大学物理第7章静电场复习指南

第7章 静电场和稳恒电场（复习指南）

一、基本要求

掌握描述静电场性质的两个物理量：电场强度和电势的定义．

掌握场强叠加原理、电势叠加原理、电势与场强的积分关系，能计算一些特殊带电体的场强分布和电势分布．

理解静电场的高斯定理和场强环路定理，理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法． 理解导体的静电平衡条件；理解电容的定义及其物理意义．

二、基本内容

1．点电荷

；

当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比可以忽略时，可以把带电体看作点电荷． 对点电荷模型应注意：

（1）点电荷概念和大小具有相对意义，即它本身不一定是很小的带电体．只要两个带电体的线度与

它们之间距离相比可忽略，就可把它们简化为点电荷．另外，当场点到带电体的距离比带电体的线度大得多时也可以把带电体简化为点电荷．

（2）点电荷是具体带电体（其形状没有限制）抽象出来的理想化模型，所以不能把点电荷当作带电小球．

（3）点电荷不同于微小带电体．因带电体再小也有一定的形状和电荷分布，还可以绕通过自身的任意轴转动，点电荷则不同．

（4）一个带电体在一些问题中可简化为点电荷，在另一些问题中则不可以．如讨论带电体表面附近的电性质时就不能把带电体简化为点电荷．

（5）试验电荷是一种特殊的点电荷，要求其带电量足够小以至于将其放入场点不致影响原电场分布．

2．电场强度矢量

0F E = |

电场中某点的电场强度等于单位电荷在该点所受的电场力，0q 为正时，E 和电场力F

同方向，0q 为负时，E 的方向和F

方向相反．

（1）E 反映电场的客观性质，E

与试验电荷0q 的大小、电荷正负无关，也与0q 的存在与否无关．

（2）E 是一个矢量，一般地说，电场空间不同点处的场强不同，即)(r E E

=．点电荷电场的场强分

布函数为

r

r q

E ?π412

0ε=

（3）因为静电场可叠加，所以E

矢量服从叠加原理．空间任一点处场强

∑=+++=i

i E E ...E E E

n 21

（4）点电荷在静电场中受电场力作用，E q F 0=，E

为0q 所在处的总场强，即除了0q 以外所有其它

电荷在0q 所在处产生的合场强．

（5）电场强度的计算

*

①由点电荷场强公式和场强叠加原理原则上可以求出任意带电系统产生的电场的场强分布． 对点电荷系1q ，2q ， ，n q ，任意一点的场强

∑==n i i

i

i

r r q E 120?π41ε 对电荷连续分布的带电体，任一点的场强

?=

Q r r q

E ?d π412

0ε 当电荷为线分布，l q d d λ=，λ为线电荷密度，积分应遍及整个带电导线． 当电荷为面分布，S q d d σ=，σ为面电荷密度，积分应遍及整个带电曲面． 当电荷为体分布，V q d d ρ=，ρ为体电荷密度，积分应遍及整个带电体．

~

对电荷连续分布的带电体由叠加原理求场强一般步骤：

第一步，把带电体看作由无数个电荷元组成，利用点电荷场强公式，写出任意电荷元在场点产生的场

强： r

r q

E ?d π41d 2

0ε= 第二步，选取适当的坐标系，把E

d 投影在坐标系中，分别得其分量x d E 、y d E 、z d E ．

第三步，应用叠加原理分别求出场强在各个方向的分量，如： z z y y x x d d d E E E E E E ???===，，．

总场强：

k E j E i E E

z y x ++=．

也可由2

z

2y 2x E E E E ++=和E E x cos =α、E E βy cos =、E

E

z cos =γ分别求出E 的大小和方向．

②对于一些具有特殊形状的带电体，当其电场分布具有一定对称性时，如球对称、面对称、轴对称，可用高斯定理，通过选择适当的高斯面求出场强分布．

"

③已知电势分布函数，可由场强与电势的微分关系计算场强

l V

E l d d -=，在平面直角坐标系下， y

V E x V

E d d d d y x -

=-

=，合场强 j E i E E y x +=．

3．电势能

静电场是保守场，电场力为保守力，可以引进相关势能，若以pA E 和pB E 分别表示试验电荷0q 在场中A 点和B 点的电势能，则

AB 0pB pA d W l E q E E B

A

=?=-?

