古典概型与几何概型考点与题型归纳

古典概型与几何概型考点与题型归纳

一、基础知识

1.古典概型

(1)古典概型的特征：

①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.

(2)古典概型的概率计算的基本步骤：

①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A ；

②分别计算基本事件的总数n 和所求的事件A 所包含的基本事件个数m ； ③利用古典概型的概率公式P (A )＝m

n ，求出事件A 的概率.

(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同

(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.

(2)几何概型的基本特点：

①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； ②每个基本事件出现的可能性相等. (3)计算公式： P (A )＝

构成事件A 的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

.

几何概型应用中的关注点

(1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.

(2)确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.

考点一 古典概型

[典例精析](1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋

23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A.1

12 B.114 C.115

D.118

(2)(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( )

A.736

B.12

C.1936

D.518

[解析] (1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率P ＝345＝115

.

(2)投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为?????

1≤a ≤6，a ∈N *，

1≤b ≤6，b ∈N *

，

所以a 和b 的

组合有36种.

若方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解， 则Δ＝b 2－4a ≥0，所以b 2≥4a .

当b ＝1时，没有a 符合条件；当b ＝2时，a 可取1；当b ＝3时，a 可取1,2；当b ＝4时，a 可取1,2,3,4；当b ＝5时，a 可取1,2,3,4,5,6；当b ＝6时，a 可取1,2,3,4,5,6.

满足条件的组合有19种，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率P ＝19

36.

[答案] (1)C (2)C

[题组训练]

1.(2019·益阳、湘潭调研)已知a ∈{－2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为

减函数的概率是( )

A.310

B.35

C.25

D.15

解析：选C 若函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数，则a 2－2＜0，又a ∈{－2,0,1,2,3}，故只有a ＝0，a ＝1满足题意，又b ∈{3,5}，所以函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是2×25×2＝2

5

. 2.从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )

A.518

B.49

C.59

D.79

解析：选C 由题意得，所求概率P ＝5×4×29×8

＝5

9.

3.将A ，B ，C ，D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是( )

A.1

2 B.14 C.16

D.18

解析：选B A ，B ，C ，D 4名同学排成一排有A 44＝24种排法.当A ，C 之间是B 时，有2×2＝4种排法，当A ，C 之间是D 时，有2种排法，所以所求概率P ＝4＋224＝14

.

考点二 几何概型

类型(一) 与长度有关的几何概型

[例1] (2019·濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( )

A.2

15 B.715 C.35

D.1115

[解析] ∵f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，∴Δ＝m 2＋4m ≥0，∴m ≤－4或

m ≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率P ＝[－4－(－6)]＋(9－0)9－(－6)

＝11

15，故选D. [答案] D

类型(二) 与面积有关的几何概型

[例2] (1)(2018·潍坊模拟)如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )

A.1

4 B.13 C.23

D.34

(2)(2019·洛阳联考)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )

A.4π2

B.4π3

C.2π

2 D.2π

3 [解析] (1)设正六边形的中心为点O ，BD 与AC 交于点G ，BC ＝1，则BG ＝CG ，∠BGC ＝120°，在△BCG 中，由余弦定理得1＝BG 2＋BG 2－2BG 2cos 120°，得BG ＝3

3

，所以S △BCG ＝12×BG ×BG ×sin 120°＝12×33×33×32＝3

12

，因为S 六边形ABCDEF ＝S △BOC ×6＝

12

×1×1×sin 60°×6＝332，所以该点恰好在图中阴影部分的概率P ＝1－6S △BCG S 六边形ABCDEF ＝2

3

.

(2)由题意知圆O 的面积为π3，正弦曲线y ＝sin x ，x ∈[－π，π]与x 轴围成的区域记为

M ，根据图形的对称性得区域M 的面积S ＝2∫π0 sin x d x ＝－2cos x |π0

＝4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率P ＝4

π

3.

[答案] (1)C (2)B

类型(三) 与体积有关的几何概型

[例3] 已知在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，P A ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O -ABCD 的体积不小于2

3的概率为

________.

[解析] 当四棱锥O -ABCD 的体积为2

3时，设O 到平面ABCD 的距离

为h ，则13×22×h ＝23，解得h ＝1

2

.

