【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题22 导数的概念及其意义、导数的运算
专题22 导数的概念及其意义、导数的运算
一、单选题
1．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知(1)1f '=，0(13)(1)
lim x f x f x
?→+?-?等于（ ）
A ．1
B ．-1
C ．3
D ．13
2．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））设函数()f x 在1x =处存在导数为2，则
0(1)(1)
lim
3x f x f x
?→+?-=?（ ）.
A ．23
B ．6
C ．
13
D ．
12
3．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））函数()ln x
f x e x =在1x =处的切线方程是( ) A ．()1y e x =-
B ．1y ex =-
C ．()21y e x =-
D ．e y x =-
4．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.
A ．2e
B ．e
C ．2
D ．1
5．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））若f ′(x 0)＝－3，则()()
000
3lim
h f x h f x h h
→+--等于( )
A ．－3
B ．－6
C ．－9
D ．－12
6．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））已知()y f x =的导函数为()y f x '=，且在1x =处的切线方程为3y x =-+，则()()11f f '-=( ) A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）
A ．()()()()02332f f f f ''<<<-
B ．()()()()03322f f f f ''<<-<
C ．()()()()03232f f f f ''<<<-
D ．()()()()03223f f f f ''<-<<
8．（2020·湖北省高二期中）若函数()cos f x a x =与()2
3g x x bx =++图象在交点()0,m 处有公切线，则
a b m ++=（ ）
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
二、多选题
9．（2020·江苏省高二期中）直线1
2
y x b =+能作为下列（ ）函数的图像的切线. A ．1()f x x
=
B ．4()f x x =
C ．()cos f x x =
D ．()ln f x x =
10．（2019·山东省高二期中）设点P 是曲线2
3
x
y e =+上的任意一点，P 点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围包含下列哪些（ ） A ．2,3ππ??
??
??
B ．5,26
ππ
????
??
C ．0,
2π??
????
D ．50,
,26πππ??
??
????????
11．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）已知点2(1
)A ，在函数()3f x ax =的图象上，则过点A 的曲线():C y f x =的切线方程是（ ）
A ．640x y --=
B ．470x y -+=
C ．470x y -+=
D ．3210x y -+=
12．（2020·江苏省高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线1
(0)y x x x
=+
>上，则点P 到直线3420x y --=的距离可以为（ ）
A ．
45
B ．1
C ．
65
D ．
75
三、填空题
13．（2020·江西省石城中学高二月考（文））曲线32
()44f x x x =-+在点(1,1)处的切线方程为__________．
14．（2020·横峰中学高二开学考试（文））曲线()1e x
y ax =+在点()01，
处的切线的斜率为2-，则a =________．
15．（2020·甘肃省高三二模（文））已知曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-，则
tan()6
a π
π-=______．
16．（2020·浙江省高三其他）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，
这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线y x b =+是函数()ln f x x =的切线，也是函数()x k
g x e +=的切
线，则实数b =____，k =_____． 四、解答题
17．（2020·江苏省邗江中学高一期中）求下列函数的导数：
（1）()2cos f x x x =+ （2）2
(2)()1
x f x x -=
+ 18．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）求下列函数的导数： （1）2
(ln sin )y x x x =+； （2）2
cos x x
y x -=
；
（3）y x =
.
19．（2020·阳江市第三中学高二月考）已知函数()2
ln f x x x x =+ （Ⅰ）求这个函数的导数()f x '； （Ⅱ）求这个函数在1x =处的切线方程.
20．（2020·定远县育才学校高二月考（理））已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0,2)P ，且在点
(1;(1))M f --处的切线方程为670x y -+=.
（I ）求(1)f -和(1)f 的值. （II ）求函数()f x 的解析式.
21．（2020·江苏省高二期中）设()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，()2
()()
f x h x
g x +=.
（1）求()5h 及()5h '； （2）求曲线()sin
6
y h x π
=+在5x =处的切线方程.
