2011-2018新课标高考立体几何分类汇编(理)
2011-2018新课标(理科)立体几何分类汇编
一、选填题
【2012新课标】（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18
【解析】选B 。该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，此几何体的体积为11
633932
V =????=
【2012新课标】（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）
()
A 26 ()
B 36 ()
C 23 ()
D 22
【解析】ABC ?的外接圆的半径33
r =
，点O 到面ABC 的距离22
63d R r =-=，SC 为球
O 的直径?点S 到面ABC 的距离为2623
d =此棱锥的体积为
113262
233436
ABC V S d ?=?=??=
另：13236
ABC V S R ?
【2013新课标1】6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A 、500π3cm 3
B 、866π3
cm 312
C 、1372π3
cm 3
D 、
2048π3
cm 3
【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R -2，则2
2
2
(2)4R R =-+，解得R=5，∴球的体积为3453
π?=500π33
cm ，故选
A.
【2013新课标1】8、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )
A 、16+8π
B 、8+8π
C 、16+16π
D 、8+16π
【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2 高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222
π??+?? =168π+，故选A .
【2013新课标2】4. 已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l
β，则( )．
A ．α∥β且l ∥α
B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l 【解析】因为m ⊥α，l ⊥m ，l
α，所以l ∥α.同理可得l ∥β。又因为m ，n 为异面直线，所以α与
β相交，且l 平行于它们的交线．故选D.
【2013新课标2】7. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影
面，则得到的正视图可以为( A )．
【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像如图：
【2014新课标1】12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ） A 、6
B 、6
C 、4
D 、4
【解析】几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C 到BD 的中点的距离为：4，
，AC==6，AD=4
，显然AC 最长。
【2014新课标2】6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A.1727
B.59
C.1027
D.13
【解析】该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为π×32×2＋π×22×4＝34π(cm 3)，原毛坯的
体积为π×32×6＝54π(cm 3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm 3)，故所求的比值为20π54π＝10
27。
【2014新课标2】11. 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.22
【解析】如图，E 为BC 的中点．由于M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，故MN ∥B 1C 1且MN ＝
12B 1C 1，故MN 綊BE ，所以四边形MNEB 为平行四边形，所以EN 綊BM ，所以直线AN ，NE 所成的角即为直线BM ，AN 所成的角．设BC ＝1，则B 1M ＝12B 1A 1＝2
2
，所以MB ＝
1＋12＝62＝NE ，AN ＝AE ＝5
2
，在△ANE 中，根据余弦定理得cos ∠ANE ＝64＋54－5
42×62×52＝30
10。
【2015新课标1】6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ B ）
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
【2015新课标1】(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ B ）
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8
【2015新课标2】（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） （A ）
（B ）
（C ）
（D ）
【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设
正方体棱长为，则
，故剩余几何体体积为
，所以截去
部分体积与剩余部分体积的比值为．
【2015新课标2】（9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）
A ．36π B.64π C.144π D.256π 【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面
的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球
的半径为
，此时
，
故，则球
的表面积为
，故选C ．
【2016新课标1】（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
283
π
，则它的表面积是（ ） （A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π 【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的
1
8
（如右图所示），故 34728383r ππ=
解得2r =，2271
431784
S r r πππ∴=?+?=。
【2016新课标1】(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ?平面ABCD =m ，a ?平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为（ ） (A)
32 (B)22 (C)33 (D)1
3
【详细解答】令平面a 与平面CB 1D 1重合，则m = B 1 D 1，n = CD 1 故直线m 、n 所成角为60o ，正弦值为
3
2
【2016新课标2】6. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何
体的表面积为( )
（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π
【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．由图得，，由勾股定理得：
【2016新课标2】14. α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥。②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥．
③如果a β∥,m α?,那么m β∥。 ④如果m n ∥,αβ∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．
其中正确的命题有 ②③④ .(填写所有正确命题的编号)
【2016新课标3】9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ B ） (A )18＋36 5 (B )54＋185 (C )90 (D )81
【2016新课标3】10. 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 13，则V 的最大值是（ B ） (A )4π (B )9π2
(C )6π
(D )32π3
【2017新课标1】7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ B ） A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
【2017新课标1】16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为____415___。
r c l h 2r =2π4πc r ==()
2
2223
4l =+=21π2
S r ch cl
=++表4π16π8π=++28π=
【2017新课标2】4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π 【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半。
2211
π310π3663π22
=-=??-???=V V V 总上
【2017新课标2】10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，
1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）
A ．
32 B ．155 C ．10
5
D ．33 【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02?
? ??
?，）
可知11522MN AB =
=
，11222
NP BC ==，作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1
2
MQ AC =
，ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠
=4+1-2′2′1×-12?è???÷=7，7=AC ，则7
2
MQ =
，则MQP △中，22112
MP MQ PQ =+=
， 则PMN △中，222cos 2MN NP PM PNM MH NP +-∠=
??2
2
2
521122210552
222
??????
+- ? ? ? ? ? ???????==-?? 又异面线所成角为π02?
? ???
