分式题型易错题难题大汇总
分式单元复习
(一)、分式定义及有关题型
一、分式的概念:
形如
B
A
(A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式。 概念分析:①必须形如“B A
”的式子;②A 可以为单项式或多项式,没有其他的限制;
③B 可以为单项式或多项式,但必须含有字母。...
例:下列各式中,是分式的是 ①1+x
1
②)(2
1y x + ③3
x ④
x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦π
x
练习:1、下列有理式中是分式的有( )
A 、
m 1 B 、162y x - C 、xy x 7151+- D 、5
7
2、下列各式中,是分式的是 ①x
1 ②)(2
1y x + ③3
x ④
x m -2 ⑤3-x x ⑥13
94y x + ⑦πy
+5
1、下列各式:()x
x x x y x x x 2
225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有( )个。
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5 二、有理式:整式和分式统称有理式。
即:?
??????
?分式
多项式单项式整式有理式
例:把下列各有理式的序号分别填入相应的横线上
①
2
1x
②)(51y x + ③x -3 ④0 ⑤3a ⑥c ab 12+ ⑦y x
+2 整式: ;分式 。
①分式有意义:分母不为0(0B ≠) ②分式无意义:分母为0(0B =)
③分式值为0:分子为0且分母不为0(??
?≠=0
B A )
④分式值为正或大于0:分子分母同号(???>>00B A 或???<<00
B A ) ⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(???<>00B A 或???><0
B A )
⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B )
⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0) ⑧分式的值为整数:(分母为分子的约数) 例:当x 时,分式
22
+-x x 有意义;当x 时,2
2-x 有意义。 练习:1、当x 时,分式
6
53
2
+--x x x 无意义。 8.使分式
||1
x
x -无意义,x 的取值是( )
A .0
B .1
C .1-
D .1±
2、分式
5
5+x x
,当______x 时有意义。 3、当a 时,分式3
21
+-a a 有意义.
4、当x 时,分式22
+-x x 有意义。 5、当x 时,
2
2-x 有意义。
分式x
--
1111有意义的条件是 。
4、当x 时,分式
43
5
x x +-的值为1; 2.(辨析题)下列各式中,无论x 取何值,分式都有意义的是( )
A .121x +
B .21x x +
C .231
x x
+ D .2221x x +
(7)当x 为任意实数时,下列分式一定有意义的是( )
A.
23
x + B.212x - C.1x D. 21
1x +
四、分式的值为零说明:①分式的分子的值等于零;②分母不等于零
例1:若分式2
4
2+-x x 的值为0,那么x 。
例2 . 要使分式
9
632+--x x x 的值为0,只须( ).
(A )3±=x (B )3=x (C )3-=x (D )以上答案都不对 练习:1、当x 时,分式
6
)
2)(2(2---+x x x x 的值为零。
2、要使分式2
4
2+-x x 的值是0,则x 的值是 ;
3、 若分式
6
522+--x x x 的值为0,则x 的值为
4、若分式224
2
x x x ---的值为零,则x 的值是
5、若分式2
4
2+-x x 的值为0,那么x 。
6、若分式
3
3
x x --的值为零,则x = 7、如果分式
2
||5
5x x x
-+的值为0,那么x 的值是( ) A .0 B. 5 C .-5 D .±5
分式1
21
22++-a a a 有意义的条件是 ,分式的值等于零的条件是 。
(9)已知当2x =-时,分式a
x b
x -- 无意义,4x =时,此分式的值为0,则a b +的值等于( )
A .-6
B .-2
C .6
D .2
使分式
x
312
--的值为正的条件是
若分式9
32
2-+a a 的值为正数,求a 的取值范围
2、当x 时,分式
x
x
--23的值为负数.
(3)当x 为何值时,分式3
2+-x x 为非负数.
3、若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是 ☆典型题:分式的值为整数:(分母为分子的约数) 练习1、若分式
2
3
+x 的值为正整数,则x=
2、若分式
1
5
-x 的值为整数,则x= 8、若x 取整数,则使分式1
236-+x x 的值为整数的x 值有( ) A .3个 B .4个 C .6个 D .8个
(二)分式的基本性质及有关题型
分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。
1.分式的基本性质:M
B M A M B M A B A ÷÷=??= 2.分式的变号法则:b
a
b a b a b a =--=+--=-- 例1: ①
ac
a b
=
② y zx xy = 测试:1.填空:
aby a xy
= ; z y z y z y x +=++2
)
(3)(6; ()
2
2
2y x y x +-=()
y
x -.
23x
x +=()23x x
+; 例2:若A 、B 表示不等于0的整式,则下列各式成立的是( D ).
(A )
M B M A B A ??=(M 为整式) (B )M
B M A B A ++=(M 为整式) (
C )22B A B A = (
D ))
1()1(2
2++=x B x A B A 5、下列各式中,正确的是( )
A .
a m a
b m b +=+ B .a b a b ++=0 C .11
11
ab b ac c --=
-- D .221x y x y x y -=-+ 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数. (1)
y x y x 4
13132
21+- (2)b
a b a +-04.003.02.0
练习:
1.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数. (1)y
x y x 5.008.02.003.0+-
(2)b a b
a 10
14153
4.0-+ 1.(辨析题)不改变分式的值,使分式
11
5101139
x y x y -+的各项系数化为整数,分子、分母应乘以
(? )
A .10
B .9
C .45
D .90 4.不改变分式
0.50.2
0.31
x y ++的值,使分式的分子分母各项系数都化为整数,结果是
1、不改变分式的值,使分式的分子、分母中各项系数都为整数,
0.20.1
0.5
x x -=-- 2、不改变分式5222
3
x y
x y -
+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是 题型二:分式的符号变化:
【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
(1)y
x y x --+-
(2)b
a a ---
(3)b
a
---
1、不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数。
①13232-+---a a a a = ②3
2211x x x x ++--= ③1
123
+---a a a =
2.(探究题)下列等式:①()a b a b c
c
---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a b c c
-++=-;
④m n m n m
m
---=-中,成立的是( )
A .①②
B .③④
C .①③
D .②④
3.(探究题)不改变分式2323523
x x
x x -+-+-的值,使分子、分母最高次项的系数为正数,正确的
是(? )
A .2332523x x x x +++-
B .2332523x x x x -++-
C .2332523x x x x +--+
D .2332
523
x x x x ---+
题型三:分式的倍数变化:
1、如果把分式y x x
232-中的x,y 都扩大3倍,那么分式的值
2、.如果把分式
63x
x y
-中的x,y 都扩大10倍,那么分式的值
3、把分式
22x y
x y
+-中的x ,y 都扩大2倍,则分式的值( )
A .不变
B .扩大2倍
C .扩大4倍
D .缩小2倍 4、把分式
2
a b
a +中的a 、
b 都扩大2倍,则分式的值( C ). (A )扩大2倍 (B )扩大4倍 (C )缩小2倍 (D )不变. 7、若把分式
xy
y
x 2+中的x 和y 都扩大3倍,那么分式的值( ) A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍 2、若x 、y 的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是( )
A 、y x 23
B 、223y x
C 、y x 232
D 、2323y
x
(三)分式的运算
4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一,在分式方程,求代数式的值,函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题:
(1)注意运算顺序及解题步骤,把好符号关;
(2)整式与分式的运算,根据题目特点,可将整式化为分母为“1”的分式; (3)运算中及时约分、化简; (4)注意运算律的正确使用; (5)结果应为最简分式或整式。 一、分式的约分:
先将分子、分母分解因式,再找出分子分母的公因式,最后把公因式约去 (注意:这里找公因式的方法和提公因式中找公因式的方法相同) 最简分式:分子、分母中不含公因式。分式运算的结果必须化为最简分式 1、把下列各式分解因式
(1)ab+b 2 (2)2a 2-2ab (3)-x 2+9 (4)2a 3-8a 2+8a 3.(2009年浙江杭州)在实数范围内因式分解44-x = _____________. 2、 约分(16分)
(1) 2912x
xy
(2) a b b a --22 (3) 96922+--x x x (4) ab a b a +-222
例2.计算:)3(3
2
34422
+?+-÷++-a a a a a a 例5.计算:2
222223223y
x y
x y x y x y x y x --+-+--+. 3 、 约分
(1)22
69
9
x x x ++-= ;(2)882422+++x x x = ; 4、化简2
293m
m
m --的结果是( ) A 、
3+m m B 、3
+-m m C 、3-m m D 、m m
-3 4.(辨析题)分式434y x
a
+,2411x x --,
22x xy y x y -++,
22
22a ab
ab b +-中是最简分式的有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
8、分式
a
b 8,b a b
a +-,22y x y x --,22y x y x +-中,最简分式有( )
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个 9、下列公式中是最简分式的是( )
A .2
1227b
a
B .22()a b b a --
C .22x y x y ++
D .22x y x y -- 5.(技能题)约分:
(1)
22699
x x x ++-; (2)2232
m m m m -+-.
