遗传算法

一、遗传算法的原理

1.自然遗传与遗传算法

①遗传：子代总是和亲代具有相同或相似的性状。有了这个特征物种才能稳定存在

②变异：亲代和子代之间已经子代不同个体之间的差异，称为变异，变异是随机发生的，变异的选择和积累是生命多样性的根源。

③生存斗争和逝者生存：具有适应性变异的个体被保留下来，不具有适应性变异的个体被淘汰，通过一代代的生存环境的选择作用，性状逐渐与祖先有所不同，演变成新的物种。

④自然界对进化中的生物群体提供及时的反馈信息，或称为外界对生物的评价，评价反映了生物的生存机会。

⑤生物进化是一个不断循环的过程，本质上是一种优化过程。

⑥遗传物质以基因的形式排列在染色体上，每个基因有特殊的位置并控制生物的某些特性。不同的基因组合产生的个体对环境的适应性不一样。（对应具体问题，把问题可能解编码成向量---染色体，向量的每个元素就是基因）例如：

个体染色体

9 ---- 1001

（2，5，6）---- 010 101 110

2.遗传算法

①将“优胜劣汰，适者生存”的生物进化原理引入到求解优化问题中。

②从某一随机产生的初始群体出发

③按照变异等遗传操作规则不断地迭代

④根据每一个体的适应度，保留优良品种，引导搜索过程向最优解逼近。

⑤在这一过程中，通过随机重组编码位串中重要的基因，使新一代的位串集合优于老一代的位串集合，群体中的个体不断进化，逐渐接近最优解，最终达到求解问题的目的。

二、遗传算法的步骤

1.步骤：

①选择编码策略，把参数集合X和域转换成位串结构空间S；

②定义适应函数f(X);

③确定遗传策略，包括选择群体大小n，选择、交叉、变异方法，以及确定交叉概率、变异概率等遗传参数；

④随机初始化生成群体P；

⑤计算群体中个体位串解码后的适应值f(X)

⑥按照遗传策略，运用选择（选择的目的是把优化的个体直接遗传到下一代或通过配对交叉产生新的个体再遗传到下一代。选择操作是建立在群体中个体的适应度评估基础上的）、交叉（所谓交叉是指把两个父代个体的部分结构加以替换重组而生成新个体的操作。遗传算法中起核心作用的就是交叉算子）和变异算子作用于群体（对群体中的个体串的某些基因座上的基因值作变动），形成下一代群体；

⑦判断群体性能是否满足某一个指标，或者已完成预定迭代次数，不满足则返回步骤6，或者修改遗传策略再返回步骤6。

2.流程图：

三、遗传编码

1. 二进制编码

使用0,1组成编码符号串，它所构成的个体基因是一个二进制编码符号串。串的长度取决于求解的精度。

例如假设求解精度为保留六位小数，对于区间 [-1, 2] ，其长度为 3，则必须将该区间分为 3?106 等分。因为 221<3?106<222，所以编码所用的二进制串至少需要22位。

二进制串（b21b20b19…b1b0）与 [a, b] 内实数的一一映射

原始的二进制编码的搜索能力差表现在如下：

交叉：相近个体的交叉，新个体却远离原先个体。

变异：二进制编码染色体某一位的微小变化，新个体却产生了较大变化。 二进制编码的优点：

① 编码、解码操作简单易行

② 交叉、变异等遗传操作便于实现

③ 符合最小字符集编码原则

④ 利用模式定理对算法进行理论分析。

二进制编码的缺点是：二进制编码存在着连续函数离散化时的映射误差。个体长度较短时，可能达不到精度要求，而个体编码长度较长时，虽然能提高精度，但却使遗传算法的搜索空间急剧扩大。

