全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教案专业委员会

2012年全国初中数学竞赛试卷

题号 一 二 三

总分 1～5 6～10 11 12 13 14 得分 评卷人 复查人

答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答；

2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1（甲）．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数22||()||a a b c a b c -++-+可以化简为（）． A ．2c a - B ．22a b - C ．a - D ．a

1（乙）．如果22a =-+1

1123a

++

+的值为（）．

A ．22．2 D ．22

2（甲）．如果正比例函数()0y ax a =≠与反比例函数()0b

y b x

=≠的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为()32--，，那么另一个交点的坐标为（）．

A ．()23，

B ．()32-，

C ．()23-，

D ．()32，

2（乙）．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y ++≤的整数点坐标()x y ，的个数为（）．

A ．10

B ．9

C ．7

D ．5

3（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．

A ．1

B ．214a -

C ．12

D ．1

4

3（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，ABC △是等边三角形．30ADC ∠=°，3AD =，

5BD =，则CD 的长为（）

． A ．32B ．4 C ．25D ．4.5

4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（）．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4（乙）．如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（）

． A ．0p B ．1p C ．2p D ．3p

5（乙）．黑板上写有111

123100

L ，　， ，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数

a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）

． A ．2012 B ．101 C ．100 D ．99

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否487?>”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值围是.

6（乙）. 如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，

11110

9

a b b c c a ++=

+++，那么a b c

b c c a a b

++

+++的值为．

7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为15E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 与DE 、DB 分别交于点M 、N ，则DMN △的面积是.

7（乙）．如图，O ⊙的半径为20，A 是O ⊙上一点。以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =.延长BC ，与O ⊙分别交于D E ，两点，则CE BD

-的值等于．

8（甲）．如果关于x 的方程2

239

3042

x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2011120122x x 的值

为．

8（乙）．设n 为整数，且12012n ≤≤. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为.

9（甲）．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为.

9（乙）．如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）

和111a b c ??

???

，，均为三角形数，且a b c ≤≤，则a c 的取值围是.

10（甲）．如图，四边形ABCD 接于O ⊙，AB 是直径，AD DC =. 分别延长BA ，CD ，交点为E . 作BF EC ⊥，并与EC 的延长线交于点F . 若AE AO =，6BC =，则CF 的长为.

10（乙）．已知n 是偶数，且1100n ≤≤．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11（甲）．已知二次函数232y x m x m =+

+++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于9

10

-．求m 的取值围．

11（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4

sin 5

ABC ∠=．

CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△. 已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解读式.

12（甲）．如图，O ⊙的直径为AB ，1O ⊙过点O ，且与O ⊙切于点B ．C 为O ⊙上的点，OC 与1O ⊙交于点D ，且OD CD >．点E 在OD 上，且DC DE =，BE 的延长线与1O ⊙交于点F ，求证：1BOC DO F △∽△．

12（乙）．如图，O e 的接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是ABD △的心. 求证：

（1）OI 是IBD △的外接圆的切线； （2）2AB AD BD +=.

13（甲）．已知整数a ，b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数. 当2012a ≥时，求a 的最小值.

13（乙）．凸n 边形中最多有多少个角等于150?？并说明理由．

14（甲）．求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x L ，，　，，满足122012x x x <<

122012n x x x +++=L .

14（乙）．将23n L ，　，　，()2n ≥任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得b a c =，求n 的最小值．

中国教育学会中学数学教案专业委员会 2012年全国初中数学竞赛试卷参考答案

一、选择题 1（甲）．C

解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知

0b a c <<<，且b c >，

||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．

1（乙）．B

解：1111111223a +=+=+++

111===

2（甲）．D

解：由题设知，2(3)a -=?-，(3)(2)b -?-=，所以2

63

a b ==，.

解方程组23

6y x y x ?=????=??

，，得32x y =-??=-?

，；32.x y =??

=?， 所以另一个交点的坐标为()32，.

注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为()32，.

