实变函数课后习题答案

实变函数课后习题答案

【篇一：实变函数试题库参考答案】

ass=txt>选择题

1,下列对象不能构成集合的是:（）

a、全体自然数

b、0,1 之间的实数全体

c、[0, 1]上的实函数全体

d、全体大个子

2、下列对象不能构成集合的是:（）

a、{全体实数}

b、{全体整数}

c、{全体小个子}

d、{x：

x1}

3、下列对象不能构成集合的是:（）

a、{全体实数}

b、{全体整数}

c、{x：x1}

d、{全体

胖子}

4、下列对象不能构成集合的是:（）

a、{全体实数}

b、{全体整数}

c、{x：x1}

d、{全体瘦子}

5、下列对象不能构成集合的是:（）

a、{全体小孩子}

b、{全体整数}

c、{x：x1}

d、{全体实

数}

6、下列对象不能构成集合的是:（）

a、{全体实数}

b、{全体大人}

c、{x：x1}

d、{全体整

数}

7、设a??{x:??1?x??}, i 为全体实数, 则?a?= () ??i

a、(-1, 1)

b、(-1, 0)

c、(-?, +?)

d、(1,

+?)

?118、设ai?{x:?1??x?1?, i?n, 则?ai= ( ) i?1ii

a、(-1, 1)

b、(-1, 0)

c、[0, 1]

d、[-1, 1]

?19、设ai?{x:0?x?1?, i?n, 则?ai= () i?1i

a、(0, 1)

b、[0, 1]

c、[0, 1]

d、

(0, +?)

?1110、设ai?{x:1??x?2?, i?n, 则?ai= () i?1ii

a、[1, 2]

b、(1, 2)

c、 (0, 3)

d、

(1, 2)

?311、设ai?{x:i?x?i?, i?n, 则?ai= () i?12

{0}

?1112、设ai?{x:??x?, i?n, 则?ai= () i?1ii

13、设a2n?1?[0,2?11], a2n?[0,1?], n?n,则an?() 2n?12nn??

a、[0, 2]

b、[0, 2]

c、[0, 1]

d、[0, 1]

14、设a2n?1?[0,2?11], a2n?[0,1?], n?n, 则liman?()

n??2n?12n

a、[0, 2]

b、[0, 2]

c、[0, 1]

d、[0,

1]

15、设an?(0,n), n?n, 则liman?()

n??

116、设an?(0,), n?n, 则liman?() n??n

117、设a2n?1?(0,), a2n?(0,n), n?n, 则liman?() nn??

118、设a2n?1?(0,), a2n?(0,n), n?n, 则liman? () n??n

19、设a 、b 、c是三个集合, 则a-(a-b)= ( )

a、b

b、a

c、a?b

d、a?b

20、设a 、b 、c是三个集合, 则a-(b?c)= ( )

a、(a-b)?(a-c)

b、(a-b)?(a-c)

c、a?b

d、a?c

21、设a 、b 、c是三个集合, 则a-(b?c)= ( )

a、(a-b)?(a-c)

b、(a-b)?(a-c)

c、a?b

d、a?c

22、设a 、b 、s是三个集合, 且a?s, b?s, 则cs(a?b)= ( )

a、csa?csb

b、csa?csb

c、csa?b

d、csa?b

23、设a 、b 、s是三个集合, 且a?s, b?s, 则cs(a?b)= ( )

a、csa?csb

b、csa?csb

c、csa?b

d、a?csb

24、设a 、b 、c是三个集合, 则a-(b-c) = ( )

a、 a?c-b

b、 a-b-c

c、 (a-b)?(a?c)

d、 c-(b-a)

25、集合e的全体内点所成的集合称为e的 ( )

a、开核

b、边界

c、导集

d、闭包

26、集合e的全体聚点所成的集合称为e的 ( )

a、开核

b、边界

c、导集

d、闭包

27、集合e的全体边界点和内点所成的集合是e的 ( )

a、开核

b、边界

c、导集

d、闭包

28、e-e＇所成的集合是 ( )

a、开核

b、边界

c、外点

d、{e的全体孤立点}

29、e的全体边界点所成的集合称为e的 ( )

a、开核

b、边界

c、导集

d、闭包

30、设点p是集合e的边界点, 则 ( )

a、p是e的聚点

b、p是e的孤立点

c、p是e的内点

d、p是ce 的边界点

31、设g?(0,1)?(2,3), 则下列那一个是g的构成区间: ( )

a、(0, 1)

b、(1, 1)

c、[0, 1]

d、(0, 2) 2

132、设g1?(0,1), g2?(?1,0)?(,2) g?g1?g2, 则下列那一个是g的构2

成区间: ()

a、(0, 1)

b、(0, 2)

c、(-1, 1)

d、(-1, 2) 2

33、设g1?(0,4), g2?(0,1)?(3,4) g?g1?g2, 则下列那一个是g的构成区间: ()

a、(0, 1)

b、(3, 4)

c、(0, 4)

d、 (1, 4)

