初中数学压轴题汇总与解答方法

初中数学压轴题汇总与解答

一、函数与几何综合的压轴题

1.(2004 安徽芜湖)如图①，在平面直角坐标系中， AB、CD 都垂直于 x轴，垂足

分别为 B、D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知： A(-2,-6), C(1,-3)

(1)求证： E 点在 y 轴上；

(2)如果有一抛物线经过 A，E，C 三点，求此抛物线方程 .

(3)如果 AB 位置不变，再将 DC 水平向右移动 k(k>0) 个单位，此时 AD 与 BC

相交于E′点，如图②，求△ AE′C的面积 S关于 k的函数解析式 .

图①

[ 解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过 E 作EO′⊥x

轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC ∴EO DO ,EO BO

AB DB CD DB

又∵ DO ′B+O′D=B

EO EO

∴1

AB DC

∵ AB=6， DC =3 ，∴ EO′=2

∴ DO ′D=O ，即 O ′与 O 重合， E 在 y 轴上

方法二：由 D （ 1， 0）， A （ -2 ， -6），得 DA 直线方程： y=2x-2① 再由 B （ -2， 0）， C （ 1， -3），得 BC 直线方程： y=-x-2 ② 联立①②得

x 0

y2

∴E 点坐标（ 0，-2），即 E 点在 y 轴上

（ 2）设抛物线的方程 y=ax 2+bx+c （a ≠0过） A （-2，-6）， C （1，-3）

4a 2b c 6

E （ 0， -2）三点，得方程组 a b c 3

c2

解得 a=-1, b=0, c=-2 ∴抛物线方程 y=- x 2

-2 （ 3）（本小题给出三种方法，供参考）

由（ 1）当 DC 水平向右平移 k 后，过 AD 与 BC 的交点 E′作 E′F⊥x 轴垂足为 F 。 EF E F

同（ 1）可得： 1 得： E ′F=2

AB DC

方法一：又∵ E′F ∥ AB

EF DF

，∴ DF 1

DB

AB DB 3

1 1

1 2 S △

AE′C = S △

ADC - S △

E′DC = DC DB DC DF DC DB

2 2

2

3

1

= DC DB =DB=3+ k 3

S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA∥ DC ，∴ S △

BCA = S △

BDA 11 ∴ S

△

AE′C = S △

BDE′ BD E F 3 k 2 3 k 22 ∴ S=3+ k 为所求函数解析式 .

证法三： S △

DE′C ∶ S △

AE′C =DE ′∶AE ′D=C ∶AB=1∶2 同理： S △

DE′C ∶ S △

DE ′B =1∶ 2,又

∵ S △

DE ′C ∶ S △

ABE ′=DC ∶AB =1∶ 4

2 2 1

∴ S

AEC 9

S

梯形 ABCD 9 2 AB CD BD 3 k

∴ S=3+ k 为所求函数解析式 .

又∵

DO DB EO AB

DO

EO

DB

AB

31 6

2.（2004 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点 M （ 1， 0）为圆心、直

径 AC 为2 2 的圆与 y 轴交于 A 、 D 两点 .

（ 1）求点 A 的坐标；

（ 2）设过点 A的直线 y＝x＋b与x轴交于点 B.探究：直线 AB 是否⊙ M的切线？并对你的结论加以证明；

S h （3）连接 BC ，记△ ABC 的外接圆面积为 S1、⊙M 面积为 S2，若1，抛物线 1 2S24

y＝ax2＋bx＋c经过 B、M 两点，且它的顶点到x轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.