约分:2
222b ab a ab
a +++
例:将下列各式约分,化为最简分式
①=z xy y
x 2
264 ②=+++4422
x x x ③ =+--+44622x x x x 14、计算:22696x x x x -+--÷229310x x x ---·3
210
x x +-.
1. 已知:,则的值等于( ) A.
B.
C.
D.
15、已知x+1
x
=3,求2421x x x ++的值.
九、最简公分母
1.确定最简公分母的方法:
①如果分母是多项式,要先将各个分母分解因式,分解因式后的括号看做一个整
体;
②最简公分母的系数:取各分母系数的最小公倍数;
③最简公分母的字母(因式):取各分母中所有字母(因式)的最高次幂. 2.确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;
②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.
例:⑴分式
2
31x
和xy 125的最简公分母是 ⑵分式
x x +21和x
x -2
3的最简公分母是 题型一:通分
【例1】将下列各式分别通分. (1)c b a
c a b ab c 225,
3,2--; (2)
a b b b a a 22,
--;
(3)
2
2
,
21,
1
222--+--x x x x x
x x ; (4)a
a -+21
,
2 1.在解分式方程:
412--x x +2=x
x 21
2+的过程中,去分母时,需方程两边都乘以最简公分母是___________________.
2、分式,21x xy
y 51
,212-
的最简公分母为 。 例7.计算:11
23
----x x x x . 正解:原式=1
1
1111)1)(1(1111332323-=----=-++---=++--x x x x x x x x x x x x x x x 十、分式通分的方法:
①先找出要通分的几个分式的最简公分母;②运用分式的基本性质把它们变形成同分母的分式。 例:⑴
ax 1,bx 1的最简公分母是 ,通分后=ax 1 ,bx
1
= 。
⑵51+zx ,25422-x 的最简公分母是 ,通分后51+zx = ,25
42
2
-x = 。 十一、分式的乘法:
分子相乘,积作分子;分母相乘,积作分母;如果得到的不是最简分式,应该通过约分进行化简。 题型二:约分
【例2】约分:
(1)
322016xy y x -;(3)
n
m m n --2
2;(3)
6
22
2---+x x x x .
5、计算222a ab
a b
+-= .
6、已知a+b =3,ab =1,则a
b +b a
的值等于 .
例:⑴nx
my
mx ny ?
= ⑵2221x x x x x +?-= 十二、分式的除法:把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
例:⑴2256103x y x y ÷= ⑵x
x x x x x +-÷-+-22
21
112= 九、零指数幂与负整指数幂
★n m n m a a +=?a ★()mn n
m a a =
★()n n n b b a a = ★n m n m a a -=÷a (0≠a )
★n n b a b a =??
?
??n
★n a 1=-n a (0≠a )
★10=a (0≠a ) (任何不等于零的数的零次幂都等于1)其中m ,n 均为整数。 十、科学记数法
a ×10-n ,其中n 是正整数,1≤∣a ∣<10.
如=-7101.25?
10、负指数幂与科学记数法 1.直接写出计算结果:
(1)(-3)-2 ; (2)32-= ; (3)33()2
-= ; (4)0(13)-= . 2、用科学记数法表示 501= .
3、一种细菌半径是×10-5米,用小数表示为 米。 2
4、|1|2004125.02)21
(032-++?---
7个0
十三、分式的乘方:分子、分母分别乘方。
例:⑴ 2
2??? ??-x y = ⑵ 3
22??
?
??-c a =
十四、同分母的分式相加减:分母不变,只把分子相加减,再把结果化成最简分式。 例:⑴
ab ab 610- = ⑵b
a b
b a a ++
+= 十五、异分母的分式相加减:先通 分成同分母的分式,在进行加减。 例:⑴
a b b b a a -+-= ⑵1
1
11++
-x x = 十六、分式的计算:
1、x
y y y x x 222-+
- 2、112
---a a a 【例3】计算:
(1)4
2232)()()(a
bc ab c c b a ÷-?-;
(2)2
2233)()()3(
x
y x y y x y x a +-÷-?+; (3)
m
n m
n m n m n n m --
-+-+22;
(4)11
2
---a a a ;
(5)8
7
4321814121111x x x x x x x x +-
+-+-+--; (6))5)(3(1
)3)(1(1)1)(1(1+++
++++-x x x x x x ; (7))12()214
44
(222+-?--+--x x
x x x x x
÷.
28.(2012遵义)化简分式(﹣)÷ ,并从﹣1≤x≤3中选一个你认为
合适的整数x 代入求值.
36、222
2
22y
x y xy y xy x y x -+-+--,其中0|3|)2(2
=-+-y x 1.计算
(1))
1(23
2)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ;
(2)a
b ab
b b a a ---
-222;
(3)b
a c c
b a
c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232; (4)b
a b b a ++-2
2;
(5))4)(4(b
a a
b b a b a ab b a +-+-+-;
(6)2121111x
x x ++++-
3、b a a b a +--2
4、)1(111112-??
?
??-++-x x x 5、111122----÷-a a a a a a 6、?
?? ??---÷--225262x x x x
1. (11分)先化简,再求值:
2
111
x x
x x ---+,其中x =2. 2.(本题6分)先化简,再求值:11122
2---++x x x x x ,其中x =1
2
- 3、(8分)先化简,再求值:1
1112
-÷??? ??
-+x x
x ,其中:x=-2。 十七、分式的化简:
1、计算b a b b a ++-2
2等于 。
2、化简分式a
c
ab c c ab 35123522÷?的结果是 3、计算
y
x y x y y x y x x ----+-22的结果是 4、计算1
1--
+a a
a 的结果是 5、计算y
x x
x y x y x +?+÷+2
22
)(的结果是 6、化简
a b
a b a b
-
-+等于 7、分式:①223a a ++,②22
a b a b --,③412()
a
a b -,④12x -中,最简分式有 . 8、计算42
22x x x x x x ?
