2016年静安区九年级数学一模试卷
静安区2015学年第一学期九年级期末学业质量调研测试
数学试卷 2016.1
（完成时间：100分钟 满分：150分 ）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算
的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．
2
1的相反数是
（A ）2； （B ）2-； （C ）22； （D ）2
2
-． 2．下列方程中，有实数解的是
（A ）012=+-x x ； （B ）x x -=-12； （C ）012=--x x x ； （D ）112=--x
x x
． 3．化简11)1(---x 的结果是 （A ）
x x
-1； （B ）1
-x x ； （C ）1-x ； （D ）x -1． 4．如果点A （2，m ）在抛物线2x y =上，将此抛物线向右平移3个单位后，点A 同时平移到点A ’ ，那么A ’坐标为
（A ）（2，1）； （B ）（2，7） （C ）（5，4）； （D ）（－1，4）． 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是高，如果AD ＝m ，∠A =α, 那么BC 的长为 （A ）ααcos tan ??m ； （B ）ααcos cot ??m ； （C ）
α
αcos tan ?m ； （D ）αα
sin tan ?m ．
6．如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC =∠D ，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的 （A ）
AE
AB
AD AC =； （B ）DE BC AD AC =
； （C ）DE AB AD AC =； （D ）AE
BC
AD AC =
． （第6题图）
E
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：=-32)2(a ▲ ． 8．函数2
3
)(+-=
x x x f 的定义域为 ▲ ． 9．方程15-=+x x 的根为 ▲ ．
10．如果函数m x m y -+-=1)3(的图像经过第二、三、四象限，那么常数m 的取值范围
为 ▲ ．
11．二次函数162+-=x x y 的图像的顶点坐标是 ▲ ．
12．如果抛物线522+-=ax ax y 与y 轴交于点A ，那么点A 关于此抛物线对称轴的对称点坐
标是 ▲ ．
13．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 和AC 上的点，DE //BC ，BE
与
CD 相交于点F ，如果AE =1，CE =2，那么EF ∶BF 等于 ▲ .
14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点G 是重心，如果31
sin =A ，BC ＝2，
那么GC 的长等于 ▲ .
15．已知在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =2AD ，设a AB =，b BC =，那么=CD ▲ ．（用
向量a 、b 的式子表示）； 16．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，∠AED ＝∠B ，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，
如果四边形DBCE 的周长为10，那么AD 17．如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，如果BC =8，5
4
sin =
B ．那么=∠CDE tan ▲ ． 18. 将□ABCD （如图）绕点A 旋转后，点D 落在边AB 上的点D ’，点
C 落到C ’，且点C ’、B 、C 在一直线上，如果AB =13，A
D =3，那么∠A 的余弦值为 ▲ ．
（第17题图）
B
A C
E
D （第13题图）
F
（第18题图）
D A
B
C
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
化简：x
x x x x x x 29
6462
222-+-÷---，并求当21
3=x 时的值．
20．（本题满分10分）
用配方法解方程：03322=--x x ．
21．（本题满分10分, 其中第（1）小题6分，第（2）小题4分））
如图，直线x y 3
4
=与反比例函数的图像交于点A （3，a ）
，第一象限内的点B 在这个反比 例函数图像上，OB 与x 轴正半轴的夹角为α，且3
1
tan =α．
（1）求点B 的坐标； （2）求△OAB 的面积． 22．（本题满分10分）
如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是26.6°，向前
走30米到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是45°和33.7°．求该电线杆PQ 的高度（结果精确到1米）．
(备用数据：00.26.26cot ,50.06.26tan ,89.06.26cos ,45.06.26sin =?=?=?=?，
50.17.33cot ,67.07.33tan ,83.07.33cos ,55.07.33sin =?=?=?=?．)
（第21题图）
A
B
Q
P （第22题图）
23．（本题满分12分，其中每小题6分）
已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，BD =AD =AC ，AD 与CE 相交 于点F ，EC EF AE ?=2．
（1） 求证：∠ADC =∠DCE +∠EAF ；
（2） 求证：AF ·AD=AB ·EF ． 24．（本题满分12分，其中每小题6分）
如图，直线12
1
+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线12
1
+=
x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA =∠OCA ． （1） 求点C 的坐标； （2） 求这个二次函数的解析式．
25．（本题满分14分，其中第（1）小题4
已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，5
4
cos =
∠ACB ，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD =x ，△AEF 的面积为y ．
（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；
（2）如图，当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．
A
D
B
F E
（第23题图）
A B C
D F G
E （第25题图）
静安区2015学年第一学期期末学业质量调研 九年级数学试卷
参考答案及评分说明2016.1
一、选择题：
1．D ； 2．D ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．C ． 二、填空题：
7．68a -； 82x ≠-．； 9．4=x ； 10．13m <<； 11．（3, -8）； 12．（2, 5）； 13．
31； 14．2； 15．b a 2
1--； 16．4或无解； 17．21； 18．135
． 三、解答题：
19．解：原式＝ )
2()3()2)(2()3)(2(2
--÷
-+-+x x x x x x x ························································· （4分） ＝
2
)
3()
2()2)(2()3)(2(--?-+-+x x x x x x x ···························································· （1分） ＝
3
-x x
． ·············································································· （2分） 当332
1==x
时，原式＝
2
3
13
113
33+-
=-=
-． ························ （3分） 20．解：2
33
022x x -
-=, ·································································· （1分） 23322x x -=, ········································································ （1分）
223339()24216x x -+=+, ························································ （2分）
2333()416
x -=, ······································································ （2分）
34x -
=·················································································· （2分）
1x =
2x = ······························································· （2分）
21．解：（1）∵直线x y 3
4
=
与反比例函数的图像交于点A （3，a ）
， ∴33
4
?=
a =4，∴点的坐标A （3，4）
． ·············································· （1分） 设反比例函数解析式为x
k
y =， ·························································· （1分）