2（乙）．B

解：由题设2222x y x y ++≤，得0≤22(1)(1)2x y -+-≤. 因为x y ，均为整数，所以有

22(1)0(1)0x y ?-=??-=??，；22(1)0(1)1x y ?-=??-=??，；22(1)1(1)0x y ?-=??-=??，；2

2

(1)1(1) 1.

x y ?-=??-=??，

解得

11x y =??=?，；12x y =??=?，；10x y =??=?，；01x y =??=?，；00x y =??=?，；02x y =??=?，；21x y =??=?，；20x y =??=?，；22.x y =??

=?

，

以上共计9对x y （，）.

3（甲）．D

解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为

1(1)(1)(2)34244

a a

b a b a b

+++++++++=

， 中位数为(1)(1)44224

a a

b a b

++++++=

， 于是4423421444

a b a b ++++-=.

3（乙）．B

解：如图，以CD 为边作等边CDE △，连接AE . 由于AC BC =，CD CE =，

BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 所以BCD ACE △≌△，BD AE =.

又因为30ADC ∠=°，所以90ADE ∠=°. 在Rt ADE △中，53AE AD ==，，

于是224DE AE AD =-，所以4CD DE ==.

4（甲）．D

解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得 2(2)2()x n y y n x n +=-??

+=-?

，

， 消去x 得()274y n y -=+，

(27)1515

212727y n y y -+=

=+

--. 因为1527

y -为正整数，所以27y -的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从

而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．

4（乙）．C

解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为0q -<，故方程的根为一正一负．由二次函数2y x px q =--的图象知，当3x =时，0y >，所以2330p q -->，即39p q +<. 由于p q ，都是正整数，所以1p =，15q ≤≤；或2p =，12q ≤≤，此时都有240p q ?=+>. 于是共有7组p q （，）符合题意．

5（甲）．D

解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是

0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以012398910

36363636

p p p p ====，，，，因此3

p 最大．

5（乙）．C

解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．

设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则

1111(11)11123100x ??????

+=++++ ??? ???????

g L g ，

解得1101x +=，100x =．

二、填空题

6（甲）．719x <≤

解：前四次操作的结果分别为

32x -，()332298x x --=-，()39822726x x --=-，()3272628180x x --=-

由已知得

2726487

8180487x x -??

->?

≤ 解得719x <≤.

容易验证，当719x <≤时，32487x -≤98487x -≤，故x 的取值围是 719x <≤．

6（乙）．7

解：由已知可得

999a b c b c c a a b

b c c a a b b c c a a b

------++=++

++++++ 9993b c c a a b =++-+++ 10

9379=?-=．

7（甲）．8

解：连接DF ，记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知BFN △∽△DAN ，所以

2

1

AD AN DN BF NF BN ===， 由此得2AN NF =，所以2

3

AN AF =.

在Rt ABF △中，因为2AB a BF a ==，，所以

225AF AB BF a =+=，

于是25

cos AB BAF AF ∠=

. 由题设可知ADE BAF △≌△，所以AED AFB ∠=∠，

18018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=o °°.

于是25

cos AM AE BAF =?∠=

， 245

3MN AN AM AF AM =-=-=，

4

15

MND AFD S MN S AF ==△△.

又21(2)(2)22AFD S a a a =??=△，所以248

1515

MND AFD S S a ==△△.

因为15a =8MND S =△. 7（乙）．

28

5

解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为

22201216OB =-，所以

161248

205OB OC OM BC ??=

==， 223664

55

CM OC OM BM =-==

，． 所以CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-28

5

=

.

8（甲）．2

3

-

解：根据题意，关于x 的方程有

223

94304

2k k k ???=--+ ???≥，

由此得()2

30k -≤．

又()2

30k -≥，所以()2

30k -=，从而3k =. 此时方程为29304x x ++

=，解得123

2

x x ==-. 故2011120122x x =21x =2

3-．

8（乙）．1610

解：因为22(3)(3)n n n n -+++=4259n n ++=22(1)(1)(1)510n n n n -++++.

当n 被5除余数是1或4时，1n -或1n +能被5整除，则22(3)(3)n n n n -+++能被5整除； 当n 被5除余数是2或3时，21n +能被5整除，则22(3)(3)n n n n -+++能被5整除； 当n 被5除余数是0时，22(3)(3)n n n n -+++不能被5整除.