22．（2020·攀枝花市第十五中学校高二期中（文））设函数()b
f x ax x
-=，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；
（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
专题22 导数的概念及其意义、导数的运算
一、单选题
1．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知(1)1f '=，0(13)(1)
lim x f x f x
?→+?-?等于（ ）
A ．1
B ．-1
C ．3
D ．13
【答案】C 【解析】 因为(1)1f '=， 所以0
0(13)(1)(13)(1)
lim 3lim 3(1)33x x f x f f x f f x x
?→?→+?-+?-'===??.
故选C
2．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））设函数()f x 在1x =处存在导数为2，则
0(1)(1)
lim
3x f x f x
?→+?-=?（ ）.
A ．23
B ．6
C ．
13
D ．
12
【答案】A 【解析】 根据导数定义，
00(1)(1)lim
31(1)(1)lim 3x x f x f x
f x f x ?→?→+?-?+?-=?
12233
=?= 所以选A
3．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））函数()ln x
f x e x =在1x =处的切线方程是( )
A ．()1y e x =-
B ．1y ex =-
C ．()21y e x =-
D ．e y x =-
【答案】A 【解析】
求曲线y ＝e x
lnx 导函数，可得f ′（x ）＝e x
lnx x
e x
+ ∴f ′（1）＝e ，
∵f （1）＝0，∴切点（1，0）．
∴函数f （x ）＝e x lnx 在点（1，f （1））处的切线方程是：y ﹣0＝e （x ﹣1）， 即y ＝e （x ﹣1） 故选：A ．
4．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.
A ．2e
B ．e
C ．2
D ．1
【答案】C 【解析】 由1
x y xe
-=，得，故，故切线的斜率为，故选C.
5．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））若f ′(x 0)＝－3，则()()
000
3lim
h f x h f x h h
→+--等于( )
A ．－3
B ．－6
C ．－9
D ．－12
【答案】D 【解析】
分析： 由于f ′(x 0)＝()()
000
lim
x f x x f x x
?→+?-?＝－3，而()()
000
3lim
h f x h f x h h
→+--的形态与导数的定义形态不一
样，故需要对()()
000
3lim
h f x h f x h h
→+--转化成()()()()
00000
3lim
h f x h f x f x f x h h
→+-+--
利用()()()()
00000
3 lim
h f x h f x f x f x h h →+-+--＝
()()
()()
00000
3lim
3lim
3h h f x h f x f x h f x h
h
→→+---+?-
即可求解. 详解： f ′(x 0)＝()()
000
lim
x f x x f x x
?→+?-?＝－3，()()
000
3lim
h f x h f x h h
→+--
＝()()()()
00000
3lim
h f x h f x f x f x h h
→+-+--
＝()()()()000003lim 33h f x h f x f x h f x h h →??+---+???-??
＝()()
()()
00000
3lim
3lim
3h h f x h f x f x h f x h
h
→→+---+?-
＝f ′(x 0)＋3f ′(x 0)＝4f ′(x 0)＝－12. 答案：D
6．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））已知()y f x =的导函数为()y f x '=，且在1x =处的切线方程为3y x =-+，则()()11f f '-=( ) A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B 【解析】
根据题意，切线斜率即为()1f '，故()1f '1=-； 又因为点()()
1,1f 满足切线方程，即()1132f =-+=；
故()()11f f -'=()213--=. 故选：B.
7．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）
A ．()()()()02332f f f f ''<<<-
B ．()()()()03322f f f f ''<<-<
C ．()()()()03232f f f f ''<<<-
D ．()()()()03223f f f f ''<-<< 【答案】B 【解析】
由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，
()()032f f ''∴<<，
()()()()
323232
f f f f --=
-，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，
()()()()03322f f f f ''∴<<-<.
故选：B .
8．（2020·湖北省高二期中）若函数()cos f x a x =与()2
3g x x bx =++图象在交点()0,m 处有公切线，则
a b m ++=（ ）
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
【解析】
()()''sin ,2f x a x g x x b =-=+，()()0,033f a g a m ==?==.
