说课二项式定理(通项公式).doc
二项式定理
二项式知识回顾
1. 二项式定理
0111
()n n n k n k k
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++
++
+,
以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k
k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.
（请同学完成下列二项展开式）
0111
()(1)(1)n n n k k n k k
n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+
+-，1(1)k k n k k
k n T C a b -+=-
01(1)n k k
n n
n n n n x C C x C x C x +=++
+++ ① 01
11
(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++
++
+
1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++
+ ②
① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01
2n
n n n n C C C ++
+=，即二项式系数和等于2n ；
偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++
=
② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.
2. 二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m
n n C C -=.
（2）二项式系数k
n C 增减性与最大值： 当12n k +<
时，二项式系数是递增的；当1
2
n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n
n
C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n
C -和12n n
C
+相等，且同
时取得最大值.
3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n
⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)
⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n
a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)
1()1(-+f f
⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=
2
)
1()1(--f f
经典例题
1、“n b a )(+展开式：
例1．求4)13(x
x +的展开式；
【练习1】求4)13(x
x -的展开式
2.求展开式中的项
例2.已知在
n 的展开式中，第6项为常数项.
（1） 求n ； （2）求含2
x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
【练习2】若
n 展开式中前三项系数成等差数列.求：
（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.
3.二项展开式中的系数
例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n
x -的展开式的二项式系数和大
992，求21(2)n
x x
-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项
[练习3]已知*22)()n n N x
∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.
(1)求展开式中含32
x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例4．
7
2)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；
5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例5（04安徽改编）3)21
(-+
x
x 的展开式中，常数项是 ；
6、求中间项
例6求（103
)1
x
x -
的展开式的中间项；
例7 103
)1
(x
x -的展开式中有理项共有 项；
8、求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例8（00上海）在二项式11
)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；
（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(x
x +
展开式中系数最大的项；
（3） 系数绝对值最大的项
例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；
9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和
例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；
【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；
【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；
【练习3】9
2
)21(x
x -展开式中9x 的系数是 ；
中学数学观摩课《二项式定理》说课稿
中学数学观摩课《二项式定理》说课稿 一、教材分析 1、地位和作用： 二项式定理是选修2－3的1.3节的第一课时，本节课是在学习了排列组合的基础上学习的，并为后面学习概率中的二项分布奠定了基础，所以它是承上启下的一节课。二项式定理不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并且还能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。 2．重点难点 根据本节教材特点及学生的认知结构确定本节课的教学重点为：二项定理的推导及通项公式的运用 由于二项式定理的导出对学生来讲有一定的难度所以确定本节课的难点为：二项式定理的推导 二目标分析 1、结合重点中学学生的实际情况，确定本节课的教学目标如下： （1）掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能
熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. （2）通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. （3）激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识. 2、教法、学法： （1）贯穿好“过程性”原则，要重视学生的参与过程，又要重视知识的重现过程.在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. （2）变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者。 三、教学过程分析： （一）创设情境，激发兴趣 提出问题：“今天是星期六，我能很快知道再过810天的那一天是星期几，你能想出来吗？” 设计意图：根据教学内容特点和学生的认识规律，给学生提出一些能引起思考和争论性的题目，即一些内容丰富、
二项式定理(通项公式)
六、二项式定理 一、指数函数运算 知识点：1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 例题： 例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： 1） a a a a a a ,,32 32?? (式中a ＞0) 2)43a a ? 3）a a a 例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式： );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简：)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值：.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②
二项式定理
二项式定理 性质：说课稿 一、教材分析 1.教材的地位和作用 二项式定理一节，分四个课时.这里讲的是第一课时，重点是公式的推导，其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用，至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、四课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于： （1）由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. （2）由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数以及计数原理的认识. （3）基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. （4）二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 2.教学的重点·难点 根据以上分析和新课标的教学要求确定了以下： 重点：二项定理的推导及运用 难点：二项式定理及通项公式的运用 二、三维教学目标分析 知识目标掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 能力目标通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 情感目标激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识.
