大学物理A第六章习题选解,DOC
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第六章真空中的静电场
习题选解
6-1三个电量为q -的点电荷各放在边
(Q 为
由Th 它们距离为159.010r m -=?
由库仑定律可得它们之间的相互作用力为：
（2）α粒子的质量为： 由牛顿第二定律得：
6-3如图所示，有四个电量均为C q 610-=的点电荷，分别放置在如图所示的
1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长m 1，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。求作用在第3个点电荷上的力。
解：由图可知，第3个电荷与其它各电
力，且第2、4两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷3的力为
题6-3图 q 2为B 设电四极子轴线的延长线上，离中心为r （e r r >>）的P 点处的电场强度为4
043r Q
E πε=
，式中
22e qr Q =，称为这种电荷分
布的电四极矩。
题6-5图
解：由于各电荷在P 点产生的电场方向都在x 轴上，根据场强叠加原理
由于e r r >>，式中2e r 可略去 又电四极矩22e qr Q =
故4
043r
Q
E P πε=
题6-5图
6-6如图所示，一根很长的绝缘棒，均匀 带电，单位长度上的电荷量为λ，试求距棒的一端垂直距离为d 的P 点处的电场强度。
元dx 在P 点产生的场强为
dE
题6-6图
P 45
A 为，为R 的半圆形。其上一半均匀带电荷q +，另一 半均匀带电荷q -。求圆心O 处的场强。
如图所示Oxy 坐标，
题6-8图
在胶棒带正电部分任取一线元dl ，与OA 夹角为θ，线元带电荷量dl R
q
dq π2=，在O 点产生电场强度
把场强dE 分解成沿x 轴和y 轴的分量
题6-8图
同理，胶棒带负电部分在O 点的场强E '沿x 轴方向的分量'
x E 与x E 大小相等，方
向相同；沿y 轴方向的分量'
y E 与y E 大小相等，方向相反，互相抵消，故点场强为
2
02
2R
q
E E x επ=
=方向沿x 轴正向。
6-9一无限大均匀带电平面，电荷面密度为σ，在平面上开一个半径为R 的圆洞，求在这个圆洞轴线上距洞心r 处一点P 的场强。
故直线，所带电量为q ，求带电直线延长线上任一点P 的场强。
解：在坐标为r 处取线元，带电量 该线元在带电直线延长线上距原点为x 的
P 点产生的场强为
题6-10图 题6-10图
整个带电直线在P 点的场强
6-11用场强叠加原理，求证无限大均匀带平面外任一点的场强大小为0
2εσ
=E （提示：把无限大平面分成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分）。
解：（1）建如图()a xyz 坐标，以板上任一点O 为圆心，取半径为r ，宽度为dr 的环形面积元，带电量为：
P z 00θ为半径R 与x 轴夹角，求圆环中心O 处的电场强度。
解：在带电圆环上任取一线元θRd dl =，带电量为θθλλRd dl dq cos 0==，线元与原点O 的连线与x 轴夹角为θ，在O 点的场强d E 大小为
题6-12图
d E 沿x 轴和y 轴的分量
整个带电圆环在O 点的场强E 沿x 轴和y 轴的分量 故0
04x E R
λε==-
E i i E 的方向沿x 轴负方向。
6-13如图所示，两条平行的无限长均匀带电直线，相距为d ，线电荷密度分别为λ+和λ-，求：
（
（F 0线。
同理，带正电直线单位长度受电场力d
F 02
2πελ=+，方向指向带负电直线。
故有+-=-F F ，两带电直线相互吸引。
6-14如图所示，长为l 、线电荷密度为
λ的两根相同的均匀带电细塑料棒，
沿同一直线放置，两棒近端相距为l ，求两棒间的静电相互作用力。
题6-14图
解：（1）建立如图所示x 坐标，在左棒中坐标为x 处取线元dx ，带电量dx dq λ=，线元dx 在坐标r 处的场强左棒在坐标r 处点的场强
题6-14图
，O 可圆心处场强100.714AB E E V m -==-?，方向指向空隙。
6-16如图所示，一点电荷q 处于边长为的正方形平面中垂线上，q 与平面中心O 点相距/2a ，求通过正方形平面的电场强度通量e ψ。
解：以点电荷所在处为中心，以图中正方形为一面作一边长为a 的正方体，由高斯
定理知：通过正方体表面的电通量为
题6-16图
则通过该正方形平面的电通量为
6εq
。 6-17设匀强电场的场强为E ，E 与半径为R 的半球面的轴线平行。试计算通过0远由??
?
∞-∞
-∞
-=?==???