，，则余弦值为105。
【2017新课标3】8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．π
B ．
3π4
C ．π２
D ．
π4
【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径
2
2
13122r ??=-=
???
，则圆柱体体积2
3ππ4V r h ==，故选B. 【2017新课标3】16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60?角时，AB 与b 成30?角； ②当直线AB 与a 成60?角时，AB 与b 成60?角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45?；
④直线AB 与a 所成角的最大值为60?．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆。以C 为坐标原点，以为x 轴正方
向，
为y 轴正方向，
为z 轴正方向建立空间直角坐标系．
则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量，
，B 点起始坐标为(0,1,0)，
直线b 的方向单位向量
，
，设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'，
其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈。 那么'AB 在运动过程中的向量，．
设
与所成夹角为π
[0,]2
α∈，则
．
故ππ
[,]42
α∈，所以③正确，④错误．设
与所成夹角为π
[0,]2
β∈，
.
当
与夹角为60?时，即π3α=
，12sin 2cos 2cos 2322
πθα====． ∵22cos sin 1θθ+=，∴2|cos |2θ=
，∴21cos |cos |22
βθ==． ∵π[0,]2β∈，∴π
=3
β，此时AB '与b 夹角为60?，∴②正确，①错误．
【2018新课标1】7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视
图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ B ）
A ．
172 B ．52
C ．3
D ．2 【2018新课标2】9. 在长方体中，
，，则异面直线与
所成角的余弦值为
A. B. C. D. 【解析】以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则
,所以
,
因为，所以异面直线
与
所成角的余弦值为，选
C.
二、解答题 【2011新课标】
如图，四棱锥P—ABCD 中，底面
ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；
(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A -PB -C 的余弦值。 【答案】
（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD = ，从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故PA ⊥BD
（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz ，则
()1,0,0A ,()03,0B ，,()
1,3,0C -,()0,0,1P 。
设平面PAB 的法向量为n=（x,y,z ），则 即
3030
x
y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3)
设平面PBC 的法向量为m ，则
m PB m BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 427
cos ,727
m n -=
=-
故二面角A -PB -C 的余弦值为 277-
【2012新课标】19. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，
11
2
AC BC AA ==
，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 （1）证明：BC DC ⊥1
（2）求二面角11C BD A --的大小。
【答案】（1）在Rt DAC ?中，AD AC = 得：45ADC ?∠=
同理：1114590A DC CDC ??
∠=?∠=
得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥ 取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =?⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD
1OH BD C H BD ⊥?⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角
设AC a =，则122
a C O =
，1112230C D a C O C DO ?
==?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30?
【2013新课标1】18、（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1， ∠BAA 1=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;
（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值。 【答案】（Ⅰ）取AB 中点E ，连结CE ，1A B ，1A E ，∵AB=1AA ，1BAA ∠=0
60，∴1BAA ?是正三角形，∴1A E ⊥AB ， ∵CA=CB ， ∴CE ⊥AB ， ∵1CE A E ?=E ，∴AB ⊥面1CEA ， ∴AB ⊥1A C ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC ⊥AB ，1EA ⊥AB ，
又∵面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC∩面11ABB A =AB ，∴EC ⊥面11ABB A ，∴EC ⊥1EA ，∴EA ，EC ，1EA 两两相互垂直，以E 为坐标原点，
的方向为x 轴正方向，|
|为单位长度，建立如
图所示空间直角坐标系O xyz -，由题设知A(1,0,0),1A (0,3,0),C(0,0,3),B(－1,0,0),
则=
（1,0，3）,=
=(－1,0,3),
=(0,－3,3), 设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向
量， 则
，即3030
x z x y ?+=??+=??，
可取n =（3，1，-1）， ∴
=
10
5
， ∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为
105
. 【2013新课标2】18．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝
2
2
AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值． 【答案】
(1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ?平面A 1CD ，BC 1平面A 1CD ， 所以BC 1∥平
面A 1CD . (2)由AC ＝CB ＝
2
2
AB 得，AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐
标系C －xyz .
设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，＝(1,1,0)，＝
(0,2,1)，
＝(2,0,2)．
设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，
则
即1111
0,
220.x y x z +=??
+=? 可取n ＝(1，－1，－1)．
同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则
可取m ＝(2,1，－2)．
从而cos 〈n ，m 〉＝3
||||3
=
·n m n m ，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63.
【2014新课标1】19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ． （Ⅰ ）证明：AC=AB 1；
（Ⅱ ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值． 【答案】
（1）连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结AO ，∵侧面BB 1C 1C 为菱形， ∴BC 1⊥B 1C ，且O 为BC 1和B 1C 的中点，又 ∵AB ⊥B 1C ，∴B 1C ⊥平面ABO ，
∵AO ?平面ABO ，∴B 1C ⊥AO ， 又B 1O=CO ， ∴AC=AB 1， （2） ∵AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，∴AO=CO ， 又 ∵AB=BC ，∴△BOA ≌△BOC ，∴OA ⊥OB ， ∴OA ，OB ，OB 1两两垂直， 以O 为坐标原点，
的方向为x 轴的正方向，|
|为单位长度，
的方向为y 轴的正方向，的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
∵∠CBB 1=60°，∴△CBB 1为正三角形，又AB=BC ，
∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）
∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，
则，可取=（1，，），
同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），
∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为
【2014新课标2】18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩
形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.