?
-÷
?-+-??的结果是
9、计算??
? ??-+÷??? ?
?-+
1x 111x 112的结果是 十八、化简分式求代数式的值: 1、若
32=b a ,则b
b a +2的值是 。
2.先化简后求值 (1)
1
1
124212
22-÷+--?+-a a a a a a ,其中a 满足02=-a a . (2)已知3:2:=y x ,求2322])()[()(
y
x
x y x y x xy y x ÷-?+÷-的值.
3、1110,()()()a b c b c c a a b a b c
++=+++++已知求的值 ( ) A 、-2 B 、-3 C 、-4 D 、-5 题型五:求待定字母的值
【例5】若1
11
312
-+
+=
--x N
x M x x
,试求N M ,的值. 2.已知:2
2
2
222y
x y xy y x y x y x M --=+---,则M =______ ___. 1.若已知
1
3
2112
-+=-++x x x B x A (其中A 、B 为常数),则A=__________,B=__________; 题型三:化简求值题
【例4】已知:21=-
x x ,求2
21x x +的值.
【例5】若0)32(|1|2
=-++-x y x ,求y
x 241
-的值.
10、已知411=-b
a
,求分式
b
ab a b
ab a ---+222的值。
9.(2005.杭州市)当m =________时,分式
2(1)(3)
32
m m m m ---+的值为零.
10.(妙法巧解题)已知13x y 1-=,求5352x xy y
x xy y
+---的值.
4、已知a 2
-3a+1=0 11、已知b
b
a a N
b a M ab ++
+=+++=
=11,1111,1,则M 与N 的关系为( ) >N =N 【例4】先化简后求值 (1)已知:1-=x ,求分子)]1 21()144[(4 8 122x x x x -÷-+--的值; (2)已知:432z y x ==,求2 2232z y x xz yz xy ++-+的值; (3)已知:0132=+-a a ,试求)1)(1 (22a a a a -- 的值. 13、若4x=5y ,则2 2 2y y x -的值等于( ) A 41 B 51- C 16 9 D 259- 16、已知 n m n m -= +111,则=-n m m n 。 【例3】已知:311 =+ y x ,求y xy x y xy x +++-2232的值. 提示:整体代入,①xy y x 3=+,②转化出y x 11+. 2.已知:31=+x x ,求1 242 ++x x x 的值. 3.已知:31 1=-b a ,求 a ab b b ab a ---+232的值. 4.若0106222=+-++b b a a ,求b a b a 532+-的值. 5.如果21< x x x | ||1|1+ ---. 2、当1 x x x x --- --112 2= 。 3、当x 时, 12 2-=+-x x 。 4、若3x=2y,则22 94x y 的值等于 5、若x 等于本身的倒数,则6 3 3622-++÷---x x x x x x 的值是 6、当=x 时, 1 21 +-x x 的值是1; 7、若3,111--+= -b a a b b a b a 则的值是 8、若2 22 2,2b a b ab a b a ++-=则= 9、如果b a b a +=+ 111,则=+b a a b . 10、已知2 3 =-+y x y x ,那么xy y x 22+= . 11、已知3a m =,则23a -= ,213a -== ,27a -= 12、若 36,92m n ==,则2413m n -+的值为 (四)、整数指数幂与科学记数法 题型一:运用整数指数幂计算 【例1】计算:(1)3132)()(---?bc a (2)2322123)5()3(z xy z y x ---? (3)24 253]) ()()()([ b a b a b a b a +--+-- (4)6223)(])()[(--+?-?+y x y x y x 题型二:化简求值题 【例2】已知51=+-x x ,求(1)22-+x x 的值;(2)求44-+x x 的值. 题型三:科学记数法的计算 【例3】计算:(1)223)102.8()103(--???;(2)3223)102()104(--?÷?. 练习: 的22﹣20120+(﹣6)÷3; 1.计算:(1)20082007024)25.0()31(|3 1 |)51()5131( ?-+-+-÷?-- (2)322231)()3(-----?n m n m (3) 2 32 32222) ()3()()2(--??ab b a b a ab (4) 2 1222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x 2.已知0152=+-x x ,求(1)1-+x x ,(2)22-+x x 的值. 7.已知x+1x =3,则x 2+ 2 1 x = ________ . 10、已知0543≠==c b a ,求分式c b a c b a ++-+323的值。 第二讲 分式方程 【知识要点】1.分式方程的概念以及解法; 2.分式方程产生增根的原因 3.分式方程的应用题 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. 分式方程 化分式为整式解方程验根(4)写出解 1、学完分式运算后,老师出了一道题“化简: 2 3224 x x x x +-++-” 小明的做法是:原式22222 2(3)(2)2628 4444 x x x x x x x x x x x +--+----=-==----; 小亮的做法是:原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-; 小芳的做法是:原式32313112(2)(2)222 x x x x x x x x x x +-++-= -=-==++-+++. 其中正确的是( ) A .小明 B .小亮 C .小芳 D .没有正确的 7. 已知 x B x A x x x +-=--1322 ,其中A 、B 为常数,那么A +B 的值为( ) A 、-2 B 、2 C 、-4 D 、4 8. 甲、乙两地相距S 千米,某人从甲地出发,以v 千米/小时的速度步行,走了a 小时后 改乘汽车,又过b 小时到达乙地,则汽车的速度( ) A. S a b + B. S av b - C. S av a b -+ D. 2S a b + (一)分式方程题型分析 题型一:用常规方法解分式方程 【例1】解下列分式方程 (1) x x 311=-;(2) 0132=--x x ;(3)11 4 112=---+x x x ;(4)x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题:①分子不添括号;②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根;④忘记验根. 题型二:特殊方法解分式方程 【例2】解下列方程 (1) 4441=+++x x x x ; (2)5 69108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示:(1)换元法,设y x x =+1;(2)裂项法,6 1 167++=++x x x . 【例3】解下列方程组 题型三:求待定字母的值 【例4】若关于x 的分式方程3 132--=-x m x 有增根,求m 的值. 【例5】若分式方程12 2-=-+x a x 的解是正数,求a 的取值范围. 提示:03 2>-= a x 且2≠x ,2<∴a 且4-≠a . 29、已知关于x 的方程 32 2=-+x m x 的解是正数,则m 的取值范围为 . 24.指出下列解题过程是否存在错误,若存在,请加以改正并求出正确的答案. 题目:当x 为何值,分式 有意义 解: = , 由x ﹣2≠0,得x≠2. 所以当x≠2时,分式 有意义. 题型四:解含有字母系数的方程 【例6】解关于x 的方程 提示:(1)d c b a ,,,是已知数;(2)0≠+d c . 题型五:列分式方程解应用题 练习: 1.解下列方程: (1)021211=-++-x x x x ; (2)3 4 23-=--x x x ; (3) 22 3 22=--+x x x ; (4) 1 7137222 2--+ =-- +x x x x x x (5)2 12 3524 245--+=--x x x x (6) 4 1 215111+++=+++x x x x (7) 6 8 11792--+-+=--+-x x x x x x x x 2.解关于x 的方程: (1) b x a 211+=)2(a b ≠;(2))(11b a x b b x a a ≠+=+. 3.如果解关于x 的方程2 22-=+-x x x k 会产生增根,求k 的值. 4.当k 为何值时,关于x 的方程1) 2)(1(2 3++-= ++x x k x x 的解为非负数. 5.已知关于x 的分式方程 a x a =++1 1 2无解,试求a 的值. (二)分式方程的特殊解法 解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下: 一、交叉相乘法 例1.解方程:2 31+=x x 二、化归法 例2.解方程:01 2112=---x x 三、左边通分法 例3:解方程:871 78=----x x x 四、分子对等法 例4.