集合的基本关系
戴氏教育
第二讲 集合的基本关系
第一部分：【知识回顾】
知识点一 子集
1. 子集的定义
一般地，对于两个集合A,B,如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的
元素，即若A a ∈，则B a ∈，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作)(A B B A ??或，读作“A 包含B 于”,“B 包含A ”，这时我们就说集合A 是集合B 的子集。 2. 子集的性质
（1） 任何一个集合都是它本身的子集：对于任何一个集合A,它的任意一个元
素都属于集合A 本身，故有A A ?。
（2） 自子集具有传递性：对于集合A,B,C,若C B B A ??,,则C A ?.如集合
A={0,1,2}，B={0,1,2,3}，C={-1,0,1,2,3,4}，易知,,C B B A ??同时.C A ? （3） 规定：空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A,都有.A ?φ
3. B A ?（或A B ?）
如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A ，分别记作B A ?（或A B ?），读作“A 不包含于B ”，或“B 不包含A ”。如：A={0,1,2,}，B={1,2,4}，集合A 中的元素0不属于集合B ，说明集合A 不是集合B 的子集，即集合A 不包含于集合B 。
知识剖析：
（1）“A 是B 的子集”的含义：集合A 任何一个元素都是集合B 中的元素，即由任意
A x ∈,能推出
B x ∈.
（2）在子集的定义中，不能理解为子集A 是由集合B 中的“部分元素”构成的集合。反例：若φ=A ,则A 中不含有任何元素；若A=B ，则A 中含有B 中的所有元素。这两种情况都是说集合A 是集合B 的子集，但均不符合“子集A 是由集合B 中的‘部分元素’构成的集合”这一说法。
（3）区分“∈”与“?”：“ ∈”表示元素与集合之间的从属关系；“?”表示集合与集合之间的包含关系。
知识点二 集合相等
对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A 中的元素，这时，我们就说集合A 与集合B 相等，记作A=B 。
知识剖析： （1） 若集合A,B 是非空集合，则集合A 与集合B 相等所表达的意义就是集合
A 与集合
B 中的元素是完全相同的，与元素顺序无关。
（2） 若B A ?且A B ?，则A=B ；反之，若A=B ，则B A ?且A B ?。
例 已知集合A={Z n n x x ∈+=),12(9
1},B={Z n n x x ∈±
=
,9
194}，
则集合A,B 之间的关系是（ ）
A. B A ?
B. A B ?
C. A=B
D. B A ? 分析：设A x ∈1，则存在Z n ∈1，使)12(9
111+=n x 。 当,9194)14(91)12(9
1,2111+=
+=
+=∈=k k n x Z k k n ，
所
以
,
9194)14(9
1)12(9
1,,12.1111-
=-=
+=∈-=∈k k n x Z k k n B x 时当即
B x ∈1，所以B A ?。
设,2B x ∈则存在,
2Z n ∈使
).
14(9
19
19
4222±=
±
=
n n x 因为
,1221422+?=+n n ,1)12(21422+-=-n n 且)(222Z n n ∈表示所有的偶数，)
(1222Z n n ∈-都可
以表示任意奇数，故
),)(12(9
1)14(9
19194222Z n n n n x ∈+=±=±
=
即A x ∈2,所以A B ?。
综上所述A=B 。
阅题总结：判断集合与集合之间的关系时，不要拘泥于形式上的差别，而应该从本质上、整体上进行论证。
知识点三 真子集
1. 定义
对于两个集合A 与B ，如果B A ?并且A ≠B ，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B （B
A ），读作“A 真包含于
B ”，或“B 真包含A ”。
2. 性质
（1） 规定：空集是任何非空集集合的真子集，即若A ≠φ，则φA 。
（2） 真子集也具有传递性：对于集合A,B,C,若A B ，B C,
则
A C.