注意：

①电势能是0q 与场源电荷所激发的电场之间的相互作用能量，属0q 和电场系统所共有．

②电势能为一相对量．选定电势能零点后，才能确定电荷在场中任一点的电势能的大小．例如，对带电体电荷分布为有限时，取无穷远处为电势能零点，则0q 所在处A 点的电势能为?∞?=A

l E q E

d 0pA ．

^

电势能差与零点选择无关． 由AB 0pB pA d W l E q E E B A

=?=-?

，电场力做功等于电势能增量的负值．

4．电势

电势中某点A 电势定义为

?∞?==

A

l E q E V

d 0

pA A

即静电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷放在该点处时的电势能，也等于单位正电荷从该点经过任意路径到无限远处时电场力所做的功．

电势为标量，相对于电势零点，场中任一点的电势可正、可负． 对电势概念：

%

（1）0

pA A q E V =

反映电场本身的性质，与0q 的大小以及存在与否无关，只要产生电场的源电荷分布一

定，电场分布就确定，电势也就有确定的分布．

（2）电势为一相对量，只有选定了电势零点，场中任一点电势才有确定大小．所以在?∞

?A

l E

d 中∞处

即电势零点．

电势零点的选择应注意，在理论上合理，实用上方便（原则上可任选）．如对场源电荷分布在有限区域内时，通常选距场源电荷为无穷远处为电势零点；对于无限带电体（如无限大带电平面，无限长带电直线）则选场中有限远处某点为电势零点．在一些实际问题中通常选地球（接地）或仪器外壳为电势零点．

场中任意两点间电势差与电势零点选择无关，即?

?=-=B

A

l E V V U

d B A AB 总是恒定的．

（3）电势服从叠加原理，∑=i

i V V ．电势为标量，电势叠加是求代数和． （4）注意电势与电势能的区别．

（5）电场力做功与电势差的关系为

AB 0B A 0AB )(U q V V q W =-=

~

当电势分布已知，则在电场中移动0q 电荷，电场力所做的功可由上式方便求得，从而避免了积分． （6）电势的计算 计算电势的方法有两种： ①利用叠加原理求电势．

根据点电荷电势的计算公式和叠加原理可求任意带电体产生电场的电势． 点电荷场中电势分布

r q V 0π4ε=

或r

q

V 0π4d d ε= 点电荷系场中电势分布

}

i

i i

r q V ∑

=0π41ε

连续带电体场中任一点电势

??

==Q

r q

V V d π41d 0ε

②由电势的定义直接求电势．

此方法中应先求得场强分布，再由电势的定义?∞?=A

l E V

d A 求出V 的分布，注意合理选择积分路径．

5．电容

（1）孤立导体的电容计算式

V

Q C =

电容的物理意义是使导体电势升高单位电势所需的电量．电容是导体的重要属性之一，它反映导体本

身具有储存电荷和储存电能的能力．它的大小仅由导体的几何形状、大小和周围介质决定，与导体是否带电无关．

"

（2）电容器的电容

AB

B A U Q

V V Q C =

-=

Q 为构成电容器两极板上所带等量异号电荷的绝对值．AB U 为A 、B 两极间电势差．电容器电容与电

容器形状、大小及两极间介质有关，与电容器是否带电无关． 6．导体静电平衡

静电平衡条件：导体任一点的电场强度为零． 导体处于静电平衡时：

（1）导体是等势体，其表面是等势面；

（2）导体表面的场强方向垂直于导体表面，大小正比于电荷面密度；

$

（3）导体处于静电平衡时，导体内部处处没有净电荷存在，电荷只能分布在导体的（内外）表面上．

三、基本规律

1．库仑定律

r

r q q εF ?π412

2

10= F

表示2q 对1q 的作用力，r

?是由施力电荷2q 指向受力电荷1q 的单位矢量． 适用条件：（1）真空中．（2）点电荷之间（相对观察者静止的电荷）．（3）当空间有两个以上的点电荷时，作用在某一点电荷上的总静电力等于其它各点电荷单独存在时对该电荷所施静电力的矢量和——电场力的叠加原理． 2．高斯定理

d εq S E S

∑?=

?