由于函数()cos f x a x =与()2
3g x x bx =++图象在交点()0,m 处有公切线，
所以()()'
'00f
g =，即0b =.
所以3036a b m ++=++=. 故选：A
二、多选题
9．（2020·江苏省高二期中）直线1
2
y x b =+能作为下列（ ）函数的图像的切线. A ．1()f x x
=
B ．4()f x x =
C ．()cos f x x =
D ．()ln f x x =
【答案】BCD 【解析】
函数1
2
y x b =
+，可得211()2f x x '=-=不成立；所以A 不正确；
4()f x x =，31
()42
f x x '==可以成立；所以B 正确；
()cos f x x =，1()sin 2
f x x '=-=，可以成立；所以C 正确；
()ln f x x =，11
()2
f x x =
=可成立．所以D 正确； 故直线1
2
y x b =
+能作为BCD 函数图象的切线， 故选：BCD ．
10．（2019·山东省高二期中）设点P 是曲线2
3
x
y e =+上的任意一点，P 点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围包含下列哪些（ ） A ．2,3ππ??
??
??
B ．5,26ππ
??
??
?
?
C ．0,
2π??
????
D ．50,
,26πππ??
??
????????
【解析】
因为2
3
x
y e =+
，故可得x y e =>'
设切线的倾斜角为α，则tan α> 故可得20,,23ππαπ????
∈??
??????
， 故选：CD.
11．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）已知点2(1
)A ，在函数()3f x ax =的图象上，则过点A 的曲线():C y f x =的切线方程是（ ）
A ．640x y --=
B ．470x y -+=
C ．470x y -+=
D ．3210x y -+=
【答案】AD 【解析】
因为点2(1
)A ，在函数()3f x ax =的图象上，所以2a =． 设切点()00,P x y ，则由()32f x x =得，()2
6f x x '=，即2
06k x =，
所以在点P 处的切线方程为：()3
2
00026y x x x x -=-，即2
3
0064y x x x =-．
而点2(1)A ，在切线上，∴2300264x x =-， 即()()
()
()2
22
000002111210x x x x x ---=-+=，
解得01x =或01
2
x =-，∴切线方程为：640x y --=和3210x y -+=． 故选：AD ．
12．（2020·江苏省高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线1
(0)y x x x
=+
>上，则点P 到直线3420x y --=的距离可以为（ ）
A ．
4
5
B ．1
C ．
65
D ．
75
【答案】CD 【解析】
设直线340x y C -+=与曲线1
y x x
=+
相切于点()000,P x y ，
则0
201314x x y x ==-
='
，因为00x >解得02x =，即015222
y =+=， 故曲线1
y x x
=+
与直线3420x y --=的最短距离为
min 65
d =
=
所以可以为67
,55
故选：CD 三、填空题
13．（2020·江西省石城中学高二月考（文））曲线32
()44f x x x =-+在点(1,1)处的切线方程为__________．
【答案】560x y +-= 【解析】
()2'38x f x x =-,() 15f '=-,
∴切线方程为()y 151x -=--，即560x y +-= 故答案为：560x y +-=
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，
其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若
曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
14．（2020·横峰中学高二开学考试（文））曲线()1e x
y ax =+在点()01，
处的切线的斜率为2-，则a =________．
【答案】3- 【解析】
()y 1x x ae ax e =++'
则()f 012a =+=-' 所以3a =- 故答案为-3.
15．（2020·甘肃省高三二模（文））已知曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-，则
tan()6
a π
π-=______．
【答案】2 【解析】
曲线4sin cos y a x x =-， 则4cos sin y a x x '=+，
曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-， 所以当0x =时，满足41y a '==， 解得14
a =
， 代入并由正切函数的差角公式可得
tan
tan
46tan 461tan tan 46
π
π
ππππ
-??-=
???+?
123=
=-
故答案为：2.
