2020年山东省东营中考数学试卷(附答案与解析)

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）

绝密★启用前

2020年山东省东营市初中学业水平考试

数 学

（总分120分 考试时间120分钟）

注意事项：

1.试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题30分；第Ⅱ卷为非选择题90分；本试题共8页.

2.数学试题答题卡共8页，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回.

3.第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD 】涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案，第Ⅱ卷按要求用0.5mm 碳素笔答在答题卡的相应位置上.

第Ⅰ卷（选择题 共30分）

一、选择题：本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。

1.6-的倒数是

（ ） A .6

B .1

6

C .16

- D .6- 2.下列运算正确的是

（ ）

A .()

2

3

5x x =

B .()2

22x y x y -=+ C .2323522x y xy x y -?=-

D .()33x y x y -+=-+

3.利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板显

示的结果为

（ ） A .2- B .2 C .2± D .4 4.如图，直线AB CD 、相交于点O ，射线OM 平分BOD ∠，若42AOC ∠=?，则AOM

∠等于

（ ）

A .159?

B .161?

C .169?

D .138? 5.如图，随机闭合开关1S ，2S ，3S 中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为

（ ）

A .

2

3

B .

12 C .1

3 D .16 6.如图，已知抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B 、两点，其对称轴与x

轴交于点C ，其中A 、C 两点的横坐标分别为1-和1，下列说法错误的是 （ ）

A .0abc ＜

B .40a c +=

C .1640a b c ++＜

D .当2x ＞时，y 随x 的增大而减小 7.用一个半径为3，面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥

的底面半径为

（ ）

A .π

B .2π

C .2

D .1

8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为

（ ）

A .96里

B .48里

C .24里

D .12里

9.如图1，点P 从ABC

△顶点A 出发，沿A B C →→匀速运动到点C ，图2是点P

运动时线段CP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中点Q 为曲线部分的最低点，则ABC △的边AB 的长度为

（ ）

-------------在------------------

此------------------

卷------------------

上-------------------

答-------------------

题-------------------

无-------------------

效-------------

---

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________

数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）

A .12

B .8

C .10

D .13

10.如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A B 、重合），对角线AC BD 、相交于点O ，过点P 分别作AC BD 、的垂线，分别交AC BD 、于点E F 、，交

AD BC 、于点M N 、．下列结论：①APE AME △≌△；②PM PN AC +=；③

222PE PF PO +=；④POF BNF △∽△；⑤点O 在M N 、两点的连线上．其中正确

的是

（ ）

A .①②③④

B .①②③⑤

C .①②③④⑤

D .③④⑤

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4

分，共28分只要求填写最后结果。

11.2020年6月23日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于0.00000002秒，则0.00000002用科学记数法表示为________． 12.因式分解：22123a b -=________． 13.

某校女子排球队队员的年龄分布如下表：年龄 13 14 15 人数

4

7

4

则该校女子排球队队员的平均年龄是________岁．

14.已知一次函数y kx b =+的图象经过()1,1A -，()1,3B -两点，则k ________0（填“＞”或“＜”）

15.如果关于x 的一元二次方程260x x m -+=有实数根，那么m 的取值范围是________．

16.如图，P 为平行四边形ABCD 边BC 上一点，E F 、分别为PA PD 、上的点，且

3PA PE =，3PD PF =，PEF △，PDC △，PAB △的面积分别记为12S S S 、、．若

2S =，则12S S +=________．

17.如图，在Rt AOB △中，23OB =，30A ∠=?，O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作O 的一条切线PQ （其中点Q 为切点），则线段PQ 长度的最小值为________．

18.如图，在平面直角坐标系中，已知直线1y x =+和双曲线1y x

=-

，在直线上取一点，记为1A ，过1A 作x 轴的垂线交双曲线于点1B ，过1B 作y 轴的垂线交直线于点2A ，过2A 作x 轴的垂线交双曲线于点2B ，过2B 作y 轴的垂线交直线于点3,A ……，依次进

行下去，记点n A 的横坐标为n a ，若12a =，则2020a =________．

三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤。

19.（本题满分8分，第（1）题4分，第（2）题4分）

数学试卷 第5页（共18页）

数学试卷 第6页（共18页）

（1）计算：()

2

2020

1272603232cos -??

+--+ ???