知识剖析： （1）
由真子集的定义可知B A ?，即集合A 中的任何一个元素必是集合B 中的元素；而A ≠B ，说明集合B 中至少存在一个元素不属于A 。故真子集的判
断方法为:先判断B A ?，再说明集合B 中至少存在一个元素b,使得A b ?.如A={0,1,2}，B={0,1,2,3}，易知B A ?，并且3∈B ，但是3?A ，所以A B 。
（2）
集合A={1,2}，B={0,1,2,3},则A 是B 的子集，也是真子集，用符号B A ?与A B 均可，但用A B 更准确。
例 判断下列两个集合之间的关系： （1）A={2,3,6}，B={的约数是12x x }； （2）A={0,1}，B={ N y y x x ∈=+,12
2
}; （3）A={ 21<<-x x }，B={ 22<<-x x }； （4）A={ 0),(
分析：（1）集合A 中的元素确定，可以根据集合B 中的元素的共同属性判断集合A 中的元素是否属于集合B ，然后得到两个集合之间的关系；（2）对于集合B ，先确定它的元素，用列举法表示出来，然后再判断其与A 的关系；（3）可根据集合中元素的范围判断；（4）可根据集合A ，B 的几何含义判断。 解：（1）集合A 中的元素2,3,6都是12的约数，故他们都属于集合B ，所以A 是B 的子集；更进一步，1是12的约数，即1∈B ，但是1?A ，故A 是B 的真子集。
（2）因为B={ N y y x x ∈=+,12
2
}={-1,0,1}，故A 是B 的真子集。 （3）22<<-x 包括21<<-x 和,12-≤<-x 故A 是B 的真子集。 （4）方法一：由0 是A 的真子集. 方法二:集合A 表示的平面直角坐标系中第二、四象限内的点，而集合B 只表示第四象限内的点，故B 是A 的真子集. 阅题总结：判断两个集合之间的关系，有以下几种方法：（1）先化简，再用列 举法将两个集合表示出来，再根据子集的定义来判断；（2）根据集合中元素满足的性质之间的关系判断；（3）根据集合中元素的范围判断；（4）根据集合的几何含义来判断。 知识点四 图示法 在前一节我们主要学习了集合的两种表示方法———列举法和描述法。也提到了集合还有一种表示方法，即图示法，包括V enn 图法和数轴法两种。 1. Venn 图法 （1）我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为V enn 图。用V enn 图可以直观、形 象地表示出集合之间的关系。 （2）用V enn 图表示集合的关系： ①基本关系：如图1-2-1。 B A ?? ??≠?B A B A A B A B A B ???? ≠? B A =?? ?? ??A B B A B A ? A B ? ②真子集的传递性：A B C 可表示为图1-2-2 知识剖析：用V enn 图表示集合的优点是清晰、直观，对于初学者来说，可帮助分析和理解抽象的符号语言，更容易掌握集合间的关系；缺点是集合中的元素的公共特征不明显。 例 已知集合A={是四边形x x }，B={是正方形 x x }，C={是钜形x x }， D={是平行四边形 x x }，请指出A,B,C,D 之间的关系，并用V enn 图表示。 解: 因为 正方形一组邻边相等矩形一个内角是直角平行四边形四边形 两组对边平行→? ?? →?? ? →?? ? 所以B C D A ，用 V enn 图表示为1-2-3 阅题总结: 正确掌握各平面图形之间的关系是解决本题的前提，而用V enn 图可以清楚地表示各集合间的关系。 2. 数轴法 用数轴或数轴上的部分来表示集合的方法叫作数轴法。如{21≥≤x x x 或}为图1-2-4. 集合A={3≤x x }与集合B={5≥x x }的关系是A ?B,用数轴法表示为图1-2-5. 集合A={63≤ 例 （1）已知集合A={ 31<≤-x x }，B={ a x x <}，若A ?B ，求实数a 的取值范围。 （2）已知集合A={31>- 范围。 分析：因为A,B 两个集合都是用不等式表示的数集，所以用数轴法表示这两个集合，更容易发现其中的关系。 解：（1）因为A B ，故集合A,B 之间的关系可用图1-2-7表示。 由图中可得3≥a ，即a 的取值范围是3≥a 。 （2）由题意得B={04<+a x x }={4 a x x - <}。 因为A B ?,所以集合A,B 之间的关系可用图1-2-8表示。 由图中可得14 -≤- a ，即a 的取值范围是4≥a 。 阅题总结：关于两个集合之间的关系问题，常借助于数轴，利用数形结合的方法来求解，写结果时，要特别注意不等式的等号能否取得，端点的取舍需代入验证。 第二部分：【经典例题】 题型一 判断集合之间的关系 例 已知集合A={ Z k k x x ∈+=,2 1},B={ Z k k x x ∈= ,2 }，则A 与B 之间的关系 式（ ）。 A. A B B. A=B C. A ?B D. 无法比较 分析：方法一：设A x ∈,则2 1221+=+ =k k x )(Z k ∈.令m=2k+1.因为Z k ∈，则 2k+1=m Z ∈,所以B x ∈,得A ?B ，又B ∈0，而A ?0,所以A B 。 方法二:对于集合A,取k=0,1,2,3,…,得A={ ..., 27 ,25,32,21 }。对于集合B,取k=0,1,2,3,4,5,6,7,…,得B={ ..., 27, 3,2 5, 2,2 3, 1,2 1, 0 }。容易看出集合A 中的元素在集合B 中 都有，而集合B 中的元素，如A ?0，所以A B 。 方法三：将集合A,B 中的元素的表达式通分，得A={Z k k x x ∈+= ,2 12}, B={ Z k k x x ∈= ,2 }.2k+1可以表示任何奇数，k 可以表示任何整数，故A B 。 反思: 方法一是用定义法解题，这是解决数学问题的有效途径；方法二是用列举法把 集合表示出来，比较集合中元素的异同，从而找出集合之间的关系，比较直观；方法三是从元素的结构特点入手，结合同分、变形等技巧，使元素结构一致，再分析元素之间的差异，判断集合之间的关系，比较简单。 例 已知集合A={Z a a x x ∈+ =,6 1},B={Z b b x x ∈-= ,3 12},C={Z c c x x ∈+= ,6 12} 则A,B,C 满足的关系是（ ） A. A=B C B. A B=C C. A B C D. B C A 分析：方法一：简单列举各集合中的元素， ,...}6 19 ,613,67,61{..., =A ，,...}67,32,61,31{...,- =B ，,...}3 5 ,67,32,61{...,=C ，由各集合中的元素可以知道A B=C. 方法二：判断集合中元素的共性和差异。 A={Z a a x x ∈+=,616},B={Z b b x x ∈-= ,6 23}，C={Z c c x x ∈+= ,6 13}. ∵ 6 1 )1(36 23+-= -b b ，而Z b ∈-1,即1)1(3+-b 与3c+1都表示被3除余1的数，而6a+1表示被6除余1的数，∴A B=C 。 反思：记住以下结论有助于我们今后解决此类问题： （1） 一个整数被2整除，可记为2k 或2k+2;一个整数被2除余1，可记为2k+1或2k-1 )(Z k ∈。 （2） 一个整数被3整除，可记为3k;被3除余1，可记为3k+1或3k-2;被3除余2，可记为3k+2或3k-1（Z k ∈）。 （3） 一个整数被4整除，可记为4k;被4除余1，可记为3k+1或4k-3;被4除余2，可记为4k+2 或4k-2;被4除余3，可记为4k+3或4k-1 )(Z k ∈。 题型二 已知集合子集的确定 提点：在写集合的子集和真子集时，一般是按照集合中元素的个数的多少，遵循由少到多的原则，做到不重漏。需要特别注意的是，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，因此，在写集合的子集和真子集的时候，不要遗漏空集。 确定集合的子集、真子集个数时，可利用若原集合A 中元素的个数为n ，则集合A 子集的个数为n 2，真子集的个数为12n -，非空子集的个数为12n -，非空真子集的个数为22n -来直接求解。 例 已知集合A={1,2}，B={1,2,3,4,5}，若M A ? B,请写出满足上述条件的集合 M 。 