? ?????? ??=03
03020
3002
020
3
224288228
00a a dx x e a a r d a r e a
dr r e x a /r a /r
原式成为e a
C -=?-4
43
0π
所以30
a e C π=
要求半径为0a 的球内的静电荷。应先求半径0a 的球内的负电荷q '
q
球内净电荷为19
0.677 1.0810q e q e C -'=+==?∑
由高斯定律0
200
4q d a E πε?==∑
??E S
6-19在半径分别为1R ,2R 的两个同心球面上，分别均匀带电为1Q 和2Q ，求空间的场强分布，并作出r E -关系曲线。
解：电荷在球面上对称分布，两球面电荷产生的电场也是球对称分布，场强方向沿径
（E 解：由于电荷分布具有球对称性，空间电场分布也具有球对称性。 （1）在1r R <的区域，电量为零。
由高斯定理0s
d ?=?E S ，因而各点场强为零。
（2）在12R r R ≤≤区域，以r 为半径作同心球面。 由高斯定理
由331332144
()443333
Q
q V r R R R ρππππ==
--
因此3
1
323
13204R R R r r Q
E --=πε （3）在2r R >区域，以r 为半径作同心球面，由高斯定理
E 题6-20图
（6-22一半径为R 的无限长带电圆柱， 其体电荷密度为r 0ρρ=(R r ≤)，0ρ为常数。 求场强分布。
解：（1）在圆柱体内r 处（R r ≤），取一 点P ，过P 以底面半径为r ，高为l 作闭合同
轴圆柱面。圆柱面包围的电荷量
题6-22图
通过圆柱侧面的电通量为rlE π2，通过两底面的电通量为零，由高斯定理
可得0
23ερr E =E 的方向沿矢径r 的方向
（2）在圆柱体外r 处（R r ≥）取一点P ，过P 点以底面半径为r ，高为l 作闭合同轴圆柱面。圆柱面包围电荷量 由高斯定理0
s
q d ε?=
∑?E S 得（（6-24如图所示，半径为R 的均匀带电球面，带电量为Q ，沿半径方向有一均匀带电细线，线电荷密度为λ，长度为l ，细线近端离球心的距离为l 。设球和细线上的电荷分布固定。求细线在电场中的电势能。
题6-24图
解：以带电球面圆心O 为原点，通过带电直线作x 坐标如图。带电球面在轴线x 处
场强为
2
04x Q E πε=
方向沿x 轴正方向
该点的电势为2
0044x x
x
Q Q V Edl dx x x
πεπε∞∞
===
??
在带电细线上x 处取线元dx ，带电量为dx dq λ=，线元dx 的电势能为
dx x Q dq V dW x 04πελ
==
距故
q 建x 坐标，在x 坐标轴上，各点场强方向都沿x 轴题6-26图
对于A 、B 两点，电势差 由0=B V ，故V V A 45= 对于B 、C 两点，电势差为： 由0=B V ，故V V C 15-=
6-27真空中一均匀带电细圆环，线电荷密度为λ，求其圆心处电势。 解：在细圆环上取长为dl 的线元，带电量为dl dq λ=在圆心处产生的电势 整个带电圆环在圆心O 的电势
题6-27图
6-28半径为mm 2的球形水滴具有电势V 300。求：（1）水滴上所带的电荷量。（2）
故点2）在两个球面之间何处的电势为零？
解：（1）设内球面带电量为1Q ，外球面带电量为2Q ，由电势叠加原理
12101026044Q Q V V R R πεπε=
+
=①
12202
02
3044Q Q V V R R πεπε=
+=-②
由①-②得：
()9041142
101
122101=-=???? ??-R R Q R R R R Q πεπε 将1Q 的数值代入①式可得：
（2）在两球面之间，电势表达式为 令0r V =，得cm Q R Q r 0.102
2
1=-=
)的z 故在1-，内半径为m 2102-?，外半径为m 2104-?，一电子在两圆柱面间沿半径为m 2103-?的圆周路径匀速转动。问此电子的动能为多少？
解：设圆柱面单位长度的电量为λ，两同轴圆柱间的场强电子作匀速圆周运动的向心力由电场力提供
题6-31图
所以电子的动能2170
1 4.321024k e E m J λπε-=
==?v 6-32一电偶极子放在均匀电场中，其电偶极矩与场强成30角，场强的大小为
13102-??m V ，作用在电偶极子上的力偶矩为m N ??-2100.5，试计算其电偶极矩和电
势能。
解：电矩e q =P l 与电场夹角为电偶极子受力偶矩θ
e P a U 为
m （（c