［解］（1）解：由已知 AM ＝2 ，OM ＝1，在 Rt△AOM 中， AO＝AM 2OM 21，

∴点 A 的坐标为 A （0，1）

（ 2）证：∵直线 y＝x＋b过点 A（0，1）∴1＝0＋b即 b＝1 ∴y＝x＋1

令 y＝0 则 x＝－ 1 ∴B（—1，0），

AB ＝BO2

AO21212 2

在△ ABM 中， AB ＝2 ，AM ＝2 ，BM ＝2

AB2AM 2（ 2）2（ 2）24 BM 2

∴△ ABM 是直角三角形，∠ BAM ＝ 90°

∴直线 AB 是⊙ M 的切线

（ 3）解法一：由⑵得∠ BAC ＝ 90°，AB ＝2 ，AC＝2 2 ，

∴ BC＝AB2AC2（ 2）2（2 2）210

∵∠ BAC ＝ 90° ∴△ ABC 的外接圆的直

径为

BC，

∴ S1 (B2C)2

2 而S2 (AC)2

2 ( 120)2 (222)2

S1 h S2 4 ，5

2 h,

4,

h5

设经过点 B（—1，0）、M（ 1，0）的抛物线的解析式为：

2

y＝a（＋ 1）（ x－1），（ a≠0）即 y＝ ax 2－ a，∴－ a＝±5，∴ a＝±5 ∴抛物线的解析式为 y＝ 5x2－

5 或 y＝－ 5x2＋5

解法二：（接上）求得∴ h＝ 5 由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、 M

（ 1、 0），则抛物

线的对称轴是 y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）

∴抛物线的解析式为 y＝ a（x－0）2±5

又 B（－ 1,0）、 M （ 1,0 ）在抛物线上，∴ a±5＝0， a ＝±5 ∴抛物线的解析式为y＝5x2－5 或 y＝－ 5x2＋5

解法三：（接上）求得∴ h＝ 5

因为抛物线的方程为 y＝ax2＋ bx ＋ c（ a≠0）

a b c 0 a＝－ 5 a 5

由已知得 a b c 0 解得b 0 或 b 0

4ac b 2 c 5 c 5

5

4a

∴抛物线的解析式为y＝5x2－5 或 y＝－ 5x2＋5.

3.（2004 湖北荆门）如图，在直角坐标系中，以点 P（1，－1）为圆心， 2为半径作圆，交

2

y ax bx c(a 0) 过点 A、B，且顶点 C 在⊙ P 上.

（1）求⊙ P 上劣弧AB 的长；（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存

在一点

若不存在，请说明理由 .

［解］（1）如图，连结 PB，过 P作PM⊥x 轴，垂足为 M.

在 Rt△ PMB 中， PB=2,PM=1, ∴∠ MPB ＝ 60 °，∴∠ APB ＝120

x 轴于 A 、B 两点，抛物线

D，使线段 OC 与 PD

B

⌒

120

AB 的长＝

180

y

A

O

P （1，－1）x

（2）在 Rt △PMB 中， PB=2,PM=1, 则 MB ＝MA ＝ 3.

又 OM=1 ，∴ A （1－ 3 ，0），B （1＋ 3 ，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点 C 在直线 PM 上， 则 C （1，－ 3）.

点 A 、 B 、C 在抛物线上，则

0 a(1 3)2

b(1 3) c

0 a(1 3)2 b(1 3) c 3abc

2

抛物线解析式为 y x 2 2x 2

（ 3）假设存在点 D ，使 OC 与 PD 互相平分，则四边形 OPCD 为平行四边形，且 PC ∥OD.

又 PC ∥ y 轴，∴点 D 在 y 轴上，∴ OD ＝ 2，即 D （0，－2）.

又点 D （0，－ 2）在抛物线 y x 2 2x 2上，故存在点 D （0，－2）， 使线段 OC 与 PD 互相平分 .

4. （ 2004 湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内， Rt △ABC 的直角顶点 C

（0， 3 ） 在 y 轴的正半轴上， A 、B 是 x 轴上是两点，且 OA ∶OB ＝ 3∶1，以 OA 、OB 为直径 的圆分别交 AC 于点 E ，交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q.

（1）求过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （ 2）请猜想：直线 EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想 .

（ 3）在△ AOC 中，设点 M 是 AC 边上的一个动点，过 M 作 MN ∥AB 交 OC 于点 N.试问：在 x 轴上是否存在点 P ，使得△ PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角

三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 . y

［解］ (1)在 Rt △ ABC 中， OC ⊥AB ， ∴△ AOC ≌△ COB.

∴ OC 2

＝OA ·OB. ∵OA ∶OB ＝3∶1,C(0, 3 ),

∴ ( 3) 2

3OB OB. ∴ OB ＝ 1.∴ OA ＝ 3.

a1

解之得 b 2

c2

∴ A(-3,0),B(1,0).

设抛物线的解析式为 y ax 2

bx c.