解：由A={1,2}，B={1,2,3,4,5}，且M A ?B 。可知，集合 M 中必有元素1,2，可能含元 素3,4,5，但是不能同时含有3,4,5这三个数，故满足条件的集合M 有：{1，2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；{1,2,3,4}，{1,2,3,5},{1,2,4,5}. 反思：也可利用V enn 图来解决此类问题，直观且易找到所求集合的特点。 例 求满足条件{012=+x x }M ?{012 =-x x }的集合M 。 解：∵φ==+}01{2x x ，而M ?{012 =-x x }={-1，1}，故M 非空且是{-1,1}的子集，即M ={-1}，M ={1}或M ={-1,1}。 题型三 集合相等的应用 方法总结： 若集合相等，则两集合中的元素完全相同，由此可建立方程或方程组进行求解。 例 已知集合M ={b a ,,2}，N={2 ,2,2b a }，且M=N,求b a ,的值。 分析：由M=N 可知，两个集合中的元素完全相同，可利用集合中元素的性质解题。 解：根据两集合相等，可得???==???==a b b a b b a a 2222 或， ?????? ? == ???==???==2 1 4 11000b a b a b a 或或 根据集合中元素的互异性，得?? ?==0 0b a ，不符合，故舍去，所以?????? ? == ?? ?==2 1 4 110b a b a 或 反思: (1)列举法写出集合{c b a ,,}时，本身已隐含了 c b a ,,互不相等的条件，故要求根据 集合中的元素的互异性对求出的值进行检验。（2）列出两个方程组的依据是集合中元素的无序性，如果片面地理解成三元素对应相等而只列出第一个方程组，则求出的只是解得一部分，不全面。 题型四 空集的特殊性 方法总结：空集的特殊性主要体现在以下两个方面： （1）空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了空集本身，即φφ?； （2）空集是任何非空集合A 的真子集，即 φ A ，且A ≠φ。因为A ≠φ，必存在A a ∈而φ?a ，所以 φ A 。解题时应注意空集的特殊性，合理使用分类讨论、数形结合、等价转化 等思想方法来解决与之有关的综合性问题。 例 下列说法：①空集没有子集；②任何一个集合必有两个或两个以上的子集；③空集是任何集合的真子集；④若 φ A ，则A ≠φ。其中正确的有（ ）。 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 分析：空集是空集的子集，即φφ?，所以①错；空集只有一个子集，即为φ，故②错；φ不是φ的真子集，故③错；空集是任何非空集合的真子集，故④对。 第三部分：【实战演练】 基础训练 1. 集合A={ Z x x x ∈≤≤,30}的真子集的个数为（ ）。 A. 16 B. 8 C. 7 D. 4 2. 满足A a ?}{ {d c b a ,,,}的集合A 共有（ ）。 A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 16个 3. 设集合A={ 2 2<<-x x }，B={ a x x >},若A B,则实数 a 的取值范围（ ） 。 A. 2≥a B. 2-≥a C. 2≤a D. 2-≤a 4.已知集合 A= { 52),(+=x y y x } ，B={ 2 1) ,(+-x y y x }，则A,B 的关系是（ ）。 A. B A = B. A B C. A B D. B A ? 5.已知集合M={+∈+=N a a x x ,12 }。P={+∈+-=N a a a x x ,542 }，可判断M 与P 的关系是（ ）。 A. M P B. P M C. M=P D. M P P M ??，且 6. 已知集合A={-1,3,2m-1}，集合B={ 2 ,3m }，若,A B ?则实数m=_______. 7. 已知集合A={ +∈-=N a a x x ,12 }，B={ +∈+-=N b b b y y ,342 }，则A 与B 的关系是 __________；若将“ +N ”改为“Z ”,则A 与B 的关系是_________（用，=， ?表示）。 8. 已知集合A={022 =+-x x x }，B={0)12)(1(2 =++-x x x x }，且A M ?B,求满足条件 的集合M. 9.已知集合A={R x a x ax x ∈=+-,,0442}至多有一个真子集，求a 的取值范围。 集合间的基本关系及运算 【知识要点】 1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集, 记作 A B 或 B A. 2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一 个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B,记作A=B 3、真子集：如果 A B,且A B,那么集合A称为集合B的真子集,A B . 4、设A S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作C S A 5、元素与集合、集合与集合之间的关系 6、有限集合的子集个数 1 )n 个元素的集合有2n个子集 2)n 个元素的集合有2n-1 个真子集 3)n 个元素的集合有2n-1 个非空子集 4)n 个元素的集合有2n-2 个非空真子集 7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A Bo 8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A B o 9 、集合的运算性质及运用 知识应用】 1.理解方法：看到一个集 合A里的所有元素都包含在另一个集合里B,那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x A能推出x Bo 【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系 (1)A={-1,1} ，B=Z (2)A={1,3,5,15} ，B={x|x 是15的正约数} 【L】例 2.已知集合A={x|-2 x 5},B={x|m+1 x 2m-1},若B A,求实数m取值范围。 【C】例3.已知集合A {0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请 集合间的基本关系 （一）教学目标； 1．知识与技能 （1）理解集合的包含和相等的关系. （2）了解使用Venn图表示集合及其关系. （3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系. 2．过程与方法 （1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系. （2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义. （3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念. 3．情感、态度与价值观 应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力. （二）教学重点与难点 重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别. （三）教学方法 在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质. （四）教学过程 图表示为： =2}. }. 备选训练题 例1 能满足关系{a ，b }?{a ，b ，c ，d ，e }的集合的数目是（ A ） A ．8个 B ．6个 C ．4个 D ．