初中数学专题辅导：阴影面积求法9种方法(不规则图形)

阴影面积求法

阴影部分的图形一般是不规则图形或没有可直接利用的公式，因此，同学们常感到困难。本文指出：求解这类问题的关键是将阴影部分图形转化为可求解的规则图形的组合。如何转化呢?这里给出常用的 9 种转化方法。 1. 直接组合

例 1. 如下图，圆 A 、圆 B 、圆 C 、圆 D 、圆 E 相互外离，它们的半径都是 1，顺次连结五个圆心得到五边形 ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）

A. π

B. 1.5π

C. 2π

D. 2.5π

（02 年河南省中考）

分析：由于每个扇形圆心角的具体角度未知，故无法直接进行计算。因为五边形 ABCDE 的内角和=540°=360° +180°，从而可知所求阴影部分的面积可以重新组合成一个圆和一个半圆的面积，即 1.5 个圆的面积：

1.5 ? (π?12 ) = 1.5π，选（B ）。

2. 圆形分割

例 2. 如下图，ΔABC 中，∠C 是直角，AB=12cm ，∠ABC=60°，将ΔABC 以点 B 为中心顺时针旋转，使点 C 旋转到 AB 边延长线上的点 D 处，则 AC 边扫过的图形（阴影部分）的面积是 cm 2 （π=3.14159……，

最后结果保留三个有效数字）。

解：在 Rt ?ABC 中，

∠ABC = 60?

（03 年济南市中考）

所以

又易证

∠BAC = 30?

BC = 1

AB = 6cm

2

Rt ?ABC ? Rt ?EBD ， 所以

S ?ABC = S ?EBD ，

∠ABC = ∠EBD = 60?， ∠ABE = ∠CBD = 120? 。

故所求阴影面积为整个图形的总面积减去空白图形的面积，即

S 阴影＝（S 扇形BAE + S ?EBD ）-（S 扇形BCD + S ?ABC ）

＝S 扇形BAE - S 扇形BCD

＝120 π?122 - 120 π? 62

360 360 ＝36π ≈ 11（3 cm 2）。

2 3.

平移

例3. 如下图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4 和2，那么阴影部分的面积为。

（03 年上海市中考）

解：将上图中的下部分阴影图形向上平移，得到下图，则所求阴影面积为矩形面积减去两个正方形的面积。

又易知AE＝2，EB =BC = 2，所以S阴影＝（ 2 + 2）? 2 - 2 - 4＝2 -2。

4.旋转

?????? 例4. 如下图，ABCD 是边长为8 的一个正方形，EF 、HG 、EH 、FG 都是半径为4 的圆弧，且EH 、FG 分别与AB、AD、BC、DC 相切，则阴影部分的面积= 。

（05 年呼和浩特市中考）

分析：将点E、F、G、H 中每两点分别连结，如下图，则大正方形被分割成四个小正方形，易知原题中的四段弧都是以4 为半径的等弧，以EF、FG、GH、HE 为弦的四个弓形全等。故阴影部分的面积等于正方形EFGH 的面积，即 4 ? 4 2＝32 。

5.等积变换

例5. 如下图，AD 是圆O 的直径，A、B、C、D、E、F 顺次六等分圆O，已知圆O 的半径为1，P 为直径AD 上任意一点，则图中阴影部分的面积为。

解：连结OE、OF、EF，则ΔOEF 为等边三角形，∠FEO=∠EOF=∠EOD=60°，

EF∥DA，

所以S?PEF 可被等积移位成S ?OEF ，

即S?PEF = S ?OEF 。（同底等高）

因此，直径AD 左侧的阴影面积= S

扇形OEF

，再由对称性知

S

阴影＝2S

扇形OEF

＝2 ? 60

360

?π?12＝

1π

。

3

2

2

6. 利用轴对称图形的性质 （1）直接计算

例 6. 如下图，将边长为 2cm 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点 B 顺时针旋转一个 4 3 角度，若使重叠部分的面积为

cm ，则这个旋转角度为 度。

3

（05 年济南市中考）

解：设 CD 与 A’D’相交于点 E ，如上图，则 BE 为整个图形的对称轴， 于是

Rt ?A ' BE ? Rt ?CBE

∠A’BE=∠CBE 。

S 阴影＝2S

?