9a 3b c 0, 则 a b c

0, 解之，得

c 3.

∴经过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为 y 3

x 2 2

3x 3

33

(2) EF 与⊙ O 1、⊙ O 2都相切 . 证明：连结 O 1E 、OE 、OF. ∵∠ ECF ＝∠ AEO ＝∠ BFO ＝ 90°, ∴四边形 EOFC 为矩形 . ∴ QE ＝ QO. ∴∠ 1＝∠ 2.

∵∠ 3＝∠ 4,∠2+∠4＝90°， ∴ EF 与⊙ O 1 相切 . 同理： EF 理⊙ O 2相切 .

(3) 作 MP ⊥OA 于 P ，设 MN ＝ a,由题意可得 MP ＝MN ＝a. ∵ MN ∥ OA, ∴△ CMN ∽△ CAO.

∴ a 3 a 33

解之，得 此时，四边形 OPMN 是正方形 ∴

MN OP

3 3 3

.

2

∴

P(

考虑到四边形 PMNO 此时为正方形，

∴点 P 在原点时仍可满足△ PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形

MN AO CN CO 故 x 轴上存在点 P 使得△ PMN 是一个以

MN 为一直角边的等腰直角三角形且 P(

,0) 或 P(0,0).

,0).

5.（ 2004 湖北宜昌）如图，已知点

15 23 A （0 ，1）、C （4，3）、 E （ ， ），P 是以 AC 为 48 对角线的矩形 ABCD 内部 （不在各边上 ）的—个动点，点 D 在 y 轴，抛物线

y ＝ax 2

+bx+1 以 P 为顶点． （1）说明点 A 、 C 、 E 在一条条直线上； （2）能否判断抛物线 y ＝ ax 2+bx+1 的开口方向 ?请说明理由； （3）设抛物线 y ＝ax 2+bx+1 与 x 轴有交点 F 、G （F 在 G 的左侧 ），△GAO 与 △FAO 的 面积差为 3，且这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交点．这时能确定

a 、

b 的值

吗?若能，请求出 a 、b 的值；若不能，请确定 a 、b 的取值范围． （本题图形仅供分析参考

用 ） ［解］

（ 1）由题意，A （0 ，1）、C （4，

3）确定的解析式为： y= 将点 E 的坐标 E （ 15 ， 23）代入 y= 1x+1 中，左边 = 4 8 2 右边 = 1×15 +1=

23

， 2 4 8 C 、

E 1 ∵左边 =右边，∴点 E 在直线 y= 21 x+1上，即点 A 、 在一条直线上 . （ 2）解法一： 由于动点 P 在矩形 ABCD 内部， ∴点 而点 A 与点 P 都在抛物线上，且 P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口 向下 P 的纵坐标大于点 A 的纵坐标， 解法二： ∵抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为

4a —b ，且 P 在矩形 ABCD 内 4a 22 部，∴ 1< 4a —b <3，由 1<1— b

得 4a 4a b > 0， 4a ∴ a< 0，∴抛物线的开口向下

3）连接 GA 、FA ，∵ S △

GAO — S △

FAO =3

∴

1 GO

2 AO — 1

FO ·AO=3 ∵

OA=1 ，

2

∴抛物线解析式为： y= ax 2— 6ax +1, 其顶点 P 的坐标为（ 3，1—9a ）, ∵顶点 P 在矩 形 ABCD 内部，

2 ∴1<1—9a<3, ∴—

2

y=ax 2

—6ax+1

1 y= x+1

2 6a 1

2 1 ∴ x=0 或 x= 2 =6+ 1

. a 2a

当 x=0 时，即抛物线与线段 AE 交于点 A ，而这条抛物线与线段 AE 有两个不

同的交 点，则有： 0<6+ 1 ≤ 15 ，解得：— 2 ≤a<— 1

2a 4 9 12

6. （2004湖南长沙）已知两点 O （0，0）、B （0，2），⊙A 过点B 且与 x 轴分别相交于 点O 、C ，⊙A 被 y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为 3∶1，直线 l 与⊙A 切于点 O ，

抛物线的顶点在直线 l 上运动 .