16．（2020·浙江省高三其他）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，
这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线y x b =+是函数()ln f x x =的切线，也是函数()x k
g x e +=的切
线，则实数b =____，k =_____． 【答案】-1 -2 【解析】
由题意可知1
(ln )1x x
'=
=，故1x =，则函数()f x 的切点为(1,0)，代入y x b =+，得1b =-；又()1x k x k e e '
++==，故x k =-，则函数()g x 的切点为(,1)k k ---，代入()x k g x e +=，得2k =-．
故答案为：－1；－2． 四、解答题
17．（2020·江苏省邗江中学高一期中）求下列函数的导数：
（1）()2cos f x x x =+ （2）2
(2)()1
x f x x -=
+ 【答案】（1）()'12sin f x x =-；（2）()
2
9
'()11f x x =-+
【解析】
（1）()2cos f x x x =+，则()'12sin f x x =-；
（2）2
(2)()1x f x x -=+，则()()()()()
2
22222(2)12289'()1111x x x x x f x x x x -+--+-===-+++.
18．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）求下列函数的导数： （1）2
(ln sin )y x x x =+； （2）2cos x x
y x -=；
（3）y x =
.
【答案】（1）2
2ln 2sin cos x x x x x x x +++；（2）
3
2cos sin x x x x
x --；（3. 【解析】
（1）2
12(ln sin )cos y x x x x x x '
??
=+++
???
22ln 2sin cos x x x x x x x =+++；
（2）24
(sin 1)(cos )2x x x x x
y x
'
----?= 3
2cos sin x x x x
x
--=
；
（3）11ln
2y x x '
?==
?
19．（2020·阳江市第三中学高二月考）已知函数()2
ln f x x x x =+ （Ⅰ）求这个函数的导数()f x '； （Ⅱ）求这个函数在1x =处的切线方程.
【答案】（Ⅰ）()21f x x lnx =++'；（Ⅱ）320x y --=. 【解析】
（Ⅰ）因为()2
ln f x x x x =+，所以()21f x x lnx =++'；
（Ⅱ）由题意可知，切点的横坐标为1， 所以切线的斜率是()1213k f ==+='，
又()11f =，所以切线方程为()131y x -=-，整理得320x y --=.
20．（2020·定远县育才学校高二月考（理））已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0,2)P ，且在点
(1;(1))M f --处的切线方程为670x y -+=.
（I ）求(1)f -和(1)f 的值. （II ）求函数()f x 的解析式.
【答案】（1）()()11,16f f '-=-=；（2）()32332f x x x x =--+
【解析】
（1）∵f （x ）在点M （﹣1，f （﹣1））处的切线方程为6x ﹣y+7=0． 故点（﹣1，f （﹣1））在切线6x ﹣y+7=0上，且切线斜率为6． 得f （﹣1）=1且f′（﹣1）=6． （2）∵f （x ）过点P （0，2） ∴d=2
∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ∴f′（x ）=3x 2+2bx+c 由f′（﹣1）=6得3﹣2b+c=6 又由f （﹣1）=1，得﹣1+b ﹣c+d=1 联立方程
得
故f （x ）=x 3﹣3x 2﹣3x+2
21．（2020·江苏省高二期中）设()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，()2
()()
f x h x
g x +=
.
（1）求()5h 及()5h '； （2）求曲线()sin 6
y h x π
=+在5x =处的切线方程.
【答案】（1）7(5)=4h ，(5)16
=5
h '；（2）5x -16y +11=0 【解析】
（1）当x =5时，(5)27
(5)=(5)4
f h
g +=
，
函数()2()()f x h x g x +=的导数()()()()()
2()2f x g x f x g g x h x x ??'??+'=-'，
函数()h x 在x =5处的切线斜率：
()()()()()()25552165341525(5)=1=56
f g h g f g '-+'???+???-='；
（2）1
()sin
((2
2)=
6
)f y h x x g x π
=+++，
所以()()()()
()22f x g x f x g x g y x '-+'????=
'，
x =5处的切线斜率：()()()()
()
5
2555255
=
516
x f g f g y g =??'-+'??'
