微分方程数值解习题课
微分方程
初值问题数值解
习题课
一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分
2
x
t y e dt -=?
所确定的函数y 在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。 解：该积分问题等价于常微分方程初值问题
2
'(0)0x y e y -?=??=??
其中h=0.5。其向前欧拉格式为
2
()100ih i i y y he y -+?=+??
=??
改进欧拉格式为
22()2(1)10()20
ih i h i i h y y e
e y --++?
=++???=?
将两种计算格式所得结果列于下表
二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题
'1(0)1y x y y =-+??=?
00.6x ≤≤
取步长h=0.1.
解：4步显式法必须有4个起步值，0y 已知，其他3个123,,y y y 用4阶龙格库塔方法求出。
本题的信息有：
步长h=0.1；结点0.1(0,1,
,6)i x ih i i ===；
0(,)1,(0)1f x y x y y y =-+==
经典的4阶龙格库塔公式为
11234(22)6
i i h
y y k k k k +=++++
1(,)1i i i i k f x y x y ==-+
121(,)0.05 1.0522
i i i i hk h
k f x y x y k =++=--+
232(,)0.05 1.0522
i i i i hk h
k f x y x y k =++=--+
433(,)0.1 1.1i i i i k f x h y hk x y k =++=--+
算得1 1.0048375y =,2 1.0187309y =,3 1.0408184y =
4阶4步阿达姆斯显格式
1123(5559379)
24i i i i i i h
y y f f f f +---=+-+-
1231
(18.5 5.9 3.70.90.24 3.24)24
i i i i i y y y y y i ---=
+-+++ 由此算出
4561.0703231, 1.1065356, 1.1488186y y y ===
三、用Euler 方法求
()'1,0101
x y e y x x y =-++≤≤=
问步长h 应该如何选取，才能保证算法的稳定性？
解：本题(),1x
f x y e y x =-++
(),0,01x y f x y e x λ'==-<≤≤
本题的绝对稳定域为
111x h he λ+=-<
得
02x
he <<，故步长应满足 02,00.736he h <<<<
四、 求梯形方法
111[(,)(,)]2
k k k k k k h
y y f x y f x y +++=++
的绝对稳定域。
证明：将Euler 公式用于试验方程'y y λ=，得到
11[]2
k k k k h
y y y y λλ++=++
整理
11(1)22k k h h y y λλ+??
-=+ ??
? 设计算k y 时有舍入误差,
0,1,2,
k k ε=，则有
11(1)22k k h h λλεε+??-=+ ??
?
据稳定性定义，要想1k k εε+≤，只须
112
2
h h
λ
λ
+
≤-
的整个左半平面因此方法绝对稳定域为复平面h
（？），是A-稳定的。
五、对初值问题
'(0)1y y y =-??=?
01x ≤≤ 证明：用梯形公式
111[(,)(,)]2
n n n n n n h
y y f x y f x y +++=++
求得的数值解为
22n
n h y h -??= ?+??
并证明当步长0h →时，n y 收敛于该初值问题的精确
解x
n y e -=
证明：由梯形公式，有
1111[(,)(,)][]22
n n n n n n n n n h h
y y f x y f x y y y y ++++=++=+--
整理，得
122n n h y y h +-??
= ?+??
由此递推公式和初值条件，有
02222n n
n h h y y h h --????== ? ?++????
[0,1]x ?∈，则有在区间[][]0,0,1x ?上有 n x x nh ==，步长x
h n
=，由前面结果有
02222022lim lim lim 1222lim 12x n
h
n n n h x
h
h h x
h h h y h h h e h →∞→∞→-++--→-???
?==- ? ?++????
??????=-= ???+??
??
由x 的任意性，得所证。
六、对于微分方程'(,)y f x y =，已知在等距结点
0123,,,x x x x 处的y 的值为0123,,,y y y y ，h 为步长。试建
立求4y 的线性多步显格式与与隐格式。
解：取积分区间24[,]x x ，对'(,)y f x y =两端积分：
()()44
2
2
42(,)x x x x y x y x dy f x y dx -==??
对右端(,)f x y 作123,,x x x 的二次插值并积分
4
2
4
2
021*********(,)[()(,)()(,)()(,)]x x x x f x y dx
l x f x y l x f x y l x f x y dx
≈++?
?
112233123
((,)(,)(,))337
h f x y f x y f x y =-+ 得到线性4
若对右端在34,x x 两点上作线性插值并积分，有
4
2
4
2
01331144(,)[()(,)()(,)]x x x x f x y dx
l x f x y l x f x y dx
≈+?
?
442(,)hf x y =
由此产生隐格式
()42442,y y hf x y =+
七、证明线性多步法
111
(3)()2
n n n y h f f αα+-+=++n n-1n-2
（y -y ）-y 存在α的一个值，使方法是4阶的。 解： 由本题的公式，有
111
(3)()2
n n n y h f f αα+-=-+++n n-1n-2（y -y ）+y
11()n n n T y x h y ++=+-
234(4)
5[()'()''()'''()()()]2!3!4!n n n n n h h h y x hy x y x y x y x O h =+++++
1
[(()())(2)(3)(''())]2
n n n n n y x y x h y x h h y y x h αα----+-+++-
234(4)
5[()'()''()'''()()()]2!3!4!
n n n n n h h h y x hy x y x y x y x O h =+++++
234(4)
5()(()'()''()'''()()())2!3!4!
n n n n n n h h h y x y x hy x y x y x y x O h αα+--+-++
234(4)
5(2)(2)(2)(()2'()''()'''()()())
2!3!4!
n n n n n h h h y x hy x y x y x y x O h --+-++
23(4)51(3)('()'()''()'''()()())22!3!
n n n n n h h h y x y x hy x y x y x O h α-++-+++ 2111
[12(3)]'()[2(3)]''()222
n n hy x h y x αααα=++-++--++
31141
[(3)]'''()6634
n h y x αα+++-+ 2(4)51121
[(3)]()()2424312
n h y x O h αα+--+++
3
4(4)5311()'''()(9)]()()41224
n n h y x h y x O h αα=-+-++
当α=9时，51
()n T
O h +=，局部截断误差是4阶的，故
该多步法是4阶方法。