3个 【解析】由关系式知集合A 中必须含有元素a ，b ，且为{a ，b ，c ，d ，e }的子集，所以A 中元素就是在a ，b 元素基础上，把{c ，d ，e }的子集中元素加上即可，故A = {a ，b }，A = {a ， b ， c }，A = {a ，b ， d }，A = {a ，b ， e }，A = {a ，b ，c ，d }，A = {a ，b ，c ，e }，A = {a ，b ，d ，e }，A = {a ，b ，c ，d ，e }，共8个，故应选A. 例2 已知A = {0，1}且B = {x |x A ?}，求B . 【解析】集合A 的子集共有4个，它们分别是：?，{0}，{1}，{0，1}. 由题意可知B = {?，{0}，{1}，{0，1}}. 例3 设集合A = {x – y ，x + y ，xy }，B = {x 2 + y 2，x 2 – y 2，0}，且A = B ，求实数x 和y 的值及集合A 、B . 【解析】∵A = B ，0∈B ，∴0∈A . 若x + y = 0或x – y = 0，则x 2 – y 2 = 0，这样集合B = {x 2 + y 2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y ≠0，x – y ≠0. ∴22 220 xy x y x y x y x y =?? -=-??+=+? （I ） 或22 220xy x y x y x y x y =?? -=+??+=-? （II ） 由（I ）得：00x y =?? =?或01x y =??=?或1 0x y =??=? 由（II ）得：00x y =?? =?或01x y =??=-?或1 0x y =??=? ∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去. 当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去. ∴01x y =?? =?或0 1x y =??=-? ， ∴A = B = {0，1，–1}. 例4 设A = {x | x 2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若B A ?，求实数a 组成的集合，并写出它的所有非空真子集. 【解析】A = {3，5}，∵B A ?，所以 信达雅教育内部教案 一、集合 1.2 集合的基本关系与基本运算 学习目标： 1.了解集合之间包含关系的意义. 2.理解子集、真子集的概念. 3.了解全集的意义,理解补集的概念. 1.2.1集合的基本关系 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B == (2)设A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合。 (3){2,4,6},{6,4,2}E F ==. （1）子集 一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集. 记作：()A B B A ??或 读作：A 含于B(或B 包含A) (2)集合相等与真子集 （2）空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作?，并规定：空集是任何集合的子集。 （3）用韦恩图表示集合 为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。 如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图. 图l ()A B B A ??或 图2 B A = （4）集合的一些基本结论： 1）任何一个集合是它本身的子集。即 A A ?； 2）对于集合A,B,C,如果。，那么，且C A C B B A ??? 例：写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 解:集合{a,b}的所有子集为?，{a}，{b}，{a,b}。真子集为?，{a}，{b}。 练习： 1．写出集合{,,}a b c 的所有子集． 解： 拓展： 2．用适当的符号填空： （1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =； （3）?______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ； （5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=． 3．判断下列两个集合之间的关系： （1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数； （2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈； （3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈． 1.2.2集合的基本运算 请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A .B 之间的关系吗? (1){1,3,5},{2,4,6},{1,2,3,4,5,6};A B C === (2){|},{|},{|}A x x B x x C x x ===是理数是无理数是实数 （1）并集 —般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集. 记作：A ∪B.读作“A 并B ”. 其含义用符号表示为：{|,}A B x x A x B =∈∈或 1. 1. 2集合间的基本关系知识要点： 1?集合、元素的概念； 2.集合的分类； 3.确定集合的三要素； 4.集合的表示方法； 5.元素与集合的关系； 6 ?一些常用数集及其记号； (1)非负整数集或自然数集： (2)正整数集： (3)整数集： (4)有理数集： (5)实数集： 例1:下列对象能构成集合的是________________ ，用集合表示出来. (1)大于-6而小于6的偶数； (2 )很小的有理数； (3 )第三中学的所有学生； (4 )比较接近1的全体正数； (5)方程x2-2x，仁0的实数根. 例2:用?和y填空. (1)设集合A = 1 X ￡価贝y 2*3A, W2 A ； (2)设集合A =?x2 -x = 0〉，贝u -1 A ； (3)(1,2 )^x, y ?v =x +1〉. 用描述法表示下列集合. 坐标平面内不在一、三象限的点; 「1 1 3 2 51 ＜一，一，一，一，一 ＞； .3 2 5 3 7： 由x 轴、y 轴、直线x 二2和y =1维成的矩形（不含边界） F 列集合是用描述法表示的，请用列举法将其表示出来. x 2x -1 x 2 x 2 1 d ； 1 ,a,b 为非零实数； J 被3除余1的自然数组成的集合. 设实数集S 是满足下面两个条件的集合：① V S ②若a S 且a = 0，则丄 S , 1 —a 1 求证：若a ?S ，则1 S ； a 求证：集合S 中至少有三个不同元素. 例3: (1) (2) (3) 例4: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 例5: (1) (2) 例6: a b 」x - + - a b 」（x,y 护 ◎x +y =8： .x-y =1 8 Z,x N ?； 、x,y y F x -1 .1 -x* r 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标分析： 知识目标： 1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 2、在具体情景中，了解空集的含义。 过程与方法：从类比两个实数之间的关系入手，联想两个集合之间的关系，从中学会观察、类比、概括和思维方法。 情感目标：通过直观感知、类比联想和抽象概括，让学生体会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养学生有条理地思考的习惯和积极探索创新的意识。 重难点分析： 重点：理解子集、真子集、集合相等等。 难点：子集、空集、集合间的关系及应用。 互动探究： 一、课堂探究： 1、情境引入——类比引入 思考：实数有相等关系、大小关系，如55,57,53=<>，等等，类比实数之间的关系，可否拓展到集合之间的关系？