有限元方法(试卷)

（-1,-1（-1,1

西安交通大学

级研究生课程考试试题

考试（查）科目：有限元方法（II ） 时间 年 月 日

一、4结点等参数单元的实际单元的结点坐标为

()()()()()()()()

4,4,,5,5,,

2,6,,2,2,44332211====y x y x y x y x

母体单元为22?的正方形，如图所示。 求：（1）单元坐标变换()().

,,,ηξηξy y x x ==的表达式。（8分）

（2）变换的Jacobi 行列式detJ 的解析表达式，并分析该变换是否存在奇异性。（8分） 二、分析以下两种单元的位移场是否具备收敛到真实解所需的各项条件。（30分） （1）13结点矩形平面应力单元，结点参数取为：)13~1(,=i v u i i 单元内位移场设为： 3

262

2

253

243

232

222

213

202

19182

171615143

132

2

123

113

102

92

83

72

652

4321xy

y x y x y

xy y x x y xy x y x v xy

y x y x y

xy y x x y xy x y x u αααααααααααααααααααααααααα++++++++++++=++++++++++++=

（2）6自由度三角形薄板弯曲单元，结点参数取为：

)6~4(),3~1(=??? ????=i

n w i w i

i 单元内位移场设为：

2

652

4321y xy x y x w αααααα+++++=

三、13结点平面应力单元如图所示，在计算单元刚度矩阵时取图示的9个积分点。试分析在单元一级是否存在出现零变形能位移模式的可能性。（8分）

1

2

8 5 7

6

???????

?

?

y,v

1

四、图示8结点平面应力单元厚度为t 。沿结点1-8-4所在边作用图示分布载荷，最大压强为q 。求与上述载荷对应的结点1处的等效结点力的大小。并图示其方向。（16分）

五、图示二维问题，在结点A 、B 、C 与D 、E 、F 之间为光滑接触。试用罚函数法实现此约束关系的描述。

（1）写出对总体坐标系的约束关系表达式；（5分）

（2）若该问题的能量泛函为p π，请写出相应的“修正泛函”的表达式。（5分） 六、3结点一维等参元如图所示，设单元自由度取为：321,,u u u 。若假设单元内的位移场如下列三种形式。试分别讨论它们是否具备收敛到真实解所要求的各项条件。（12分）

（1）()332211x x x u ααα+++=（2）()23211x x x u +++=ααα

（3）()x x x u 3211ααα+++=

七、图(a)所示的梁构件可抽象为图(b)所示的计算模型，由梁的直面假设可知结点3与4之间的自由度不独立。每个结点有三个自由度，即：i i i v u θ,,。若取结点4为主结点，结点3为从属结点，试写出约束关系式及单元e 的自由度{}{}T

v u v u d 33

32221θθ=转

换为{}{}T

v u v u d 44

4222

2θθ=的转换矩阵（{}[]{}21d T d =）（8分）

（-1,-1）

2

4 5

6

y,v

1

3

2 (a)