2. 实数编码

实数编码是指染色体的每一位采用某一范围内的一个实数进行表示。 二进制串

十进制数 [a, b] 内实数 b 21b 20b 19…b 1b

0 22

'21

b a x a x -=+?-210'2

i i i x b ==?∑2'=(1000101110110101000111)=2288967

x 222(1)1'0.63719721x x --=-+?=-例. 二进制串 a=<1000101110110101000111>

实数编码的优点：

①实数编码遗传算法更适合于多维、高精度数值问题

②采用实数编码可以是遗传算法更接近于待解问题空间。

③实数编码能够表达十分大的域；给定长度的二进制编码，增大域范围以牺牲精度为代价

④实数编码更容易设计处理非常规约束优化问题

⑤便于设计针对问题的专门知识的知识型遗传算子

3.符号编码

符号编码方法是指个体染色体编码串中的基因值取自一个无数值意义，而只有代码含义的符号集。

这个符号集可以是一个字母表{A,B,C,D,.....},可以是一个数字序号表,{1,2,3,4,......},还可以是一个代码表，如{A1,A2,A3,A4,.....}，对于使用符号编码的遗传算法，需要认真设计交叉、变异等遗传操作，以满足问题的各种约束要求，才能提高算法的搜索性能。

符号编码的主要优点：

①便于在遗传算法中利用所求问题的专门知识

②便于遗传算法与相关近似算法之间的混合使用

③符合有意义积木块原则

四、适应函数（评价函数）

1.适应函数的作用

用GA求解函数最优化问题时,是依靠适应度函数值的大小来区分每个个体的优劣的。每个个体的适应度函数值的大小确定了他们是继续繁衍还是消亡。适应度值大的个体将有更多的机会繁衍下一代,通常取高于群体平均适应度值的个体做交叉,而低于平均适应度值的个体做变异,从而一代一代地提高群体的平均适应度值和最优个体的性能. 可见,适应度函数在GA中起着决定性作用。

2.几个适应函数介绍

在函数优化中,适应度函数可由目标函数变换得到,在实际问题中,适应度函数与问题的目标函数是不完全一致的,如有的问题的目标是要求得最小值(费用问题) ,而有的问题的目标是要求得最大值(利润函数) . 因此在不少场合,将目标函数映射成求最大值形式而且函数值非负的适应度函数是必要的.一般而言有以下定义形式:

①直接以待求解的目标函数转化为适应度函数,即

若目标函数为最大化问题f ( x) = g ( x) ;

若目标函数为最小化问题f ( x) = - g ( x) .

这种适应度函数简单直观,但实际应用时,存在以下 2 个问题:第一,不满足常用的赌盘选择非负的要求;第二,某些待求解的函数值可能彼此相差十分悬殊,由此得到的平均适应度值可能不利于体现群体的平均性能,将影响算法的效果.

②若目标函数为最小问题,则

其中系数c max存在多种选择方法,它可以是一个合适的输入值,也可以采用迄今为止进化过程中g ( x) 的最大值,但c max最好与群体无关.由于参数c max需事先预估, 不可能精确, 其结果常常使适应度函数不灵敏,影响了算法的性能.

若目标函数为最大问题,则

其中系数c min存在多种选择方法,它可以是一个合适的输入值,也可以采用迄今为止进化过程中g ( x) 的最小值,但c min 最好与群体无关.

③若目标函数为最小问题,则

若目标函数为最大问题,则

上两式c 为目标函数界限的保守估计值。由于事先不知道min g ( x) ,故c 的取值只能采取保守的估计值，存在和第二种适应度函数相似的问题。适应度函数对GA 的收敛速度和结果影响很大。如果过分强调当前的较优点，就可能很快降低种群的多样性，造成不成熟收敛；如果对当前较优点强调不够，算法就很容易丢失已经找到的较优点信息，从而不能在合理的时间内收敛到较好的点。

五、遗传算子

1.选择算子

①赌轮选择法

个体被选中的概率与其适应度大小成比例，对于一个规模为N的种群S,按每个染色体x i∈S的选择概率P(x i)所决定的选中机会, 分N次从S中随机选定N 个染色体, 并进行复制。这里的选择概率P(x i)的计算公式为

如图为每个串的概率，每转动一次轮盘，指针落入串i 所占区域的概率为P(x i),显然，该值越大，串i被选取的概率越大。

具体步骤：

a. 计算累积概率：

b. 在［0, 1］区间内产生一个均匀分布的随机数r 。

c. 若r ≤q 1,则染色体x 1被选中。

d. 若q k-1

② Boltzmann 选择

在群体的进化过程中，早期希望较差的个体也有一定的生存机会，使得群体保持较高的多样性；后期希望GA 缩小搜索邻域，加快当前最优解改善的速度。Boltzmann 选择可以动态调整群体进化过程中的选择压力，其个体选择概率为：