； （2）先化简，再求值：222

2

2xy y x y x x x xy

?? ???---÷+，其中21x =+，2y =． 20.（本题满分8分）

如图，在ABC △中，以AB 为直径的O 交AC 于点M ，

弦MN BC ∥交AB 于点E ，且3ME =，4AE =，5AM =．

（1）求证：BC 是O 的切线； （2）求O 的直径AB 的长度．

21.（本题满分8分）

如图，C 处是一钻井平台，位于东营港口A 的北偏东60方向上，与港口A 相距602

海里，一艘摩托艇从A 出发，自西向东航行至B 时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC 方向行进，此时C 位于B 的北偏西45?方向，则从B 到达C 需要多少小时？

22.（本题满分8分）

东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表． 作业情况 频数 频率

非常好 ________

0.22

较好 68

________ 一般 ________

________ 不好

40

________

请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样共调查了多少名学生？ （2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上；

（3）若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？

（4）某学习小组4名学生的作业本中，有2本“非常好”（记为12A A 、

（，本“较好”（记为B ），本“一般”（记为C ），这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率． 23.（本题满分8分）

2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两

型号

价格（元/只（ 项目

甲 乙

成本 12

4

售价

18

6

（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别

是多少万只？

（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．

24.（本题满分10分）

如图，抛物线2

34y ax ax a =--的图象经过点()0,2C ，交x 轴于点A B 、 （点A 在

点B 左侧（，连接BC ，直线()10y kx k =+＞与y 轴交于点D ，与BC 上方的抛物线交于点E ，与BC 交于点F ．

（1）求抛物线的解析式及点A B 、的坐标； （2）

EF

DF

是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

-------------在------------------

此------------------

卷------------------

上-------------------

答-------------------

题-------------------

无-------------------

效-------------

---

_ 考生号________________

数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）

25.（本题满分12分）

如图1，在等腰三角形ABC 中，120A ∠=，

AB AC =点D E 、分别在边AB AC 、上，AD AE =，连接BE ，点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点．

（1）观察猜想

图1中，线段NM NP 、的数量关系是____，MNP ∠的大小为_____； （2）探究证明

把ADE △绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP BD CE 、、，判断

MNP △的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把ADE △绕点A 在平面内自由旋转，若1AD =，3AB =，请求出MNP △面积的最大值．

数学试卷 第9页（共18页）

数学试卷 第10页（共18页）

2020年山东省东营市初中学业水平考试

数学答案解析

第Ⅰ卷

一、

1.【答案】C

【解析】1

6()16

-?-=，故选C ．

2.【答案】C

【解析】A .326()x x =，故此选项错误，B .222()2x y x xy y -=-+，故此选项错误，C .2323522x y xy x y -?=-，故此选项正确，D .(3)3x y x y -+=--，故此选项错误。答案故选C ． 3.【答案】B

【解析】的算术平方根42=，故选：B ． 4.【答案】A

【解析】由题意可知：180********AOD AOC =?-∠=?-?=?，

18042BOD AOD ∴∠=?-∠=?，又OM 是BOD ∠的角平分线，

1

212

DOM BOD ∴=∠=?，21138159AOM DOM AOD ∴∠=∠+∠=?+?=?．故

选：A ． 5.【答案】C

【解析】根据题意画出树状图如下：

共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，

()21

=63

P ∴两盏灯泡同时发光，故选C .

6.【答案】B

【解析】开口向下，与y 轴交点在正半轴0a ∴＜，0c ＞.

A ，C 两点的横坐标分别

为1-和1，0a b c ∴-+=，12b

a

-

=，20b a ∴=-＞，(2)0a a c --+=，30a c ∴+=，0abc ＜，故A 选项正确，B 选项错误．A ，C 两点的横坐标分别为1-和1，点横坐标为3，∴当4x =时1640y a b c =++＜，故C 选项正确．当1x ＞时，y 随x 的增大而减小，∴当2x ＞时，y 随x 的增大而减小，故D 选项正

确．故选：B . 7.【答案】D

【解析】根据题意得12332

r ππ???=，解得1r =．故选：D ． 8.【答案】B

【解析】设第一天的路程为x 里，3782481632

x x x x x

x ∴+

++++=，解得192x =，∴第三天的路程为192

=

=4844

x ，故答案选B ．

9.【答案】C

【解析】由图象可知：点P 在A 上时，13CP AC ==，点P 在AB 上运动时，在图象上

有最低点，即AB 边上的高，为12，点P 与点B 重合时，CP 即BC 最长，为13，所以，ABC △是等腰三角形，AB ∴的长22213122510=?-=?=，故选：C ． 10.【答案】B

【解析】四边形ABCD 正方形，AC 、BD 为对角线，45MAE EAP ∴∠=∠=?，根

据题意MP AC ⊥，故90AEP AEM ∠=∠=?，45AME APE ∴∠=∠=?，在三角形

APE △与AME △中，AEP AEM AE AE

EAP EAM ∠=∠??

