
（1）若a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；
（2）没有空气，动物也能生存下去；
（3）在标准大气压下，水在90℃时沸腾；
（4）直线y=k(x+1)过定点(-1，0)；
（5）某一天内电话收到的呼叫次数为0；
（6）一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球则为白球。
例3．同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点数和是12；
（2）两个骰子的点数和至少是9点；
（3）两个骰子的点数相同；
（4）两个骰子的点数都是偶数；
（5）两个骰子的点数和为1；
（6）两个骰子的点数和小于13。
例4．“石头、剪刀、布”是一个广为流传的游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继续比赛．假定甲乙两人每次做这三种手势都是等可能的，那么一次比赛时两人做同种手势(即不分胜负)的概率是多少？
解：所有机会均等的结果有9个，其中的3个——(石头，石头)、(剪刀，剪刀)、(布，布)是我们关注的结果，所以．
注意：使用树状图要注重“机会均等”．
例5．一个袋中装有2个黄球和2个红球，任意摸出一个球后放回，再任意摸出一个球，求两次都摸到红球的概率．
分析：方法1：列举法：先摸一次，放回后再摸一次，两次摸球是独立的，互不影响的，可能摸出的情况有(红，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黄)，所以概率为．方法2：树状图法
解：概率为．
例6.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数（ｎ）10 20 50 100 200 500
击中靶心次数（ｍ）9 19 44 91 178 451
击中靶心频率（）......
（1）计算表中击中靶心的各个频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
例7．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表：
每批粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715
发芽的频率
..........
（1）计算表中每批油菜籽发芽的频率；
（2）油菜籽发芽的频率在左右摆动，油菜籽发芽的概率约为。
课后练习：
1.指出下列事件中，哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的，哪些是随机事件：
（1）导体通电时，发热；
（2）抛一块石头，下落；
（3）在常温下，焊锡熔化；
（4）在标准大气压下且温度低于时，冰融化；
（5）掷一枚硬币，出现正面；
（6）某人射击一次，中靶。
2.必然事件的概率为_________，不可能事件的概率为_________，随机事件的概率范围是_________．
3. 同时掷两个质地均匀的骰子一次，共有_________种不同的结果．
4.随意从放有4个红球和1个蓝球的口袋中摸出一个球，再放回袋中搅匀后再摸出一个球，求两次摸到的球都为红球的概率。
5.“神舟六号”的成功发射凝聚了航天人无数的心血与汗水，仅就回归着陆是否能在预定
2
（1）填写表中的频率（精确到0.01）；
（2）根据表中反映的规律，回答理想着陆的概率．
6.小明对小红说：“我们来做一个游戏，我向空中扔3个硬币。如果它们落地后全是正面朝上，你就得10分。如果它们全是反面朝上，你也得10分。但是，如果它们落地时是其他情况，我就得5分，得分多者获胜，好不好？”
小红说，“让我考虑一分钟，至少有两枚硬币必定情况相同，因为如果有两枚情况不同，则第三枚一定会与这两枚硬币之一情况相同。而如果两枚情况相同，则第三枚与其他两枚情况相同或情况不同的可能性一样。因此，3枚硬币情况完全相同或情况不完全相同的可能性是一样的。但是小明是用5分来赌它们的不完全相同，这分明对我有利，好吧，小明，我和你做这个游戏！”
请问：小红的推理正确吗？
概率初步单元测试
一、选择题(每题4分，共48分)
1.下列事件是必然事件的是( )
A.明天天气是多云转晴
B.农历十五的晚上一定能看到圆月
C.打开电视机，正在播放广告
D.在同一月出生的32名学生，至少有两人的生日是同一天
2.下列说法中正确的是( )
A.可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生
B.可能性很小的事件在一次实验中一定会发生
C.可能性很小的事件在一次实验中有可能发生
D.不可能事件在一次实验中也可能发生
3.下列模拟掷硬币的实验不正确的是( )
A.用计算器随机地取数，取奇数相当于下面朝上，取偶数相当于硬币正面朝下
B.袋中装两个小球，分别标上1和2，随机地摸，摸出1表示硬币正面朝上
C.在没有大小王的扑克中随机地抽一张牌，抽到红色牌表示硬币正面朝上
D.将1、2、3、4、5分别写在5张纸上，并搓成团，每次随机地取一张，取到奇数号表示硬币正面朝上
4.在10000张奖券中，有200张中奖，如果购买1张奖券中奖的概率是( )
A. B. C. D.
5.有6张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是4、5、6、7、8、9，若将这六张牌背面向上洗匀后，从中任意抽取一张，那么这张牌正面上的数字是3的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
6.一个袋子中有4个珠子，其中2个是红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若在这个袋中任取2个珠子，都是红色的概率是( )
A. B. C. D.
7.有5条线段的长分别为2、4、6、8、10，从中任取三条能构成三角形的概率是( )
A. B. C. D.
8.一个均匀的立方体六个面上分别标有1，2，3，4，5，6，下图是这个立方体表面的展
开图，抛掷这个立方体，则朝上一面的数恰好等于朝下一面的数的的概率是( )
A. B. C. D.
9.四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为( )
A. B. C. D.
10.把一个沙包丢在如图所示的某个方格中(每个方格除颜色外完全一样)，那么沙包落在黑色格中的概率是( )
A. B. C. D.
11.如果小明将飞镖随意投中如图所示的圆形木板，那么镖落在小圆内的概率为( )
A. B. C. D.
12.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖.参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会，某观众前两次翻牌均得若干奖金，已经翻过的牌不能再翻，那么这位获奖的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题4分，共24分)
13.“抛出的篮球会下落”，这个事件是事件.(填“确定”或“不确定”)
14.10张卡片分别写有0至9十个数字，将它们放入纸箱后，任意摸出一张，则P(摸到数字2)=______，P(摸到奇数)=_______.