任给两个集合，你能否发现每组的前后两个集合的相同元素或不同元素吗?这两个集合有什么关系？ 注意：这里可关系两个数学思想，分别是特殊到一般的思想，类比思想 探究一、观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==； （2）设A 为新华中学高一（2）班全体女生组成的集合，B 为这个班全体学生组成的集合； （3）设{|}={|}C x x D x x =是两条边相等的三角形，是等腰三角形。 可以发现，在（1）中，集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素。这时，我们就说集合A 与集合B 有包含关系。（2）中集合A ,B 也有类似关系。 2、子集的概念：集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，记作B A ?或A B ?。图示如下符号语言：任意x A ∈，都有x B ∈。读作：A 包含于B ，或B 包含A.当集合A 不包含于集合B 时，记作：A B ? 注意：强调子集的记法和读法； 3、关于Venn 图：在数学中，我们经常用平面上封闭的曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.这样，上述集合A 与B 的包含关系可以用右图表示 自然语言：集合A 是集合B 的子集 1.1.2 集合间的基本关系 一、选择题 1、满足条件{1,2,3}?≠ M ?≠ {1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A 、8 B 、7 C 、6 D 、5 2、若集合{}0|2≤=x x A ，则下列结论中正确的是（ ） A 、A=0 B 、A ?0 C 、?=A D 、A ?? 3、下列五个写法中①{}{}2,1,00∈，②{}0≠ ??，③{}{}0,2,12,1,0?，④?∈0， ⑤?=? 0，错误的写法个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、若集合}1|{},2|{-= ===-x y y P y y M x ，则P M 等于_____ A 、 }1|{>y y B 、}1|{≥y y C 、}0|{>y y D 、}0|{≥y y 5、不等式组?????<-<-0 30 122x x x 的解集是_____ A 、 }11|{<<-x x B 、 }30|{< 9、已知集合A ＝｛x ∈R ｜x 2+2ax+2a 2 -4a+4＝0｝，若φA ，则实数a 的取值是 10、已知集合A ＝｛x ∈N *｜2 6+x ∈Z ｝，集合B ＝｛x ｜x ＝3k+1,k ∈Z ｝，则 A 与B 的关系是 11、已知A ＝｛x ｜x ＜3}，B ＝｛x ｜x ＜a } (1)若BA ，则a 的取值范围是______ (2)若AB ，则a 的取值范围是______ 12、若｛1，2，3｝A ｛1，2，3，4｝，则A ＝______ 三、解答题 13、设A ＝｛x ｜x 2－8x ＋15＝0｝，B ＝｛x ｜ax －1＝0｝，若BA ，求实数a 组成的集合、 14、已知A ＝｛x ，xy ，1n(xy)｝，B ＝｛0，｜x ｜，y ｝，且A ＝B 。求x ，y 的值。 15、已知M={x | x 2 -2x-3=0},N={x | x 2 +ax+1=0,a ∈R},且N ? ≠M,求a 的取值范围、 一、选择题 1．对于集合A ，B ，“A ?B ”不成立的含义是( ) A ． B 是A 的子集 B ．A 中的元素都不是B 的元素 C ．A 中至少有一个元素不属于B D ．B 中至少有一个元素不属于A [答案] C [解析] “A ?B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C. 2．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}那么( ) A ．P M B ．M P C ．M ＝P D ．M P [答案] C [解析] 由xy >0知x 与y 同号，又x ＋y <0 ∴x 与y 同为负数 ∴??? x ＋y <0xy >0等价于????? x <0y <0∴M ＝P . 3．设集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |x 是不大于3的自然数}，A ?C ，B ?C ，则集合C 中元素最少有( ) A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 [答案] C [解析] A ＝{－1,1}，B ＝{0,1,2,3}， ∵A ?C ，B ?C ， ∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素－1,0,1,2,3，故C 中至少有5个元素． 4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ?A ，则满足条件的实数x 的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] ∵B ?A ，∴x 2∈A ，又x 2≠1 ∴x 2＝3或x 2＝x ，∴x ＝±3或x ＝0.故选C. 5．已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R }和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R }，则两个集合间的关系是( ) A ．M P B ．P M C ．M ＝P D ．M 、P 互不包含 [答案] D [解析] 由于两集合代表元素不同，因此M 与P 互不包含，故选D. 6．集合B ＝{a ，b ，c }，C ＝{a ，b ，d }；集合A 满足A ?B ，A ?C .则满足条件的集合A 的个数是( ) A ．8 B ．2 C ．4 D ．1 [答案] C [解析] ∵A ?B ，A ?C ，∴集合A 中的元素只能由a 或b 构成．∴这样的集合共有22＝4个． 即：A ＝?，或A ＝{a }，或A ＝{b }或A ＝{a ，b }． 7．设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M N D ．M 与N 的关系不确定 [答案] B [解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得 M ＝{…－34，－14，14，34，54…}， N ＝{…0，14，12，34，1…}， ∴M N ，故选B. 解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4 ＋12＝k ＋24(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B. [点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若 1.1.2集合间的基本关系 一、选择题 1．对于集合A ，B ，“A ?B ”不成立的含义是( ) A ． B 是A 的子集 B ．A 中的元素都不是B 的元素 C ．A 中至少有一个元素不属于B D ．B 中至少有一个元素不属于A [答案] C [解析] “A ?B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C. 2．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}那么( ) A ．P M B ．M P C ．M ＝P D ．M P [答案] C [解析] 由xy >0知x 与y 同号，又x ＋y <0 ∴x 与y 同为负数 ∴??? x ＋y <0 xy >0等价于??? x <0 y <0∴M ＝P . 3．