1）求⊙ A 的半径；

2）若抛物线经过 O 、C 两点，求抛物线的解析式；

3）过 l 上一点 P 的直线与⊙ A 交于 C 、E 两

点，且 4）若抛物线与 x 轴分别相交于 C 、F 两点，

其顶点 面积关于 m 的函数解析式 .

［解］ （1）由弧长之比为 3∶1，可得∠ BAO

＝90o

再由 AB ＝AO ＝ r ，且 OB ＝ 2，得 r ＝ 2

（2）⊙ A 的切线 l 过原点，可设 l 为 y ＝kx 任取 l 上一点 （b ，kb ），由 l 与 y 轴夹角为 45o 可得： b ＝－ kb 或 b ＝ kb ，得 k ＝－ 1 或 k ＝ 1， ∴直线 l 的解析式为 y ＝－ x 或 y ＝ x 又由 r ＝ 2，易得 C （2，0）或 C （－ 2， 0） 由此可设抛物线解析式为 y ＝ ax （x － 2）或 y ＝ ax （x ＋ 2） 再把顶点坐标代入 l 的解析式中得 a ＝ 1 ∴抛物线为 y ＝x 2

－ 2x 或 y ＝x 2

＋2x

??6分 （3）当 l 的解析式为 y ＝－

x 时，由 P 在 l 上，可设 P （m ，－ m ）（m > 0） 过 P 作 PP ′⊥x 轴于 P ′，∴ OP ′＝|m|，PP ′＝|－m|，∴ OP ＝2m 2，

由方程组 21 得： ax 2—（ 6a+ ） x=0 综合得：— 21 < a <—

9 12 ∵ b= — 6a ，∴ 1

PC ＝ CE ，求点 E 的坐标；

P 的横坐标为 m ，求△ PEC 的

y

x

又由切割线定理可得： OP 2＝ PC ·PE,且 PC ＝ CE ，得 PC ＝PE ＝m ＝ PP ′7分 ∴C 与 P ′为同一点，即 PE ⊥x 轴于 C ，∴ m ＝－ 2， E （－2， 2） ?8分 同理，当 l 的解析式为 y ＝x 时， m ＝－ 2， E （－ 2， 2）

（4）若 C （2，0），此时 l 为 y ＝－x ，∵P 与点 O 、点 C 不重合，∴ m ≠0且 m ≠2， 当 m<0 时， FC ＝ 2（2 － m ） ，高为 |y p |即为－ m ， ∴S＝ 2（2 m ）（ m ） m

2 2m

2

同理当 0

＋2m ；当 m>2时，S ＝m 2

－2m ；

m 2 2m(m 0或 m 2) 2

m 2 2m(0 m 2)

7（. 2006 江苏连云港） 如图，直线 y kx 4与函数 y （x 0,m 0） 的图像交

于 A 、 x

B 两点，且与 x 、 y 轴分别交于

C 、

D 两点．

（ 1 ）若 COD 的面积是 AOB 的面积的 2 倍，求 k 与 m 之间的函数关系式；

（ 2）在（ 1）的条件下， 是否存在 k 和 m ，使得以 AB 为直径的圆经过点 P （2,0）．若 存在，求出 k 和 m 的值；若不存在，请说明理由．

［解］(1) 设 A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)(其中 x 1 x 2,y 1 y 2)，

由S

COD 2S AOB ，得 S COD 2(S AOD S BOD )

∴

·OC ·OD

2( ·OD ·y 1 ·OD ·y 2)， OC 2(y 1 y 2)

2 2 2

又若 C （－2， 0），

此时 l 为 y ＝ x ，同理可得； 2

S ＝ m 2

2m(m 2或m 0)

2 m 2

2m( 2 m 0)

C

又OC 4，∴ (y1 y2)28，即(y1 y2)24y1 y2 8，O

由 y m

可得 x m

，代入 y kx 4可得 y 2

4y km 0 xy ∴ y 1 y 2 4 ， y 1 y 2 km ，

2

∴ 16 4km 8 ，即 k

．

m

又方程①的判别式 16 4km 8 0 ，

2 ∴所求的函数关系式为 k 2

(m 0) ．

m

( 2)假设存在 k , m ，使得以 AB 为直径的圆经过点 P(2,0) ． 则 AP BP ，过 A 、 B 分别作 x 轴的

垂线，垂足分别为 M 、 ∵ MAP 与 BPN 都与 APM 互余，∴ MAP

即 m 2 2m(y 1 y 2) 4y 1y 2 (y 1y 2 )2 0 ②

2

8. (2004 江苏镇江)已知抛物线 y mx (m 5)x 5(m 0) 与 x 轴交于两点

A( x 1 ,0) 、 B(x 2,0) (x 1 x 2) ，与 y 轴交于点 C ，且 AB=6.