=
， y =711=9(=25)44
2h +
+， 所以切点坐标为95,4?? ???
， 则切线方程为：()5
15=46
9y x -
-， 化简得5x -16y +11=0． 故切线方程为：5x -16y +11=0．
22．（2020·攀枝花市第十五中学校高二期中（文））设函数()b
f x ax x
-=，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；
（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并
求此定值.
【答案】（1）2
()f x x x
=-；（2）证明见解析，4. 【解析】
（1）将点()()
22f ,的坐标代入直线3240x y --=的方程得()21f =，
()b f x ax x =-，则()2b f x a x '=+，直线3240x y --=的斜率为3
2
，
于是()()3242221
2b f a b f a ?=+=???=-'
?=??
，解得12a b =??=?，故()2f x x x =-；
（2）设点()00,P x y 为曲线()y f x =上任意一点，由（1）知()2
f x x x
=-
， ()2
21f x x '∴=+
，又()00
02f x x x =-， 所以，曲线()y f x =在点P 的切线方程为()00200221y x x x x x ????
--=+- ? ?????， 即20024
1y x x x ??=+- ??
?， 令0x =，得04y x =-
，从而得出切线与y 轴的交点坐标为040,x ??
- ??
?，
联立200241y x
y x x x =??
???=+- ?????
，解得02y x x ==， 从而切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x .
所以，曲线()y f x =在点P 处的切线与直线0x =、y x =所围成的三角形的面积为00
14
242S x x =
?-?= 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为定值且此定值为4.
高中数学导数与积分知识点
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
高中高考数学专题复习《函数与导数》
高中高考数学专题复习<函数与导数> 1．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ） A ．1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2．函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ．y y C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2 D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x 100 4．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在)0,(-∞上为减函数的是（ ） A ．x x f ?? ? ??=23)( B ．1)(2+=x x f Ｃ．3)(x x f -= Ｄ．)lg()(x x f -= 5．已知0,0a b >>，且12 (2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为 A ． 18 B ．14 C ．12 D ．34 6．下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1-??? ??=x y B ．2 2-?? ? ??=x y C ．3 2-=x y D ．()3 2--=x y 7．)43lg(12x x y -++=的定义域为（ ） A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8．如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数，则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）
高中数学(函数和导数)综合练习含解析
高中数学（函数和导数）综合练习含解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．3253()422 g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()4,4- 4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()2 4f x x = C ．()3log f x x = D ．()34x f x ??= ??? 5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ） A ．1,12?? ??? B ．1,2??+∞ ??? C ．[)10,1,2??+∞ ??? D ．10,2?? ??? 6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ） A ．{2}∪(4,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．{2,4} D ．(4,)+∞
人教版高中数学《导数》全部教案
导数的背景（5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时， t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做 瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.
