圆周运动临界问题

竖直平面内的圆周运动的临界问题

竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。

临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。

１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。（注意：绳对小球只能产生拉力）

（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用

mg =2

v m R

v 临界

（2）小球能过最高点条件：v

（当v

（3）不能过最高点条件：v

（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）

２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。）

（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力）

（2）当0< v

时，F 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力）（3）当v

时，F =0

（4）当v

F 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力）

【案例剖析】

例1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是（）

A ．球过最高点时，速度为零

B ．球过最高点时，绳的拉力为mg

图6-11-1

a b

图6-11-2 b

C ．开始运动时，绳的拉力为2v m L

解析：开始运动时，由小球受的重力mg 和绳的拉力F 的合力提供向心力，即2

0v F mg m L

-=，

0v F m mg L

=+，可见C 不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，2v mg m L =

，v =以，A 、B 、C 均不正确。故选：D

例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是（）

A ．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零

．球过最高点时，最小速度为

C ．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反

D ．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力解析：小球用轻杆支持过最高点时，0v =临，故B 不正确；

当v =

时，F = 0故A 正确。

当0< v

mg > F > 0，F 为支持力故D 正确。当v

F >0，F 为拉力，故C 不

正确。故选：A 、D

例3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg ，绳长L = 40cm ，求：

（１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？（２）桶在最高点速率v = 3m/s 时，水对桶底的压力？解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力。即：

20v

mg m R

≤

，则最小速率0v ==（2）水在最高点速率大于v 0 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的

压力，设为F ，由牛顿第二定律有F + mg =2

v m R

， F = 2v m R -mg = 6.25N ，由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力F / ＝F = 6.25N ，方向竖直向上。

【知识链接】

如图6-11-4所示，地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径R （约为6400km ）。地面上有一辆汽车，重量是G = mg ，地面对它的支持力是F 。汽车沿南北方向行驶，不断加速。根据上面的分析，汽车速度越大，地面对它的支持力就越小，会不会出现这样的情况：速度

大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员

与座椅之间的压力是多少？驾驶员身体各部分之间的压

力是多少？他这时可能有什么感觉？（g 取10m/s ２）

【目标达成】

1．如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O 在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F 可能（）

A ．是拉力

B ．是推力

C ．等于零

图6-11-4

图6-11-3 图6-11-5

D ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零

解析：到最高点临界速度为v =临v v =临界时，F ＝0；当v v >临界时，F 为拉力。故选：A 、C

2．（1999年全国）如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆

对球的作用力可能是（）

A ．a 处为拉力，b 处为拉力

B ．a 处为拉力，b 处为推力

C ．a 处为推力，b 处为拉力

D ．a 处为推力，b 处为推力

解析：小球到最低点时，向心力向上，此时细杆的作用力与小球的重力的合力提供向心力，

细杆作用力向上，一定为拉力；当到最高点时，向心力向下，当0v ≤<时，F mg <向，此

时为推力，当v >

，F mg >向，此时为拉力。故选：A 、B

3．长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初速度，

使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v ，则下列叙述正确的是（）

A ．v

B ．v 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大

C ．v 由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大

D ．v

解析：这是“杆模型”，小球到最高点速度0v ≥， A 错；由2

v F m L

=向得，v 增大，F 向增

大， B 对；当0< v

F 随v 减小而增大（F 为支持力），当v

时，F 随v 增大而增大（F 为拉力）, C 错，D 对。故选：B 、D

4．质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是（）

A ．0

B ．mg

C ．3mg

D ．5mg

解析：到最高点临界速度为v ，则：2

v mg m R

=；当速度为2v 时，则：2(2)v F mg m R +=（F

为压力）；由上两式解得：F = 3mg 。故选：C

5．长为L 的细绳一端拴一质量为m 的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为1v 和2v ，细线所

