空间几何练习题一(含答案)

1．四边都相等的四边形不一定是菱形（如空间四边形）．

2 ．无公共点的两条直线不一定平行（可能是异面的）；不平行的两条直线不一定相交（可能异面）．

3．分别在两个平面内的两条直线不一定是异面直线（可能平行，也可能相交）． 4．两两相交的三条直线不一定共面（如教室中三面墙的交线），当它们相交于一点且不共面时，能确定三个平面．

5．平行于同一平面的两条直线不一定平行（可能相交，也可能异面）． 6．两条平行线中的一条直线平行于一个平面，但另一条不一定平行于这个平面（另一条可能在这个平面内）．

7．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，这两个平面不一定平行（当这个平面内的任意一条直线，平行于另一个平面时，这两个平面平行）． 8．夹在两平行平面间的等长线段不一定平行（还可能相交，也可能异面）． 9．与两条异面直线都相交的两条直线不一定异面（还可能相交）．

例1 如图：已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面对角线A B 1，

BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E = C 1F ．

求证：⑴EF ∥平面ABCD ；⑵平面AC D 1∥平面A 1BC 1． 一、线与面垂直关系转化

线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以相互转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理，应当灵活应用这些定理证明问题和求解问题．

例2 如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE = CA = 2BD ，M 是EA 的中点，求证：⑴DE = DA ；⑵平面BDM ⊥平面ECA ；⑶平面DEA ⊥平面ECA ．

二、创设辅助线与面

如果已知条件中找不出现成的平行或垂直关系，此时要

根据题意灵活作出有理有据的辅助线或辅助面，适当添加辅助线或

辅助面是面是促进转化的重要环节．

C 1

D 1 A

B

D C A 1

B 1

N F

G

E M C C 1

D 1 A 1

B 1 M

N

E B

A

D

F M C

N

例3 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是对角线AB 1、BC 1上两点，且

MA M B 1=NB

N

C 1，求证：MN ∥平面A 1B 1C 1

D 1．

1.⑴证明：过E 、F 分别作AB 、BC 的垂线，EM 、FN 分别交AB 、BC 于M 、N ，连接MN ，

∵BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1，∴EM ∥FN ． ∵A B 1= BC 1，B 1E = C 1F ，∴AE = BF ，又∠B 1AB =∠C 1BC = 45°，∴Rt △AME ≌Rt △BNF ，∴EM = FN ．

∴四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN ． 又MN ?平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ．

⑵证明：如图 ∵正方体ABCD —A 11B C 1D 1中，AD 1∥BC 1，CD 1

∥B A 1，

又AD 1 CD 1= D 1，BC 1 B A 1= B ， ∴平面ACD 1∥平面A 1BC ．

说明：较低一级的位置关系，判定着较高一级的位置关系，

如线线平行?线面平行?面面平行，反之较高一级的位置关系具有较低一级的性质，如面面平行?线面平行?线线平行，这种低级到高级、高级到低级的转化构成位置关系证题中的主要思维指向．

2.分析：⑴要证明DE = DA ，只须证明Rt △DFE ≌Rt △DBA ；⑵注意M 为EA 的中点，可取CA 的中点N ，先证明N 点在平面BDM 内，再证明平面BDMN 经过平面ECA 的一条垂线即可；⑶仍需证明平面DEA 经过平面ECA 的一条垂线．

证明：⑴如图，取EC 的中点F ，连接DF ， ∵EC ⊥BC ，易知DF ∥BC ，∴DF ⊥EC ．

在Rt △DFE 和Rt △DBA 中，

∵EF =2

1

EC = BD ，FD = BC =AB ，

∴Rt △DFE ≌Rt △DBA ， 故DE = DA ．

⑵取CA 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN =

//2

1

EC ， ∴MN ∥BD ，即N 点在平面BDM 内，

∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BC ，

C 1

D 1

A B

D

C

A 1

B 1

又CA ⊥BN ，∴BN ⊥平面ECA ，

∵BN 在平面MNBD 内， ∴平面MNBD ⊥平面ECA ． ⑶∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ， ∴DM ⊥平面ECA ， 又DM ?平面DEA ，

∴平面DEA ⊥平面ECA ．

说明：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN ⊥平面ECA 是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直?线面垂直?面面垂直转化途径进行．

3.分析：在图中，根据已知条件找不出现成的线线平行关系，怎么办？往往通过两条途径去探索证明思路：①用“面面平行?线面平行”；②添加辅助线，创设使用线面平行判定定理的条件，具体方法如下：

⑴由“面面平行?线面平行”去证．

在面A 1B 内，作M K ∥A 1B 1，交BB 1于K 点，连接K N ，由平行线截割定理知

MA M B 1=KB K B 1，而MA M B 1=NB N C 1已知），∴KB K B 1 =NB N

C 1 ，则K N ∥B 1C 1，

∴平面M K N ∥平面A 1B 1C 1D 1， 即平面M K N 平面A 1B 1C 1D 1=Φ， 而MN ?平面M K N ， ∴MN ∥平面A 1B 1C 1D 1．

⑵添加辅助线，由“线线平行?线面平行”去证．

连接BM 并延长交A 1B 1于P 点，连接P C 1，则可证△B 1M P ∽△AMB ， ∴

MA M B 1=MB PM ，而MA M B 1=NB

N

C 1（已知）， ∴

MB PM =NB

N

C 1，由平行截割定理得：MN ∥P C 1， 而P C 1?平面A 1B 1C 1

D 1，∴MN ∥平面A 1B 1C 1D 1．

说明：辅助线、辅助面所具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断．

A

B

D

C

C 1

D 1

A 1

B 1

M

K

N

A

B

D

C C 1

D 1 A 1

B 1

N

M