( 1)求抛物线和直线 BC 的解析式 .

( 2)在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线 BC. (3) 若 P 过 A 、B 、C 三点，求 P 的半径 . (4) 抛物线上是否存在点 M ，过点

M 作MN x 轴于点 N ，使 MBN 被直线 BC

分成面积比为 1 3 的两部分？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明

理由.

m 5 5

［解］(1)由题意得： x 1 x 2

,x 1 x 2 ,x 2 x 1 6.

BPN ．

∴Rt MAP ∽ Rt NPB ， AM MP

PN NB

y 1 x 2 2

2 x 1 y 2 ∴ (x 1 2)(x 2 2) y 1y 2 0， ∴ ( 2)( 2) y 1 y 2 0 ， y 1 y 2

由( 1)知 y 1 y 2 4 ， y 1 2

∴ m 2或 6，又 k

，

m

y 2 2 ，代入②得 m 2

8m 12 0 ，

m 2

或 k1

m6 k 1

∴存在 k ,m ，使得以 AB 为直径的圆经过点 m2 P(2,0) ，且

k1

m6

mm

2 m 5 20

(x1 x2)24x1x2 36, 36,

mm

5

解得

m 1 1,m 2 .

1 2

7

经检验 m=1 ，∴抛物线的解析式为： y x 2 4x 5. 或：由 mx 2 ( m 5)x 5 0得， x 1或

5 x m m> 0,

5

1 6, m 1. m

2

抛物线的解析式为 y x 2 4x 5.

2

由

x 4x 5 0 得 x 1 5,x 2 1.

∴ A（－ 5， 0）， B （1，0），C （0，－ 5） 设直线 BC 的解析式为 y kx

b,

∴直线 BC 的解析式为 y 5x 5.

(2) 图象略 .

( 3)法一：在 RtD AOC 中， OA OC 5, OAC 45 . BPC 90 . 又 BC OB 2 OC 2 26,

由题意， 圆心 P 在 AB 的中垂线上， 即在抛物线 y x 2 4x 5 的对称轴直线

x 2 上，设 P （－ 2，－ h ）（ h> 0），

连结 PB 、PC ，则 PB 2 （1 2）2 h 2 ,PC 2 （5 h ）2 22， 由 PB 2

PC 2

，即 (1 2)2

h 2

(5 h)2

22

，解得 h=2.

则

b 5,

k b 0.

b 5, k 5.

∴ P 的半径 法二： PB 26 2

P( 2, 2), P 的半径 PB (1 2)2

22

13.

法三：

延长 CP 交 P 于点 F.

CF 为 P 的直径， CAF COB 90 . 又 ABC AFC, DACF ~ DOCB.

CF AC AC BC

又 AC 52 52 5 2, CO 5,BC 52 12

26,

P 的半径为 13.

(4) 设 MN 交直线 BC 于点 E ，点 M 的坐标为 (t,t 2 4t 5),则点 E 的坐标为

(t,5t 5).

若

S DMEB : S D ENB 1

:3,

则 ME : EN 1:3.

2

4

EN :MN 3:4, t 2

4t 5 (5t 5).

3 5 5 40

解得 t 1 1 (不合题意舍去)， t 2 , M , .

2

3 3 9

若

S DMEB : S DENB 3

:1,

则 ME:EN 3:1.

EN : MN 1:4, t 2 4t 5 4(5t 5).

解得 t 3 1 (不合题意舍去)， t 4 15, M 15,280 .

9. 如图，⊙ M 与 x 轴交于 A 、B 两点，其坐标分别为 A （ 3，0） 、 B （1，0） ，直径 CD ⊥x 轴于 N ，直线 CE 切⊙ M 于点 C ，直线 FG 切⊙ M 于点 F ，交 CE 于G ，已知点 G 的横坐标为 3.

