几何与代数历年真题版
01-02学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一（30%）填空题：
1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则T
αβ= ；T
αβ== ； 100
()
T
αβ= ；
2． 设矩阵120031130A ?? ?= ? ???，234056007B ?? ?
= ? ???
，则行列式1AB -= ；
3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关；
4． 矩阵
1111011100110001A ?? ? ?= ?
???的伴随矩阵*
A =?
?
?
? ?
??
?
； 5． 设矩阵A 及A E +均可逆，则1
()G E A E -=-+，且1
G -= ；
6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ；
7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ；
8． 设实二次型222
12312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是椭
球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。
二（8%）记1π为由曲线23
z y x ?=-?=?绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的
交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）
。 三（8%）求经过直线22
21x y z x y z +-=??-+-=?
且与x y -平面垂直的平面方程.
四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中，
311101010,321003A B ??
-?? ?
== ? ?-?? ?
??
.
五（12%）设线性方程组
12341234234
1234
03552
232(3)1
x x x x x x x x x px x q x x x p x +
++=
??+++=??
-+-=??++++=-?
1． 问：当参数,p q 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？
2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解。
六（12%）设矩阵11113120132A k ?? ?
=- ? ?--??
，已知()2A =秩。
1． 求参数k 的值；
2． 求一42,,()2;B AB O B ?==矩阵使得且秩
3． 问：是否存在秩大于2的矩阵M 使得O AM =？为什么？ 七（12%）设实对称矩阵
001100.1001A k B l ????
? ?== ? ? ? ?????与相似
1． 求参数,k l 的值；
2． 求一正交阵,.T
Q Q AQ B =使得
八（6%）已知n 阶方阵A 相似于对角阵，并且，A 的特征向量均是矩阵B 的特征向量。证明：AB BA =。
02-03学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一． 填空题、单选题（每小题３分，共３６分）
1．[]2002
105132????????-=??
??????????
?? ? ? ? ??
?
； 2．1230110002-?? ?
= ? ?
??
?? ?
? ? ??
?
； 3．若A 是正交矩阵，则行列式3T A A = ；
4．空间四点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(1,2,)C k ，(1,4,9)D -共面的充要条件是k = ； 5．点(2,1,1)P -到直线11:221x y z l -+==- 的距离为 ；
6．若４阶方阵A 的秩为２，则伴随矩阵A *的秩为 ；
7．若可逆矩阵P 使AP PB =，1203B -??
= ???
，则方阵A 的特征多项式为 ；
8．若３阶方阵A 使,2,3I A I A A I --+都不可逆，则A 与对角阵 相似（其中，I 是３阶单位阵）；
9．若0111
120A x y ??
?
= ? ?-??
与对角阵相合，则(,)x y = ； 10．设()1234,,,A A A A A =，其中列向量124,,A
A A 线性无关，31242A A A A =-+，则齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系是 ；
11．设,A B 都是３阶方阵，AB O =，()()2r A r B -=，则()()r A r B +=（ ） （Ａ）5； （Ｂ）4； （Ｃ）3； （Ｄ）2
12．设n 阶矩阵A 满足2
2A A =，则以下结论中未必成立的是（ ） （Ａ）A I -可逆，且1
()A I A I --=-；
（Ｂ）A O =或2A I =；
（Ｃ）若2不是A 的特征值，则A O =；
（Ｄ）0A =或2A I =。 二． 计算题（每小题8分，共24分）
13．
20
1511011231
30
1
2
-
14．求直线211
:212
x y z l --+==
在平面:210x y z π+-+= 上的垂直投影直线方程． 15．设XA AB X =+，其中102020101A ?? ?= ? ?-??，101B -??
?
= ? ???
，求99X ．
三． 计算题、解答题（三小题共３２分） 16．设向量组
12311222115,,,101302a b αααβ????????
? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ?-- ? ? ? ?????????