∑==n j T x f T

x f i j i e

e x p 1/)(/)()( i=1,2,3,…,n

其中T>0，它随着迭代的进行逐渐缩小，选择压力随之升高。

③ 排序选择

所谓排序选择方法是指在计算每个个体目标值后，根据目标值的大小顺序对群体中的个体进行排序，适应度仅取决于排序后的个体在种群中的位置，并且每个个体的选择概率等于根据它所处的位置按照某种规律计算出的概率。最常用的排序选择方法是线性排序选择。

在线性排序选择中，设群体规模为N ，且满足个体适应度值降序排列；当前群体的最佳个体在选择操作后的期望数量为η+ ，即η+ = N × P s (1)；最差个体在选择操作后的期望数量为η? ，即η? = N × P s (N )；其他个体的

期望数量按等差序列计算，即

，则

因此，线性排序的选择概率为

由

，

可以导出 。要求

,

，因此，

。当 时，最差个体在下一代生存的期

望数量为0

，群体选择压力最大；当

时，选择方式为按均匀分布的

随机选择，群体选择压力最小。

④联赛选择

联赛选择的基本思想是从当前群体中随机选择一定数量的个体，将其中适应值最大的个体保存到下一代。反复执行该过程，直到下一代个体数量达到预定的群体规模。

2.交叉算子

选择算子是GA 中优胜劣汰的体现; 交叉的目的是将父本中优良的基因优化组合传至下一代, 同时产生新的寻优空间。它通过在两个父代个体的基因位中随机选取一个或多个基因位作为交叉的位置, 然后交换父代个体部分结构组成新个体。常用的交叉算子有：一点交叉、两点交叉、一致交叉。

①一点交叉：在父代个体串中随机设定一个交叉点, 然后相互交换两个个体交叉位置右边部分基因, 形成两个被称为子代的新个体。

例：假设父代X = 10101101, Y= 11111001，则进行一点交叉操作

若随机地选取交叉位置2, 产生的子代X = 10111001, Y= 11101101；若交叉位置为6, 则X = 10101101, Y = 11111001。

一点交叉操作的信息量较小，交叉点位置的选择可能带来较大偏差。故实际应用中采用较多的是多点交叉。

②两点交叉：在父代个体串中随机设定两个交叉点, 然后相互交换父代个体两个交叉点之间的部分基因, 形成两个新个体。

③一致交叉：染色体位串上的每一位按相同的概率进行随机均匀交叉。具体位置由一个随机生成的与个体编码串等长的交叉掩码W=ω1ω2…ωL决定。

若ωi=0，则A'在第i个基因座上的基因值继承A的对应基因值，B'在第i个基因座上的基因值继承B的对应基因值。

若ωi=l，则A'在第i个基因座上的基因值继承B的对应基因值，B'在第i个基因座上的基因值继承A的对应基因值。

例：掩码：10100101 A=10101100 B=01010101

则：A’ =11110101 B’=00001101

3.变异算子

变异操作模拟自然界生物进化中染色体上某位基因发生的突变现象。遗传算法中变异算子是指按照变异概率P m（小概率）将个体染色体编码串中的某些基因座上的基因值改变从而形成新的个体。

对二进制编码是以变异概率P m把某个基因位置上的基因值取反；对于浮点数编码的个体，若某一变异点的基因值的取值范围为[U min,U max]，变异操作就是用该范围内的—个随机数去替换原基因值。

一般来说，变异算子操作的基本步骤如下：

①群体中所有个体编码串范围内，随机地确定基因的位置。

②以事先设定的变异概率P m：0.0001—0.1，来对这些基因位置和基因值进行变异。

下面是几种主要的变异算子：

①基本变异算子

基本变异算子是对群体的个体编码串随机挑选(以变异概率P m)一个或多个基因座，并对这些基因座的基因值做取反变动。由于基本变异只是改变个体编码串的个别几个基因座上的基因值，并且变异概率也比较小，所以发生的作用比较慢。