如图所示，在四棱锥P -ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为1

2

.

因为P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，所以PH P A ＝3

4，

又四棱锥P -ABCD 与四棱锥P -EFGH 相似，

所以四棱锥O -ABCD 的体积不小于23的概率P ＝V 四棱锥P -EFGH V 四棱锥P -ABCD ＝????PH P A 3＝????343＝2764. [答案]

27

64

类型(四) 与角度有关的几何概型

[例4] 如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧

，在∠DAB 内任作射线AP ，则

射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.

[解析] 连接AC ，如图， 因为tan ∠CAB ＝BC AB ＝3

3

，

所以∠CAB ＝π

6，满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内，且AP 与AC 相交时，即直线

AP 与线段BC 有公共点，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率P ＝∠CAB ∠DAB ＝π

6π2

＝1

3

.

[答案] 1

3

[题组训练]

1.(2019·豫东名校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为( )

A.3

4 B.23 C.13

D.12

解析：选D 由题图可知V F -AMCD ＝13×S 四边形AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF -BCE ＝1

2a 3，

所以它飞入几何体F -AMCD 内的概率P ＝14a 3

12a 3＝1

2.

2.在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥2

2

”发生的概率为________. 解析：由题意可得???

??

sin x ＋cos x ≥22，

0≤x ≤π，

即?????

sin ????x ＋π4≥12

，0≤x ≤π，解得0≤x ≤7π12

，

故所求的概率为7π

12π＝7

12.

答案：7

12

3.(2018·唐山模拟)向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________.

解析：如图，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB 的面积为12×23 π×2－

1

2×2×3＝2

3π－3，所以向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该

点落在x 轴下方的概率P ＝16－3

4π

.

答案：16－34π

[课时跟踪检测]

A 级

1.(2019·衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )

A.363π10 mm 2

B.363π5 mm 2

C.726π5

mm 2

D.363π20

mm 2 解析：选A 向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S ＝30100×π×112＝363π

10

(mm 2).

2.(2019·漳州一模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，丙是第一名的概率是( )

A.15

B.13

C.14

D.16

解析：选B 由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊.又因为所有的限制条件对丙、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等可能事件，所以丙是第一名的概率是13

.

3.(2019·郑州模拟)现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )

A.110

B.15

C.310

D.25

解析：选C 将5张奖票不放回地依次取出共有A 55＝120(种)不同的取法，若活动恰好

在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有C 23C 12

A 33＝36(种)取法，所以P ＝36120＝310

.

4.(2019·长沙模拟)如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )

A.π8

B.π16

C.1－π8

D.1－π16

解析：选C 正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为

82－8π.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为

P ＝82－8π82＝1－π8

.

5.(2019·郑州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝1，直线l ：y ＝k (x ＋2)，在[－1,1]上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )

A.1

2 B.2－22

C.3－33

D.2－32

解析：选C 圆C ：x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)，半径r ＝1，圆心到直线l ：y ＝k (x ＋2)的距离d ＝|0×k －0＋2k |k 2＋(－1)2＝2|k |k 2＋1，直线l 与圆C 相离时d ＞r ，即2|k |k 2＋1＞1，解得k ＜－33

或

k ＞3

3，故所求的概率P ＝2×????1－3

31－(－1)

＝3－3

3.

6.从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为________.

解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C 79＝36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有C 34＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率P ＝436＝19

. 答案：1

9

7.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如213,134)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是________.

解析：从1,2,3,4中任选3个互不相同的数并进行全排列，共组成A 34＝24个三位数，而

“好数”的三个位置上的数字为1,2,3或1,3,4，所以共组成2A 33＝12个“好数”，故所求概率P ＝1224＝12

.

答案：12

8.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π

6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中

小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.

解析：根据题意，大圆的直径为函数y ＝3sin π6x 的最小正周期T ，又T ＝2π

π

6＝12，所以

大圆的面积S ＝π·????1222

＝36π，一个小圆的面积S ′＝π·12＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率P ＝2S ′S ＝2π36π＝1

18

.

答案：1

18

9.(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.