高中数学 多项式函数的导数素材
多项式函数的导数 教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点：导数运算法则的应用 教学难点：多项式函数的求导 一、复习引入 1、已知函数2)(x x f =，由定义求)4()(/ /f x f ，并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数： （1）常数函数C y = （2）函数)(*N n x y n ∈= 二、新课讲授 1、两个常用函数的导数： 2、导数的运算法则： 如果函数)()(x g x f 、有导数，那么 也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数. 例1：求下列函数的导数： （1）37x y = （2）43x y -= （3）3 534x x y += （4）)2)(1(2-+=x x y （5）b a b ax x f 、()()(2+=为常数 )
例2：已知曲线331x y =上一点)3 82(，P ，求： （1）过点P 的切线的斜率； （2）过点P 的切线方程. 三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习：1、求下列函数的导数： （1）28x y = （2）12-=x y （3）x x y +=2 2 （4）x x y 433-= （5）)23)(12(+-=x x y （6）)4(32-=x x y 2、已知曲线24x x y -=上有两点A （4，0），B （2，4），求： （1）割线AB 的斜率AB k ；（2）过点A 处的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432+-=x x y 在点M （2，6）处的切线方程. 五、课堂作业 1、求下列函数的导数： （1）1452+-=x x y （2）7352++-=x x y （3）101372-+=x x y （4）333x x y -+= （5）453223-+-=x x x y （6）)3)(2()(x x x f -+= （7）1040233)(34-+-=x x x x f （8）x x x f +-=2)2()( （9）)3)(12()(23x x x x f +-= （10）x x y 4)12(32-+= 2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。 3、求抛物线241x y = 在2=x 处及2-=x 处的切线的方程。 4、求曲线1323+-=x x y 在点P （2，－3）处的切线的方程。
高二数学 几种常见函数的导数
高二数学 几种常见函数的导数 一、教学目标：熟记公式(C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=??? ??．x x 21 )'(= 二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础. 教学难点：灵活运用五种常见函数的导数. 三、教学过程： （一）公式1：(C )'＝0 (C 为常数)． 证明：y ＝f (x )＝C , Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝C －C ＝0, ,0=??x y .0lim ')('0=??==∴→?x y C x f x 也就是说，常数函数的导数等于0． 公式2： 函数x x f y ==)(的导数 证明：（略） 公式3： 函数2)(x x f y ==的导数 公式4： 函数x x f y 1)(==的导数 公式5： 函数x x f y ==)(的导数 （二）举例分析 例1. 求下列函数的导数． ⑴3x ⑵21x ⑶x 解：⑴=')(3x 133-x 23x = ⑵='?? ? ??21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(2 1'x 12121-=x 2121-=x .21x = 练习
求下列函数的导数： ⑴ y ＝x 5； ⑵ y ＝x 6； （3）;13x y = （4）.3x y = （5）x x y 2= 例2．求曲线x y 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积。 例3．已知曲线2x y =上有两点A （1，1），B （2，2）。 求：（1）割线AB 的斜率； （2）在[1，1+△x ]内的平均变化率； （3）点A 处的切线的斜率； （4）点A 处的切线方程 例4．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0 的最短距离． （三）课堂小结 几种常见函数的导数公式 (C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=?? ? ??．x x 21)'(= （四）课后作业 《习案》作业四
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结
数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
高中数学函数与导数常考题型归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.
高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版)
高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版） 1．若f (x )＝sin π 3 －cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．Sin α B ．Cos α C ．sin π3＋cos α D ．cos π 3＋sin α [答案] A [解析] ∵f (x )＝sin π 3 －cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n [答案] A [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ，故选A. 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e － 1B ．－1C ．－e － 1 D ．－e [答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1 e ， 解得f ′(e)＝－1 e ，故选C.
高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二
高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二 9．已知函数f（x）＝x（e2x﹣a）． （1）若y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，求a的值； （2）若f（x）≥1+x+lnx，求a的取值范围． 10．已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围． 11．已知函数f（x）=alnx x+1 +b x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3 ＝0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx x?1．
12．已知函数f(x)=(a ?1 x )lnx （a ∈R ）． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y ﹣1＝0，求a 的值； （2）若f （x ）的导函数f '（x ）存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f （x ）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由． 13．已知函数f （x ）＝4lnx ﹣ax +a+3 x （a ≥0） （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）当a ≥1时，设g （x ）＝2e x ﹣4x +2a ，若存在x 1，x 2∈[1 2，2]，使f （x 1）＞g （x 2）， 求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…） 14．已知函数f （x ）＝a x +x 2﹣xlna （a ＞0且a ≠1） （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；
2020高考数学函数与导数综合题型分类总结
函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ．
高中数学-导数的概念及运算练习
高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A
2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题
2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->
高中数学函数与导数练习题
1、讨论函数在内的单调性 2、作出函数22||3y x x =--的图像，指出单调区间和单调性 3、求函数[]()251x f x x = -在区间，的最大值和最小值 4 、使函数y = 的最小值是 2的实数a 共有_______个。 5、已知函数()f x 的定义域为R ，且对m 、n R ∈，恒有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()02f -=，当12 x >-时，()0f x > （1）求证：()f x 是单调递增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 6、已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(23)f x f x -<-，求x 的取值范围。 四、强化训练 1、已知()f x 是定义在R 上的增函数，对x R ∈有()0f x >，且(5)1f =，设1()()()F x f x f x =+，讨论()F x 的单调性，并证明你的结论。 2、设函数2 ()22f x x x =-+（其中[,1]x t t ∈+，t R ∈）的最小值为()g t ，求()g t 的表达式 3、定义域在(0,)+∞上的函数()f x 满足：（1）(2)1f =；（2）()()()f xy f x f y =+； （3）当x y >时，有()()f x f y >，若()(3)2f x f x +-≤，求x 的取值范围。 4、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈， 都满足()()()f ab af b bf a =+ （1）求(0)f ，(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性，并加以证明 223f(x)x ax =-+(2,2)-
高中数学函数与导数常考题型整理归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ?? ??0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ??1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ????1a ＝ln 1a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ??1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解.