34、设g1?(0,1), g2?(1,2)?(3,4) g?g1?g2, 则下列那一个是g的构成区间: ( )

a、(0, 1)

b、(0, 3)

c、(0, 4)

d、(1, 4)

35、设g1?(0,2), g2?(1,2)?(3,4) g?g1?g2, 则下列那一个是g的构成区间: ( )

a、(0, 1)

b、(0, 2)

c、(1, 2)

d、(1, 4)

1336、设g1?(0,1)?(1,2), g2?(?1,0)?(,) g?g1?g2, 则下列那一个是22

g的构成区间: ()

a、(13, )

b、(1, 2)

c、(0, 1)

d、(-1, 0) 22

37、若a?b ，则下列命题错误的是： ( )

a、a??b?

b、a＇?b＇

c、?a??b

d、a?b

38、若a?b?c, 则下列命题正确的是：（）

a、a??b??c?

b、 a＇?b＇=c＇

c、?a??b??c

d、{a的孤立点}?{b的孤立点}={c的孤立点}

39、若a?b?c, 则下列命题错误的是：（）

a、a??b??c?

b、 c＇? a＇?b＇ca?b?c d、{a的孤立点}?{b的孤立点}={c的孤立点}

40、设ca 是a的余集，则下列命题正确的是：（）

a、c(a?)?(ca)?

b、?a??(ca)

c、c(a＇)＝（ca）＇

d、c(a)?ca

【篇二：实变函数第一章习题解答】

3．等式(a?b)?c?a?(b?c)成立的的充要条件是什么？

解：若(a?b)?c?a?(b?c)，则 c?(a?b)?c?a?(b?c)?a. 即，c?a.

反过来, 假设c?a, 因为b?c?b. 所以, a?b?a?(b?c). 故,

(a?b)?c?a?(b?c).

最后证，a?(b?c)?(a?b)?c

事实上，?x?a?(b?c), 则x?a且x?b?c。若x?c，则x?(a?b)?c；若x?c，则x?b，故x?a?b?(a?b)?c. 从而, a?(b?c)?(a?b)?c. c?(a?b)?c?a?(b?c)?a???a. 即 c?a.

反过来，若c?a，则因为b?c?b所以a?b?a?(b?c) 又因为c?a，所以c?a?(b?c)故 (a?b)?c?a?(b?c)

另一方面，如果x?c则 x?(a?b)?c；?x?a?(b?c)?x?a且x?b?c，如果x?c,因为x?b?c，所以x?b故x?a?b. 则 x?(a?b)?c. 从而a?(b?c)?(a?b)?c

于是，(a?b)?c?a?(b?c)

x?ax?a

?1,4．对于集合a，定义a的特征函数为?a(x)??

?0,

，假设a1,a2,?,an?是

一集列，证明：（i）?liminf

n

a

n

(x)?liminf?an(x)

n

（ii）?limsup

n

a

n

(x)?limsup?an(x)

n

证明：（i）?x?liminfan??(?an)，?n0?n，?m?n0时，x?am.

n

n?n

m?n

所以?a(x)?1，所以inf?a(x)?1故liminf?a(x)?supinf?a(x)?1

m

m?n0

m

n

n

b?nm?n

m

?x?liminfan??n?n，有x??an??kn?n

n

m?n

有x?ak??a

m

kn

故usp?0?inf?am(x)?0，

m?n

b?nm?n

nfi

即?a(x)?0 ，mil

m

n

nfi

?a(x)=0 ，

n

从而?liminf

n

a

n

(x)?liminf?an(x)

n

i?1

5．设{an}为集列，b1?a1，bi?ai??aj(i?1) 证明

j?1

（i）{bn}互相正交

n

ni?1

（ii）?n?n,?ai??bi

i?1

n?1

证明：（i）?n,m?n,n?m；不妨设nm，因为bn?an??ai?an?am，又因

i?1

为bm?am，所以bn?an?am?an?bm，故 bn?bm??，从

而 ?bn}n?1相互正交.