②均匀变异

均匀变异方法一般是针对实数编码方式的。它的操作是分别用符合某一范围内均匀分布的随机数，以某一较小的概率替换个体编码串中各个基因座上的原有基因值。具体操作过程是：1)依次指定个体编码串中的每个基因座为变异点。2)对每一个变异点，以变异概率P m，从对应基因的取值范围内取一随机数来替代原有基因值。将操作过程更形象地表述为，假设有一个个体为X=x1x2…x k…x l，

若x k为变异点，其取值范围为，在该点对个体X进行均匀变异操作后，可得一个新的个体X=x1x2…x‘k…x l，其中变异点的新基因值为

式中，r为[0，1]范围内符合均匀概率分布的一个随机数。由于均匀变异方法使得搜索点可以在整个搜索空间内自由移动，从而可以增加群体的多样性，所以该法特别适合于遗传算法的初期运行阶段。均匀变异的缺陷是，不便于对某一重点区域进行局部搜索。

③非均匀变异

为求改进均匀变异的不足之处，所谓非均匀变异不是取均匀分布的随机数去替换原有的基因值，而是对原有基因值作一随机扰动，以扰动后的结果作为变异后的新基因值。非均匀变异的操作过程不同之处在于重点搜索原个体附近的微小

区域。在进行由的个体向的非均匀变异操

作时，若变异点x k处的基因值取值范围为，则新的基因值由下

式确定：

式中，r为[0，1]范围内符合均匀概率分布的一个随机数。

分布的一个随机数，要求随着进化代数t的增加，接近于0的概率也逐渐增加，例如，可按下式定义：

式中T——最大进化代数；b——系统参数。根据以上公式可看出，非均匀变异可使得遗传算法在初始运行阶段(t较小时)进行均匀随机搜索，而在其后期运行阶段(t较接近于T时)进行局部搜索，所以它产生的新基因值比均匀变异所产生的基因值更接近于原有基因值。因此随着遗传算法的运行，非均匀变异就可以使得最优解搜索过程更加集中在某一最有希望的重点区域中。

六、简单实例

例：利用遗传算法求解区间［0,31］上的二次函数y=x2的最大值。

分析：

原问题可转化为在区间［0, 31］中搜索能使y 取最大值的点a 的问题。那么，［0, 31］中的点x 就是个体, 函数值f(x)恰好就可以作为x 的适应度，区间［0, 31］就是一个(解)空间。这样,只要能给出个体x 的适当染色体编码, 该问题就可以用遗传算法来解决。

解

(1) 设定种群规模,编码染色体，产生初始种群。

将种群规模设定为4；用5位二进制数编码染色体；取下列个体组成初始种群S 1:

s 1= 13 (01101), s 2= 24 (11000)

s 3= 8 (01000), s 4= 19 (10011)

(2) 定义适应度函数,

取适应度函数：f (x )=x 2

计算各代种群中的各个体的适应度, 并对其染色体进行遗传操作,直到适应度最高的个体(即31（11111）)出现为止。

首先计算种群S 1中各个体s 1= 13(01101), s 2= 24(11000) s 3= 8(01000), s 4= 19(10011)的适应度f (s i )：

f (s 1) = f (13) = 132 = 169

f (s 2) = f (24) = 242 = 576

f (s 3) = f (8) = 82 = 64

f (s 4) = f (19) = 192 = 361

再计算种群S 1中各个体的选择概率。

由此可求得

P(s 1) = P(13) = 0.14

P(s 2) = P(24) = 0.49

P(s 3) = P(8) = 0.06

P(s 4) = P(19) = 0.31

使用赌轮选择法，设从区间［0, 1］中产生4个随机数如下:

r 1 = 0.450126, r 2 = 0.110347

r 3 = 0.572496, r 4 = 0.98503 y =x 2

Y

31 ∑==N

j j

i i x f x f x P 1)()