所以符合题设要求的所有n 的个数为2010

82161010

?+=．

9（甲）．8

解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知

23130a b +=，

由此得043b ≤≤.

又(1)(2)

2

m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是

0130(1)(2)43b m m =-++≤≤，

87(1)(2)130m m ++≤≤，

由此得8m =，或9m =.

当8m =时，405b a ==，；当9m =时，2035b a ==，，55

22

a b a +>=，不合题设.

故8m =．

9（乙）351a

c

-<≤ 解：由题设得

111a b c c b a

+>??

?+>??，

， 所以11111

c c a c b a +>+>-，

即111c c a a +>-. 整理得 2

310a a c c ????

-+< ? ?????

， 由二次函数231y x x =-+3535

a c -+<<

. 又因为1a

c

≤351a c -<≤.

10（甲）32

解：如图，连接AC ，BD ，OD .

由AB 是O e 的直径知90BCA BDA ∠=∠=°. 依题设90BFC ∠=°，四边形ABCD 是O e 的接四边形，所以

BCF BAD ∠=∠，

所以Rt Rt BCF BAD △∽△，因此BC BA

CF AD

=

. 因为OD 是O e 的半径，AD CD =，所以OD 垂直平分AC ，OD BC ∥， 于是2DE OE DC OB

==. 因此

223DE CD AD CE AD ===，.

由AED △∽△CEB ，知DE EC AE BE ?=?．因为3

22

BA AE BE BA ==，，

所以3

2322

BA AD AD BA ?=?，22BA =，故

AD

CF BC BA =?=

3222

=

10（乙）. 12

解：由已知有()()a b a b n -+=，且n 为偶数，所以a b a b -+，同为偶数，于是n 是4的倍数．设

4n m =，则125m ≤≤．

（Ⅰ）若1m =，可得0b =，与b 是正整数矛盾．

（Ⅱ）若m 至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对a b （,）

满足22a b a b

m -+?=；若m 恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对a b （,）满足22

a b a b

m -+?=．

（Ⅲ）若m 是素数，或m 恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对a b （,）满足22

a b a b

m -+?=． 因为有唯一正整数对a b （,），所以m 的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．

三、解答题

11（甲）．解：因为当13x -<<时，恒有0y <，所以

2

3420m m ?=+-+>（）（），

即2

10m +>（），所以1m ≠-．

…………（5分）

当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即

2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0，

且233(3)2m m ++++≤0，

解得m ≤5-．

…………（10分）

设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方程根与系数的关系得

()121232x x m x x m +=-+=+，．

因为

12119

10

x x +<-，所以 121239

210

x x m x x m ++=-<-+， 解得12m <-，或2m >-．

因此12m <-．

…………（20分）

11（乙）．解：因为4

sin 5

AO ABC AB ∠=

=，8AO =，所以 10AB =

由勾股定理，得BO =262AB AO -=.

易知ABO ACO △≌△，因此6CO BO ==. 于是()08A -，，()60B ，，()60C -，.

设点D 的坐标为()m n ，，由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△. 所以

11

22

BC |n|=AO BO ??， 11

12()8622

n ?-=??， 解得4n =-.

因此D 为AB 的中点，点D 的坐标为()34-，.

…………（10分）

因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为ABC △的重心，所以点E 的坐标为803?

?- ??

?，.

设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解读式为()()66y a x x =-+. 将点E 的坐标代

入，解得a =

227

. 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解读式为

228273

y x =-.

…………（20分）

12（甲）．证明：连接BD ，因为OB 为1O e 的直径，所以90ODB ∠=?．又因为DC DE =，所以CBE △是等腰三角形．

…………（5分）

设BC 与1O e 交于点M ，连接OM ，则90OMB ∠=?．又因为OC OB =，所以

22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．

…………（15分）

又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ，等腰△1DO F 的顶角，所以

BOC △∽△1DO F ．

…………（20分）

12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形心的性质和同弧上圆周角的性质知

22

BAD BDA

CID CDI ∠∠∠=

+=∠，

所以CI CD =．

同理，CI CB =.