）

式中e d ΦS E S

=??

，表示通过场中任意闭合曲面的电通量．∑q 表示闭合曲面内电荷代数和．

对于高斯定理应注意：

（1）通过高斯面的电通量e Φ只与高斯面内电荷代数和有关，与高斯面内电荷具体分布无关，与高斯面的形状，大小无关，与高斯面外电荷无关．0>∑q ，0e >Φ，有电力线从S 内穿出；0<∑q ，0e <Φ，表示有电力线穿入S 面内．说明静电场为有源场，正电荷是静电场的源头，负电荷是静电场的尾闾．

（2）??S

S E d 中E

表示高斯面S 上S d 面元处的场强．因为空间任意点的场是由空间各点处的电荷共同

激发的，所以S 面上任意点处的E

不仅与S 面内的电荷以及电荷分布有关，也与S 面外各点处的电荷以及

电荷分布有关．

（3）对于具有高度对称性分布的电场，只要选取适当的高斯面，可使在高斯面上或高斯面上某一部分电场强度为恒量或零．所以可以应用高斯定理求场强．

∑??==?q S E S E S

S 0

1

d cos d εα （4）高斯定理应用

①分析电场分布的对称性，常见的有球对称、轴对称、面对称．

<

②选取适当的高斯面（此处高斯面不能任取），原则为：过场点，使高斯面上各点E 的大小相等，E

方

向与高斯面上各面元垂直，或有恒定的夹角；或者高斯面上一部分E 满足上述条件，其余部分0=E

或E 与

各面元平行．

③求出高斯面内所包围的净电荷．根据高斯定理求E

的大小．

④根据场分布的对称性确定场强方向．

3．静电场的场强环路定理

0d =??l

l E

与静电场力做功与路径无关的结论是等价的，说明静电场是保守场（无旋场），静电力是保守力，可以引入电势能和电势的概念．

>

四、例题详解

7-1、两个点电荷分别为C 10271-?+=q 和C 10272-?-=q ，相距．求距1

q 为、距2q 为处P 点的电场强度．（

2290

/C m N 10×9.0041

?=πε） 解：如图所示，P 点场强为 21P E E E +=

建坐标系xy o -，则P E

在x 、y 轴方向的分量为 αεαsin 41

sin 022

2022x 1x Px

r q E E E E ?π=+=+=

αεεαcos 41

41cos 2202110212y y 1Py r q r q E E E E E ?π-?π=

-=+= 代入数值得14Px C N 10432.0-??=E ，14Py C N 10549.0-??=E

/

合场强大小142

Py 2Px P C N 10699.0-??=+=E E E

方向：P E 与x 轴正向夹角?=???

? ??=8.51arctan Px

Py E

E β

7-2、如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．

解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为L q /=λ，在x 处取一电荷元L x q x q /d d d ==λ，它在P 点的场强：

()

()

2

02

0π4d π4d d x d L L x q x d L q E -+=

-+=

εε

!

总场强为()

d L d q

x d L x L q E L

+π=

-+π=

?00204)(d 4εε 方向沿x 轴，即杆的延长线方向．

L

q

12 r y E

7-3、如图所示，一电荷面密度为σ的“无限大”平面，在距离平面a 处一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R 的圆面积范围内的电荷所产生的，试求该圆半径的大小．

解：电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 02/εσ=E

以图中O 点为圆心，取半径为r r r d +→的环形面积，其电量为 r r q d π2d σ=

它在距离平面为a 的一点处产生的场强

(

)

2

322

02d d /r

a εr

r E +=

σ （注：()

C r

a r

a

r

r /++-

=+?