解方程:)(11b a x b b x a a ≠+=+ 五、观察比较法 例5.解方程:417 425254=-+-x x x x 六、分离常数法 例6.解方程:87 329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法 例7.解方程: 41 315121+++=+++x x x x (三)分式方程求待定字母值的方法 例1.若分式方程x m x x -=--221无解,求m 的值。 例2.若关于x 的方程1 1122+= -+-x x x k x x 不会产生增根,求k 的值。 例 3.若关于x 分式方程4 32212-=++-x x k x 有增根,求k 的值。 例4.若关于x 的方程 1 151221--= +-+ -x k x x k x x 有增根1=x ,求k 的值。 9.若m 等于它的倒数,求分式224 4422 2-+÷-++m m m m m m 的值; 2. 已知x 2 +4y 2 -4x+4y+5=0,求2 24 42y xy x y x -+-·22y xy y x --÷(y y x 22+)2的值. 奥赛初探 1. 若 4 32z y x ==,求2 22 z y x zx yz xy ++++的值. 19.已知且y≠0,则 = _________ . 十九、分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 例:下列方程中式分式方程的有 ①1025=+x ②104=-π x ③ 1012=-+y y ④102=+x x x 二十、“可化为一元一次方程的分式方程”的解法: ①去分母:先看方程中有几个分母,找出它们的最简公分母,在方程的左右两边都乘以它们的最简公分母,约去分母,将分式方程化成一元一次方程。 ②解方程:解去分母得到的这个一元一次方程。 ③验根:将解一元一次方程得到的解带入最简公分母中计算:如果最简公分母的值为0,则这个解是方程的增根,原分式方程无解;如果最简公分母的值不为0,则这个解就是原分式方程的解。 例:解下列分式方程(步骤参照教材上的例题) ⑴ 114=-x ⑵3 5 13+=+x x 5、中考题解: 例1.若解分式方程产生增根,则m 的值是( ) A. B. C. D. 分析:分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是: 化简原方程为:把代入解得 ,故选择D 。 例2. m 为何值时,关于x 的方程会产生增根 解:方程两边都乘以,得 整理,得 说明:分式方程的增根,一定是使最简公分母为零的根 11、分式方程 1.若 1044m x x x --=--无解,则m 的值是 ( ) A. —2 B. 2 C. 3 D. —3 2.解方程: (1) 325+x =13-x (2)416222--+-x x x =1 (3)2 1 321-=---x x x 。 15.在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时v 1千米,下坡时的速度为每小时v 2千米,则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时( ) A . 千米 B . 千米 C . 千米 D . 无法确定 10.一辆汽车往返于相距akm 的甲、乙两地,去时每小时行mkm ,?返回时每小时行nkm , 则往返一次所用的时间是_____________. 13、分式方程应用题 分式题型易错题难题大 汇总 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 分式单元复习 (一)、分式定义及有关题型 一、分式的概念: 形如 B A (A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式。 概念分析:①必须形如“ B A ”的式子;②A 可以为单项式或多项式,没有其他的限制; ③B 可以为单项式或多项式,但必须含有字母。... 例:下列各式中,是分式的是 ①1+ x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦π x 练习:1、下列有理式中是分式的有( ) A 、 m 1 B 、162y x - C 、xy x 7151+- D 、5 7 2、下列各式中,是分式的是 ①x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥13 94y x + ⑦πy +5 1、下列各式:()x x x x y x x x 2 225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有( )个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、有理式:整式和分式统称有理式。 即:? ?????? ?分式 多项式单项式整式有理式 例:把下列各有理式的序号分别填入相应的横线上 ① 2 1x ②)(51y x + ③x -3 ④0 ⑤3a ⑥c ab 12+ ⑦y x +2 整式: ;分式 。 ①分式有意义:分母不为0(0B ≠) ②分式无意义:分母为0(0B =) ③分式值为0:分子为0且分母不为0(???≠=0 B A ) ④分式值为正或大于0:分子分母同号(???>>00B A 或???<<00 B A ) ⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(???<>00B A 或???><00 B A ) ⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B ) ⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0) ⑧分式的值为整数:(分母为分子的约数) 例:当x 时,分式 22 +-x x 有意义;当x 时,2 2-x 有意义。 一、选择题 1.计算222x y x y y x +--的结果是( ) A .1 B .﹣1 C .2x y + D .x y + 2.若xy y x =+,则 y x 1 1+的值为 ( ) A 、0 B 、1 C 、-1 D 、2 3.下列分式约分正确的是( ) A .236a a a = B .1-=-+y x y x C .316222=b a ab D .m mn m n m 12 =++ 4.已知(x ﹣y )(2x ﹣y )=0(xy ≠0),则+的值是( ) A .2 B .﹣2 C .﹣2或﹣2 D .2或2 5.已知 ,则 的值是( ) A . B .﹣ C .2 D .﹣2 6.化简:(a-2)·22444 a a a --+的结果是( ) A .a-2 B .a +2 C . 22-+a a D .2 2 +-a a 7.下列运算正确的是( ) A .(2a 2)3=6a 6 B .-a 2b 2?3ab 3=-3a 2b 5 C . D . 8.下列等式成立的是( ) A .21 2x y x y =++ B .2(1)(1)1x x x ---=- C .x x x y x y =--++ D .22(1)21x x x --=++ 9.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 10.已知+=3,则分式的值为( ) A . B .9 C .1 D .不能确定 11.若分式2 1 1 x x -+的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .1 C .1- D .±1 12.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲 易错专题:分式与分式方程中的易错题◆类型一分式值为0时求值,忽略分母不为0 1.若分式x2-16 x-4 的值为零,则x的值为( ) A.0 B.4 C.±4 D.-4 2.若分式 x2-9 x2+x-12 =0,则x的值是( ) A.3或-3 B.-3 C.3 D.9 ◆类型二自主取值再求值时,忽略分母或除式不为0 3.先化简,再求值:x-2 x2-1 · x+1 x2-4x+4 + 1 x-1 ,其中x是从-1、0、1、2 中选取的一个合适的数. 4.先化简x2-4 x2-9 ÷ ? ? ? ? ? 1+ 1 x-3 ,再从不等式2x-3<7的正整数解中选出使原式 有意义的数代入求值. ◆类型三解分式方程不验根 5.解方程:1-x x-2 = 1 2-x -2.【易错9】 ◆类型四无解时忽略分式方程化为一次方程后未知数系数为0的情况【易错10】 6.★若关于x的分式方程2m+x x-3 -1= 2 x 无解,则m的值为( ) A.-1.5 B.1 C.-1.5或2 D.-0.5或-1.5 7.已知关于x的分式方程 a x+1 - 2a-x-1 x2+x =0无解,求a的值. ◆类型五已知方程根的情况求参数的取值范围时忽略分母为0时参数的值【方法18】 8.若关于x的分式方程 x x-2 =2- m 2-x 的解为正数,则满足条件的正整数m 的值为( ) A.1,2,3 B.1,2 C.1,3 D.2,3 9.已知关于x的分式方程a-x x+1 =1的解为负数,求a的取值范围. 参考答案与解析 1.D 2.B 3.解:原式=x -2(x +1)(x -1)·x +1(x -2)2+1x -1=1(x -1)(x -2) +1x -1=x -1(x -1)(x -2)=1x -2.