设集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |x 是不大于3的自然数}，A ?C ，B ?C ，则集合C 中元素最少有( ) A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 [答案] C [解析] A ＝{－1,1}，B ＝{0,1,2,3}， ∵A ?C ，B ?C ， ∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素－1,0,1,2,3，故C 中至少有5个元素． 4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ?A ，则满足条件的实数x 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] ∵B ?A ，∴x 2∈A ，又x 2≠1 ∴x 2＝3或x 2＝x ，∴x ＝±3或x ＝0.故选C. 5．已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R }和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R }，则两个集合间的 集合间的基本关系 姓名：__ __________ 一、 选择题 1.集合}{Z x x x A ∈<≤=且30的真子集 的个数为 （ ） A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知集合}{{x B x x A =<<-=,21 }1 0< 第一课元素与集合之间的关系 、考点 1、 集合、元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合（常用大写字母表示），其中每一个对 象叫做元素（常用小写字母表示）。 元素三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 集合与元素之间的关系 （1） 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ,记做a A 。 （2） 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ,记做a A 。 3、 集合的表示法：列举法、描述法 4、 集合的分类：空集、有限集、 5、 常用数集 实数集：R 有理数 集： 整数集：Z 自然数集： 正整数集: 6集合与集合之间的关系 7、集合之间的运算 、典型例题 o 无限集 A 、( 0,2 ) B 、[0,2] C {0,2} D 、 {0,1,2} 2、设 P = {1,2,3,4} , Q= {4,5,6,7,8}, 定义 P*Q = {(a , b)|a € 中兀素的个数为（ ) A. 4 B .5 C 19 D .20 3、已知集合A={ (x , y ) |x , y 为实数， 且x 2 y 2 1} , B={(: y=x}，则 A B 的兀素个数为（） A 、0 B 、1 C 、 2 D 、3 4、设集合A x x-a 1, x R , B x x -b 2, x R , 必满足（ ) |x , y 为实数，且 B ，则实数a , b a-b a-b 5、已知集合A Rx 2 ，集合 B x R x -m x-2 0 ，且 A B -1, n ，则m 1 已知集合 A={x||x| < 2, x R}, 3 A B P , b € Q a 工 b}，贝U P*Q x , y ) 若A a b a b 3 B={x| 、、x w 4, x Z}，则 A B=() 元素与集合之间的基本 关系 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 第一课 元素与集合之间的关系 一、考点 1、集合、元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合（常用大写字母表示），其中每一个对象叫做元素（常用小写字母表示）。 元素三要素：确定性、互异性、无序性。 2、集合与元素之间的关系 （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记做a ∈A 。 （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记做a ?A 。 3、集合的表示法：列举法、描述法。 4、集合的分类：空集、有限集、无限集 5、常用数集 实数集：R 有理数集：Q 整数集：Z 自然数集：N 正整数集：*N 或+N 6、集合与集合之间的关系 7、集合之间的运算 二、典型例题 1、已知集合A={x||x|≤2，x ∈R}，B={x|x ≤4，x ∈Z}，则A B=（） A 、（0,2） B 、[0,2] C 、{0,2} D 、{0,1,2} 2、设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q ＝{(a ，b)|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b}，则P*Q 中元素的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．19 D ．20 3、已知集合A={（x ，y ）|x ，y 为实数，且1y x 22=+}，B={（x ，y ）|x ，y 为实数，且 y=x}，则A B 的元素个数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 4、设集合{}R A ∈<=x 1a -x x ，，{} R B ∈>=x 2b -x x ，，若B A ?，则实数a ，b 必满足（ ） A 、3b a ≤+ B 、3b a ≥+ C 、3b -a ≤ D 、3b -a ≥ 2.集合与集合的关系练习题 班学生 1．下列六个关系式，其中正确的有() ①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}?{b，a}；③?＝{?}；④{0}＝?；⑤?{0}；⑥0∈{0}． A．6个B．5个C．4个D．3个及3个以下 2．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是() A．对任意的a∈A，都有a?B B．对任意的b∈B，都有b∈A C．存在a0，满足a0∈A，a0?B D．存在a0，满足a0∈A，a0∈B 3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是() A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤2 4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________． 5．如果A＝{x|x>－1}，那么() A．0?A B．{0}∈A C．?∈A D．{0}?A 6．已知集合A＝{x|－1 1.1.2《集合间的基本关系》同步练习题 1．集合A ＝{x ｜0≤x ＜3且x ∈Z}的真子集的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．在下列各式中错误的个数是( ) ①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}?{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1} A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知集合A ＝{x ｜－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜1}，则( ) A ．A > B B ．A =B C ．B A D ．A ?B 4．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若? A ，则A ≠?．其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．集合{a ，b }的子集有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．