∴12,34==k k ，∴反比例函数解析式为x
y 12=． ································ （1分）
过点B 作BH ⊥x 轴，垂足为H ， 由3
1
tan ==OB BH α，设BH =m ，则OB =m 3，∴B （m 3，m ） ·
··············· （1分） ∴m
m 312
=
，2±=m （负值舍去）， ···················································· （1分） ∴点B 的坐标为（6，2）． ································································ （1分）
（2）过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，
OBH AEHB OAE OAB S S S S ???-+=梯形 ·
························································ （1分） =BH OH EH BH AE OE AE ?-?++?21
)(2121 ·
·································· （1分） ==??+?++??262
1
3)24(2143219． ·········································· （2分）
22．解：延长PQ 交直线AB 于点H ，由题意得．
由题意，得PH ⊥AB ，AB =30，∠P AH =26 .6°，∠PBH =45°，∠Q BH =33.7°， 在Rt △QBH 中，50.1cot ==
∠QH
BH
QBH ，设QH =x ，BH =x 5.1， ············· （2分） 在Rt △PBH 中，∵∠PBH =45°，∴PH = BH =x 5.1， ······························· （2分） 在Rt △P AH 中，00.2cot ==
∠PH
AH
PAH ，AH =2PH =x 3， ·
······················· （2分） ∵AH –BH =AB ，∴305.13=-x x ，20=x ． ········································· （2分） ∴PQ =PH –QH =105.05.1==-x x x ． ·················································· （1分） 答：该电线杆PQ 的高度为10米． ···························································· （1分）
23．证明：（1）∵EC EF AE ?=2，∴
AE
EC
EF AE =
． ······································· （1分） 又∵∠AEF =∠CEA ，∴△AEF ∽△CEA ． ····································· （2分） ∴∠EAF =∠ECA ， ··································································· （1分） ∵AD =AC ，∴∠ADC =∠ACD ， ·················································· （1分） ∵∠ACD =∠DCE +∠ECA =∠DCE +∠EAF ． ·································· （1分）
（2）∵△AEF ∽△CEA ，∴∠AEC =∠ACB ． ··········································· （1分）
∵DA =DB ，∴∠EAF =∠B ． ·························································· （1分） ∴△EAF ∽△CBA ． ···································································· （1分）
∴
AC
EF
BA AF =
． ·········································································· （1分） ∵AC =AD ，∴AD
EF
BA AF =
． ··························································· （1分） ∴EF AB AD AF ?=?． ······························································· （1分）
24．解：（1）∵直线12
1
+=
x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ， ∴A （–2，0）、B （0，1）．∴OA =2，OB =1． ······································· （2分） ∵CD //x 轴，∴∠OAB =∠CDA ，∵∠CDA =∠OCA ，∴∠OAB =∠OCA ．····· （1分） ∴tan ∠OAB =tan ∠OCA ， ·································································· （1分） ∴
OC
OA OA OB =
，∴OC 2
21=， ······························································ （1分） ∴4=OC ，∴点C 的坐标为（0，4）． ················································ （1分） （2）∵CD //x 轴，∴
BO
BC
AO CD =
． ····························································· （1分） ∵BC =OC –OB=4–1=3,∴1
3
2=CD ，∴CD =6，∴点D （6，4）
． ·············· （1分） 设二次函数的解析式为42++=bx ax y ， ············································· （1分）
???++=+-=,46364,4240b a b a ………………（1分） ??
???
=-=.
23,41b a ······························ （1分） ∴这个二次函数的解析式是42
3
41
2++-=x x y ． ·
···································· （1分）
25．解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ECB ． ··················································· （1分）
又∵AD =CE ，AC =CB ，∴△DAC ≌△ECB ． ········································· （2分） ∴∠DCA ＝∠EBC ． ········································································ （1分） （2）过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．AE =AC –CE =x -10．
x ACB CE CH 54cos =∠?=，∴EH =x 5
3
． ·
··········································· （1分） x x EH BC S CBE
35
3
102121=??=?=?．
················································ （1分） ∵AF//BC ．∴△AEF ∽△CEB ，∴
2
)(CE
AE S S CEB AEF =?， ······························· （1分） ∴2
2
)10(3x x x y -=，∴x x x y 3006032+-=． ········································ （1分）
定义域为05x <≤． ······························································· （1分） （3）由于∠DFC =∠EBC <∠ABC , 所以∠DFC 不可能为直角．
（i ）当∠DGF =90°时，∠EGC =90°，由∠GCE =∠GBC ，可得△GCE ∽△GBC ．
∴10
tan x
CB CE GB CG GBC ===
∠．
···················································· （1分） 在Rt △EHB 中， x x x
x
BH EH GBC 45035
1053tan -=-==∠． ·················· （1分）
∴
x
x
x 450310-=
，解得),(0舍去=x 或5=x ． ∴155
300
560532=+?-?=?AEF S ． ·············································· （1分）
（ii ）当∠GDF =90°时，∠BCG =90°，
可得∠GEC =90°，∠CEB =90°， ················································· （1分）
可得BE =6，CE =8，AE =2，EF =
23，2
3
=?AEF S ． ······························ （1分） 综上所述，如果△DFG 是直角三角形，△AEF 的面积为15或2
3
．