当x =0时,原式=-12 (x 不能取-1、1、2). 4.解:原式=(x +2)(x -2)(x +3)(x -3)·x -3x -2=x +2x +3 .解不等式2x -3<7,得x<5,其正整数解为1,2,3,4.∵x+3≠0且x -2≠0且x -3≠0,∴x≠-3且x≠2 且x≠3,∴x=1或4.当x =1时,原式=34;当x =4时,原式=67 . 5.解:去分母,得1-x =-1-2(x -2),解得x =2.检验:当x =2时,x -2=0.∴x=2不是原分式方程的解,故原分式方程无解. 6.D 解析:分式方程化简得(2m +1)x =-6.当2m +1=0,即m =-0.5时,原分式方程无解;当2m +1≠0时,x =-62m +1 ,当x =3时,原分式方程无解,即-62m +1=3,解得m =-1.5;当x =0时,原分式方程无解,即-62m +1 =0,此方程也无解.综上所述,m 为-0.5或-1.5,故选D. 7.解:去分母,得ax -2a +x +1=0,分两种情况讨论:①分式方程有增根,∴x(x+1)=0,得x =-1或0.当x =-1时,-a -2a -1+1=0,解得a =0;当x =0时,-2a +1=0,解得a =12 . ②方程ax -2a +x +1=0无解,即(a +1)x =2a -1无解,∴a+1=0,a = -1.综上可知,a =0或12 或-1. 8.C 解析:方程两边都乘以x -2,得x =2(x -2)+m ,解得x =4-m.由题意得???x >0,x -2≠0,即???4-m >0,4-m -2≠0, 解得m <4且m≠2,∴满足条件的正整数m 分式一 分式的概念 一般地,如果A ,B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子A B 叫做分式. 整式与分式统称为有理式. 在理解分式的概念时,注意以下三点: ⑴分式的分母中必然含有字母; ⑵分式的分母的值不为0; ⑶分式必然是写成两式相除的形式,中间以分数线隔开. 与分式有关的条件 ①分式有意义:分母不为0(0B ≠) ②分式无意义:分母为0(0B =) ③分式值为0:分子为0且分母不为0(? ??≠=00 B A ) ④分式值为正或大于0:分子分母同号(?? ?>>00B A 或???<<0 B A ) ⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(???<>00B A 或? ??><00 B A ) ⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B ) ⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0) 增根的意义: (1)增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。 (2)增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。 一、分式的基本概念 【例1】 在下列代数式中,哪些是分式?哪些是整式? 1t ,(2)3x x +,2211x x x -+-,24x x +,52a ,2m ,21321 x x x +--,3πx -,32 3a a a + 【例2】 代数式2222 1131321223 x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++, ,,,,,,中分式有( ) A.1个 B.1个 C.1个 D.1个 练习: 下列代数式中:y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π,是分式的有:. 二、分式有意义的条件 分式单元复习 (一)、分式定义及有关题型 一、分式的概念: 形如 B A (A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式。 概念分析:①必须形如“B A ”的式子;②A 可以为单项式或多项式,没有其他的限制; ③B 可以为单项式或多项式,但必须含有字母。... 例:下列各式中,是分式的是 ①1+ x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦πx 练习:1、下列有理式中是分式的有( ) A 、 m 1 B 、162y x - C 、xy x 7 151+- D 、57 2、下列各式中,是分式的是 ① x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦πy +5 1、下列各式:()x x x x y x x x 2 225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有( )个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、有理式:整式和分式统称有理式。 即:??????? ?分式 多项式单项式整式有理式 例:把下列各有理式的序号分别填入相应的横线上 ① 2 1x ②)(51y x + ③x -3 ④0 ⑤3a ⑥c ab 12+ ⑦ y x +2 整式: ;分式 。 ①分式有意义:分母不为0(0B ≠) ②分式无意义:分母为0(0B =) ③分式值为0:分子为0且分母不为0(?? ?≠=0 B A ) ④分式值为正或大于0:分子分母同号(?? ?>>00B A 或? ??<<00 B A ) ⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(???<>00B A 或? ??><00 B A ) ⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B ) ⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0) ⑧分式的值为整数:(分母为分子的约数) 例:当x 时,分式 22 +-x x 有意义;当x 时,2 2-x 有意义。 练习:1、当x 时,分式6 53 2+--x x x 无意义。 8.使分式 ||1 x x -无意义,x 的取值是( ) A .0 B .1 C .1- D .1± 2、分式 5 5+x x ,当______x 时有意义。 3、当a 时,分式3 21 +-a a 有意义. 4、当x 时,分式 22 +-x x 有意义。 5、当x 时, 2 2-x 有意义。 分式 x -- 1111有意义的条件是 。 4、当x 时,分式 43 5 x x +-的值为1; 2.(辨析题)下列各式中,无论x 取何值,分式都有意义的是( ) A .121x + B .21x x + C .231x x + D .2221x x + (7)当x 为任意实数时,下列分式一定有意义的是( ) A. 23x + B.212x - C.1x D. 211x + 四、分式的值为零说明:①分式的分子的值等于零;②分母不等于零 例1:若分式2 42+-x x 的值为0,那么x 。 一、选择题 1.若式子21 2x x m -+不论x 取任何数总有意义,则m 的取值范围是( ) A .m≥1 B .m>1 C .m≤1 D .m<1 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?设江水的流速为x 千米/时,则可列方程( ) A . B . C . D . 4.当012=-+a a 时,分式22 22 -21 a a a a a ++++的结果是( ) A . 25-1- B .2 5 1-+ C .1 D .0 5.下列等式成立的是( ) A . 21 2x y x y =++ B .2(1)(1)1x x x ---=- C .x x x y x y =--++ D .22(1)21x x x --=++ 6.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 7.用科学记数方法表示0.0000907,得( ) A .49.0710-? B .59.0710-? C .690.710-? D .790.710-? 8.如果23,a -=- 2 0.3b =-, 2 13c -??=- ??? , 0 15d ??=- ???那么,,a b c ,d 三数的大小为 ( ) A .a b c d <<< B .b a d c <<< C .a d c b <<< D .a b d c <<< 9.下列各式从左到右的变形正确的是 ( ) A . 22 0.22 0.33a a a a a a --=-- B .11x x x y x y +--=-- C . 116321623 a a a a --=++ D .22 b a a b a b -=-+ 10.若分式2 1 1 x x -+的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .1 C .1- D .±1 11.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 12.计算23x 11x +--的结果是 A . 1x 1- B . 11x - C . 5x 1 - D . 51x - 13.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 14.