2020年高考数学 导数 数列 解三角形 解答题专练(含答案解析)

2020年高考数学导数数列解三角形解答题专练1.已知函数f（x）= x+．

（1）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并用定义证明；

（2）求f（x）在[1，4]的最大值和最小值，及其对应的x的取值．

2.设f(x)=ln x＋ax(a∈R且a≠0)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若a=1，证明：x∈[1，2]时，f(x)－3<成立．

3.设函数f(x)=e x－x2－ax－1(e为自然对数的底数)，a∈R.

(1)证明：当a＜2－2ln 2时，f′(x)没有零点；

(2)当x＞0时，f(x)＋x≥0恒成立，求a的取值范围．

4.设函数f(x)=x

2

2

－kln x ，k ＞0.

(1)求f(x)的单调区间和极值．

(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点．

5.已知{a n }是公差为正数的等差数列，首项a 1=3，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，首项b 1=1，

且a 2b 2=12，S 3+b 2=20.

(1)求{a n }，{b n }的通项公式.

(2)令c n =nb n (n ∈N *

)，求{c n }的n 项和T n .

6.S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n ＞0，a n 2+a n =2S n .

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n =，求数列{b n }的前n 项和T n .

7.已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 10=15，且a 3，a 4，a 7成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n =a n 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：-74

≤T n ＜-1(n ∈N *

)．

8.已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1=3a n 2a n ＋3

，n ∈N *

.

(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫

1a n 为等差数列；

(2)设T 2n =1a 1a 2－1a 2a 3＋1a 3a 4－1a 4a 5＋…＋1a 2n －1a 2n －1

a 2n a 2n ＋1

，求T 2n .

9.已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *

，满足S n =13

a 1(a n －1)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设数列{b n }满足a n b n =log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <8

9

.

10.已知锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a －b c =cos B

cos C

.

(1)求角C 的大小；

(2)求函数y=sin A ＋sin B 的值域． 11.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,设

.

（1）求A ； （2）若，求sinC.

12.在△ABC 中,内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,已知

.

（1）求角B 的大小; （2）若,求△ABC 的周长的取值范围.

13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足.

（1）求角A的值；

（2）若且b≥a，求的取值范围.

14.在锐角中，角的对边分别为，且.

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求周长的取值范围.

答案解析

1.

2.

3.解：

(1)证明：∵f′(x)=e x－2x－a，令g(x)=f′(x)，∴g′(x)=e x－2.

令g′(x)＜0，解得x＜ln 2；令g′(x)＞0，解得x＞ln 2，

∴f′(x)在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，∴f′(x)min=f′(ln 2)=2－2ln 2－a.

当a＜2－2ln 2时，f′(x)min＞0，

∴f′(x)的图象恒在x轴上方，∴f′(x)没有零点．

∴ax ≤e x

－x 2

＋x －1，即a≤e x

x －x －1

x

＋1恒成立．

令h(x)=e x x －x －1x ＋1(x ＞0)，则h′(x)=（x －1）（e x －x －1）

x

2

. 当x ＞0时，e x

－x －1＞0恒成立，

令h′(x)＜0，解得0＜x ＜1，令h′(x)＞0，解得x ＞1， ∴h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴h(x)min =h(1)=e －1.∴a 的取值范围是(－∞，e －1]． 4.解：

(1)由f(x)=x 22－kln x(k ＞0)得f ′(x)=x －k x =x 2－k

x

.

由f′(x)=0解得x=k.

f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：

所以，f(x)的单调递减区间是(0，k)， 单调递增区间是(k ，＋∞)；

f(x)在x=k 处取得极小值f(k)=k （1－ln k ）

2

.

(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(k)=k （1－ln k ）

2

.

因为f(x)存在零点，所以k （1－ln k ）

2

≤0，从而k≥e.

当k=e 时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(e)=0， 所以x=e 是f(x)在区间(1，e]上的唯一零点． 当k ＞e 时，f(x)在区间(0，e)上单调递减，

且f(1)=12＞0，f(e)=e －k

2＜0，所以f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点．

综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点．

5.解：(1)设公差为d ，公比为q ，则a 2b 2=(3+d)q=12①

S 3+b 2=3a 2+b 2=3(3+d)+q=20②联立①②可得，(3d+7)(d ﹣3)=0

∵{a n }的公差d ＞0.则d=3，q=2，∴a n =3+(n ﹣1)×3=3n ，b n =2n ﹣1； (2)b n =2n ﹣1，c n =n2n ﹣1，∴T n =c 1+c 2+…+c n =120+221+322+…+n2n ﹣1， 2T n =121+222+…+(n ﹣1)2n ﹣1+n2n ，

两式相减可得，﹣T n =120+121+122+…+12n ﹣1﹣n2n

， ∴﹣T n =﹣n2n =2n ﹣1﹣n2n ，∴T n =(n ﹣1)2n +1.