工程力学复习资料

工程力学复习资料

第一篇静力学

力学响应：变形、破坏、失稳

强度（抵抗破坏的能力）、刚度（抵抗变形的能力）、稳定性（保持原有平衡形式的能力）。

1、静力学的基本概念

静力学主要研究三方面问题：物体的受力分析、力系的简化和力系的平衡条件。

静力学研究的物体主要是刚体。所谓刚体是在力作用下不变形的物体，即刚体内部任意两点间的距离保持不变。

约束与约束力：

柔索约束：受一约束力沿柔索背离物体。

光滑支承面：受一约束力沿公法线指向物体(Fy)。

光滑圆柱铰链：受一对相互垂直的约束力（Fx、Fy）。

活动铰链支座：只限制沿支承面法线方向的位移。

绘制受力图

二力构件：相比忽略自身重力，只在铰点受两个力而处于平衡的构件称为二力构件（二力杆）刚体在二力作用下平衡的充分必要条件是二力等值、反向、共线。

2、两大基本力系：汇交力系、力偶系

汇交力系

作用于刚体上某一点的力，可沿其作用线移至刚体上任一点，而不改变对刚体的作用效应。这一特征称为力的可传性。力的可传性只适用于刚体，不适用于变形体。

三力平衡汇交定理：当刚体在同一平面内作用线互不平行的三个力作用下平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。

汇交力系的平衡几何条件：力多边形自行封闭。

汇交力系的平衡解析条件：

)

(0

空间汇交力系用

=

=

=

∑

∑

∑

z

y

x

F

F

F

通常二力构件、三力平衡汇交定理同时使用，它们都可以判断物体受力的方向。经典例题例2.4（第28页）。

力偶系

力与一点到力方向上的距离的乘积称为力到这一点的力矩。

计算公式：Fl

M=方向：逆时针为正，顺时针为负。

作用在刚体上大小相同、方向相反且不共线的两个力组成的力系称为力偶。

力偶的等效条件：力偶矩矢相同。

力偶的性质：①力偶不能和一个力等效；②力偶在其作用面内任意转移，或移到另一平行平面，而不改变对刚体的作用效果；③保持力和力偶臂的乘积不变，力和力偶臂的大小可以改变，而不改变对刚体的作用效果。

力偶系的平衡条件：力偶系作用下刚体平衡的充分必要条件是合力偶矩矢等于零。

ΣM=0。

3、平面任意力系

力平移定理：作用于刚体上任一点的力可平移到刚体上任一点而不改变对刚体的作用效果，但需增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩矢等于原力对新的作用点之矩矢。

主矢与简化中心的选择无关，主矩一般与简化中心的选择有关。因此提到主矩，必须注明是对哪一点的主矩。

平面任意力系的平衡的充分必要条件是力系的主矢F’R=0和力系对任一点的主矩M o=0

即：

)

(

=

=

=

∑

∑

∑

F

M

F

F

y

x

第二篇材料力学

1、材料力学的基本概念

材料力学的主要任务：研究构件在外力作用下的变形、受力和破坏或失效的规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。

材料力学的基本假设：①连续性假设，说明变形体是密实体；②均匀性假设，说明力学性质与位置无关；③各向同性假设，说明力学性质与受力方向无关。

因此，材料力学的研究对象是：连续、均匀与各向同性的变形体

内力定义：由于外力作用，构件内部相连部分之间的相互作用力。即外力作用的地方是内力变化的地方。

四种内力分量：轴力（沿轴线的内力分量）、剪力（作用线位于所切横截面的内力分量）、扭矩（矢量沿轴线的内力偶矩分量）和弯矩（矢量位于所切横截面的内力偶矩分量）

正应力和切应力

应力即内力的分布集度（单位：帕、兆帕[106帕]、吉帕[109帕]）

正应力（σ）：沿截面法向的应力分量

切应力（τ）：沿截面切向的应力分量

正应变和切应变

在外力作用下，构件发生变形，同时引起应力。为了研究构件的变形及其内部的应力分布，需要构件内部各点处的变形。

正应变（ε）

切应变（γ）（单位：弧度）

2、三种作用效果：轴向拉压、扭转和弯曲

（1）轴向拉伸和压缩

以轴向拉压为主要变形的杆件称为拉压杆。

求轴力的步骤：解：（1）求支反力；（2）取研究对象，利用平衡法求各截面的内力；（3）画轴力图。注意：标x轴、F N轴，标数值，标⊕、Θ。

轴力：是指通过横截面形心垂直于横截面作用的内力，而求轴力的基本方法是截面法。

轴力图：

拉压杆横截面上的正应力：σ0=F N∕A

斜截面上正应力：σɑ=σ0cos 2α 斜截面上切应力：τɑ=σ0/2sin2α 当α=0时，正应力最大，即σmax =σ0 当α=450时，切应力最大，即τmax =σ0/2

