《指数函数》教学设计(20200727074446)

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指数函数 华清中学徐立宏

一、 教材分析

1. 教材背景

指数函数是在学习了函数的现代定义及其图象、性质，掌握了研究 函数的一般思路，并将幕指数从整数扩充到实数范围之后，学习的第一 个重要的基本初等函数，是《函数》一章的重要内容。本节内容分三课 时完成，第一课时学习指数函数的概念、图象、性质；第二、三课时为 指数函数性质的应用，本课为第一课时。

2 .本课的地位和作用

本节内容既是函数内容的深化，又是今后学习对数函数的基础，具 有非常高的实用价值，在教材中起到了承上启下的关键作用。在指数函 数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数 学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数 应用意识，增强学生对数学的兴趣。 二、 重难点分析

根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：

重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性 质展开的。因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。

难点：1、对于a 1和0 a 1

时函数图象的不同特征，学生不容易 归纳认识清

楚。因此，弄清楚底数 a 对函数图象的影响是本节的难点之 。

2、底数相同的两个函数图象间的关系。

三、 目标分析

1 .知识技能目标

掌握指数函数的概念、图象和性质。

2 .过程性目标

通过自主探索，让学生经历 “特殊-一般-特殊”的认知过程，完 善认知结构，领会数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法。

3 .情感、价值观目标

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让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、 严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类 文明发展中的重要作用。

四、 学情分析

1. 有利因素

学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的 一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。

2. 不利因素

本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能 力有较高要求，学生学习起来有一定难度。

五、 教法学法

根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服 务的宗旨，确定以下教法、学法：

探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。遵循“以 学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者 ”的现代 教育原则。依据本节为概念学习的特点，类比学习函数的一般思路，以 问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的

“最近发展区”设

置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生 互动中，让

学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

七、教学过程

1. 复习旧知

函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？

答：函数的三要素包括：定义域、值域、对应法则。函数的单调性反映 了函数值随自变量变化而发生变化的一种趋势，例如：某个函数当自变 量取值增大时对应的函数值也增大则表明此函数为增函数，图象上反应 出来越往右图象上的点越高。

知识扩展-课堂练习-

六、教学过程设计

探索新知-

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2. 新课引入

观看视频解答下面两个问题：

问题1:某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个……, 这样的细胞分裂x 次后，细胞个数y 与x 的函数关系式为：y=2 x

（x € N *）

问题2:铀核裂变能产生巨大的能量，它的裂变方式称为链式反应， 假定1个中子击

打1个铀核，此中子被吸收产生能量并释放出3个中子，这3个中子又 打中另外3个铀核产生3倍的能量并释放出9个中子，这9个中子又击 中9个铀核……这样的击打进行了 x 次后释放出的中子数y 与x 的关系 是: y=3 x （x € N *）

提问：y=2x

与y=3x

这类函数的解析式有何共同特征？

答：函数解析式都是指数形式，底数为定值且自变量在指数位置。 （若用a 代换两个式子中的底数，并将自变量的取值范围扩展到实 数集则得到……）

3 .探索新知

〈一〉指数函数的定义

一般地，函数y=a x

（a>0，且a M ）叫做指数函数，其中x 是自变量, 函数的定义域是R 。 提问：在本定义中要注意哪些要点？

进一步提问：为什么规定定义中a 0且a 1 ?

将a 如数轴所示分为：a 0, a 0 , 0 a 1 ,a 1和a 1五部分进行讨

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(1)如果a 0,比如y ( 4)x ，这时对于x 4,x 2等，在实数范围内函

数值不存在;

*因为指数概念已经扩充到整个实数范围，所以在 a 0且a 1的前提 下，x 可以是任意实数，即指数函数的定义域为R 。

〈二〉指数函数图象

指数函数的图象是怎样的呢？先看特殊例子(将同学们分两组用描点 法分别画出下列函数的图象)

第一组：画出y 2x ，y (｝的图象；第二组：画出y 3x ，y (〕)x 的

2

3

图象。

(及时指导学生作图，然后播放已经做好的函数图象，让学生比较 与自己所画出

来的有哪些异同点。)

提问：此两组图象有何共同特征？当底数 0 a 1和a 1时图象有何

(2)如果a 0， 当x 0时,a x 0 当x 0时,a x 无意义

⑶如果a 1，y 1x 1，是个常值函数，没有研究的必要;

⑷如果0 a 1或a

1即a 0且a 1， x 可以是任意实数。

1 a

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区别？

〈三〉指数函数性质

根据指数函数的图象特征，由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的 性质，完成下表：

a>1

0

图

1

严“

y

y- f i

A

Y= 1

/

\

(OJ)

象

fO.1>

i-1

O

X

门 (1)定义域：R 性

(2)值域：(0, +?

质 (3)过点(0,1)，即 x=0 时，y=] 质 (4)在R 上是增函数

| (4)在R 上是减函数

(说明：教材对于指数函数性质的处理，仅是观察图象发现的，其 正确性理应严格证明，但教材不做要求)

〈四〉指数函数性质的简单应用

例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种 物质上原来的84%。画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图 象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半(保留一个有效数字)

解：设这种物质最初的质量是1 ,

经过x 年后，剩留量是y 。

」

经过1年，剩留量y 1 84% 0.841咔 经过2年，剩留量y 84% 84%

0.842

U.4

般地，经过X 年，剩留量

X

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答：约经过4年，剩留量是原来的一半。

y 0.84

画出指数函数y 0.84x 的图象。从图上看出y 0.5只需x 4

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例2说明下列函数的图象与指数函数y 2x 的图象的关系，并画出

它们的示意图

2x1

y 2 3 1与y 2 2相等, y 2 2 1与y 2 1相等， y 221与y 23相等，

由此可以知道，将指数函数y 2x 的 图象向左平行移动1个单位长度，就得到 函数y 2x1的图象。

⑵比较函数y 2x2与y 2x 的关系：

y 2 1 2与y 2 3相等， y 20 2与y 22相等, y 23 2与y 21相等,

由此可以知道，将指数函数y 2x 的图象向右平行移动2个单位长度, 就得到函数y

2x2的图象。

4、知识扩展

〈一〉考古中的指数函数

14

C 是具有放射性的碳同位素，能够自发地进行 衰变，变成氮，半

衰期为5730年，活的植物通过光合作用和呼吸作用与环境交换碳元素，

14

14

体内C 的比例与大气中的相同。植物枯死后，遗体内的C 仍在进行衰变, 不断减少，但是不再得到补充。因此，根据放射性强度减小的情况就可 以算出植物死亡的时间。

测年方法进入考古学研究被誉为考古学发展史上的一次革命，它将 考古学研究中得到的相对年代转变为绝对年代，给考古学带来了质的飞 跃，使研究更加科学化，促 进了考古学研究的深入。其中测算公式是一个指数式 y （2）5730。

〈二〉音乐中的指数函数

2x

解：⑴比较函数y

2x1与y 2x 的关系: -4 器-2 J u