如果为整数,那么使分式 222 21 m m m +++的值为整数的 的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 16.已知0≠-b a ,且032=-b a ,则 b a b a -+2的值是( ) A .12- B . 0 C .8 D .128或 17.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 222222222 111 b c a c a b a b c ++ +-+-+-的值是( ) A .为正 B .为负 C .为0 D .与a ,b ,c 的取值有关 18.在,, 中,是分式的有( ) 分式填空选择易错题(Word 版 含答案) 一、八年级数学分式填空题(难) 1.若以x 为未知数的方程()22111232 a a x x x x +-=---+无解,则a =______. 【答案】1-或32- 或2-. 【解析】 【分析】 首先解方程求得x 的值,方程无解,即所截方程的解是方程的增根,应等于1或2,据此即可求解a 的值. 【详解】 去分母得()()()2121x a x a -+-=+, 整理得()134a x a +=+,① 当1a =-时,方程①无解,此时原分式方程无解; 当1a ≠-时,原方程有增根为1x =或2x =. 当增根为1x =时, 3411a a +=+,解得32a =-; 当增根为2x =时,3421 a a +=+,解得2a =-. 综上所述,1a =-或32a =- 或2a =-. 【点睛】 本题主要考查了方程增根产生的条件,如果方程有增根,则增根一定是能使方程的分母等于0的值. 2.当m= __________ 时,关于x 的分式方程 231062x m x x x +++=--+没有实数解. 【答案】4或-6 【解析】 【分析】 先将分式方程化为整式方程,根据方程231062 x m x x x +++=--+没有实数解会产生增根判断增根是x=3或x=-2,再把增根x=3或x=-2代入整式方程即可求出m 的值. 【详解】 解:方程231062 x m x x x +++=--+变形为310(3)(2)2x m x x x +++=-++, 方程两边同时乘以(3)(2)x x -+去分母得:x+m+3+x-3=0; 整理得:2x+m=0 分式一 分式的概念 一般地,如果A ,B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子A B 叫做分式. 整式与分式统称为有理式. 在理解分式的概念时,注意以下三点: ⑴分式的分母中必然含有字母; ⑵分式的分母的值不为0; ⑶分式必然是写成两式相除的形式,中间以分数线隔开. 与分式有关的条件 ①分式有意义:分母不为0(0B ≠) : ②分式无意义:分母为0(0B =) ③分式值为0:分子为0且分母不为0(?? ?≠=0 B A ) ④分式值为正或大于0:分子分母同号(?? ?>>00B A 或???<<00 B A ) ⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(?? ?<>00B A 或???><0 B A ) ⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B ) ⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0) 增根的意义: (1)增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。 (2)增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。 . 一、分式的基本概念 【例1】 在下列代数式中,哪些是分式哪些是整式 1t ,(2)3x x +,2211x x x -+-,24x x +,52a ,2m ,21321 x x x +--,3πx -,32 3a a a + 【例2】 代数式2222 1131321223 x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++, ,,,,,,中分式有( ) & 个 个 个 个 练习: 下列代数式中:y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π,是分式的有: . 一、选择题 1.把分式 2x-y 2xy 中的x 、y 都扩大到原来的4倍,则分式的值( ) A .扩大到原来的16倍 B .扩大到原来的4倍 C .缩小到原来的 14 D .不变 2.分式 x 5 x 6 -+ 的值不存在,则x 的取值是 A .x ?6=- B .x 6= C .x 5≠ D .x 5= 3.下列分式:24a 5b c ,23c 4a b ,2 5b 2ac 中,最简公分母是 A .5abc B .2225a b c C .22220a b c D .22240a b c 4.分式: 2 2x 4- ,x 42x - 中,最简公分母是 A .() ()2 x 4?42x -- B .()()x 2x ?2+ C .()()2 2x 2x 2-+- D .()()2x 2?x 2+- 5.下列各式从左到右的变形正确的是( ) A . 22 1188 a a a a ---=-++ B .()() 2 2 1a b a b -+=- C . 22 x y x y x y +=++ D . 052520.11y y x x ++=-++ 6.如果112111S t t =+,212111 S t t =-,则12 S S =( ) A . 1221 t t t t +- B . 21 21 t t t t -+ C . 12 21 t t t t -+ D . 12 12 t t t t +- 7.下列等式成立的是( ) A .|﹣2|=2 B ﹣1)0=0 C .(﹣ 12 )﹣1 =2 D .﹣(﹣2)=﹣2 8.使分式29 3 x x -+的值为0,那么x ( ). A .3x ≠- B .3x = C .3x =± D .3x ≠ 9.下列分式中,最简分式是( ) A .x y y x -- B .211 x x +- C .2211x x -+ D .2424 x x -+ 10.下列选项中,使根式有意义的a 的取值范围为a <1的是( ) 一、选择题 1.若0x y y z z x abc a b c ---===<,则点P(ab ,bc)不可能在第( )象限 A .一 B .二 C .三 D .四 2.下列运算,正确的是 A .0 a 0= B .11 a a -= C .22a a b b = D .()2 22a b a b -=- 3.在式子: 2x 、5x y + 、12a - 、1x π-、21x x +中,分式的个数是( ) A .2 B .3 C .4 D .5 4.下列各式中,正确的是( ). A . 11 22 b a b a +=++ B .221 42 a a a -=-- C .22 11 1(1)a a a a +-=-- D . 11b b a a ---=- 5.计算32-的结果是( ) A .-6 B .-8 C .18 - D . 18 6.下列变形正确的是( ). A . 11a a b b +=+ B .11 a a b b --=-- C .22 1 a b a b a b -=-- D .22()1()a b a b --=-+ 7.如果112111S t t =+,212111 S t t =-,则12S S =( ) A .12 21 t t t t +- B .2121t t t t -+ C .1221t t t t -+ D .1212 t t t t +- 8.下列各式中的计算正确的是( ) A .2 2b b a a = B . a b a b ++=0 C . a c a b c b +=+ D . a b a b -+-=-1 9.下列变形正确的是( ). A . 1x y x y -+=-- B . x m m x n n +=+ C . 22x y x y x y +=++ D .6 32x x x = 10.如果把分式2x x y -中的x 与y 都扩大2倍,那么分式的值( ) A .不变 B .扩大2倍 C .缩小2倍 D .扩大4倍 11.把分式 2x-y 2xy 中的x 、y 都扩大到原来的4倍,则分式的值( ) 一、选择题 1.有个花园占地面积约为 800000平方米,若按比例尺 1 : 2000缩小后,其面积大约相当于( ) A .一个篮球场的面积 B .一张乒乓球台台面的面积 C .《钱江晚报》一个版面的面积 D .《数学》课本封面的面积 2.“清明”期间,几名同学包租一辆面包车前往“宜兴竹海”游玩,面包车的租价为600元,出发时,又增加了4名学生,结果每个同学比原来少分担25元车费,设原来参加游玩的同学为x 人,则可得方程( ) A . B . C . D . 3.已知(x ﹣y )(2x ﹣y )=0(xy ≠0),则+的值是( ) A .2 B .﹣2 C .﹣2或﹣2 D .2或2 4.在分式ab a b +(a ,b 为正数)中,字母a ,b 值分别扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 1 2 C .不变 D .不确定 5.如果2 3,a -=- 2 0.3b =-, 2 13c -?? =- ??? , 0 15d ??=- ???那么,,a b c ,d 三数的大小为 ( ) A .a b c d <<< B .b a d c <<< C .a d c b <<< D .a b d c <<< 6.