()(选择概率的计算公式为

于是，经复制得群体：

s1’ =11000（24）, s2’ =01101（13）

s3’ =11000（24）, s4’ =10011（19）

设交叉率p c=100%，即S1中的全体染色体都参加交叉运算。

设s1’与s2’配对，s3’与s4’配对。分别交换后两位基因，得新染色体：s1’’=11001（25）, s2’’=01100（12）

s3’’=11011（27）, s4’’=10000（16）

设变异率p m=0.001。这样，群体S1中共有5×4×0.001=0.02

位基因可以变异。0.02位显然不足1位，所以本轮遗传操作不做变异。于是，得到第二代种群S2：

s1=11001（25）, s2=01100（12）

s3=11011（27）, s4=10000（16）

第二代种群S2中各染色体的情况

假设这一轮选择-复制操作中，种群S2中的4个染色体都被选中，则得到群体：

s1’=11001（25）, s2’= 01100（12）

s3’=11011（27）, s4’= 10000（16）

做交叉运算，让s1’与s2’，s3’与s4’分别交换后三位基因，得

s1’’ =11100（28）, s2’’ = 01001（9）

s3’’ =11000（24）, s4’’ = 10011（19）

这一轮仍然不会发生变异

第三代种群S3中各染色体的情况

设这一轮的选择-复制结果为：

s1’=11100（28）, s2’=11100（28）

s3’=11000（24）, s4’=10011（19）

做交叉运算，让s1’与s4’，s2’与s3’分别交换后两位基因，得

s1’’=11111（31）, s2’’=11100（28）

s3’’=11000（24）, s4’’=10000（16）

于是，得第四代种群S4：

s1=11111（31）, s2=11100（28）

s3=11000（24）, s4=10000（16）

显然，在这一代种群中已经出现了适应度最高的染色体s1=11111。于是，遗传操作终止，将染色体“11111”作为最终结果输出。

然后，将染色体“11111”解码为表现型，即得所求的最优解：31。

将31代入函数y=x2中，即得原问题的解，即函数y=x2的最大值为961。

七、应用

①在图像分割中利用遗传算法搜索灰度图像的阈值最优解。一般每个

染色体用8位二进制串表示,代表一个阈值。由适应度值进行染色体优胜劣汰的选择,经过不断进化,得到了最佳阈值。

②采用遗传算法来优化神经网络的连接权值

③遗传算法用于图像匹配。图像匹配是指通过一定的匹配算法在两幅

或多幅图像之间识别同名点。

图像匹配算法很多,一般分为基于灰度相关、基于特征、基于模板以及基于变换域的匹配。其中模板匹配是最常见的方法。传统的相关匹配算法是将模板在图上逐像素平移并计算相关值,相关值最大处即为匹配最佳处。该方法匹配精度高,算法稳定,但计算量大。引入GA解决相关匹配的速度问题,通过减少搜索位置的数目来减少相关的总计算量。应用GA进行相关匹配的染色体一般长16bits,分别用8bits来表示相关匹配的位置参数( i, j) ,适应度函数可使用某种相似测度计算

④遗传算法用于图像增强。图像增强就是将原来不清楚的图像变得清

晰或把某些特征强调出来,以改善图像的视觉效果或便于对图像进行其他处理。基于GA的图像增强技术的实现过程实际上是一个寻找控制参数的最优或次优解的过程。卢丽敏等人采用如下的参数模型:设f ( x, y)是图像在x行y 列的像素值,f ′( x, y)为增强后的图像在对应点的像素值,则有

f ′( x, y) =

g (m ( x, y) ) + k ( f ( x, y) - m ( x, y) )

其中, g (* )是一个对比扩展函数, m ( x, y)为x行y列处像素点在它的某个领域内的局部均值, k > 0是一个控制参数, 其大小影响到图像的处理质量, 因此,图像增强过程转化为寻求最优参数k 的过程。

⑤GA用于灰度图像的恢复,一般将染色体编码成以各像素的灰度值为

元素的2维矩阵,即一个染色体就代表一幅图像,每个基因对应一个像素。每个个体的适应度函数为

其中, f i为个体i代表的推测恢复图像, g为观测到的退化图像, h为退化过程,函数值越大表示个体越好。