=??∠=∠?

，()APE AME ASA ∴△≌△，故①正确；12AE ME EP MP ∴===

，同理，可证PBF NBF △≌△，1

2

PF FN NP ==，正方形ABCD 中，AC BD ⊥，又PM AC ⊥，PN BD ⊥，

90PEO EOF PFO ∴∠=∠=∠=?，∴四边形PEOF 为矩形，PF OE ∴=，

OE AE PF PE NF ME AO ∴+=+=+=，又1

2

ME PE MP ==，

12FP FN NP ==，1

2

OA AC =PM PN AC ∴+=，故②正确；四边形PEOF 为

矩形，PE OF ∴=，在直角三角形OPF 中，222OF PF PO +=，

222PE PF PO ∴+=，故③正确；BNF △是等腰直角三角形，而P 点是动点，无法保证POF △是等腰直角三角形，故④错误；连接MO 、NO ，在OEM △和

OEP △中，OE OE OEM OEP EM EP =??

∠=∠??=?

OEM OEP ∴△≌△，OM OP =，同理可证

OFP OFN △≌△，OP ON =，又90MPN ∠=?，OM OP ON ==，

12OP MO NO =+，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，1

2

OP MN =，

MO NO MN ∴+=，点O 在M N 、两点的连线上．故⑤正确．故选择B ．

第Ⅱ卷

二、

11.【答案】8210-?

【解析】因为80.00000002210-=?，故答案为：8210-?.

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12.【答案】()()322a b a b +-

【解析】()

()()222212334322a b a b a b a b -=-=+-．故答案为：()()322a b a b +-． 13.【答案】14

【解析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，因此，该校女子

排球队队员的平均年龄是

134147154210

==1447415

?+?+?++（岁）

．故答案为：14． 14.【答案】＜

【解析】A 点横坐标为1，B 点横坐标为1-，根据11-＜，1-＜3，可知，随着横坐

标的增大，纵坐标减小了，0k ∴＜．故答案为＜． 15.【答案】9m ≤

【解析】关于x 的一元二次方程260x x m -+=有实数根，240b ac ∴?=-≥，

1a =，6b =-，c m =，()2

6410m ∴--??≥，436m ∴≤，9m ∴≤．故答案

为：9m ≤．

16.【答案】18 【解析】

3PA PE =，3PD PF =，3PE PD

PA PF

∴

==，且APD EPF ∠=∠，PEF PAD ∴△∽△，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且PEF △的面积

为2可知，2

2(

)39PDA PFE S PD S PF

===△△，2918PDA S ∴=?=△，过P 点作平行四边形ABCD 的底AD 上的高PH ，

1

=182

PDA S AD PH ∴?=△，36AD PH ∴?=，即平行四边形ABCD 的面积为36，

12+=361818PAD ABCD S S S S ∴-=-=△平行四边形．故答案为：18．

17.

【答案】【解析】如图：连接OP 、OQ ，

PQ 是O 的一条切线，PQ OQ ∴⊥，

222PQ OP OQ ∴=-，∴当OP AB ⊥时，PQ 最短，在Rt ABC △

中，OB =30A ∠=?

，2AB OB ∴==

，cos 2

AO AAB =∠=

1122AOB S AO OB PO AB ∴?=?△

，11

622

PO ∴?=?3OP =，在

Rt OPQ △中，3OP =，1OQ =

，PQ ∴=

为

18.【答案】2

【解析】当12a =时，1B 的横坐标与1A 的横坐标相等为2，()12,3A ，112,2B ?

?- ??

?；2

A 的纵坐标和1

B 的纵坐标相同为12

-，代入1y x =+，得3

2

x =-

，可得231,22A ??

-- ???

；2B 的横坐标和2A 的横坐标相同为32-，代入1y x =-得，23y =，

得232,23B ??

- ???

；3A 的纵坐标和2B 的纵坐标相同为23，代入1y x =+，得13x =-，

故312,33A ??

- ???

；3B 的横坐标和3A 的横坐标相同为13-，代入1y x =-得，3y =，

得31,33B ??

- ???