三、教法分析： 新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 四、教学过程： （一）创设情境，激发兴趣 提出问题：“今天是星期六，我能很快知道再过810天的那一天是星期几，你能想出来吗？” 设计意图：根据教学内容特点和学生的认识规律，给学生提出一些能引起思考和争论性的题目，即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境，利用问题设下认知障碍，激发学生的求知欲望. （二）问题初探 （1）、从具体问题入手，启发学生将这个问题转化成一个数学问题：“求810被7除的余数是多少？”因为8=7+1，82=（7+1）2=72+2﹡ 7+1，83=（7+1）3=73+3 72+3 ﹡7+1,那810=（7+1）10又如何展开呢？更一般的（a+b）10、(a+b)n 如何展开？从而产生研究问题从特殊到一般的转化. 1、先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出（a+b） 2、（a+b） 3、（a+b）4的展开式，然后提出用这种方法写出（a+b）10的展开式容易吗？（a+b）100、（a+b）n呢？对于这个问题，我们如何解决？
二项式定理(通项公式).
二项式定理 二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+ +-，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=++ +++ ① 01 11 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++ ++ + 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++ + ② ① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01 2n n n n n C C C ++ +=， 即二项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213 12n n n n n C C C C -++=++ = ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +< 时，二项式系数是递增的；当1 2 n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n C -和12n n C +相等，且同 时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2) 1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……= 2 ) 1()1(--f f
排列数、组合数公式及二项式定理的应用
排列数、组合数及二项式定理整理 慈济中学全椒 刘 1、排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)． 2、排列恒等式 (1) 1(1)m m n n A n m A -=-+;(2) 1m m n n n A A n m -= -;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5) 1 1m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?+ +?=+-. 3、组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 4、组合数的两个性质 (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1 +. 5、排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 6、二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈ 【注】： 1．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 2．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
高中数学排列组合说课讲解
高中数学排列组合
模块九 排列与组合、二项式定理 第一部分：排列、组合 一。计数原理 加法计数原理：如果完成一件事情可以分为m 类，每一类的方法数分别是：N 1，N 2，N 3，…..N m ,则完成这件事情共有N 1+N 2+N 3+…..+N m 种方法。（又称分类计数原理） 乘法计数原理：如果完成一件事情须分为m 步，每一步的方法数分别是：N 1，N 2，N 3，…..N m ,则完成这件事情共有N 1?N 2?N 3?…..?N m 种方法。（又称分类计数原理） 分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决。正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成. 二。排列数、组合数的定义 ①排列数：从n 个元素中取出m 个排成一列（即排入m 个位置），共有m n A 种排法。 A m n =n （n －1）（n －2）…（n －m +1）.特别的：!n A n n = ②组合数：从n 个元素中取出m 个形成一个组合，共有m n C 种取法。 C m n = ! )!(!m m n n -特别地：1,10==n n n C C 组合数的两个性质： （1）C m n =C m n n -； （2）C m n 1+=C m n +C 1 -m n . 三。解决排列、组合问题的四大原则及基本方法 1. 特殊优先原则 该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置．
作，每天１人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出不同的值班表有（ ） Ａ．90种 Ｂ．89种 Ｃ．60种 Ｄ．59种 解析：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：①从除周一的5天中任取2天安排甲有2 5C 种；②从剩下的4天中选2天安排乙有2 4C 种；③仅剩2天安排丙有2 2C 种．由分步乘法计数原理可得一共有 222 54260C C C =··种，即选Ｃ． 评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑． 2.先取后排原则 该原则充分体现了m m m n m n C A A =·的精神实质，先组合后排列，从而避免了不 必要的重复与遗漏． 4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）． Ａ．12种 Ｂ．24种 Ｃ．36种 Ｄ．48种 解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有2 4C 种分法，再将这三组分 配到三所学校有33A 种分法，由分步乘法计数原理知一共有23 4336C A =·种不同分 配方案． 评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题．若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有34A 种