故点C 是IBD △的外心.

连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA OC =， 所以OI AC ⊥，即OI CI ⊥.

故OI 是IBD △外接圆的切线.

…………（10分）

（2）如图，过点I 作IE AD ⊥于点E ，设OC 与BD 交于点F . 由??BC

CD =，知OC BD ⊥. 因为CBF IAE ∠=∠，BC CI AI ==，所以

Rt Rt BCF AIE △≌△，

所以BF AE =.

又因为I 是ABD △的心，所以

2AB AD BD AE BD +-==.

故2AB AD BD +=．

…………（20分）

13（甲）．解：设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是正整数）. 因为()()2

2

4a b ab a b +-=-， 所以()22224a m n m --=，

()()22222a m n a m n m -+--=

…………（5分）

因为22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--(m 为素数)，所以 222a m n m -+=，221a m n --=.

解得a =2(1)4m +，n =21

4

m -.

于是b a m =-=2

14

m -（）

.

…………（10分）

又2012a ≥，即2

(1)20124

m +≥.

又因为m 是素数，解得89m ≥. 此时，a ≥2

(891)20254

+=.

当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =. 因此，a 的最小值为2025.

…………（20分）

13（乙）．解：假设凸n 边形中有k 个角等于150°，则不等于150°的角有n k -个．

（1）若k n =，由()1502180n n ?=-?°°，得12n =，正十二边形的12个角都等于150°； …………（5分）

（2）若k n <，且13n ≥，由()()1501802180k n k n ?+-?>-?°°°，可得12k <，即11k ≤． 当11k =时，存在凸n 边形，其中的11个角等于150°，其余n k -个角都等于()2180111501(6)301111

n n n α-?-?=

=-?--°°°，0180α<<°°，150α≠°． …………（10分）

（3）若k n <，且811n ≤≤．

当1k n =-时，设另一个角等于α．存在凸n 边形，其中的1n -个角等于150°，另一个角()()21801150(7)30n n n α=-?--?=-?°°°．

由11n ≤可得(7)30180n α=-?<°°；由8n ≥可得(7)300n α=-?>°°，且150α≠°．

…………（15分）

（4）若k n <，且37n ≤≤，由（3）可知k ≤2n -．当2k n =-时，存在凸n 边形，其中2n -个角等于150°，另两个角都等于()215n -?°．

综上，当12n =时，k 的最大值为12；当13n ≥时，k 的最大值为11； 当811n ≤≤时，k 的最大值为1n -；当37n ≤≤时，k 的最大值为2n -．

…………（20分）

14（甲）．解：由于122012x x x L ，，　，

都是正整数，且122012x x x <<

于是122012122012n x x x =

+++L 122012

2012122012

+++=L ≤． …………（10分）

当1n =时，令12201220122201220122012x x x ==?=?L ，，　，

，则 122012

1220121x x x +++=L . …………（15分）

当1n k =+时，其中12011k ≤≤，令1212k x x x k ===L ，，　，，

122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-?，，，则

1220121220121(2012)2012k k x x x k

+++=+-?-L 1k n =+=． 综上，满足条件的所有正整数n 为122012L ，　，　，　．

…………（20分）

14（乙）．解：当1621n =-时，把23n L ，　，　，分成如下两个数组：

{}8

8

16

2322121+-L ，　，　，　，　，　和{}8

4521-L ，　，　，　． 在数组{}88162322121+-L ，　，　，　，　，　中，由于388216

32221<>-，（），所以其中不存在数a b c ，，，

使得b a c =．

在数组{}

84521-L ，　，　，　中，由于48421>-，所以其中不存在数a b c ，，，使得b a c =． 所以，n ≥162．

…………（10分）

下面证明当162n =时，满足题设条件．

不妨设2在第一组，若224=也在第一组，则结论已经成立．故不妨设224=在第二组. 同理可设4842=在第一组，8216(2)2=在第二组．

此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282a b c ===，，，此时b a c =；如果8在第二组，我们取16482a b c ===，，，此时b a c =．

综上，162n =满足题设条件． 所以，n 的最小值为162．

…………（20分）