解：(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.

(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种.

②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种.

所以事件M 发生的概率P (M )＝521

.

10.在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率.

解：(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件E A ，那么P (E A )＝A 33

C 25A 44＝140，

即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是1

40

.

(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E ，那么P (E )＝A 44

C 25A 44＝110，所以甲、

乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝9

10

.

(3)因为有两人同时参加A 岗位服务的概率P 2＝C 25A 33C 25A 44＝1

4

，所以仅有一人参加A 岗位服

务的概率P 1＝1－P 2＝3

4

.

B 级

1.(2019·太原联考)甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00～7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05～7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是( )

A.1

8 B.14 C.38

D.58

解析：选C 建立平面直角坐标系如图，x ，y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，则坐标系中每个点(x ，y )可对应甲、乙二人到达时刻的可能性，则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是????

?

y －x ≥5，0≤x ≤20，

5≤y ≤20，

其构成的区域为

如图阴影部分，则所求的概率P ＝1

2×15×1520×15

＝3

8.

2.(2019·开封模拟)如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )

A.1

7 B.27 C.37

D.47

解析：选B 根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，∴最近的行走路线共有A 77＝5 040(种).∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为A 44.接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排3个元素，也就是A 35，则最近的行

走路线中不连续向上攀登的路线共有A 44A 35＝1 440(种)，∴其最近的行走路线中不连续向上

攀登的概率P ＝1 4405 040＝27

.故选B.

3.已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，在∠CAB 内作射线AM ，则使∠CAM ＜30°的概率为________.

解析：如图，在∠CAB 内作射线AM 0，使∠CAM 0＝30°，于是有P (∠CAM ＜30°)＝∠CAM 0∠CAB ＝3045＝23

.

答案：23

4.已知P 是△ABC 所在平面内一点，且PB ―→＋PC ―→＋2P A ―→

＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )

A.14

B.13

C.12

D.23

解析：选C 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，连接PD 交BC 于点O ，则PB ―→＋PC ―→

＝PD ―→.

∵PB ―→＋PC ―→＋2P A ―→

＝0，

∴PB ―→＋PC ―→＝－2P A ―→，即PD ―→＝－2P A ―→，

由此可得，P 是BC 边上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的12，∴S △PBC ＝1

2S △ABC ，∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12

. 5.点集Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤e ，0≤y ≤e}，A ＝{(x ，y )|y ≥e x ，(x ，y )∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a ，则a ∈A 的概率为( )

A.1e

B.1e 2

C.e －1e

D.e 2－1e

2

解析：选B 如图，根据题意可知Ω表示的平面区域为正方形

BCDO ，面积为e 2，A 表示的区域为图中阴影部分，面积为∫10

(e －e x )d x ＝(e x －e x )|10＝(e －e)－(－1)＝1，根据几何概型可知a ∈A 的概率P ＝1

e 2.故选B.

6.如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余

部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )

A.p 1＝p 2

B.p 1＝p 3

C.p 2＝p 3

D.p 1＝p 2＋p 3

解析：选A 不妨设△ABC 为等腰直角三角形， AB ＝AC ＝2，则BC ＝22， 所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积， 为S 1＝1

2×2×2＝2，

区域Ⅱ的面积

S 2＝π×12－

????

??π×(2)22－2＝2， 区域Ⅲ的面积S 3＝π×(2)2

2－2＝π－2.

根据几何概型的概率计算公式，

得p 1＝p 2＝2

π＋2，p 3＝π－2π＋2

，

所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A .

7.双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，其中a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3,4}，且a ，b 取到其

中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( )

A.1

4 B.38 C.12

D.58

解析：选B 直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，则b

a ＞1，总基本事件

数为4×4＝16，满足条件的(a ，b )的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，故概率为3

8

.

8.在区间[0,1]上随机取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋1

4b 有零点的概率是________.

解析：函数f (x )＝x 2＋ax ＋1

4

b 有零点，则Δ＝a 2－b ≥0，∴b ≤a 2，∴函数f (x )＝x 2＋ax ＋

14b 有零点的概率P ＝∫10a 2d a 1×1

＝1

3. 答案：1

3