高中数学《导数概念》说课稿
高中数学《导数概念》说课稿 高中数学《导数概念》说课稿 说课的基本形式是“四大模块”模式，一般由说教材、说教法、说学法、说教学程序等部分构成。xx为大家准备一篇高中数学《导数的概念》说课稿.2.5KB，希望给你说课写作带来参考。 数学是一切科学的基础，以下是xx为大家整理的高三数学说课稿，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，xx一直陪伴您。 一、教材分析 导数的概念是高中新教材人教A版选修2-2第一章1.1.2的内容,是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。 新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的逼近方法定义导数。 问题1气球平均膨胀率-- 瞬时膨胀率 问题2高台跳水的平均速度-- 瞬时速度-- 根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点 二、教学目标 1、知识与技能： 通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。 2、过程与方法： ①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力 ②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法 3、情感、态度与价值观： 通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发
学生学习数学的兴趣. 三、重点、难点 重点：导数概念的形成，导数内涵的理解 难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点 四、教学设想(具体如下表) 教学环节教学内容师生互动设计思路创设情景、引入新课幻灯片 回顾上节课留下的思考题： 在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=-4.9t26.5t10.计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题： (1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 首先回顾上节课留下的思考题： 在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为 0 ，但我们知道运动员在这段时间内并没有静止。为什么会产生这样的情况呢? 引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。使学生带着问题走进课堂，激发学生求知欲。 最后，希望精品小编整理的高三数学说课稿对您有所帮助，祝同学们学习进步。同类文章： 高三数学说课稿：《反函数》 高三数学说课稿:《二项式定理》说课稿
高考数学 《二项式定理》
二项式定理 主标题：二项式定理 副标题：为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：二项式定理，二项式系数，项系数 难度：2 重要程度：4 考点剖析： 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 命题方向： 1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题． 2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n项； (2)求二项展开式中的特定项； (3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数． 规律总结： 1个公式——二项展开式的通项公式 通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点： (1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项； (2)通项公式中a，b的位置不能颠倒； (3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”． 3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”； (2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．
知 识 梳 理 1．二项式定理 二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 二项展开式 的通项公式 T r ＋1＝C r n a n －r b r ，它表示第r ＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C 0 n ，C 1n ，…，C n n 2.二项式系数的性质 (1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n 为偶数时，第n 2 ＋1项的二项式系数最大，最大值为2n n C ；当n 为奇数时，第n ＋1 2项和n ＋3 2项的二项式系数最大，最大值为21 -n n C 或21 +n n C . (3)各二项式系数和：C 0 n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ， C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2 n －1.
二项式定理_说课稿-
