微积分基本定理教案
1.6微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理 的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 设()()F x f x '=则在[,]a b 上，⊿y=()()F b F a - 将[,]a b 分成n 等份，在第i 个区间[x i-1,x i ]上，记⊿yi=F(x i )-F(x i-1),则 ⊿y=∑⊿y i 如下图，因为⊿h i =f(x i-1) ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以 ⊿y ≈∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x 故
微积分基本定理 教案
微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基 本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差
高中数学16微积分基本定理(教案)
三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?
微分学的基本定理
微分学的基本定理 【费马（Fermat）定理】 若(i)函数)(x f 在0x 点得某一邻域),(0δx O 内有定义，并且在此邻域内恒有 )(x f )(0x f ≤， 或者)(x f )(0x f ≥； （ii）函数)(x f 在0x 点可导， 则有 0)(0='x f 证明我们对)(x f 的情形给出假设证明.由于假设)(0x f '存在，按定义，也就是 +'f （0x ）=-'f （0x ）=f '(0x ), 另一方面，由于)(x f )(0x f ≤，所以对（δ+00,x x ）内的各点x ，有 ≤--0 0)()(x f x f 0；而对（00,x x δ-）内的各点x ，有 0)()(0 0≥--x f x f .再由极限性质得 )(0x f '=+'f （0x ）=lim 0+→o x x ≤--00)()(x x x f x f 0，)(0x f '=-'f （0x ）=lim 0 -→o x x 0)()(00≥--x x x f x f .而)(0x f '是一个定数，因此它必须等于零，即)(0x f '=0. 对于)(x f )(0x f ≥的情形，也可相仿证明. 这个定理的几何意义是：如果曲线)(x f y =在0x 点具有极大值（也就是函数)(x f 在0x 点的值不小于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值）或者曲线)(x f y =在0x 点具有极小值（也就是函数)(x f 在0x 点的值不大于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值），并且曲线
)(x f y =在0x 点具有切线l ,那么，费马定理就表明了切线l 必为水平线. 【拉格朗日（Lagrange）中值定理】 这个定理也称为微分学的中值定理，它是微分学中的一个很重要的定理. 若函数)(x f 满足 （i） 在[]b a ,连续；（ii）在（b a ,）可导， 则在（b a ,）内至少存在一点ξ，使 )(ξf '=a b a f b f --)()(.这个定理从几何图形上看是很明显的.画出[]b a ,上的一条曲线)(x f y =，连接A,B 两点，作弦AB，它的斜率是 = ?tan a b a f b f --)()(.下面对此定理给以证明. 证明不妨假设)(x f 在[]b a ,上不恒为常数.因为如果)(x f 恒为常数，则0)(='x f 在(b a ,)上处处成立，这时定理的结论是明显的. 由于)(x f 在[]b a ,连续，由闭区间连续函数的性质，)(x f 必在[]b a ,上达到其最大值M 和最小值m，我们分两种情形来证明. (1)考虑特殊情形，)()(b f a f =.由于)(x f 不恒为常数，所以此时必有M >m,且M 和m 中至少有一个不等式.这时根据闭区间上连续函数的性质，在（b a ,）内至少有一点ξ，使得))(()(m f M f ==ξξ或者，于是对（b a ,）内任一点x ，必有 )) ()()(()(ξξf x f f x f ≥≤或于是由费马定理，即得 0)(='ξf . 而此时0)()(=-a f b f ，这就证明了定理成立. 对于这样特殊情况的中值定理，也叫【罗尔（Rolle）定理】. (2)考虑一般情形，)()(b f a f ≠.此时，作辅助函数[] 1
人教A版导学案-微积分基本定理.doc
导学案：微积分基本定理 学习目标 1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分. 2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法. 教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 教学难点：了解微积分基本定理的含义. 一、自主学习： 1.定积分的定义：， 2.定积分记号： _____________________________________________ 思想与步骤_________________________________________ 几何意义. __________________________________________ '(x2+i)rfx= r(公)吹= 3.用微积分基本定理求定积分j ( 二、新知探究 新知1:微积分基本定理： 背景：我们讲过用定积分定义计算定积分，但如果要计算么，其计算过程比较复杂，所以不是Jo Jl X 求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 探究问题1：变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为s(t),速度为v(t) ( v(r)>^), 则物体在时间间隔［T^T2］内经过的路程记为S ,则 一方面：用速度函数v(t)在时间间隔(7；,7；］求积分，可把路程S = S=V 另一方面：通过位置函数S (t)在［7；,%］的图像看这段路程S还可以表示为S(7；) — S(&) 探究问题2： 位置函数S (t)与某一时刻速度函数v (t)之间的关系式为 S'Q) = v(z) 上述两个方面中所得的路程S可表达为 ) \\(t)dt = S = S^)-S(T 2 上面的过程给了我们启示 上式给我们的启示：我们找到了用/3)的原函数(即满足F\x) = /(x))的数值差F(b) — F0)来计算/(%)在［a.b］上的定积分的方法。 定理如果函数F(x)是上的连续函数/3)的任意一个原函数，则 该式称之为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一?种有效方法。