15.一只布袋中有三种小球(除颜色外没有任何区别)，分别是2个红球，3个黄球和5个蓝球，每一次只摸出一只小球，观察后放回搅匀，在连续9次摸出的都是蓝球的情况下，第10次摸出黄球的概率是_______.
16.有五张卡片，每张卡片上分别写有1，2，3，4，5，洗匀后从中任取一张，放回后再抽一张，两次抽到的数字和为_______的概率最大，抽到和大于8的概率为_______.
17.某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有个.
18.口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，其中红球4个，绿球5个，任意摸出一个绿球的
概率是，则摸出一个黄球的概率是_______.
三、解答题(每题7分，共28分)
19.一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，实验中共摸200次，其中50次摸到红球.
20.一张椭圆形桌旁有六个座位，A、E、F先坐在如图所示的座位上，B、C、D三人随机坐到其他三个座位，求A与B不相邻而座的概率.
21.你喜欢玩游戏吗？现请你玩一个转盘游戏.如图所示的两个转盘中指针落在每一个数字上的机会均等，现同时自由转动甲乙两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字，用所指的两个数字作乘积.
请你：⑴列举(用列表或画树状图)所有可能得到的数字之积
⑵求出数字之积为奇数的概率.
22.请你依据右面图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：
⑴用树状图表示出所有可能的寻宝情况；
⑵求在寻宝游戏中胜出的概率.
答案与解析
一、选择题
1.D
2.C
3.D
4.A
5.D
6.D
7.D
8.A
9.B 10.B 11.D 12.B
二、填空题
13.确定 14.； 15. 16.6； 17. 18 18.
三、解答题
19.设口袋中有个白球，，口袋中大约有30个白球 20.
21.解：⑴ 用列表法来表示所有得到的数字之积
乙
1 2 3 4 5 6
积
甲
1 1×1=12×1=23×1=34×1=45×1=56×1=6
2 1×2=22×2=43×2=64×2=85×2=106×2=12
3 1×3=32×3=63×3=94×3=125×3=156×3=18
4 1×4=42×4=83×4=124×4=165×4=206×4=24
⑵由上表可知，两数之积的情况有24种，所以P(数字之积为奇数)=.
22.解：⑴树状图如下：
⑵由⑴中的树状图可知：P(胜出).
概率初步单元复习与巩固
一、知识框图
二、目标认知
学习目标
1．理解并掌握确定事件和不确定事件，必然发生的事件和不可能发生的事件.知道必然发生的事件概率
为1，不可能发生事件的概率为0，随机事件发生的概率在0和1之间；
2．会用列表法和树形图法解决随机事件的概率，并注意二者的区别与联系；
3．用频率去估计实际概率要注意试验的次数必须足够多.
重点
1．随机事件、必然事件、不可能事件等的判断；
2．用列举法求概率；
3．利用稳定后的频率值来估计概率的大小.
难点
1．用试验得出概率；
2．列表法与树形图法的选择使用；
3．利用稳定后的频率值来估计概率的大小.
三、知识要点梳理
(一)概率的有关概念
1.概率的定义：
某种事件在同一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划事件发生的可能性的大小的量叫做概率.
2.概率论：
研究概率的科学叫概率论.概率主要研究不确定现象，概率论作为一门科学，和人们的日常生活有着紧密的联系，比如：各种彩票、抽奖等等.人们用概率知识解决了许多生产实际问题.
3.必然事件：
有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
4.不可能事件：
有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
5.不确定事件：
许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生，或事先能肯定它们不会发生的事件，因此它们也可以称为确定性事件.
(二)概率的计算：
概率的计算有理论计算和实验计算两种方式，根据概率获得的方式不同，它的计算方法也不同.
当试验次数很大时，一个事件发生的频率也稳定在相应的概率附近.因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
对于某些特殊类型的试验，实际上不需要作大量重复的试验，而通过列举法进行分析就能得到事件的概率.例如掷一个骰子(骰子的构造相同，质地均匀)，向上的一面的点数有6种
可能，即1，2，3，4，5，6.因此每种结果的可能性相等，都是.或从分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签中随机地抽取一根(纸签的形状，大小相同)，抽出的签上的号码有5种可
能，即1，2，3，4，5.因此每个号被抽到的可能性相等，都是.
以上两个试验的共同特点是：
1．一次试验中，可能出现的结果有限多个；
2．一次试验中，各种结果发生的可能性相等.
具有这些特点的试验称为古典概型.
如何求具有上述特点的随机事件的概率呢？
如果一次试验中共有n种可能出现的结果，而且这些结果出现的可能性都相同，其中事
件A包含的结果有m种，那么事件A发生的概率P(A)=，可以利用列表法或树状图来球
其中的m、n，从而得到事件A的概率.
由此我们可以得到：
不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；
必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
如果A为不确定事件，那么0 四、规律方法指导 1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件，那么0 2．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： ①理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型 进行的计算； 第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率， 如：配紫色，对游戏是否公平的计算. ②实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算.要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率 的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率. 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算.如，利用计算器产生随机数来模拟实验. 综上所述，目前掌握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值；第二类问题虽然存在理论概率但目前尚不可求，只能借助实验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型，理论上容易求出其概率. 这里要引起注意的是，虽然我们可以利用公式计算概率，但在学习这部分知识时，更重要的是要体会概率的意义，而不只是强化练习套用公式进行计算. 3．你知道概率有哪些应用吗？ 通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题.