《二项式定理》说课稿 一、教材分析 1、地位和作用： 二项式定理是选修2－3的1.3节的第一课时，本节课是在学习了排列组合的基础上学习的，并为后面学习概率中的二项分布奠定了基础，所以它是承上启下的一节课。二项式定理不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并且还能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。 2．重点难点 根据本节教材特点及学生的认知结构确定本节课的教学重点为：二项定理的推导及通项公式的运用 由于二项式定理的导出对学生来讲有一定的难度所以确定本节课的难点为：二项式定理的推导 二目标分析 1、结合重点中学学生的实际情况，确定本节课的教学目标如下： （1）掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. （2）通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. （3）激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识. 2、教法、学法： （1）贯穿好“过程性”原则，要重视学生的参与过程，又要重视知识的重现过程.在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. （2）变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者。 三、教学过程分析： （一）创设情境，激发兴趣 提出问题：“今天是星期六，我能很快知道再过810天的那一天是星期几，你能想出来吗？” 设计意图：根据教学内容特点和学生的认识规律，给学生提出一些能引起思考和争论性的题目，即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境，利用问题设下认知障碍，激发学生的求知欲望. （二）问题初探 1、从具体问题入手，启发学生将这个问题转化成一个数学问题：“求810被7除的余数是多少？”因为 8=7+1，82=（7+1）2=72+2*7+1，83=（7+1）3=73+3*72+3*7+1,那810=（7+1）10又如何展开呢？这就要用到我们今天将要学习的二项式定理。（板书题目“二项式定理”） 2、先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出（a+b）2、（a+b） 3、（a+b）4的展开式，然后提出用这种方法写出（a+b）10的展开式容易吗？（a+b）100、（a+b）n呢？ 设计意图：复习旧知识，提问设疑，逐步推进，引起学生对学习的注意，为学生学习新课内容作知识上、方法上、心理上的准备. （三）理性探究 1．引导学生对写出的（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展开式进行下列四个方面的探究： ①项数；②各项次数；③字母a、b指数的变化规律；④各项系数 在此过程中教师提出问题学生思考学生小组讨论，自由发表见解. 2．学生虽然注意到各展开式的结构特征，也很快能得出：①项数；②各项次数；③字母a、b指数的变化规律，但还缺乏丰富的联想意识，并且对各项系数的探究出现困难.于是进一步启发学生从多项式乘以多项式的过程中去发现思路，即研究a4、a3b……这些项的形成过程中去寻找解决问题的方法，学生才领悟到a4是从（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）四个括号中，每个括号都取a然后相乘而得到，即每个
二项式定理中的特殊项问题
《二项式定理中的特殊项问题》导学案 学习目标： 1． 进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式； 2． 学会利用“赋值”的方法解决有关问题。 学习重点：二项式系数性质的应用； 学习难点：二项式系数性质的应用。 学习过程： 学习提纲： n n n r r n r n n n n n n b b a b a a b a C C C C )(110+++++=+--ΛΛ，是二项式展开式定理， 主要研究了以下几个方面的问题： （1）展开式；（2）通项公式；（3）二项式系数及其有关性质。 1．求5 2 3 )12()1(+-x x 的展开式中2 x 项的系数。 变式1：9()a x x -的展开式中3x 的系数是84-，求a 的值。 2． 求二项式3 5 2 1()x x - 的展开式中的常数项。 3． 求11 的展开式中的有理项。 4． 已知22)()n n N x ∈*的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1。 （1） 求展开式中各项系数的和； （2） 求展开式中含32 x 的项； （3） 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。 5． 若82 80128()x a a a x a x a x -=++++g g g ，且556a =，求0128a a a a ++++g g g 的值。 当堂检测：
1．（2011 陕西高考）6 (42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是（ ） .20A - .15B - .15C .20D 2．若4234 01234(1)x a a x a x a x a x -=++++，则024a a a ++的值为 。 3．若(0)x ∈+∞，，则15 (12)x +的二项展开式中系数最大的项为 。 4．已知(1)n x -的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则(1)n x -的展开式中系数最小的项是 。 5．若1(3)n x x +的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x 的整数次幂的项。 作业：课本 40P A 组1～9题；B 组1～5题 附加题：若4 1()2n x x +展开式中前三项系数成等差数，求展开式中系数最大项． 补充作业： 1．若016 6777a +x a +....+x a +x a =)1-x 3(，求 （1）1237a a a a ++++g g g ； （2）7531a +a +a +a ； （3）01237||||||||||a a a a a +++++L 2．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（ ） A ．160 B ．240 C ．360 D ．800 3．已知2()n i x x - 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式 中系数为实数且最大的项为（ ） A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第5项或第6项 4．设()(1)(1)m n f x x x =+++（m 、n ∈N*），若其开展式中关于x 一次项的系数和为11，问m 、n 为何值时，含x 项的系数取最小值并求这个最小值．
