浅谈物理学中的对称性

浅谈物理学中的对称性

摘要:本文通过对物理学中对称性的探讨得出一些隐含条件，使复杂问题简单化，并推出对称性与守恒量之间的一些关系。

对称性普遍存在于自然界中，对称现象是物质世界某种本质和内在规律的体现。物理学以研究物质世界规律为对象，研究物理学中的对称性对于探索物质世界有着十分重要的意义，本文从三个方面对物理学中的对称性进行讨论：(1) 空间对称性(2) 时间对称性(3 对称性与守恒律之间的对应关系。最后，对对称性在物理世界中的一些问题做简要论述。

1:空间对称性

在物理学中存在着很多空间对称，如单摆的左右对称，正多边体的转动对称，球体的中心对称，一些物理规律的空间平移对称等。下面分别给予简单介绍：a：左右对称性

首先我们给出左右对称操作的定义：“设x轴垂直于镜面，原点就在镜面上，将一半图形的坐标值x变成-x，就得到了另一半图形。这x坐标的变号就叫做左右对称操作。”由于它与人们照镜子这一反射后成虚像的现象相同，所以又叫镜像对称操作，或空间反射操作。最直观的例子就是人体对称结构中的所有左右部分，可以经过平面镜成像左右对称操作而互换；另外还有等腰三角形、等要梯形、平时见到的很多建筑等都是左右对称的。那么能不能把左右操作定义扩展一下，使的运用它能解决一些复杂的物理问题呢？很显然是可以的，只要把其中的…图形的坐标值x（-x）?和…另一半图形?分别换成…物理现象?和…另一半物理现象?就可以了。这样在处理一些物理问题时考虑一下左右对称，常常会使得我们可以不必精确地去求解就可以获得一些知识，使问题得以简化，甚至使得某些颇难解的问题迎刃而解。举个比较简单的例子，如一个无阻力的单摆运动，其左右是对称的，不必求解就可以知道，向左边摆动的高度与右边摆边的高度一定是相等的，从中间平衡位置向左摆到最高点的时间一定等于从中间平衡位置向右摆到最高点的时间，平衡位置两边等当位置斯处摆球的速度和加速度的大小必定是相等的等一些条件；又如光的反射，其中光的入射线和反射线关于法线左右对称，这样我们就很容易得出入射角等于反射角，等等。

转动对称操作的定义为："如果使一个物体绕某个固定轴转过一个角度后，它又和原来完全一样，我们就称这个为转动对称操作，这种对称叫转动对称。"由于这种对称常与固定轴的空间位置有关，故又称为轴对称。一朵有5个花瓣的花绕它的轴旋转一周，有5个位置看上去是完全一样的，它给人以匀称的感受。一个圆形则旋转任意的角度保持形状不变，它具有更大的旋转对称性。这些对称美给人以匀称、均衡、连贯、流畅的感受，因而体例现着一种娴静、稳重、庄严。如对于一个圆柱体，对于中心轴线具有转动对称性；又如，对一个球体而言，它对通过其球心的任意方向的固定轴都具有对称性，这是一种最高级别和程度的转动对称，即球对称，也叫做各向同性。可以证明角动量具有空间转动对称性。

C:中心对称性

我们知道球不仅有旋转对称性，也有中心对称性，球关于球心中心对称。还有一些例子，如圆关于圆心中心对称，又如弹簧振子的运动关于平衡位置（弹簧振子受力为零处）中心对称。利用弹簧振子关于平衡中心对称，不必求解旧可以知道振子从平衡位置运动到最右（上）端的时间等于从平衡位置运动到最左（下）端的时间，平衡位置两边等当位置处振子的速度和加速度的大小必定是相等的等一些条件。

d:空间平移对称性

空间平移对称操作的定义为:如果使一个形体发生平移后它仍保持原形状，我们就说该形体具有空间平移对称性。"物理学中的空间平移对称性是指：“一个物理事件，如果该物理事件所涉及到的全部仪器，设备，操作方式及与该事件有关的一切内外部因素都不予改变，仅仅将其平移到另一空间位置处，那么这个事件可以以完全相同的方式再现。”如任意物理实验，我们可以在不同的地点以完全相同的方式进行（内外部因素全不改变），而得到完全相同的结果。例如当把一个带摆锤的闹钟放到地球上的不同位置时，由于各地的重力加速度不等，导致其快慢不一样，此时，这座钟的运动在不同的地方并不具有重复性（或不变性），但是，能否因此认为，摆锤振动的物理规律在各处不同呢？答案是否定的，摆锤的周期与重力加速度之间的依赖关系并未改变，所以物理规律依然保持不变。

时间对称性操作包括时间反演操作和时间平移对称操作。它们是通过使与事件相关联的时间量值和符号的改变而完成对称操作的。

a:时间平移对称性

至今为止，人们所做过的物理实验的结果均未发现与物理实验的开始时刻有任何关系。同一个物理实验，在其他因素都不变的情况下，今天做或明天做并不会引起实验结果的不同。如牛顿第二定律、万有引力定律、四季的更换等都具有时间平移对称性。这些事实充分证明了时间对称性的存在。

b:时间反演对称性

时间反演操作就是把物理过程中的时间参数变号，即把t换为-t，变号后对物理规律的结果有不同的影响。

下面我们以自由落体为例来说明如何进行时间反演操作。对一个做自由落体运动的质点，它的位移s，速度v和加速度a与时间的关系分别为：s=1/2gt2，v=gt,a=g,我们把t换为-t得到：s=1/2gt2 ,v=-gt 和a=g从上述公式可以知道：对一个做自由落体运动的质点进行时间反演操作后，它的位移仍是原值，速度的方向与原来相反，速率不变，加速度的大小和方向均不变。