方向规定：以X 轴为始边，方位角α以逆时针转为正；将截面外法线沿顺时针旋转900，与该方向同向的切应力为正。

材料在拉伸和压缩时的力学性能； ①低碳钢（塑性材料）的拉伸力学性能 1、线性阶段 比例极限σP 2、屈服阶段 弹性极限σe

屈服极限σS 材料屈服时试样表面出现的线纹，为滑移线。 3、硬化阶段 强度极限σ b

4、颈缩阶段 当应力增加到σb 之后，试样的某一局部显著收缩，产生所谓颈缩。

.用塑性材料的低碳钢标准试件在做拉伸实验过程中，将会出现四个重要的极限应力；其中保持材料中应力与应变成线性关系的最大应力为比例极限；使材料保持纯弹性变形的最大应力为弹性极限；应力只作微小波动而变形迅速增加时的应力为屈服极限；材料达到所能承受的最大载荷时的应力为强度极限。 脆性材料不满足以上力学性能。 冷作硬化：由于预加塑性变形，使材料的比例极限或弹性极限提高的现象。作用：增加强度，减小塑性。 ②材料的塑性；

材料的伸长率（延伸率）：

%

1000

??=

l l δ 0l ?残余变形，l 为材料原长。

断面收缩率：

%1001

?-=

A A A ψ A 1为断裂后横截面面积，A 为原横截面积。

通常延伸率较大的为塑性材料，较小的为脆性材料。

③材料在压缩时的力学性能；

对塑性材料：压缩和拉伸的屈服极限大致相同。 即：t s c s )()(σσ= 对脆性材料：压缩的强度极限是拉伸的3~4倍。 即：t b c b S S ）（4~3)(=

对脆性材料抗压性大于抗拉性。

应力集中：应力集中因数

n K σσmax

=

应力集中对构件强度的影响：

对脆性材料，应力集中现象一直保持到最大局部应力σmax 到达强度极限之前。

对塑性材料，应力集中几乎无影响。因为当最大应力σ

max 达到屈服应力σS 之后，如果继

续增大载荷，则所增加的载荷将由同一截面的未屈服部分承担，以致屈服区域不断扩大，应力分布逐渐趋于均匀化。

通过低碳钢拉伸破坏试验可测定强度指标屈服极限和强度极限；塑性指标伸长率和断面收缩率。

强度条件：σmax =(F N ∕A)max ≤[σ]

许用应力[σ]=σu ∕n σu 为极限应力（屈服极限σS 和强度极限σb ），n 为大于1的安全因数

工程构件在实际工作环境下所能承受的应力称为许可应力，工件中最大工作应力不能超过此应力，超过此应力时称为失效。

胡克定律：εσE = 比例系数E 称材料的弹性模量，其值有材料而定。

轴向变形

EA l

F l N =

? EA 为拉压刚度

泊松比μ：

εεμ'

-= ε’为横向正应变，ε为轴向正应变。

由胡克定律得：轴向正应变ε=σ∕E=F N ∕EA

叠加原理：几个载荷同时作用产生的效果，等于各载荷单独作用产生的效果总和。

如计算轴向变形EA l

F l N =

?或横向变形Δd

（2）扭转 研究对象仍为轴 P=M ω

扭矩T 的大小计算：

（Ⅰ）

{}{}{}m i n /7024

r m N n P M 马力=?

{}{}{}min /9549r kw

m N n P M =?