满足条件{1,2,3}M {1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 7．下列各式中，正确的是( ) A ．23∈{x ｜x ≤3} B ．23?{x ｜x ≤3} C ．23?{x ｜x ≤3} D ．{23}∈{x ｜x ≤3} 8．若集合A =｛x ｜x 2≤0｝，则下列结论中正确的是（ ） A ．A =0 B ．A ?0 C ．A =φ D ．φ?A 9．集合M ＝{x ｜x 2＋2x ﹣a =0，x ∈R}，且φM ，则实数a 的范围是（ ） A ．1-≤a B ．1≤a C ．1-≥a D ．1≥a 10．集合B ＝{a ,b ,c }，C ＝{a ,b ,d }，集合A 满足A ?B ，A ?C ，则集合A 的个数是________． 11．若｛1,2,3｝A ?｛1,2,3,4｝，则A ＝__________________． 12．已知?{x ｜x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 13．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3,m 2}，若B ?A ，则实数m ＝________． 14．已知集合A ＝｛x ∈R ｜x 2＋2ax ＋2a 2－4a ＋4＝0｝，若φ A ，则实数a 的取值是____________． 15．已知集合A ＝｛x ∈N *｜2 6+x ∈Z ｝，集合B ＝｛x ｜x ＝3k ＋1，k ∈Z ｝，则A 与B 的关系是_________． 16．已知A ＝｛x ｜x ＜3}，B ＝｛x ｜x ＜a }． (1)若B ?A ，则a 的取值范围是____________． (2)若A B ，则a 的取值范围是____________． 信达雅教育内部教案（教师版） 一、集合 1.2 集合的基本关系与基本运算 学习目标： 1.了解集合之间包含关系的意义. 2.理解子集、真子集的概念. 3.了解全集的意义,理解补集的概念. 1.2.1集合的基本关系 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B == PS ：A 是b 的子集，但4属于B ，不属于A ，满足定义 (2)设A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合 (3){2,4,6},{6,4,2}E F ==. PS ：首先来学习子集 （1）子集 一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集. 记作：()A B B A ??或 读作：A 含于B(或B 包含A) PS ：看实例（1）和实例（2），谁是谁的子集？ PS ：注意符号的方向不要搞错，开口处为大。 (2)集合相等与真子集 （2）空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作?，并规定：空集是任何集合的子集。 （3）用韦恩图表示集合 为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。 如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图. 图l ()A B B A ??或 图2 B A = （4）集合的一些基本结论： 1）任何一个集合是它本身的子集。即 A A ?；（根据定义说明） 2）对于集合A,B,C,如果。，那么，且C A C B B A ??? PS ：板书说明 例：{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==6}5432{1C ,，，，，，= 接下来看例题： 例：写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 解:集合{a,b}的所有子集为?，{a}，{b}，{a,b}。真子集为?，{a}，{b}。 PS:不要漏掉，空集是任何集合的子集 练习： 1．写出集合{,,}a b c 的所有子集． 解：按子集元素个数来分类， 不取任何元素，得?； 取一个元素，得{},{},{}a b c ； 取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ， 即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ?． 拓展：子集个数的计算 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集，含有2n -1个非空子集，含有2-2n 个非空真子集 2．用适当的符号填空： （1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2 {|0}x x =； （3）?______2 {|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ； （5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2 {|320}x x x -+=． （1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素； （2）20{|0}x x ∈= 2 {|0} {0} x x ==； （3）2{|10}x R x ?=∈+= 方程2 10x +=无实数根，2 {|10}x R x ∈+==?； （4）{0,1}N （或{0,1}N ?） {0,1} 是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0} 2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ?=） 2{|}{0,1} x x x ==； （6）2 {2,1}{|320}x x x =-+= 方程2 320x x -+=两根为121,2x x ==． 集合间的基本关系 教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系 了解空集的含义 课 型：新授课 教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义； （2）理解子集、真子集的概念； （3）能利用Venn 图表达集合间的关系； （4）了解与空集的含义。 教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。 教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别； 教学过程： 一、 引入课题 1、 复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白： （1）0 N ；（2）2 Q ；（3）-1.5 R 2、 类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题） 二、 新课教学 （一） 集合与集合之间的“包含”关系； A={1，2，3}，B={1，2，3，4} 集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ； 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。 记作：)(A B B A ??或 读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系 )(A B B A ??或 ? B A （二） 集合与集合之间的 “相等”关系； A B B A ??且，则B A =中的元素是一样的，因此B A = 即 ? ?????=A B B A B A 练习 结论： 任何一个集合是它本身的子集 （三） 真子集的概念 若集合B A ?，存在元素A x B x ?∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。 