(完整版)二项式定理典型例题
1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类 似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；
精选-分类加法计数原理与分步乘法计数原理说课稿
分类加法计数原理与分步乘法计数原理说课稿 一、说教材分析： 1、教材地位： 本节课是高中数学选修2-3第一章计数原理中1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理，本小节共需4课时，这节课是第一课时。 先说本章及本节的教材地位。计数问题是数学中的重要研究对象之一，也是人们了解客观世界的一种最基本的方法。分类加法计数原理、分步乘法计数原理这两个计数原理是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律。它们不仅是推导本章1.2排列与组合中排列数、组合数计算公式的依据，也是求解排列、组合问题的基本思想，且教材将排列、组合及二项式定理的研究都作为两个计数原理的典型应用而设置的。可见，其基本思想方法贯穿本章内容的始终，因而，它们是学好本章内容的关键。另一方面，这两个计数原理也是学生今后学习概率及今后进一步学习高等数学有关分支的 预备知识。因此，理解和掌握两个计数原理应该是最基本而重要的。 由于本节课是本章的第一节课，虽然正确运用两个计数原理是本章的重点，但由于学生要达到会用的境界，需要经过一定的应用性训练的。且《数学教育学》告诉我们，在定理、原理的教学中，尽量先让学生通过对具体实例的观察、测量、
计算等实践活动，来归纳猜想具体的内容，这样做有利于学生对他们的理解。依据这个来设计本节教学目标与重点、难点。 2 教学目标 知识与技能： ①通过实例，总结两个基本计数原理;正确理解完成一件事情的含义; ②初步学会区分分类和分步 ③会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题。 过程与方法： ①通过典型的、学生熟悉的实例(座位编号问题)，得出解答后，利用探究引导学生分析问题的本质，然后再抽象概括出基本原理; ②通过简单应用使学生初步熟悉原理; ③最后通过探究引导学生将原理推广到更加一般的情形; ④初步学会区分分类和分步。 情感态度与价值观： ①体会数学来源生活，并为生活服务，以此激发学生学习本章的兴趣; ②使学生通过概括两个基本原理及推广，进一步加深特殊与一般的关系; ③通过分类和分步让学生初步学会将复杂问题进行分解，将
例说二项式定理的常见题型及解法
例说二项式定理的常见题型及解法 二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。 一、求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(x x + 的展开式； 解：原式=4 )1 3( x x +=2 4)13(x x + = ])3()3()3()3([144342 243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(1 2342++++x x x x x =541 12848122++++x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(x x - 的展开式； 分析：解决此题，只需要把4)13(x x - 改写成4)]1(3[x x -+的形式然后按照二项展开式的格式展 开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-； 解：原式=n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3 33 22 11 -=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
二项式定理(通项公式)
1 1 1 1 例 5 化简：(x" y 2) (x 4 yj 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 （a b ）n C 0a n C ：a n B L C ：a n k b k L C ；b n , k 以上展开式共n+1项，其中C n 叫做二项式系数, （请同学完成下列二项展开式） (a b)n C 0a n C ：a n 1b 1 L ( 1)k C ：a n k b k L (1)n C ：b n , T k 1 k k n k k (1) C n a b (1 x)n C 0 C ：x L C'x k L C ；x n ① (2x 1)n C 0 (2x)n C n (2x)n1 L k n k C n (2x) L C ； 1(2x) 1 n n 1 i a n x a n 1x L a n n k k x L a 1x a 。 ② 一、指数函数运算 知识点：1整数指数幕的概念. a n a a a a(n N*) 六、二项式定理 a 0 1(a 0) 1 a n -(a 0,n N*) * a n 2 ?运算性质： a m a n a m n (m,n Z) , (a m )n a mn (m,n Z) , (ab) 3.注意 ① m a a n 可看作a m a n m ??? a n m a =a a n m n =a + ② (a )n 可看作a n b n .,a 、n J …(_) =a n n a b = n ? b b b m 4、a 下 Va m ( a >0, m n € N,且 n > 1) * n 个a n a n b n (n Z) 例题: 例1求值： 2 1 3 SoQ 3 碍八 例2用分数指数幕的形式表示下列各式: 1) a 2 1.3.1二项式定理说课稿 执教人：罗杰 一、 说教材 二项式定理一节，分三个课时.这里讲的是第一课时，重点是公式的推导，其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用，至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于： （1） 由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. （2） 由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识. （3） 基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. （4） 二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 因此，结合重点中学学生的实际情况，确定本节课的教学目标如下： 1、掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 2、通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 3、激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识. 