CBE

＝2 ? 1 BC ? CE 2

所以

= 2CE =3

故

CE

= (cm ) 。 3

在 Rt ΔCBE 中，

tan CBE =

CE

=

3

所以

BC 3

∠CBE = 30? 。

因此，旋转角=∠ABA’

=90°－2∠CBE=30°。 （2）先翻转再组合

例 7. 如下图，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴切于点 O ，其直径 CD 、EF 均与 x 轴垂直，以 O 为顶点的两条抛物线

分别经过点 C 、E 和点 D 、F ，则图中阴影部分的面积是 。（05 年河南省中考）

解：上图中的半圆和抛物线均以 y 轴为对称轴，故可用对称性将 y 轴右侧的两个阴影“叶片”翻折到 y 轴的左

侧，同原来 y 轴左侧的曲边三角形阴影组合成一个半圆。

所以 S ＝ 1π? OA 2＝ 1π?12＝ 1π。 阴影

2 2 2

2 3

阴影

7. 利用中心对称图形的性质 例 8. 下图中正比例函数和反比例函数的图象相交于 A 、B 两点，分别以 A 、B 两点为圆心，画与 y 轴相切的两个圆。若点 A 的坐标为（1，2）

，则下图中两个阴影面积的和是

。

（05 年长春市中考）

解：由于两圆与双曲线均为以点 O 为对称中心的中心对称图形，故圆 B 内的阴影部分与圆 A 内的空白部分全 等， 于是 S 阴影＝S 圓A ；

又易知 圆 A 的半径为 1，

所以

S ＝π?12＝π。

8. 整体和差法

例 9. 如下图，正方形的边长为 a ，以各边为直径在正方形内画半圆，所以围成的图形（阴影部分）的面积为 。

解：下图中阴影部分面积可以看作是 4 个半圆的面积之和与正方形面积之差（重叠部分）。

S ＝4 ? 1π（? a ）2 - a 2

阴影

2 2 所以

= 1πa 2 - a 2。 2

3 3

阴影

- - ?

) ) 9. 应用方程

例 10. 四个半径均为 r 的圆如下图放置，相邻两圆交点之间的距离也等于 r ，不相邻两圆圆周上两点间的最短距离等于 2，则 r 等于 ；下图中阴影部分的面积等于 。（精确到 0.01）

（05 年杭州市中考）

分析：各点字母及辅助线如上图所示。由 O 1B=O 1C=BC=r ，知ΔO 1BC 为等边三角形，结合对称性有∠O 4O 1A= ∠BO 1O 2=30°；BC 与 O 1O 2 互相垂直平分。从而有

1

∠AO 1B=30°， BD ＝ r ，

2

O 1O 2 = 2O 1 D = 2 = 2 = 3r 。

又显然 ?O 1O 2 O 3 为等腰直角三角形，且 O 1O 2 = O 2O 3 = 3r ，O 1O 3 = 2r + 2 ，

（圆O 1 与圆O 3 上两点间的最短距离为 2），由勾股定理，得O O 2

+ O O 2

= O O 2

， 1 2 2 3 1 3 即

( 3r ) 2 + ( 3r ) 2 = (2r + 2) 2 ，

解得 r = 6 + 2 。

下面用方程思想求解上图的阴影面积。利用图形的对称性，有

?

a = S

= 1

O O ? BD

? ?BO 1O 2 2 1 2 ? ? ＝ 1 ?

2 3r ? 1

r 2 2， 4 ?b = S ＝ 30 π? r 2 =

1 πr 2，

? 扇形O 1BA

?

360 12 ?4a + 4b + S 阴影＝S 正方形O O O O

? 1 2 3 4

? ＝（ ? ? ?

3r ）2

= 3r 2。

将①、②分别代入③，得

S ＝3r 2

- 4a - 4b

= 3r 2

- 4 ?

3

r 2 - 4 ?

4 1

πr 2

12

= (3 - π r 3

= (3 - π

? (

+ 2) 2

≈ 4.37。 3

O B 2

- BD 2 1

r 2

- (1 r )2

2

3 6

2