?

nni?1

ni?1

ni?1

（ii）因为?i(1?i?n)，有bi?ai，所以?bi??ai，现在来

证：?ai??bi

i?1

当n=1时，a1?b1；

ni?1

ni?1

当n?1时，有：?ai??bi

n?1

ni?1

n?1i?1

ni?1

ni?1

ni?1

则?ai?(?ai)?an?1?(?ai)?(an?1??ai)?(?bi)?(bn?1??bi)

i?1

事实上，?x??ai，则?i(1?i?n)使得x?ai，令i0?min?i|x?ai且1?i?n

i?1

i0?1i?1

n

n

?

则 x?ai??ai?bi??bi，其中，当i0?1时，?ai??，从而， ?ai??bi i0?1i?1

ni?1

ni?1

i?1

6．设f(x)是定义于e上的实函数，a为常数，证明：

?

（i）e{x|f(x)?a}=?{f(x)?a?

n?1?

1

(ii)e{x|f(x)?a=?{f(x)?a?

n?1

n1

n

证明：（i）?x?e{x|f(x)?a}?x?e且f(x)?a ??n?n,使得f(x)?a?

1

?a且x?e?x?e{x|f(x)?a?

1

nn

??

11

?x??e{x|f(x)?a??e{x|f(x)?a}??e{x|f(x)?a?

n?1n?1nn

?

11

反过来，?x??e{x?x|f(x)?a?},?n?n，使x?e{x|f(x)?a?

n?1nn

即f(x)?a?

?

1n

?a且x?e 故x?e{x|f(x)?a}

1n

?e{x|f(x)?a} 故

1

所以 ?e{x|f(x)?a?

n?1

?

e{x|f(x)?a}?e{x|f(x)?a?

n?1

n

7．设{fn(x)}是e上的实函数列，具有极限f(x)，证明对任意常数a 都有：

?

e{x|f(x)?a}??liminfe{x|fn(x)?a?

k?1

n

1k

?

??liminfe{x|fn(x)?a?

k?1

n

1

}k

证明：?x?e{x|f(x)?a},?k?n，即f(x)?a?a?因为limfn(x)?f(x)，?n?n，使?m?n，有fn(x)?a?

n??

1k1k

，且x?e ，故

1k

x?e{x|fm(x)?a?

1k

所以x??e{x|fm(x)?a??m?n)，

m?n

x???e{x|fm(x)?a?

n?nm?n?

1k

= liminfe{x|fm(x)?a?

n

1k

n

}，由k的任意性：

1k，

x??liminfe{x|fn(x)?a?

k?1

n

1k

?

，反过来，对于?x??liminfe{x|fn(x)?a?

k?1

?k?n，有 x?liminfe{x|fm(x)?a?

n

1k

}=

n?nm?n

??e{x|fm(x)?a?

1k

，即

1k

?n?n，?m?n时，有：fm(x)?a?

1k

且x?e，所以，limfm(x)?f(x)?a?

m

且

x?e.又令k??，故 f(x)?a且x?e 从而x?e{x|f(x)?a}

?

故 e{x|f(x)?a}=?liminfe{x|fn(x)?a?

k?1

n

1k

8．设{fn(x)}是区间（a，b）上的单调递增的序列，即

f1(x)?f2(x)???fn(x)??

?

若fn(x)有极限函数f(x)，证明：?a?r，e{f(x)?a}??e{fn(x)?a}

n?1

证明： ?x?e{f(x)?a}，即：x?e且f(x)?a，因为limfn(x)?f(x)

n??

所以?n0?n,?n?n0，恒有：fn(x)?a且x?e，从而，x?e{fn(x)?a} ?

??e{fn(x)?a}

n?1

?

反过来，?x??e{fn(x)?a},?n0?n，使x?e{fn(x)?a}，故?n?n0，因此，

n?1

limfn(x)?f(x)?fn0(x)?a且x?e,即，x?e{f(x)?a}，

n??

?