123(,,)V L ααα=是123,,ααα生成的空间．已知()2V =维，V β∈．
（１） 求,a b ；
（２） 求V 的一个基，并求β在此基下的坐标； （３） 求V 的一个标准正交基． 17．用正交变换化简二次曲面方程
22121213234221x x x x x x x x +---=
求出正交变换和标准形）并指出曲面类型．
18．设D 为由yoz 平面中的直线0z =，直线,(0)z y y =≥及抛物线2
2y z +=围成的平面区域．将D 绕y 轴旋转一周得旋转体Ω．（１）画出平面区域D 的图形；（２）分别写出围成Ω的两块曲面12,S S 的方程；（３）求12,S S 的交线l 在zox 平面上的投影曲线C 的方程；（４）画出12,S S 和l ，C 的图形．
四． 证明题、解答题（每小题４分，共８分）
19．设η是线性方程组Ax b =的一个解，0b ≠，12,ξξ是导出组0Ax =的基础解系．证明：
12,,ηξηξη++线性无关．
20．设α是３维非零实列向量，
α=T A αα=．
（１）求A 的秩；（２）求A 的全部特征值；（３）问A 是否与对角阵相似？（４）求3I A -．
0３-0４学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一． （24%）填空题 1．若向量i a j k α
=+-，bi j k β=++，k =共面，则参数b a ,满足 .
2．过点)1,2,1(P 且包含x 轴的平面方程为 .
3．已知矩阵A 满足O I A A =-+322
，则A 的逆矩阵1-A = . 4．设矩阵120031130A ??
?= ?
?
??，234056007B ?? ?= ? ?
??
，则行列式=-12B A .
5．设向量组1231312,2,311k ααα??????
? ? ?=== ? ? ? ? ? ?-??????
，则当k 时，123,,ααα线性相关.
6．向量空间2R 中向量)3,2(=η在2
R 的基)1,1(=α，)1,0(=β下的坐标为 .
7．满足下述三个条件的一个向量组为 ，这三个条件是：①它是线性无关的；②其中的每个向量
均与向量()121=α正交；③凡与α正交的向量均可由它们线性表示.
8．已知22?矩阵?
??
? ??=d b c a A ，若对任意2维列向量η有0=ηηA T ，则d c b a ,,,满足条件 . 二．（12%）假设矩阵B A ,满足AB B A =-，其中???
?
?
??---=021021020A .求B .
三．（15%）设向量()T
a
1021=α，
()T 5122-=α，()T 4213-=α，()T c b 1=β. 问：当参数c b a ,,满足什么条件时
1．β能用321,,ααα唯一线性表示？ 2．β不能用321,,ααα线性表示？
3．β能用321,,ααα线性表示，但表示法不唯一？求这时β用321,,ααα线性表示的一般表达式. 四．（8%）设实二次型
ayz axy z y x z y x f 22),,(2
2
2
++++=
问：实数a 满足什么条件时，方程1),,(=z y x f 表示直角坐标系中的椭球面？ 五．（12%）设3阶方阵A 的特征值为2，2-，1，矩阵I aA aA B +-=43
。
1． 求参数a 的值，使得矩阵B 不可逆；
2． 问：矩阵B 是否相似于对角阵？请说明你的理由. 六．（12%）已知二次曲面1S 的方程为：
223y x z +=，2S 的方程为：21x z -=。
1． 问：1S ，2S 分别是哪种类型的二次曲面？ 2． 求1S 与2S 的交线在xOy 平面上的投影曲线方程； 3． 画出由1S 及2S 所围成的立体的草图.
七．（10%）假设33?实对称矩阵A 的秩为2，并且C AB =，其中?
?
??
?
??-=110011B ，????? ??-=110011C 。求A 的
所有特征值及相应的特征向量；并求矩阵A 及9999
A .
八．（7%）证明题：
1． 设t ηηη,,,21 是齐次线性方程组θ=Ax 的线性无关的解向量，β不是其解向量。证明：
t ηβηβηββ+++,,,,21 也线性无关.
2． 设A 是n 阶正定矩阵，证明：1>+A I .