记作： A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ） 举例（由学生举例，共同辨析） （四） 空集的概念 （实例引入空集概念） 不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：? 规定： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （五） 结论： ○1A A ? ○2B A ?，且C B ?，则C A ? （六） 例题 （1）写出集合{a ，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。 （2）化简集合A={x|x-3>2},B={x|x ≥5}，并表示A 、B 的关系； （七） 课堂练习 （八） 归纳小结，强化思想 两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法； 集合间的基本关系作业文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688] 1.1.2集合间的基本关系 一、选择题 1．对于集合A，B，“AB”不成立的含义是( ) A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A 2．集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}，P＝{(x，y)|x<0，y<0}那么( ) A．P?M B．M?P C．M＝P D．M P 3．设集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x是不大于3的自然数}，AC，BC，则集合C中元素最少有( ) A．2个B．4个C．5个D．6个 4．若集合A＝{1，3，x}，B＝{x2，1}且BA，则满足条件的实数x的个数是( ) A．1 B．2C．3 D．4 5．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是( ) A．M?P B．P?M C．M＝P D．M、P互不包含 6．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}；集合A满足AB，AC.则满足条件的集合A的个数是( ) A．8 B．2C．4 D．1 7．设集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则( ) A．M＝N B．MN C．M?N D．M与N的关系不确定 8．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是( ) A．16 B．8C．7 D．4 9．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是( ) 10．如果集合A满足{0,2}A{－1,0,1,2}，则这样的集合A个数为( ) A．5 B．4C．3 D．2 二、填空题 11．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{矩形}，E＝{多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系是________． 12．集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，则集合M与集合P 的关系为________． 13．用适当的符号填空．(∈，，，，，，＝) a________{b，a}；a________{(a，b)}； {a，b，c}________{a，b}；{2,4}________{2,3,4}； ________{a}． 集合的基本关系及运算 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义． 2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 【要点梳理】 要点一、集合之间的关系 1.集合与集合之间的“包含”关系 集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ； 子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)??或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)??或 要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ?B (或B ?A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含 A ”）． 真子集：若集合A B ?，存在元素x ∈B 且x A ?，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A) 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系 A B B A ??且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B 要点诠释： 任何一个集合是它本身的子集，记作A A ?． 要点二、集合的运算 1.并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 1.1.2 集合间的基本关系 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）理解集合之间包含和相等的含义； （2）能识别给定集合的子集； （3）能使用Venn图表达集合之间的包含关系。 2、过程与方法 （1）通过复习元素与集合之间的关系，对照实数的相等与不相等的关系联系元素与集合的从属关系，探究集合之间的包含与相等关系； （2）初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。 3、情感、态度、价值观 （1）了解集合的包含、相等关系的含义，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义。 （2）探索利用直观图示（Venn图）理解抽象概念，体会数形结合的思想。 二、重点、难点： 重点：（1）帮助学生由具体到抽象地认识集合与集合之间的关系——子集； （2）如何确定集合之间的关系。 难点：集合关系与其特征性质之间的关系。 三、教学过程： 1、新课引入 问题1：元素与集合有“属于”、“不属于”的关系；数与数之间有“相等”、“不相等”的关系；那么集合与集合之间有什么样的关系呢？ 2、概念的形成 问题1的探究： 具体实例1：看下面各组中两个集合之间有什么关系 （1）A＝{1，2，3}， B＝{1，2，3，4，5} （2）A={菱形}， B＝{平行四边形} 1 2 （3）A={x|x>2}， B={x|x>1} （学生分组讨论） ....... 大家分析的都很好，能抓住问题的核心，从元素看集合。那么在第3组中出现了两个不等式，我们可以借助于数轴进而看到它们的关系（黑板画数轴表示集合）。 具有这样关系的两个集合如何准确的用数学语言表述呢？ （1）子集的定义： 文字语言：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集。 符号语言：B A ?或A B ?。 这种图称为Venn 图. 练习1、用适当的符号填空： 0 {0}， {正方形} {矩形}，三角形 {等边三角形} {梯形} {平行四边形}，{x|-11.2集合间的基本关系及运算
《集合间的基本关系》教学设计(精品)
1.2集合的基本关系与基本运算(学生版)
2集合间的基本关系
1.1.2--集合间的基本关系教案
1.1.2 集合间的基本关系(2)
集合间的基本关系试题(含答案)
1.1.2集合间的基本关系练习题
集合间的基本关系练习题
元素与集合之间的基本关系
元素与集合之间的基本关系
2.集合间的基本关系练习题
1.1.2《集合间的基本关系》同步练习题
1.2集合的基本关系与基本运算(教师版)
集合之间的关系
集合间的基本关系作业
集合的基本关系及运算
集合间的基本关系教案