从而，e{f(x)?a}??e{fn(x)?a}

n?1

10．证明：r中坐标为有理数的点是不可数的。证明：设q为有理数集，由定理6：q是不可数的。

现在证：q?q?q?{(x,y,z)|x,y,z都是有理数}可数?x?q，因为

q?q ??({x}?q)是可数个有理数集的并，故可数，

x?q

3

又因为q?q?q??({x}?q?q)并且?x?q，{x}?q?q~q?q，所以

x?q

{x}?q?q可数

故q?q?q可数

14．证明：可数集的有限子集的全体仍是可数

证明：设q为可数集，不妨记为：q?{r1,r2,r3,?,rn,?} ?n?n,令

an?{a|a?{r1,r2,r3,?,rn}}

a???n为正交可数集，即?n?c0

n?n

则 ?n为有限集（?n?2），则

n

又因为q~?{x}|x?q??

a，所以c0?q?a ，故a?c0

a是q上一切有限子集的全体。

15．设是两两不相交的集所组成的集列，证明：

limen?limen??

n??

n??

?

证明：因为{e1,e2,?}两两不相交，所以，?n?n,?em??，故

m?n

?

n??

n?1

?m?n

?n?1

limen???(?em)?????

?

n??

?

n??

另一方面，若limen??(?em)??，我们取x0?limen

n?1m?n

则?k?n,?nk?k，使得x?en.特别的，当 k?1?n时，?n1?1,有x?en，当

k

k?n1?1时：?n2?n,n2?k?n1?1?n1，有x?e2（n1?n2) 从而，

x?en1?en2

这与en?en??矛盾，故limen??

1

2

n??

从而limen?limen??

n??

16．若集a中每个元素由相互独立的可列个指标所决定，即a={axx 1

2?

而每个指标xi }，

在一个势为c的集中变化，则集a的势为c。

?

证明：设xi在势为c的集合中变化，即a={axx

?i

12?

|(x1,x2,?)?

?

i?1

bi}

因bi~r?,?i:bi?r? 是既单又满的映射，

?

?

?

定义 ?:?bi?r;?x?(x1,x2,?)??bi,?(x)??(x1,x2,?)?(?1(x),?2(x),?) i?1

i?1

?

?

?

故?是?bi到r得既单又满的映射,从而，a~

i?1

?b

i?1

i

~r

?

从而 a?r

?

?

?c

17．设?an的势是c，证明至少有一个an的势也是c。

n?1

?n?1

证明：因为?n?n,an??an，所以an??an?c

?

如果?n?n,an?c，则?n?n,an?c，即，an正交可数，从而，?an正交可数.

n?1

?

这与?an?c矛盾.

n?1

故，?n??,使an?c.

18．证明：[0,1]上的实函数全体具有势2 证明：设

??{a|a?[0,1

c

，则??2

c

记[0，1]上全体是函数所构成的集合为? 对于?x??，定义函数

?a(x)??

?1,x?a?0.x?a

,即?a是集合a的特征函数。

???a|a?[0,1]???

? 2

c

????

【篇三：实变函数论课后答案第二章4】

xt>第二章第四节习题

1. 证明全体有理数所构成的集合不是g?集，即不能表成可数多个开集的交. 证明：设r上全体有理数为?r??q. 1,r2,r3,?rn,?

1

则一个?rn?作为单点集是闭集，所以q???ri?是f?集，但要证q不是g?集，则不容易.

i?1

?

这里用到：baire定理，设e?r是f?集，即e??fk.

k?1

n

?

fk?k?1,2,??是闭集，若每个fk皆无内点，则e也无内点

（最后再证之）

反证设q??ri;i?1,2,?（gi为开集，i?1,2,? ?为g?集，即q??gi， i?1?

）

r1上的单调函数的全体所组成的集合的势为c??.

证明：任取r上的单调函数f，则其间断点至多可数个，设其无理数的间断点，为

1

设r中的有理数为q??r?,?f??,令 1,r2,?rn,?

1

??f????x1,f?x1??,?r1,f?r1??,??xi,f?xi??,?ri,f?ri??,???r2.则??f?为r中可数集.

2

?,gx?若f,g??，使??f????g?，则?xi,f?xi????f?存在xjj?? ???????g?

???

?,f?x??g?x??，所以x?x

?,gx?使xi,f?xi??xjj

i

j

i

??

?

j

从而?xi?q,f?ri??g?ri?.

?f的无理数间断点xi，xi也是g的无理数间断点，且g?xi??f?xi?.反过来也是的，?g的无理间断点，xi也是f，的无理数间断点，且g?xi??f?xi?. 故??f????g?表明f与g在有理点重合，无理间断点相同，且在无理间断点的值. 所以f?g于r，所以?是1?1的.