人教版高中数学(文科)选修导数的概念及运算教案
导数的概念及运算 【考点指津】 1．了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义． 2．熟记基本导数公式．掌握两个函数四则运算的求导法则，会求多项式的导数． 【知识在线】 1．函数y =14223++x x 的导数是 ． 2．曲线y =x 4+x 2上P 处的切线的斜率为6，则点P 的坐标是 ． 3．设函数f(x)= -35 x 5 - 74 x 4+8，则0 lim →?x f(x+Δx)-f(x)Δx = ． 4．已知使函数y=x 3+ax 2- 43 a ，若存在0)()(,000=='∈x f x f R x 使的求常数a ． 【讲练平台】 例1 函数y=(3x 2+x+1)(2x+3)的导数是 （ ） A ． (6x+1)(2x+3) B ． 2(6x+1) C ． 2(3x 2+x+1) D ． 18x+22x+5 分析 先把函数式右边展开，再用和的求导法则求导数． 解 y=(3x 2+x+1)(2x+3)=6x 3+11x 2+5x+3 ∴y'=18x 2+22x+5，故应选D 点评 要善于化归，本题函数解析式就可转化为多项式． 例2 设函数f(x)=x 3-2x 2+x+5， 若f'(x 0)=0，则x 0= ． 分析 x 0是方程f'(x)=0的根，只要解方程f'(x)=0 解 f(x)=x 3-2x 2+x+5， 求f'(x)=3x 2-4x+1 由f'(x 0)=0， 得3x 2-4x+1=0 解得x 0=1或13 ∴应填写答案为1或13 点评 导数的运算法则再加上已有的导数公式(如(x n )'=n ．x n -1， 其中n ∈N*)是求某些简单函数的导 数的常用工具． 例3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点(1，1)，且在（2，-1）处的切线的斜率为1， 求a ，b ，c 的值． 分析 题中涉及三个未知数，而已知中有三个独立条件，故可通过解方程组来确定a ，b ，c ． 解 ∵y=ax 2+bx+c 分别过（1，1）点和（2，1）点 ∴a+b+c=1 (1) 4a+2b+c=-1 (2) 又 y'=2ax+b ∴y'|x=2=4a+b=1 (3) 由(1)(2)(3)可得，a=3，b=-11，c=9． 点评 函数的导数的几何意义决定了函数的导数知识与平面解析几何中直线的知识有着密切的联系．利用导数能解决许多曲线的切线的问题，使确定曲线在某处的切线斜率变得简单易求． 【知能集成】 1．两种常见函数的导数：c'=0 （C 是常数）；(x n )'= nx n - 1(n ∈N *)． 导数和运算法则：若 f(x)，g(x)的导数存在，则[f(x)±g(x)]' = f '(x)+g'(x)， [cf(x)]' = cf '(x)．（C 是常数） 2．能应用由定义求导数的三个步骤推导出常数及函数y=x n (n ∈N*)的导数公式，掌握两个函数的和与差的求导法则及常数与函数的积的求导法则，能正确运用这些求导法则及导数公式求某些简单函数的导数．
高中数学导数专题训练
精心整理 高二数学导数专题训练 一、选择题 1.一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1 B.2 C.－1 D.0 3()f x 与(f x A (f C (f 4.函数y A (5.若函数A.f(x)6.0'()f x A C 7．曲线f A (1,0)C (1,0)8．函数y A.C.9.对于R A (0)(2)2(1)f f f + 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（） A ．' 0()f x B ．' 02()f x C ．' 02()f x -D ．0 二、填空题 11．函数32 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是.
