人教版数学高一-A版必修1练习 第2课时 对数的运算

[A 基础达标]

1．2lo g 510＋lo g 50.25＝( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

解析：选C.原式＝lo g 5102＋lo g 50.25＝lo g 5(102×0.25)＝lo g 525＝2.

2．下列各等式正确的为( )

A ．lo g 23·lo g 25＝lo g 2(3×5)

B ．l g 3＋l g 4＝l g (3＋4)

C ．lo g 2x y

＝lo g 2x －lo g 2y D ．l g n m ＝1n

l g m (m >0，n ＞1，n ∈N *) 解析：选D.A 、B 显然错误，C 中，当x ，y 均为负数时，等式右边无意义．

3．若l g x －l g y ＝t ，则l g ????x 23－l g ???

?y 23＝( ) A ．3t

B ．32t

C ．t

D.t 2 解析：选A.l g ????x 23－l g ????y 23＝3l g x 2－3l g y 2＝3l g x y

＝3(l g x －l g y )＝3t . 4．2lo g 32－lo g 3329

＋lo g 38的值为( ) A .12

B ．2

C ．3 D.13

解析：选B ．原式＝lo g 34－lo g 3329

＋lo g 38 ＝lo g 34×832

9

＝lo g 39＝2. 5．若lo g 513

·lo g 36·lo g 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9 B ．19

C ．25 D.125

解析：选D.由换底公式，

得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6

＝2， l g x ＝－2l g 5，x ＝5－2＝125

. 6．计算lo g 927＋lo g 224

＝________． 解析：lo g 927＋lo g 224＝lo g 993

2＋lo g 22－lo g 24＝32＋12

－2＝0. 答案：0

7．已知m ＞0，且10x ＝l g (10m )＋l g 1m

，则x ＝__________． 解析：l g (10m )＋l g 1m ＝l g 10＋l g m ＋l g 1m

＝1， 所以10x ＝1＝100，

所以x ＝0.

答案：0

8．若l g x ＋l g y ＝2l g (x －2y )，则x y

＝__________． 解析：因为l g x ＋l g y ＝2l g (x －2y )，

所以?????x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，xy ＝（x －2y ）2.

由xy ＝(x －2y )2，

知x 2－5xy ＋4y 2＝0，

所以x ＝y 或x ＝4y .

又x ＞0，y ＞0且x －2y ＞0，

所以舍去x ＝y ，

故x ＝4y ， 则x y

＝4. 答案：4

9．计算下列各式的值：

(1)lo g 535＋2lo g 12

2－lo g 5150－lo g 514； (2)[(1－lo g 63)2＋lo g 62·lo g 618]÷lo g 64；

(3)(lo g 43＋lo g 83)(lo g 32＋lo g 92)．

解：(1)原式＝lo g 535＋lo g 550－lo g 514＋2lo g 12

21

2

＝lo g 535×5014＋lo g 12

2 ＝lo g 553－1＝2.

(2)原式＝[(lo g 66－lo g 63)2＋lo g 62·lo g 6(2×32)]÷lo g 64＝[???

?log 6632＋lo g 62·(lo g 62＋lo g 632)]÷lo g 622

＝[(lo g 62)2＋(lo g 62)2＋2lo g 62·lo g 63]÷2lo g 62

＝lo g 62＋lo g 63＝lo g 6(2×3)＝1.

(3) (lo g 43＋lo g 83)(lo g 32＋lo g 92)

＝????lg 3lg 4＋lg 3lg 8????lg 2lg 3＋lg 2lg 9

＝????lg 32lg 2＋lg 33lg 2????lg 2lg 3＋lg 22lg 3

＝5lg 36lg 2×3lg 22lg 3＝54

. 10．已知地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23

(l g E －11.4)．若A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，求A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的多少倍．

解：由R ＝23(l g E －11.4)，得32

R ＋11.4＝l g E ， 故E ＝10．

设A 地和B 地地震释放的能量分别为E 1，E 2，

则E 1E 2＝10（32×9.0＋11.4）

10（32×8.0＋11.4）

＝1010， 即A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的1010倍．

[B 能力提升]

1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )

A ．lo g a b ·lo g c b ＝lo g c a

B ．lo g a b ·lo g c a ＝lo g c b

C ．lo g a (b c)＝lo g a b ·lo g a c

D ．lo g a (b ＋c)＝lo g a b ＋lo g a c

解析：选B ．由对数的运算公式lo g a (b c)＝lo g a b ＋lo g a c 可判断选项C ，D 错误．选项A ，

由对数的换底公式知，lo g a b ·lo g c b ＝lo g c a ?lg b lg a ·lg b lg c ＝lg a lg c

?l g 2b ＝l g 2a ，此式不恒成立．选项B ，由对数的换底公式知，lo g a b ·lo g c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c

＝lo g c b ，故恒成立． 2．若l g a ，l g b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则???

?lg a b 2的值等于__________． 解析：????lg a b 2

＝ (l g a －l g b )2＝(l g a ＋l g b )2－4l g a ·l g b ＝22－4×12＝2. 答案：2

3．已知2x ＝3， lo g 483

＝y ，求x ＋2y 的值． 解：因为2x ＝3，

所以x ＝lo g 23.

又lo g 483

＝y ， 所以x ＋2y ＝lo g 23＋2lo g 483

＝lo g 23＋2(lo g 48－lo g 43)

＝lo g 23＋2???

?32log 22－12log 23 ＝lo g 23＋3－lo g 23＝3.

4．(选做题)已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，2x ＝py .

(1)求p 的值；

(2)证明：1z －1x ＝12y

. 解：(1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0且k ≠1)，

则x ＝lo g 3k ，y ＝lo g 4k ，z ＝lo g 6k .

由2x ＝py 得：2lo g 3k ＝p lo g 4k ＝p ·log 3k log 34

， 因为lo g 3k ≠0，

所以p ＝2lo g 34＝4lo g 32.

(2)证明：因为1z －1x ＝1log 6k －1log 3k

＝lo g k 6－lo g k 3＝lo g k 2＝12lo g k 4＝12log 4k ＝12y

. 所以原式得证．