；4A 的纵坐标和3B 的纵坐标相同为3，代入1y x =+，得2x =，所

以()42,3A ，由上可知，1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，…，3个为一组依次循环，

202036731÷=……，202012a a ∴==，故答案为：2．

三、

19.【答案】（1

(

)

2

2020

126032cos -??

?--+ ???

143=---

6=.

（2）222

2

2xy y x y x x x xy ?? ???

---÷+ 22222

2x xy y x x xy x y =-++-?

()

()()

2

()x y x x y x y x y x

-+-?

+=

x y =-.

当1x =

，y =

时，原式11=．

【解析】（1）根据算术平方根、特殊角三角函数值、负整数指数评价的人意义以及绝

对值的意义进行计算即可.

数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）

（2）先将括号内的进行通分，再按同分母分式减法计算，将除法转化为乘法，把分子

分母因式分解后进行约分得到最简结果，再把x ，y 的值代入即可． 20.【答案】（1）3ME =，4AE =，5AM =，222AE ME AM ∴+=，

90AEM ∴∠=?，MN BC ∥，90ABC AEM ∴∠=∠=?，AB 为O 的直径，BC ∴是O 的切线． （2）如图，连接BM ，

AB 为O 的直径，90AMB ∴∠=?，又90AEM ∠=?，

cos AM AE BAM AB AM ∴∠=

=，即545AB =，25

4

AB ∴=，O ∴的直径AB 的长度为

254．故答案为：254． 【解析】（1）先用勾股定理的逆定理证明AEM △为直角三角形，且=90AEM ∠?，再

根据MN BC ∥即可证明90ABC ∠=?进而求解．

（2）连接BM ，由AB 是直径得到90AMB ∠=?，再分别在Rt AMB △和Rt AEM △中

使用A ∠的余弦即可求解．

21.【答案】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，

由题意得：AE CD ∥，BF CD ∥，60ACD CAE ∴∠=∠=?，45BCD CBF ∠=∠=?，

在Rt ACD △

中，AC =

，1

2

CD AC ∴==，在Rt CDB △

中，CD =

，60BC ∴=，60

1.250

∴=（小时），∴从B 到达C 需要1.2小时．

【解析】过点C 作CD AB ⊥于点D ，在Rt ACD △与Rt CDB △中，利用锐角三角函数

的定义求出CD 与BC 的长，进而求解．

22.【答案】（1）由图形可知：72?占360?的百分比为72

=20%360

，故调查的总的学生

人数为4020%200÷=（名），故答案为：200（名）．

（2）44 0．34 48

0.2

（3）“非常好”和“较好”的学生的频率为0.220.34=0.56+，∴该校学生作业情况

“非常好”和“较好”的学生一共约18000.561008?=（名），故答案为：1008.

本都是“非常好”的有2种，∴两次抽到的作业本都是非常好的概率为21126

=，故答案为：16

．

【解析】（1）用72?除360?得到“不好”的学生人数的占比，然后再用40除以该百分

比即可得到总共调查的学生人数.

（2）先算出“非常好”的人数，然后再用总分数减去“非常好”、“较好”、“不

好”的人数即得到“一般”的人数，最后分别用求出其人数除总人数得到其频率. “非常好”的学生人数为：0.2220044?=（人），总人数减去“非常好”、“较

好”、“不好”的人数即得到“一般”的人数，故一般的人数为

200446840

48-

--=，其频率为482000.24÷=，同样可算出“较好”、“不（4）采用列表法将所有可能的情况列出，然后再用概率公式求解即可． 23.【答案】（1）设甲种型号口罩的产量是x 万只，则乙种型号口罩的产量是()20x -万只，根据题意得：()18620300x x +-=，解得：15x =，则

2020155x -=-=，则甲、乙两种型号口罩的产量分别为15万只和5万只.

（2）设甲种型号口罩的产量是y 万只，则乙种型号口罩的产量是()20y -万只，根据

题意得：()12420216y y +-≤，解得：17y ≤.设所获利润为w 万元，则

数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）

()()()181********w y y y =-+--=+，由于40＞，所以w 随y 的增大而增

大，即当17y =时，w 最大，此时41740108w =+=＞.从而安排生产甲种型号的口罩17万只，乙种型号的口罩3万只时，获得最大利润，最大利润为108万元.

【解析】（1）设甲种型号口罩的产量是x 万只，则乙种型号口罩的产量是()20x -万只，根据该公司三月份的销售收入为300万元列出一元一次方程，从而可以得到甲、乙两种型号的产品分别是多少万只.