13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ??+?? 的前n 项和的公式是 . 三、解答题： 15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3 2 35y x x =+-相切的直线方程 16 17 （1）求y （2）求 y 18（I （II （III 19（I （II 20.已知x （1）求m （2）求f （3）当x AABCBACCDB 二、填空题 11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（1 3 -，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，1 3 ）∪（1，+∞）） 12．(,0)-∞13．3 4 π 14．1 2 2n +-()()/ 112 22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，
高中数学函数与导数章节知识点总结
高中数学导数章节知识点总结 考点1:与导数定义式有关的求值问题 1:已知 等于 A. 1 B. C. 3 D. 1.已知 ，则 的值是______ ． 考点2:导数的四则运算问题 1:下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 2:已知函数，为 的导函数，则 的值为______． 考点3:复合函数的导数计算问题 1:设 ，则 A. B. C. D. 2:函数的导函数 ______ 考点4:含)('a f 的导数计算问题 1:已知定义在R 上的函数 ，则 A. B. C. D. 2:设函数满足，则 ______． 考点5:求在某点处的切线方程问题 1:曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 2:曲线在处的切线方程为_________________． 考点6:求过某点的切线方程问题 1:已知直线过原点且与曲线相切，则直线斜率 A. B. C. D. 2:若直线过点)1,0(-且与曲线x y ln =相切，则直线方程为：
考点7:根据相切求参数值问题 1:已知直线与曲线相切，则a 的值为 A. 1 B. 2 C. D. 2:若曲线在点处的切线平行于x 轴，则 ________． 考点8:求切线斜率或倾斜角范围问题 1:点P 在曲线3 2)(3 +-=x x x f 上移动，设P 点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 （ ） A. ?? ????2,0π B. ),4 3[)2,0[πππY C.),43[ ππ D. ]4 3,2(π π 2:在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为_______ 考点9:求曲线上点到直线距离的最值问题 1:已知P 为曲线x y C ln :=上的动点，则P 到直线03:=+-y x l 距离的最小值为（ ） A. 2 B. 22 C.2 D. 3 考点10:求具体函数的单调区间问题 1：函数x e x x f )1()(+=的单调递增区间是 A. ),2[+∞- B. ),1[+∞- C. D. 2:函数x x x f ln )(=的单调减区间为 考点11：已知单调性，求参数范围问题 1:已知函数 在区间 上是增函数，则实数m 的取值范围为 A. B. C. D. 2:若函数在区间上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 考点12：解抽象不等式问题 1:已知函数是函数 的导函数， ，对任意实数都有，则不等 式 的解集为 A. B. C. D. 2:函数的定义域为R ，且 ， ，则不等式 的解集为______ ． 考点13：求具体函数的极值问题 1:函数 ，则 A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数 的极大值点 D. 为函数 的极小值点
人教版高中数学《导数》全部教案课程
导数的背景 （5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于29.4 米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间内的平均速度为 t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 析：设点Q 的横坐标为1＋x ?，则点Q 的纵坐标为（1＋x ?）2，点Q 对于点P 的纵坐标的增量 （即函数的增量）22)(21)1(x x x y ?+?=-?+=?， 所以，割线PQ 的斜率x x x x x y k PQ ?+=??+?=??=2)(22.