已知+=3,则分式 的值为( ) A . B .9 C .1 D .不能确定 7.若分式2 3 x x --有意义,则x 满足的条件是( ) A .x ≠0 B .x ≠2 C .x ≠3 D .x ≥3 8.化简21 (1)211 x x x x ÷-+++的结果是( ) A . 11 x + B . 1 x x + C .x +1 D .x ﹣1 9.下列代数式 y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 一、选择题 1.如果把分式22a b ab +中的a 和b 都扩大了2倍,那么分式的值( ) A .扩大2倍 B .不变 C .缩小2倍 D .缩小4倍 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.若xy y x =+,则 y x 1 1+的值为 ( ) A 、0 B 、1 C 、-1 D 、2 4.“清明”期间,几名同学包租一辆面包车前往“宜兴竹海”游玩,面包车的租价为600元,出发时,又增加了4名学生,结果每个同学比原来少分担25元车费,设原来参加游玩的同学为x 人,则可得方程( ) A . B . C . D . 5.下列分式约分正确的是( ) A .236a a a = B .1-=-+y x y x C .316222=b a ab D .m mn m n m 12 =++ 6.已知(x ﹣y )(2x ﹣y )=0(xy ≠0),则+的值是( ) A .2 B .﹣2 C .﹣2或﹣2 D .2或2 7.把分式22x y x y -+中的x 、y 都扩大到原来的4倍,则分式的值( ) A .扩大到原来的8倍 B .扩大到原来的4倍 C .缩小到原来的1 4 D .不变 8.下列运算正确的是( ) A .(2a 2)3=6a 6 B .-a 2b 2?3ab 3=-3a 2b 5 C . D . 9.下列等式成立的是( ) A . 21 2x y x y =++ B .2(1)(1)1x x x ---=- C . x x x y x y =--++ D .22(1)21x x x --=++ 10.如果2 3,a -=- 2 0.3b =-, 213c -?? =- ??? , 0 15d ??=- ???那么,,a b c ,d 三数的大小为 ( ) A .a b c d <<< B .b a d c <<< C .a d c b <<< D .a b d c <<< 11.计算4-(-4)0 的结果是( ) A .3 B .0 C .8 D .4 12.如果把 223y x y -中的x 和y 都扩大5倍,那么分式的值( ) A.扩大5倍 B.不变 C.缩小5倍 D.扩大10倍 13.已知+=3,则分式的值为( ) A . B .9 C .1 D .不能确定 14.把分式22 10x y xy +中的x y ,都扩大为原来的3倍,分式的值( ) A .不变 B .扩大3倍 C .缩小为原来的 1 3 D .扩大9倍 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.分式中,最简分式个数为( )个. A .1 B .2 C .3 D .4 18.将分式3ab a b -中的a 、b 都扩大到3倍,则分式的值 ( ) A .不变 B .扩大3倍 C .扩大9倍 D .扩大6倍 分式易错题汇编及答案解析 一、选择题 1.12×10?3=0.00612, 故选:C . 【点睛】 本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10?n ,其中1≤|a|<10,n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 2.下列运算中,不正确的是( ) A .a b b a a b b a --=++ B .1a b a b --=-+ C .0.55100.20.323a b a b a b a b ++=-- D .()()221a b b a -=- 【答案】A 【解析】 【分析】 根据分式的基本性质分别计算即可求解. 【详解】 解:A. a b b a a b b a --=-++,故错误. B 、C 、D 正确. 故选:A 【点睛】 此题主要考查分式的基本性质,熟练利用分式的基本性质进行约分是解题关键. 3.若(x ﹣1)0=1成立,则x 的取值范围是( ) A .x =﹣1 B .x =1 C .x≠0 D .x≠1 【答案】D 【解析】 试题解析:由题意可知:x-1≠0, x≠1 故选D. 4.在等式[]209()a a a ?-?=中,“[]”内的代数式为( ) A .6a B .()7a - C .6a - D .7a 【答案】D 【解析】 【分析】 首先利用零指数幂性质将原式化简为[]29a a ?=,由此利用同底数幂的乘除法法则进一步进行分析即可得出答案. 【详解】 ()01a -=Q ,则原式化简为:[]29a a ?=, ∴[]927a a -==, 故选:D . 【点睛】 本题主要考查了零指数幂的性质与同底数幂的乘除法运算,熟练掌握相关概念是解题关键. 5.雾霾天气是一种大气污染状态,造成这种天气的“元凶”是PM 2.5,PM 2.5是指直径小于或等于0.0000025米的可吸入肺的微小颗粒,将数据0.0000025科学记数法表示为( ) A .2.5×106 B .2.5×10﹣6 C .0.25×10﹣6 D .0.25×107 【答案】B 【解析】 【分析】 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n ,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 【详解】 6.某微生物的直径为0.000 005 035m ,用科学记数法表示该数为( ) A .5.035×10﹣6 B .50.35×10﹣5 C .5.035×106 D .5.035×10﹣5 【答案】A 【解析】 试题分析:0.000 005 035m ,用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6,故选A . 考点:科学记数法—表示较小的数. 7.已知m ﹣ 1m ,则1m +m 的值为( ) A . B C . D .11 【答案】A 【解析】 【分析】 根据完全平方公式即可得到结果. 【详解】 1 m-m Q 分式预习二 分式的基本性质及有关题型 1.分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??=(M 不为0) 2.分式的变号法则: b a b a b a b a =--=+--=-- 【例1】 分式基本性质: (1)() 2ab b a = (2)()32x x xy x y =++ (3)() 2x y x xy xy ++= (4)()222x y x y x xy y +=--+ 【例2】 分子、分母的系数化为整数 不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数. (1)y x y x 4131322 1+- (2)b a b a +-04.003.02.0 (3)y x y x 5.008.02.003.0+- (4)b a b a 10141534.0-+ 练习:不改变分式的值,把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数. ⑴1.030.023.20.5x y x y +- ⑴32431532 x y x y -+ 【例3】 分子、分母的首项的符号变为正号 不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. (1)y x y x --+- (2)b a a --- (3)b a --- 练习:212 a a ---; (2)322353a a a a -+--- 【例4】 未知数同时扩大或缩小相同的倍数 1、若x ,y 的值扩大为原来的3倍,下列分式的值如何变化? ⑴x y x y +- ⑴xy x y - ⑴22 x y x y -+ 2、若x ,y 的值都缩小为原来的,下列分式的值如何变化? (1)y x y x 2332-+ (2)y x 54x y 2- (3)22x y x y -+ 练习: 1.如果=3,则=( ) A . B . xy C . 4 D . 2.如果把的x 与y 都扩大10倍,那么这个代数式的值( ) A . 不变 B . 扩大50倍 C . 扩大10倍 D . 缩小到原来的 3.若分式中的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍,则分式的值( ) A . 是原来的20倍 B . 是原来的10倍 C . 是原来的 D . 不变 4.如果把分式中的x 和y 的值都缩小为原来的,那么分式的值( ) A . 扩大3倍 B . 缩小为原来的 C . 缩小为原来的 D . 不变 5.如果把分式中的x 和y 都扩大为原来的4倍,那么分式的值( ) A . 扩大为原来的4倍 B . 缩小为原来的 C . 扩大为原来的16倍 D . 不变 6.若把分式中的x 和y 都扩大到原来的3倍,那么分式的值( ) A . 扩大3倍 B . 缩小3倍 C . 缩小6倍 D . 不变 7.