（2）根据题意，可以得到利润和生产甲种产品数量的函数关系式，再根据公司四月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过216万元，可以得到生产甲种产品数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到应怎样安排甲、乙两种

型号的产量，可使该月公司所获利润最大，并求出最大利润．

24.【答案】（1）把()0,2C 代入334y ax ax a =--，即42a -=，解得1

2

a =-，∴抛物

线的解析式为213222y x x =-++，令213

2022

x x -++=，可得：11x =-，24x =，()1,0A ∴-，()4,0B .

（2）存在，如图，由题意，点E 在y 轴的右侧，作EG y ∥轴，交BC 于点G

CD EG ∴∥，EF EG

DF CD ∴=，直线()10y kx k =+＞与y 轴交于点D ，()0,1D ∴，211CD =-=∴，EF

EG DF

∴=，设BC 所在直线的解析式为(0)y mx n m =+≠，将()4,0B ，()0,2C 代入上述解析式得：042m n n =+??=?，解得：122m n ?=-

???=?，BC ∴的解析式为122y x =+-，设213,222E t t t ??-++ ???，则1,22G t t ??-+ ???，其中04t ＜＜. ()22131122222222EG t t x t ??

∴=-++-+=--+ ???-，21222()EF t DF ∴=--+，

102

-＜，∴抛物线开口方向朝下，∴当2t =时，有最大值，最大值为2.将2

t =代入2132232322t t -++=-++=，∴点E 的坐标为()2,3． 【解析】（1）直接将()0,2C 代入334y ax ax a =--求出a ，即可确定抛物线解析式；

然后令0y =求得x 的值，再结合已知即可确定A 、B 的坐标. （2）作EG y ∥轴，交BC 于点G ，由平行线等分线段定理可得EF EG

DF CD

=；再根据题意求出D 点坐标和CD 的长，可得EF EG DF

=；然后再根据B 、C 的坐标求出直线BC 的解析式；再设213,222E t t t ??-++ ???，则1,22G t t ??

-+ ???，运用两点间距离公式求得EG ，然后再代入EF

EG DF

=，根据二次函数的性质即可说明. 25.【答案】（1）由题意知：AB AC =，AD AE =，且点M N P 、、分别为

DE BE BC 、、的中点，BD CE ∴=，MN BD ∥，NP CE ∥，1

2

MN BD =，

1

2

NP EC =，MN NP ∴=，又MN BD ∥，NP CE ∥，120A ∠=?，AB AC =，

MNE DBE ∴∠=∠，NPB C ∠=∠，30ABC C ∠=∠=?，根据三角形外角和定理，得ENP NBP NPB ∠=∠+∠，MNP MNE ENP ∠=∠+∠，ENP NBP NPB ∠=∠+∠，C NPB ∠=∠，MNE DBE ∠=∠，60MNP DBE NBP C ABC C ∴∠=∠+∠+∠=∠+∠=?． （2）MNP △是等边三角形．

理由如下：如图，由旋转可得BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中

AB AC BAD CAE AD AE =??

∠=∠??=?

，()ABD ACE SAS ∴△≌△，BD CE ∴=，ABD ACE ∠=∠．点M N 、分别为DE BE 、的中点，MN ∴是EBD △的中位线，1

2MN BD ∴=且MN BD ∥，同理可证1

2PN CE =且PN CE ∥，MN PN ∴=，MNE DBE ∠=∠，

NPB ECB ∠=∠， MNE DBE ABD ABE ACE ABE ∠=∠=∠+∠=∠+∠， ENP EBP NPB EBP ECB ∠=∠+∠=∠+∠，

60MNP MNE ENP ACE ABE EBP ECB ABC ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=?．在MNP △中60MNP ∠=?，MN PN =，MNP ∴△是等边三角形． （3）根据题意得：BD AB AD +≤，即4BD ≤，从而2MN ≤，MNP △

的面积

21224

MN MN =

?=．

数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）

MNP ∴△

【解析】（1）根据“120A ∠=?，AB AC =，,AD AE =点M N P 、、分别为

DE BE BC 、、的中点”，可得MN BD ∥，NP CE ∥，根据三角形外角和定理，等量代换求出MNP ∠．

（2）先求出ABD ACE △≌△，得出ABD ACE ∠=∠，根据MN BD ∥，NP CE ∥，和

三角形外角和定理，可知MN PN =，再等量代换求出MNP ∠，即可求解． （3）具体解题过程见答案.