BC OC

, CF

OC

存在点 M ，点 M

39

15， 280)

(1) 若抛物线 y x 2 2x m 经过 A 、B 、D 三点，求 m 的值及点 D 的坐标 . (2) 求直线 DF 的解析式 .

(3) 是否存在过点 G 的直线，使它与( 1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等 于 4 ？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由 .

［解］ (1) ∵抛物线过 A 、B 两

点，

∴ ( 3) 1 m

， m=3.

1

∴抛物线为 y x 3 2x 3. 又抛物线过点 D ，由圆的对称性知 点 D 为抛物线的顶点 .

∴ D 点坐标为 ( 1，4) . (2) 由题意知： AB=4.

∵CD ⊥ x 轴，∴ NA=NB=2. ∴ ON =1.

由相交弦定理得： NA ·NB=ND ·NC ， ∴NC ×4=2 ×2. ∴NC=1. ∴ C 点坐标为 （ 1， 1） .

设直线 DF 交 CE 于 P ，连结 CF ，则∠ CFP=90 ∴∠ 2+∠3=∠ 1+∠4=90°. 5 27

3 假设存在过点 G 的直线为 y k 1x b 1，

∵ GC 、 GF 是切线， ∴GC=GF. ∴∠ 3=∠4. ∴∠ 1=∠ 2.

∴GF=GP. ∴GC=GP. 可得 CP=8.

∴P 点坐标为 （7， 1） 设直线 DF 的解析式为 y kx b

kb4 7k b 1

解得 k

5 8

27

b 8

∴直线 DF 的解析式为：y 5x 27

88

则

3k 1 b 1 1 ，∴ b 1 3k 1 1.

y k 1x 3k 1 1 2 2 得 x 2 (2 k 1 )x 4 3k 1 0 y x 2

2x 3 由题意得 2 k 1 4 ，∴ k 1 6.

当 k 1 6

时， 40 0 ， ∴方程无实数根，方程组无实数解 ∴满足条件的直线不存在 .

12

10. （ 2004 山西）已知二次函数 y x 2 bx c 的图象经过点 A （－ 3， 6），

并与

2

x 轴交于点 B （－ 1，0）和点 C ，顶点为 P.

（ 1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；

2）设 D 为线段 OC 上的一点，满足∠ DPC ＝∠ BAC ，求点 D 的坐标； 3）在 x 轴上是否存在一点 M ，使以 M 为圆心的圆与 AC 、PC 所在的直线及 y

1）解：∵二次函数 y 1

x 2

bx c 的图象过点 A （－ 3，6），B （－ 1，0）

2

画出二次函数的图像

（2）解法一：易证：∠ ACB ＝∠ PCD ＝ 45

解法二：过 A 作 AE ⊥x 轴，垂足为 E. 设抛物线的对称轴交 x 轴于 F.

由方程组

轴都相切？如果存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由

［解］

9

3b c 6

b

1 得

12

解得

3 1

bc0 2

c

2

这个二次函数的解析式为：

1 yx

2

3 x

2

2

由解析式可求 P （1，－ C （3， 0）

又已知：∠ DPC ＝∠ BAC

∴△ DPC ∽△ BAC DC PC

BC AC

易求 AC 6 2, PC 2 2, BC 4 ∴ DC 4

3

∴ OD 3 4

D 53

,0

PE EB PF FD 易求：AE ＝6，EB ＝2， PF＝2

亦可证△ AEB ∽△ PFD 、

2 2 5 5

∴FD ∴ OD 1 ∴ D ,0

3 3 3 3

（ 3 ）存在 .

（1°）过 M 作 MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为 H、G，设 AC 交 y轴于 S，CP 的延长线交 y 轴于 T

∵△SCT 是等腰直角三角形， M 是△SCT 的内切圆圆心，∴MG＝MH ＝OM

又∵ MC 2OM 且 OM ＋MC ＝OC

∴ 2OM OM 3,得 OM 3 2 3

∴ M 3 2 3,0

（2°）在 x 轴的负半轴上，存在一点 M ′

同理OM′＋OC＝M′C，OM OC 2OM 得OM 3 2 3 ∴ M ′ 3 2 3,0

即在 x 轴上存在满足条件的两个点 .