如果把y x y 322-中的x 和y 都扩大5倍,那么分式的值( ) A 扩大5倍 B 不变 C 缩小5倍 D 扩大4倍 8、若x 、y 的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是( ) A 、y x 23 B 、223y x C 、y x 232 D 、23 23y x 分式易错题汇编附答案解析 一、选择题 1.若代数式1y x = -有意义,则实数x 的取值范围是( ) A .0x ≥ B .0x ≥且1x ≠ C .0x > D .0x >且1x ≠ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x 的范围. 【详解】 根据题意得:010 x x ≥??-≠? , 解得:x≥0且x≠1. 故选:B . 【点睛】 此题考查分式有意义的条件,二次根式有意义的条件,解题关键在于掌握分母不为0;二次根式的被开方数是非负数. 2.下列计算正确的是( ). A 2=- B .2(3)9--= C .0( 3.14)0x -= D .2019(1)|4|5---=- 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次根式的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案. 【详解】 A 2=,故此选项错误; B 、(-3)-2=19 ,故此选项错误; C 、(x-3.14)0=1,故此选项错误; D 、(-1)2019-|-4|=-5,正确. 故选:D . 【点睛】 此题考查二次根式的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质,正确化简各数是解题关键. 3.已知 24111 P Q x x x =+-+-是恒等式,则( ) A . 2, 2P Q ==- B .2, 2P Q =-= C .2P Q == D .2P Q ==- 【答案】B 【解析】 【分析】 首先利用分式的加减运算法则,求得()()2111 Q x x x P Q x Q P P ++-=-++-,可得方程组04P Q Q P +=??-=? ,解此方程组即可求得答案. 【详解】 解:∵()()()() ()()22111411111P x Q x P Q x Q P P Q x x x x x x -++++-=+==+-+---, ∴()()4P Q x Q P ++-=, ∴04P Q Q P +=??-=?,解之得:22P Q =-??=? , 故选:B . 【点睛】 此题考查了分式的加减运算、二元一次方程的解法以及整式相等的性质,解题的关键是掌握分式的加减运算法则. 4.在等式[]209()a a a ?-?=中,“[]”内的代数式为( ) A .6a B .()7a - C .6a - D .7a 【答案】D 【解析】 【分析】 首先利用零指数幂性质将原式化简为[]29a a ?=,由此利用同底数幂的乘除法法则进一步进行分析即可得出答案. 【详解】 ()0 1a -=Q ,则原式化简为:[]29a a ?=, ∴[]927a a -==, 故选:D . 【点睛】 本题主要考查了零指数幂的性质与同底数幂的乘除法运算,熟练掌握相关概念是解题关键. 5.计算(a 2)3+a 2·a 3-a 2÷a -3的结果是( ) 一、选择题 1.纳米是一种长度单位,1纳米=10-9米,已知某种植物花粉的直径约为35000纳米,那么用科学记数法表示该种花粉的直径为( ) A .43.510?米 B .43.510-?米 C .53.510-?米 D .93.510-?米 2.分式: 22x 4- ,x 42x - 中,最简公分母是 A .() ()2 x 4?42x -- B .()()x 2x ?2+ C .()()2 2x 2x 2-+- D .()()2x 2?x 2+- 3.如果分式24 2 x x --的值等于0,那么( ) A .2x =± B .2x = C .2x =- D .2x ≠ 4.下列各式从左到右的变形正确的是( ) A . 2211 88 a a a a ---=-++ B . ()() 2 2 1a b a b -+=- C . 22 x y x y x y +=++ D . 052520.11y y x x ++=-++ 5.下列等式成立的是( ) A .|﹣2|=2 B ﹣1)0=0 C .(﹣ 12 )﹣1 =2 D .﹣(﹣2)=﹣2 6.下列变形正确的是( ). A . 1a b b ab b ++= B .22 x y x y -++=- C .22 2 () x y x y x y x y --=++ D . 231 93 x x x -=-- 7.分式a x ,22x y x y +-,2121a a a --+,+-x y x y 中,最简分式有( ). A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 8.使分式29 3 x x -+的值为0,那么x ( ). A .3x ≠- B .3x = C .3x =± D .3x ≠ 9.如果把分式2x x y -中的x 与y 都扩大2倍,那么分式的值( ) A .不变 B .扩大2倍 C .缩小2倍 D .扩大4倍 10.一种花粉颗粒直径约为0.0000065米,数字0.0000065用科学记数法表示为( ) A .0.65× 10﹣5 B .65× 10﹣7 C .6.5× 10﹣6 D .6.5× 10﹣5 分式易错题专题 班级: 姓名: 易错点一 对分式的定义理解不透导致判断出错 1、下列各式:a -b 2,x +3x ,5+y π,a +b a -b ,x +y m 中,是分式的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 易错点二 忽略分式有意义的条件而出错 2、(桂林中考)若分式x 2-4x +2 的值为0,则x 的值为( ) A .-2 B .0 C .2 D .±2 3、分式1 2122++-a a a 有意义的条件是 ,这个分式的值等于零的条件是 . 易错点三 忽略除式不能为0而致错 4、使式子x +3x -3÷x +2x +4 有意义的x 的取值范围是( ) A .x≠3且x≠-4 B .x≠3且x≠-2 C .x≠3且x≠-3 D .x≠-2,x≠3且x≠-4 易错点四 未正确理解分式基本性质而致错 5、若x ,y 的值扩大为原来的3倍,下列分式的值如何变化? ⑴x y x y +- ⑵xy x y - ⑶22x y x y -+ 6、如果把 的x 与y 都扩大10倍,那么这个代数式的值( ) 缩小到原来的7、若x 、y 的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是( ) A 、y x 23 B 、223y x C 、y x 232 D 、2 323y x 易错点五 未理解最简分式概念而致错 8、分式a b 8,b a b a +-,2 2y x y x --,22y x y x +-中,最简分式有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 易错点六 做分式乘除混合运算时,未按从左到右的运算顺序而致错 例1 计算: 9 6422++-a a a ÷32+-a a ?(a+3) 错解:原式=()96222++-a a a ÷()2-a =9622++a a 分式一 分式得概念 一般地,如果,表示两个整式,并且中含有字母,那么式子叫做分式. 整式与分式统称为有理式. 在理解分式得概念时,注意以下三点: ⑴分式得分母中必然含有字母; ⑵分式得分母得值不为0; ⑶分式必然就是写成两式相除得形式,中间以分数线隔开. 与分式有关得条件 ①分式有意义:分母不为0() ②分式无意义:分母为0() ③分式值为0:分子为0且分母不为0() ④分式值为正或大于0:分子分母同号(或) ⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(或) ⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B) ⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0) 增根得意义: (1)增根就是使所给分式方程分母为零得未知数得值。 (2)增根就是将所给分式方程去分母后所得整式方程得根。 一、分式得基本概念 【例1】在下列代数式中,哪些就是分式?哪些就是整式? ,,,,,,,, 【例2】代数式中分式有( ) A、1个 B、1个 C、1个 D、1个 练习: 下列代数式中:,就是分式得有: 、 二、分式有意义得条件 【例3】求下列分式有意义得条件: ⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺ 【例4】⑴为何值时,分式有意义?⑵要使分式没有意义,求得值、 【例5】为何值时,分式有意义?为何值时,分式有意义? 【例6】若分式有意义,则; 若分式无意义,则; 【例7】⑴若分式有意义,则; ⑵若分式无意义,则; 练习: 当有何值时,下列分式有意义 1、(1) (2) (3) (4) (5) 2、要使分式有意义,则须满足得条件为. 3、若有意义,则( )、 A、无意义 B、有意义 C、值为0 D、以上答案都不对 4、为何值时,分式有意义? 三、分式值为零得条件 【例8】当为何值时,下列分式得值为0? ⑴⑵⑶⑷分式题型易错题难题大汇总完整版
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