受拉力分别为1F 、2F ，则（）

A ．1v

B ．2v = 0

C ． 1F = 5mg

D ．2F = 0

解析：小球恰能通过最高点，细线拉力2F = 0，有2

2v mg m L

=，得2v

得：22

1211222

mv mg L mv =

+，解得：1v 211v F mg m L -=，解得

16F mg =。故选：A 、D

6．质量可忽略，长为L 的轻棒，末端固定一质量为m 的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v 必须满足的条件为（

）

图6-11-6

A ．v

B ．v

C ．v ≥

D ．v

解析：小球到最高点速度1v ≥0，由机械能守恒得：22111

222

mv mg L mv =

+，解得：v ≥

7．如图6-11-7所示，一个高为h 的斜面，与半径为R 的圆形轨道平滑地连接在一起。现有一小球从斜面的顶端无初速地滑下，若要使小球通过圆形轨道的顶端B 而不落下，则斜面的高度h 应为多大？

解析：小球到达顶端B 速度为v ，则：2

2v mg

m R ≤

解得：v 21

mgh mg R mv =+ 解得：52

h R ≥

8．如图6-11-8所示，杆长为L ，杆的一端固定一质量为m 的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O 在竖直平面内作圆周运动，求：

（1）小球在最高点A 时速度A v 为多大时，才能使杆对小球m 的作用力为零？

（2）小球在最高点A 时，杆对小球的作用力F 为拉力和推力时的临界速度是多少？（3）如m = 0.5kg, L = 0.5m, A v = 0.4m/s, 则在最高点A 和最低点B 时, 杆对小球m 的作用力各是多大? 是推力还是拉力?

解析： (1) 若杆和小球之间相互作用力为零，那么小球作圆

周运动的向心力由重力mg 提供，2

mv mg L

= 解得：A v =

(2) 若小球m 在最高点A 时受拉力F ，则

v F mg m L

= 解得

1v =>若小球m 在最高点A 时受推力F ，则2

2v mg F m L

解得：2v

可见A v =m 的作用力F

在推力和拉力之间突变的临界速度.

(3) 杆长L = 0.5m

时，临界速度v =

=临，A v = 0.4m/s

小球有推力A F 。由2A A v mg F m L -= 解得： 2

A A v F mg m L

=-＝

（2

0.50.40.5100.5??-）N = 4.84N ，由A 到B 只有重力做功，机械能守恒，设B 点所处水平面

为参考面，则有2211

222

A B mv mg L mv

解得：

B v ==，在最低点B ，小球m 受拉力B F ，由

2B B v F mg m L -=解得220.5 4.5(0.510)0.5

B B v F mg m L ?=+=?+N = 25.3N 【拓展提高】

9．如图6-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD ，其A 点与圆心等高，D 点为轨道最高点，DB 为竖直线，AC 为水平线，AE 为水

平面，今使小球自A 点正上方某处由静止释放，且从A

点进入

图6-11-8

图6-11-7

圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D ，则小球在通过D 点后（）

A ．会落到水平面AE 上

B ．一定会再次落到圆轨道上

C ．可能会落到水平面AE 上

D ．可能会再次落到圆轨道上

解析：小球刚好能过最高点时速度v

D 后作平抛运动，下落高度为R 时间为t

x = vt

>R ，所以，小球一定落在AE 上。故选：A 10．如图6-9-10所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管竖直放置，AB 段平直，质量为m 的小球以水平初速度0v 射入圆管。

（1）若要小球能从C 端出来，初速度0v 多大？（2）在小球从C 端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度0v 各应满足什么条件？

解析：（1）小球恰好能达到最高点的条件是0v 临＝，此时需要初速度为0v ，由机械能守恒：

201

2R 2

mv mg ＝

得0v =因此要使小球能从C 端出来需C 0v >，

故入射速度0v >（2）小球从C 出来端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况：

①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，由圆周运动知识 2

C v mg m R

=由机械能守

恒定律：220C 11

2+22

mv mg R

mv ＝联立解得0v =

②对下管壁有压力，此时应有2

C v mg m R

>，相应的入射速度0v

0v <<③对上管壁有压力，此时应有2

C v mg m

<，相应的入射速度0v 应满足0v >

图6-11-10