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a2，c ＝??02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c微积分基本定理导学案
课题：1.6微积分基本定理 一、学习目标 1.通过实例直观了解微积分积分定理的含义. 2.熟练地用微积分积分定理计算微积分. 二、教学重难点 教学重点：理解微积分基本定理的含义，并能用定理计算简单的定积分．教学难点：理解微积分基本定理的含义． 自学指导自学检测及课堂展示 阅读课本 54 - 51 P完成右框内容1.复习定积分的性质 ① b a kf(x)dx= ? . ② b 12 a [f(x)f(x)]dx= ± ? . ③ b a f(x)dx= ? . 2.微积分基本定理 (1)一般地，如果) (x f是区间[]b a,上的连续函数并且)( ) (x f x F= ',那么= ?b a dx x f) (___________ .这个结论叫做微积分基本定理，也叫做. (2)符合表示：= ?b a dx x f) (= . 【即式训练1】用微积分基本定理求简单函数的定积分． （1） 12 x dx ?；（2）()dx x x ?- 1 22； （3）?102dx e x （4）?- - 2 2) 4 )( 2 4(dx x x 【变式训练1】计算下列定积分:?π0sin xdx,?ππ2sin xdx,?π20sin xdx. 由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论. 3：用微积分基本定理求分段函数的定积分
A层 1．下列积分正确的是( ) 2.dx x ?-- 1 1 2 1等于( ) A. 4 π B. 2 π C.π D.π2 B层 3.dx x ?11-等于( ) A. ?11-xdx B. dx ?11- C. ?-01-) (dx x＋?10xdx D. ?01-xdx＋?-10) (dx x C层 5.已知?--= - a a dx x8 )1 2(,求a的值. 【即时训练2】.求函数 3(01) () (14) x x f x x x ?≤≤ ? =? <≤ ?? 在区间[0,4]上的积分.
定积分与微积分基本定理1
第23练 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1．(2016·安徽示范高中联考)??1 e ? ????2x ＋1x d x 等于( ) A ．e 2 －2 B ．e －1 C ．e 2 D ．e ＋1 2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.1 2g B ．g C.32 g D ．2g 3．(2016·江西师大附中期末)若? ?1 2(x －a )d x ＝∫π 40cos 2x d x ，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4 4.(2016·淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2 －1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( ) A .??02|x 2 －1|d x B.???? ??02(x 2 －1)d x C.??0 2(x 2 －1)d x D.??01(x 2 －1)d x ＋??1 2(1－x 2 )d x
5．(2016·天津蓟县期中)由直线y ＝x 和曲线y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 6．(2016·辽宁师大附中期中)定积分??0 1x (2－x )d x 的值为( ) A.π4 B. π2 C ．π D ．2π 7．(2016·山西四校联考)定积分??-2 2|x 2 －2x |d x 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8．若函数f (x )，g (x )满足? ?1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组 正交函数．给出三组函数： ①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2 . 其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题 9．(2016·江西高安二中段考)已知? ?a －a(sin x ＋3x 2 )d x ＝16，则正实数a 的值为________． 10．(2017·德州月考)如图，已知点A ? ?? ??0，14，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2 上，若阴影 部分面积与△OAP 面积相等，则x 0＝________. 11．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2 ＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ；力的单位：N)． 12．(2016·洛阳统考)用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的较小的数，设f (x )＝min{x 2 ，x }，那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝1 2和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为 ________.