如果我们把一次自由落体实验用摄像机录下来，然后倒放，就可以直观的观察到自由落体的时间反演操作，这时，质点会向上运动，而且越来越慢，这充分说明速度方向相反，而加速度不变的事实。由于质点的质量与时间反演无关，由f=ma 可知，力f也是不变的。这说明牛顿运动定律具有时间反演对称性。

3:对称性与守恒律之间的关系

1916年诺特（A E Noether）提出一个著名定理—诺特定理。诺特定理是说：作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律，有一个守恒量。这说明对称和守恒这两个得要概念是紧密地联系在一起的。下面简单介绍一下对称性与守恒律之间的关系。

a:空间旋转对称性与角动量守恒

设有两个相互作用的质点，其中一个位于坐标原点且保持静止，另一个质量为ｍ的质点处于运动状态且不受其他力的作用。空间坐标系无穷小转动－△相

当于系统烟反方象无穷小角位移△。由于整个系统的微小转动运动质点的位移矢量ｒ和速度都将转过矢量ｖ都将转过△，根据线量角量关系，ｒ和ｖ将得到增量

▲ｒ＝▲△×ｒ，▲ｖ＝▲△×ｖ＝０。（１）机械能对坐标系的不变性意味着

▲Ｅ＝▲（ＥK）＋▲Ｅｐ＝ｍｖ点乘▲ｖ＋▲Ｅｐ＝０

对于第一项有

▲ＥK＝ｍｖ点乘▲ｖ＝ｍｖ点乘（▲△×ｖ）＝０

因此（１）式要求

▲Ｅｐ＝０

坐标系旋转而势能“不变”表明质点ｍ受到有心力作用，势能仅是ｒ的函数，即

Ｅｐ＝Ｅｐ（ｒ）。

有心力对力心得力矩等于零，于是质点角动量守恒。这样便从机械能对坐标系转动的对称性推出角动量守恒。

b:空间平移对称性与动量守恒

假设我们画出一条路径，从A到B，再考虑可能的一条其它的路径。首先我们从A跳到紧邻的近旁另一点C，然后我们完全按着相应的路径去到另一点D，它是从点B移动同一数量的结果。现在我们发现，自然界的定律是这样的，沿着路径ACDB作用量的总量在第一级近似下，是同沿着原先的路径AB的作用量是一样的。如果当我们把每一样东西都迁移过去世界是相同的话，在原来的路径从A到B上的作用量，与从C到D的作用量是相同的，因为这两条路径的差异仅在于我们把每一样东西都移过去了。然而，对于真实的运动来说，再绕了弯的路径ACDB上的总作用量十分接近于在直接路径AB上的同一作用量，因此真正相同的只是从C到D的那一部分。这条绕了弯的路径上的作用量是三部分之和——从A到C,从C到D,在加上从D到B的作用量。那么，在减除了相等项之后，就会发现从A到C的贡献加上从D到B贡献必定等于零。但是在运动中在这些分段上有一段是沿着一个方向走的。如果我们取从A到C的贡献，想象它是沿着一个方向运动的效应，而从D到B的贡献如同从B到D的贡献但取相反的符号，因为两者的走向是相反的，我们看到有从A到C的一个量是同从B到D的量相配而可以消除的。那个量，向左迈一小步对于作用量的效应，在

开始时(从A到C)是同在结尾时(从B到D)是一样的。因此，有一个量在空间平移中是不会改变的，不会发生改变的这个量(它代表着朝向一侧走一小步对于作用量的效应)事实上正是动量.

C:时间平移对称性与能量守恒

时间平移对称性要求物理定律不随时间变化，即昨天、今天和明天的物理定律都应该是相同的。如果物理定律随时间变化，例如重力法则随时间变化，那还想利用重力随时间的可变性，就可以在重力变弱时把水提升到蓄水池中去，所需做的功较少；在重力变强时把蓄水池中的水泄放出来，利用水力发电，释放出较多的能量，这是一架不折不扣的能创造出能量的第一类永动机，这是与能量守恒定律相违背的，这就清楚地说明时间平移对称性与能量守恒之间的联系。

结语和展望

对称性在物理学中起着重要的作用，通过对系统所具有的对称性的分析，可以得到系统相应的守恒量，这些守恒量的存在对于了解系统的物理状态和性质就十分重要。在物理学中，存在着人们熟知的守恒定律。比如，能量守恒定律，动量守恒定律，电荷守恒定律等。它们的出现不是偶然的，而是物理规律具有多种对称性的必然结果。因此，研究物理规律的对称性十分重要。这是因为：探索未知的物理规律时可以以普通的对称性作为引导；物理规律的每一种对称性通常都对应一种守恒定律。思考一下：“万有引力”以为我们熟知，那有没有“万有斥力”呢？如果没有，那为什么没有呢？等有些问题有待于我们去进一步探讨。参考文献：

王赛利《物理学中的对称性》

张海霞《物理学中的对称性》

艾立阿特《物理学中的对称性》

费曼《物理定律的本性》

漆安慎杜婵英《力学》

郑志鹏汪向东《从对称性看世界》

李子平《物理学中的对称性》

陈熙谋舒幼生等《对称美与物理学》