高中数学不等式地分类、解法
高中数学简单不等式的分类、解法
一、知识点回顾
1.简单不等式类型： 一元一次、 二次不等式， 分式不等
式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。
2.一元二次不等式的解法
解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数
大于 0 的一般形式，再求根、结合图像写出解集
3 三个二次之间的关系：
二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 ( 见复习教材 P228)
二次函数的零点 --- 对应二次方程的实根 ---- 对应
二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法
法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法
5.高次不等式解法
法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法
6.指数与对数不等式解法 a>1 时 a f ( x)
a g ( x)
f ( x) g( x) ；
log a f ( x) log a g(x)
f ( x) g( x)
0 a g ( x) f ( x) g( x) ； log a f (x) log a g ( x) 0 f ( x) g( x) 7.三角不等式解法 利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法 根据解题需要，对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法 利用函数的单调性求解，化为基本不等式（有时还会结合奇偶性） 10.绝对值不等式解法（后面详细讨论） 二、练习： （ 1） 3x 2 4x 4 0 解集为 2 （ x 2 ）（一化二算三写） 3 （ 2） 1 x 2 x 3 0 解集为 2 2 （ R ） (变为≤，则得 ?)（无实根则配方）三、例题与练习 例 1 已知函数 f (x) (ax 1) (x b) ，若不等式 f ( x) 0 的解集为 ( 1,3) ，则不等式 f ( 2x) 0 的 解集为 ( , 3 ) ( 1 , ) 2 2 解法一：由根与系数关系求出 a 1, b 3 ，得 f ( x) x 2 2x 3 ，再得出新不等式，求解 解法二：由二次不等式 f ( x) 0 的解集为 ( 1,3) 得 f ( x) 0解集为 ( , 1) (3, ) ，再由 2x ( , 1) (3, ) 得解集 变式 1. 已知关于 x 的不等式 x 2 mx n 0 的解集 是 { x | 5 x 1} ，则不等式 mx n 0 的解集为 （ m, n ） =（ -4， -5），解集为 ( , 5 ) x 2 4 例 2：不等式 ≥ 0 的解集是 _____． x 2 3x 2 答案：（ -2， -1）∪ [2， +∞） 法一：化为不等式组 法二：数轴标根法 法三：化为整式不等式（注意等价性） 变式 2：不等式 x 3 3x 2 x 3 0的解集为 . 答案： (1,3) ( , 1) 例 3：解关于 x 的不等式 ax 2 2 2 x ax 分析：化为 ax 2 ( a 2) x 2 0 ，考虑分类标准： ① a 与 0 的关系② 2 与 -1 的关系 a 变式 3：①解关于 x 的不等式 ax 2－ (a ＋ 1)x ＋ 1<0 解 :原不等式可化为（ ax-1）（ x-1） <0 1 当 a<0 时，原不等式解集为 ( , ) (1, ) 当 a=0 时， x-1>0, 原不等式解集为 (1,+ ∞) 当 0 (1, 1 ) a 当 a=1 时， ( x 1) 2 0 ，原不等式解集为当 a>1 时，原不等式解集为 ( 1 ,1) a 第 1 页 ② .解关于 x 的不等式log a(a2 x 11)0 答案：当 a>1 时，解集为(0,1 log a2) 2 当 0 log a 2) 2 （总结指数与对数不等式解法） 思维点拨 :含参数不等式 , 应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论 ,要做到不重不漏 . 例 4：已知函数 x21, ( x0) f ( x) 1, (x ， 0) 则不等式 f (1x 2 ) f (2x) 的解集为 分析：考虑解题思路，有两种方向 --- 函数不等式或分段解不等式 画出函数图像，结合图像易得不等式组 2x0 或2 x0 得解集为 (1,21) 1x21x22x 变式 4 ：定义在 R 上的偶函数，当x0 时，f ( x) x24x ，则不等式f ( x)x 的解集为 法一：结合图像求解；法二：化为不等式组 解集为 (, 3]0[5,) 例5：f (x)是定义在R 上的偶函数，当x0时，f ( x) e x sin x a ，解不等式 f (1x) f (2)分析： x0 时，f( x)e x cosx0， f ( x) 在[ 0,) 上单调增，又它为偶函数，所以，不等式转化 为 f (1x ) f (2) ，化为 1x 2，得解集为(, 1)(3,) 探究：改为奇函数，解集为 变式 5：函数f(x)的定义域为R， f′(x) 为 f(x)的导函数，函数y＝f ′(x)的图象 如右图所示，且 f(－2)＝ 1， f(3)＝ 1， 则不等式 f(x2－ 6)>1 的解集为 __________________ ． 答案： (2,3) ∪(－ 3，－ 2) 解析由导函数图象知f( x)在 (－∞，0) 上为增函数；在(0，＋∞)上为减函数， 故不等式 f(x2－ 6)>1等价于－2< x2－6<3，解得x∈ (2,3) ∪(－ 3，－ 2) 四、小结 1.含参不等式求解要先考虑分类标准，做到不漏不重 2.要善于转化，化为不等式组或整式不等式或代数不 等式，注意数形结合。 五、课后思考题 1. 已知函数 f ( x) 的大致图像如 图，则不等式 f ( x)( x 1)0 的解 x 集为 x 1x1 分析：化为不等式组x0或x0 f ( x)0 f (x) 0 进而得解集为 (1,0)(3,) 2.已知 f (x) 2 x ( x0) 22x( x ，解不等式 x0) f ( f (x)) 8 分析：换元，设 f ( x)t ，先解不等式 f (t ) 8 ，得2t 0 或0t 3，再转化为关于x 的不等式求解，解集为 (1, log 2 3) 3.已知 f(x)是定义域为实数集R的偶函数，对任意 x1，x2≥0，若 x1≠x2，则 f ( x 1 ) f (x2 )0，如果 f1＝3， 4(log)3x1x234 且，那么 x 的取值范围为 () f 1 x 8 A. 1 1 ， 2 C. 1 ，1 ∪ (2，＋∞) 0，2 B. 22 D.0， 1 ∪ 1 ， 2答案B 82 解析： f (lo g 1x) 3 x≥0 时， f(x)是 ，由已知可得当 84 减函数．又 f( x)为偶函数，∴f (log1 x) f ( log 1x ) ， 88 由 f ( log 1x )3 f ( 1 ) 得 log 1x1 84383 1 x 11 ∴log 1 3 ∴2 38 4. 已知A(2,0) 、 B( 2,0) 、C(2a, a) ，且ABC是锐角三角形，求 a 的取值范围。 分析：由题意可得 22a2 ，解得 ( 2 a) 2 a 24 a (2,4) 教后记：知识点回顾用时较多，可简略（ 5 分钟内） 第2 页