微积分基本定理
微积分基本定理(教案)(总4 页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积 分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？
《142微积分基本定理》导学案5.doc
《1?4?2微积分基本定理》导学案5 【课标转述】 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义。 【学习目标】 1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 【学习过程】 一、复习： 定积分的概念： 用定义计算定积分方法步骤： 二、新课探究： 我们讲过用定积分定义计算定积分，但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较-?般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之I、可的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为s(t),速度为V(t)(v(r)>
I f(x)dx = F(b) — F(ci) J a 若上式成立，我们就找到了用f(力的原函数(即满足^，(劝二广(兀))的数值差 F(b) —F(G)来计算/(x)在［a,b］上的定积分的方法。 注：1、定理如果函数F(X)是⑺小］上的连续函数f(劝的任意一个原函数，则f(x)dx = F(b) — F(a) 2、为了方便起见,还常用尸(兀)『表示F(b)_F(a)，即 b > f(x)dx = F(x)^=F(b)-F(a) 该式称之为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分Z间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1 ?计算下列定积分： ⑵『(2—加 J1 X 解：(1) (2) 例2.计算下列定积分： J。sin AZ Z X J sin AZ Z T, J()sin xdx 由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的血积表示所发现的结论。 解： 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0: (1 )当对应的曲边梯形位于x轴上方时(图1 ),定积分的值取正值，且等于曲边梯 形的面积;
《微积分基本定理》导学案
sx-14-(2-2)-026 1.6《微积分基本定理》导学案 编写：刘威 审核：陈纯洪 编写时间:2014.5.13 班级＿＿＿＿＿组名＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿等级＿＿＿＿＿＿＿ 【学习目标】 1. 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分； 2. 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 【重点与难点】： 重点：微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式及其运用 难点：微积分基本定理的含义 【知识链接】 知识点一：微积分基本定理 自学教材 51—53页.探究一下导数和定积分的联系
). 知识点二：利用微积分基本定理求定积分 阅读教材53-54，完成下列问题
()()1 3222 20111::1;22;(3)(2cos sin 1)dx x dx x x dx x x π --?? -+- ?? ?? ??例计算下列定积分 202:,()f x dx ≤≤??≤? ?2x 0x 1 例设f(x)=求5 1微积分基本定理教案
微积分基本定理教案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含 义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 设()()F x f x '=则在[,]a b 上，⊿y=()()F b F a - 将[,]a b 分成n 等份，在第i 个区间[x i-1,x i ]上，记⊿yi=F(x i )-F(x i-1),则 ⊿y=∑⊿y i 如下图，因为⊿h i =f(x i-1) ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以 ⊿y ≈∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x 故 ⊿y=lim ∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x= ?b a dx x f )( 即?b a dx x f )(=()()F b F a -
人教新课标版数学高二-2-2导学案 1.6 微积分基本定理
1.6 微积分基本定理 （结合配套课件、作业使用，效果更佳） 周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名 【学习目标】 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分． 重点：会利用微积分基本定理求函数的积分． 难点：直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答. 【自主学习】 知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式) 思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则?10 (2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？ 思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )? 1．微积分基本定理 (1)条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且 ； (2)结论：?b a f (x )d x ＝ ； (3)符号表示：?b a f (x )d x ＝ ＝ 2．常见的原函数与被积函数关系 (1)?b a C d x ＝Cx |b a (C 为常数)． (2)?b a x n d x ＝ ??1n ＋1x n ＋1b a (n ≠－1)． (3)?b a sin x d x ＝－cos x |b a . (4)?b a cos x d x ＝sin x |b a . (5)?b a 1x d x ＝ln x |b a (b >a >0)． (6)?b a e x d x ＝e x |b a . (7)?b a a x d x ＝ ??a x ln a b a (a >0且a ≠1)． (8)?b a x d x ＝ ???23x 3 2b a (b >a >0)． 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系 思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？ 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则?b a f (x )d x ＝ (2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则?b a f (x )d x ＝
最新214定积分与微积分的基本定理-副本
214定积分与微积分的基本定理-副本
第十四节定积分与微积分基本定理 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背 景，了解定积分的基本思 想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解．如2012年江西T11等． 3.考查曲边梯形面积的求解．如2012年湖北T3， 山东T15，上海T13等． 4.与几何概型相结合考查．如2012年福建T6等. [归纳·知识整合] 1．定积分 (1)定积分的相关概念 在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x ＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质 ①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x.
[探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫b a f (t )d t 是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？ 提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理 如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )， 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F (b )－F (a )F (x )|b a ，即 ∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )． [自测·牛刀小试] 1.∫421x d x 等于( ) A ．2ln 2 B ．－2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 解析：选D ∫421x d x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( ) A.176 B.14 3 C.136 D.116 解析：选A S ＝∫21(t 2 －t ＋2)d t ＝ ???? ??13t 3－12t 2＋2t 21＝176. 3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________． 解析：∫20x 2 d x ＝13x 3 |20＝83. 答案：83 4．(教材改编题)∫101－x 2 d x ＝________.