【答案】
（1）连结BD交AC于点O,连结EO,因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点
又E为的PD的中点，所以EO∥PB,EO?平面AEC,PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC （2）因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直
如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则A—xyz,则D(0,3 ,0),则E(0,
3
2
,
1
2
),=(0,
3
2
,
1
2
)
设B(m,0,0)(m＞0)，则C（m, 3，0）
设n(x,y,z)为平面ACE的法向量，
则{即{
1
2
3
2
3
mx y
y z
+=
+=
可取1n =（
3
m
,-1, 3）又1n =（1,0,0）为平面DAE 的法向量， 由题设12cos(,)n n =
12，即2
334m +=12，解得m=3
2
因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E -ACD 的高为12，三棱锥E -ACD 的体积为V=13?12?3?32?1
2=38
【2015新课标1】（18）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC 。 （1）证明：平面AEC ⊥平面AFC （2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值
【2015新课标2】如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
D 1 C 1
A 1 E
F B 1
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。
【答案】
【2016新课标1】18. 如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，
∠=，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是90
AFD
60．
（I ）证明平面ABEF ⊥EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值． 【答案】（I ）,AF FE AF FD ⊥⊥，AF FECD ⊥面，又AF ABFE ?面,所以平面
ABEF ⊥EFDC ；
（II ）以E 为坐标原点，EF ，EB 分别为x 轴和y 轴建立空间直角坐标系（如图），设2AF =，则
1FD =，因为二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60，即60o EFD FEC ∠=∠=，
易得(0,2,0)B ,(2,2,0)A ,13(,0,
)22
C ， ,
设平面EBC 与平面ABCD 的法向量分别为
和，则
令11x =，则1130,3
y z ==-，
由
，
令22z =，则2230,2
x y ==
，
，二面角E -BC -A 余弦值219
19
-
.
【2016新课标2】19. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，
5
4
AE CF ==
，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置10OD '=. （I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值. 【答案】
⑴证明：∵，∴，∴．
∵四边形为菱形，∴，∴，∴，∴． ∵，∴；又，，∴，∴
，∴，∴，
∴．又∵， ∴面．
⑵建立如图坐标系．， ，，，
,
,
设面法向量
，
由
得，取 ∴．同理可得面的法向量
, ， ∴
5
4AE CF ==
AE CF AD CD
=EF AC ∥ABCD AC BD ⊥EF BD ⊥EF DH ⊥EF DH
'⊥6AC =3AO =5AB =AO OB ⊥4OB =1AE
OH OD AO
=
?=3DH D H '==2
2
2
'OD OH D H '=+'D H OH ⊥OH EF H ='D H ⊥ABCD H xyz -()500B ，，()130C ，，()'003D ，，()130A -，，'ABD 430330x y x y z +=??-++=?3
45
x y z =??=-??=?
'AD C 295
sin 25
θ=
P
z
P
【2016新课标3】(19)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，
M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点。 （1）证明：MN ∥平面P AB
（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 【答案】
【2017新课标1】18. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB//CD ，且
90BAP CDP ∠=∠=.
（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；
（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值. 【答案】
（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ?平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD .
（2）在平面PAD 内做PF AD ⊥，垂足为F ，由（1
）可知，
AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .
以F 为坐标原点，
的方向为x 轴正方向，
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
F xyz -。由（1）及已知可得2(
,0,0)2A ，2(0,0,)2P ，2
(,1,0)2
B ，2(,1,0)2
C -， 所以，
，
，
设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则
，即22
022
20x y z x ?-
+-=???=?
，可取(0,1,2)=--n . 设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则
，即22
022
x z y ?-=?
??=?
，可取(1,0,1)=n ，则3cos ,||||3?==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为33
-。
【2017新课标2】19. 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面P AB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为
o 45 ，求二面角M -AB -D 的余弦值
【答案】
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1
2
EF AD ∥．又∵
90BAD ABC ∠=∠=?，∴BC AD ∥，又∵12AB BC AD ==
，∴1
2
BC AD ∥，∴EF BC ∥．∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥，又∵BF PAB ?面，∴CE PAB 面∥ （2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．设1AB BC ==，
则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，，，(010)D ，
，，，(003)P ，，． M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=?，∴MBM '△为等腰直角三角
形．
∵POC △为直角三角形，3
3
OC OP =，∴60PCO ∠=?． 设MM a '=，33CM a '=，313
OM a '=-．∴3
1003M a ??'- ? ???
，，． 2
22
2316101332BM a a a a ??'=++=+=?= ? ???
． ∴32
1132OM a '=-
=-．∴21002M ??'- ? ???，，，261022M ??- ? ???
，，
，
．设平面ABM 的法向量．
116
02
y z +
=
，∴，，．
设平面ABD 的法向量为，
，∴．
∴二面角M AB D --的余弦值为105
．
z
y
x
M 'M
O
F
P
A
B
C
D
E