方向：按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，若矢量方向与横截面的外法线方向一致，则扭矩为正，反之则负。 求扭矩的步骤：（1）扭力偶矩计算M 用（Ⅰ）式计算；（2）扭矩计算，判别方向，代入正负（此正负表示方向）；（3）画扭矩图，注意纵轴为扭矩T 。 扭矩图：

扭转切应力的的一般公式：

p

p I T ρτ=

I p 为极惯性矩，与截面尺寸有关。

dA

I A

p ?=2ρρ为距轴线的距

离。

最大扭转切应力： τmax =T ∕W p

W p 为抗扭截面系数，等于I p ∕R ，仅与截面尺寸有关。即截面尺寸相同时， W p 相同。 实心圆截面抗扭截面系数：W p =πd 3∕16

空心圆截面抗扭截面系数：W p =πD 3(1-α4)∕16 α=d ∕D 切应力互等定理：

多边形截面棱柱受扭转力偶作用，根据切应力互等定理可以证明其横截面角点上的剪应力为零。

剪切胡克定律：τ=G γ 比例系数G 称为切变模量，其值随材料而异。 弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 的关系：

)1(2μ+=

E G

轴的强度条件：许用切应力是扭转极限τu 除以安全系数

n ，即[τ]=τu ∕n

τmax =（T ∕W p ）max ≤[τ] 扭转变形：

扭转角：

P GI Tl

=

φ l 为轴长，GI p

为轴截面的扭转刚度。

轴的刚度条件：P GI T dx d =φ ][)(max θ≤P GI T [θ]单位长度许用扭转角。单位（°）

∕m ，而d υ∕dx 的单位是rad ∕m ，在计算时，注意单位换算。

（3）弯曲

研究对象：梁（凡是以弯曲为主要变形的杆件称为梁） 作用在梁上的约束力：

活动铰支座： 受一约束力沿公法线指向物体(Fy)。 固定铰支座： 受一对相互垂直的约束力（Fx 、Fy ）。

固定端约束： 受一对相互垂直的约束力（Fx 、Fy ）和一力偶。 梁的类型：

简支梁 悬臂梁 外伸梁 ①弯曲内力（剪力与弯矩） 剪力和弯矩

方向：剪力使微段沿顺时针转动为正，反之为负；弯矩使微段弯曲成凹形为正，反之为负。 求剪力和弯矩的步骤：（1）求支反力；（2）用平衡法计算剪力和弯矩；（3）画剪力和弯矩图 剪力、弯矩图

剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系：

q dx M

d F dx dM

q dx dF s s

===2

2

上述表明：剪力图某点处的切线斜率，等于相应截面处的载荷集度q ；弯矩图某点处的切线斜率，等于相应截面处的剪力；弯矩图某点处的二阶导数，等于相应截面处的载荷集度。 用图表表示： 载荷集度 q=0

q>0

q<0

剪力图 水平线（—） 上升直线（╱） 下斜直线（╲） 弯矩图

直线

凹曲线（∪）

凸曲线（∩）

②弯曲应力

对称弯曲正应力：

基本假设：中性层，当梁弯曲时，长度不变的过渡层称为中性层。 弯曲正应力的一般公式：

z EI M

=

ρ

1

EI z

为梁截面的弯曲刚度。

Z I My

=

σ I z 为截面对z 轴的惯性矩，它是仅与截面形状和尺寸有关的几何量。

最大弯曲正应力

z W M

=

max σ W z 为抗弯截面系数，仅与截面形状和尺寸有关，等于I z ∕y max

。

总结：材料截面边缘正应力最大，中性轴处正应力最小为0。

截面惯性矩： I z =bh 3∕12 z 轴通过长度为h 的边

I z =b 3h ∕12 z 轴通过长度为b 的边

③弯曲变形

在外力作用下，梁的轴线有直线变曲线，变弯后的梁轴称为挠曲轴。 横截面的形心在垂直于梁轴方向的位移，称为挠度，并用ω表示。 横截面的角位移，称为转角，并用θ表示。

挠曲轴近似微分方程：

EI x M dx d )

(2

2=ω 梁位移积分法：由

EI x M dx d )(2

2=ω 得：D

Cx dxdx EI x M C dx EI x M dx d ++=+==

???)

()

(ωωθ

确定积分常数：固定端约束处：当x=某值，ω=0 ；θ=0

简支梁铰支座 当x=某值 ω=0。 计算转角、挠度方程步骤：（1）计算支反力；（2）建立挠曲轴近似微分方程并积分（主要梁

的弯矩方程）；（3）确定积分常数；（4）建立转角和挠度方程；