1

利用下面结论：claim：任何其有连续势的集合的全体可数子集所构成的族的势为连续势. 知：??c.

另一方面c?fc?x??x?c,c??0,1??? 证毕.

lemma:设为x,y两集合，?:x?y是一个满射，则y?x.即存在x的一个子集

a,a?y.

证明：因为?为满射，?y?y,??1?y??x;x?x,??x??y?? 且

y,z?y,y?z时必有?

?1

??

?y????1?z???.

?1

令????y?;y?y，则由选择公理存在一个集合x，它由?中每一个集合??1?y?中

??

恰取一个元素而形成，显?x?x,?a??x，存在唯一一个y?y，使a???1?y?.

x与y是对等的，故y?x. 所以?

证毕.

选择公理：若?是由互不相交的一些非空集合所形成的集合族，则存在集合x，它由该族的每一个集合中恰取一个元素而形成.

2. 证明?0,1?上全体无理数所作成的集合不是f?集.

证明：设?0,1?上全体无理数所作成的集合是?，则???0,1??q，（q为r上全体有理数

1

的集合）

若?为f?集，则存在闭集fi,i?1,2,?使???fi.

i?1?

所以?

c

?q??0,1???fic为g?集.

i?1

?

????

fi????rk?，?rk?，fi为闭集，?rk?无内

点. ?0,1?????q??0,1????i?

??1?k?1

i?1

?fi??显为内点.

?

所以fi无内点.

这说明?0,1?无内点（baire定理）得矛盾. 证毕.

3. 证明不可能有在?0,1?上定义的在有理点处都连续，在无理点处

都不连续的实函数.

证明：若存在这样的?0,1?上的实函数，它在有理点都连续，在无理

点都不连续.

f?x?的全体不连续点的集合为?0,1?上的全体无理数为?，由本章第

二节习题10结论知

?为f?集，这于本节习题2的结论：?不是f?集矛盾.

故不存在这样的?0,1?上的函数.

4. 证明r中全体开集构成一基数为c的集合，从而r中全体闭集也

构成一基数为c的集

合.

证明：对任意的r上开集合，由开集的构造定理，存在??,??,?i,?i?r1?????????

1

1

1

使得g????i,?i?????,???????,???.

i?1

?

下面建立r上的开集到全体实数列集成的集合的一个映射i. 若g?r，令i?g???0,0,?,0,??.

1

1

若g?r，则g????i,?i?????,???????,???.

1

i?1

m

令i?g??k?,k?,?1,?1,?2,?2,?.

这里k????，若?????,k??0；若?????,k????；若?????,k??0；若?????则这个映射i是单射.

12

若g1,g2?r1g1?r,g2?r且i?g1??i?g2?.

??

??

g1????i,?i?????,???????,???

i?1?

?

g2????i,?i?????,???????,???

i?1

则?????,?????,?i??i,?i??i. 故g1?g2.

又若i?g???0,0,?0,??则必有g?r（否则i?g?至少有一个分量不等于零）.

1

故i是单射，所以r上全体开集所作成的集合的势?c. 令一方面，?a?r,?a,a?1?是一开集，

1

1

?:r?r上全体开集之集合，令i

1

1

1

则c?r1?“r上全体开集之集的势” ?c，

由berstrein定理，r上全体开集之集合的势为c. 证：记可数集??b?x,r?;x?q,r?q

n

1

?

1

???b?x??,r?,?,b?x??,r?,??.

1

m

1

m

显?:u??0,1??

?

??a,a,?a

1

2

m

,??;am?0或1?

u?

b?x,r??v

?

b?x,r???a1,a2,?am,??

?m??1bx,rm?u?

am??

?m?c

?0bx,rm?u???

??

??

??u????v??b?x,r??u,?x,r??qn?q??b?x,r??v

所以u?v. ?为单射.

所以c??0,1????b?x,r?;r?r??0,??c. 由berstein定理 ??c ?

??ff?rn为闭集?fcf?rn为闭集???c.

故i是单射，所以r上全体开集所作成的集合的势?c. 另一方面，?a?r,?a,a?1?是一开集

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?:r?r上全体开集的集合令i

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则c?r1?“r上全体开集的集合的势” ?c，

由berstein定理，r上全体开集的集合的势为c.

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