重点：二项定理的推导及运用 难点：二项式定理及通项公式的运用 二 、说教法、学法： 新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.没有途径，学生无法达到目的，因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则，既要重视学生的参与过程，又要重视知识的重现过程.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 三、 教学过程： （一）、复习引入： ⑴22202122 222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++； ⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4 ()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 高三复习课《二项式定理》说课稿 高三复习课《二项式定理》说课稿 高三第一阶段复习，也称“知识篇”。在这一阶段，学生重温高一、高二所学课程，全面复习巩固各个知识点，熟练掌握基本方法和技能；然后站在全局的高度，对学过的知识产生全新认识。在高一、高二时，是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，学的知识往往是零碎和散乱，而在第一轮复习时，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，把各个知识点融会贯通。对于普通高中的学生，第一轮复习更为重要，我们希望能做高考试题中一些基础题目，必须侧重基础，加强复习的针对性，讲求实效。 一、内容分析说明 1、本小节内容是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的二项式的乘方的展开式，与数学的其他部分有密切的联系： （1）二项展开式与多项式乘法有联系，本小节复习可对多项式的变形起到复习深化作用。 （2）二项式定理与概率理论中的二项分布有内在联系，利用二项式定理可得到一些组合数的恒等式，因此，本小节复习可加深知识间纵横联系，形成知识网络。 （3）二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。 2、高考中二项式定理的试题几乎年年有，多数试题的难度与课本习题相当，是容易题和中等难度的 试题，考察的题型稳定，通常以选择题或填空题出现，有时也与应用题结合在一起求某些数、式的 近似值。 二、学校情况与学生分析 （1）我校是一所镇普通高中，学生的基础不好，记忆力较差，反应速度慢，普遍感到数学难学。但大部分学生想考大学，主观上有学好数学的愿望。 （2）授课班是政治、地理班，学生听课积极性不高，听课率低（60﹪），注意 二项式定理例题讲解 分 类 计 数 原 理 分 步 计 数 原理 做一件事，完成它有n 类不同的办法。第一类办 法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方 法……，第n 类办法中有mn 种方法，则完成这件 事共有：N=m1+m2+…+mn 种方法。 做一件事，完成它需要分成n 个步骤。第一步中有m1种方法， 第二步中有m2种方法……，第n 步中有mn 种方法，则完成 这件事共有：N=m1 m2 … mn 种方法。 注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。 排列 组合 从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的排列。 从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的组合。 排列数 组合数 从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的 排列数，记为Pnm 从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫 做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记为Cnm 选排列数 全排列数 二项式定理 二项展开式的性质 (1)项数：n+1项 (2)指数：各项中的a 的指数由n 起依次减少1，直至0为止；b 的指出从0起依次增加1，直至n 为止。而每项中a 与b 的指数之和均等于n 。 (3)二项式系数： 各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和 例1．试求： （1）(x 3－ 22x )5 的展开式中x 5的系数； （2）(2x 2－x 1 )6的展开式中的常数项； （3）(x －1)9的展开式中系数最大的项； （4）在1003)23(+x 的展开式中，系数为有理数的项的个数． 解：（1）T r ＋1＝r r r r r r x C x x C 51552535)2()2() (---=- 依题意15－5r ＝5，解得r ＝2 故(－2)2r C 5＝40为所求x 5的系数 （2）T r ＋1＝r C 6(2x 2)6 － r r x )1(-＝(－1)r ·26－ r ·r r x C 3126- 依题意12－3r ＝0，解得r ＝4 故4 )1(-·222 6C ＝60为所求的常数项． （3）T r ＋1＝r )1(-r r x C -99 ∵1265 949==C C ，而(－1)4＝1，(－1)5＝-1 ∴ T 5＝126x 5是所求系数最大的项 （4）T r ＋1＝r r r r r r r x C x C -- -??=1003 2 50100 3 100100 23 )2() 3(, 要使x 的系数为有理数，指数50－ 2r 与3 r 都必须是整数， 因此r 应是6的倍数，即r ＝6k （k ∈Z ）， 又0≤6k ≤100，解得0≤k ≤16 3 2 （k ∈Z ） ∴x 的系数为有理数的项共有17项． 评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．1.3.1二项式定理说课稿
高三复习课《二项式定理》说课稿
二项式定理公式、各种例题讲解及练习