2

2

2

322

1d ）

则半径为R 的圆面积内的电荷在该点的场强为

()???

?

??+-=

+=

?22002

3220

12d 2R a a r a r

r εa E R

/εσσ 由题意，令04/εσ=E ，得到a R 3=．

}

7-4、图中所示，A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，A 面上电荷面密度

28A m C 107.17--??-=σ，B 面的电荷面密度28B m C 104.35--??=σ．试计算两平面之间和两平面外的电场

强度．（真空介电常量212120m N C 1085.8---???=ε）

解：两带电平面各自产生的场强大小分别为：

()0A A 2/εσ=E ，方向如图示

()0B B 2/εσ=E ，方向如图示

由叠加原理两面间电场强度为

()()N/C 103=2/40B A B A ?+=+=εσσE E E

方向沿x 轴负方向 两面外左侧

()()N/C 1012/40A B A B ?=-=-='εσσE E E ，方向沿x 轴负方向

两面外右侧N/C 1014?=''E ，方向沿x 轴正方向．

7-5、电荷q 均匀分布在长为2l 的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a 的P 点的电势（设无穷远处为电势零点）．

解：设坐标原点位于杆中心O 点，x 轴沿杆的方向，如图所示．细杆的电荷线密度l q 2/=λ，在x 处取电荷元 )2/(d d d l x q x q ==λ @

它在P 点产生的电势为

()()

x a l l x

q x a l q V -+π=

-+π=00P 8d 4d d εε 整个杆上电荷在P 点产生的电势

、

-

σA

σB

A B

()()???

??+π=-+π-=-+π=

--?a l l q x a l l q x a l x l q V l l

l l 21ln 8ln 8d 8000P εεε

7-6、半径为R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ．设无穷远处为电势零点．计算圆盘中心O 点电势． 解：在圆盘上取一半径为r r r d +→范围的同心圆环．其面积为

|

r r S d π2d =，其上电荷为r r q d π2d σ=

它在O 点产生的电势为

002d 4d d εσεr

r q V =

π= 总电势0

002d 2d εσεσR

r V V R S

==

=??

7-7、B A 、为靠得很近的两块平行的大金属平板，板的面积为S ，板间距离为d ，使B A 、板带电分别为A q 、B q ，且B A q q >．求：

（1）A 板内侧的带电量； （2）两板间的电势差．

解：（1）如图，设B A 、两板各表面的电荷面密度分别为1σ、2σ、3σ、4σ．

由题意???=+=+B 43

A

21q S S q S S σσσσ

又由静电平衡条件???-==3241σσσσ解得：??

??

?

-=-=+-==S q q S q q 22B

A

32B A 41σσσσ 故A 板内侧的带电量2

B

A 22q q S q -=

=σ （2）两板间为匀强电场，电场强度 S

q q E 0B

A 0403020122222εεσεσεσεσ-=

--+= 两板间电势差 d S

q q Ed U 0B

A 2ε-==

7-8、如图所示，半径为1R 的导体球带有电荷q ，球外有一个内半径为2R 的同心导体球壳，壳上有电荷Q ．（1）求球与壳的电势差12U ；（2）用导线把球和壳联接在一起后，其电势为多少

解：（1）导体球与球壳之间的电场强度为2

0π4r q E ε=

O

d r

R

球与壳的电势差)1

1(π4d π4d 2

102

0122

1

2

1

R R q r r q r E U R R R R -===?

?εε （2）用导线把球与球壳连接在一起后，导体球和导体球壳的电荷重新分布．静电平衡时，球与球壳为等势体，21V V =．所有电荷（q Q +）均匀分布在球壳外表面．球壳外电场强度为

2

0π4r q

Q E ε+=

'

球与球壳的电势??

∞∞

+=

+=='2

22

020π4d π4d R R R q

Q r r q Q r E V εε