【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之91等比数列综合
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之91等比数列综合
一、选择题（共40小题；共200分）
1. 设S n为等比数列a n的前n项和，已知3S3=a4?2，3S2=a3?2，则公比q=
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2. 若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=
A. 4
B. 2
C. ?2
D. ?4
3. 已知a n是首项为1的等比数列，S n是a n的前n项和，且9S3=S6，则数列1
a n
的前5项和为
A. 15
8或5 B. 31
16
或5 C. 31
16
D. 15
8
4. 设a>0，b>0．若3是3a与3b的等比中项，则1
a +1
b
的最小值为
A. 8
B. 4
C. 1
D. 1
4
5. 设a n是首项为a1，公差为?1的等差数列，S n为其前n项和，若S1,S2,S4成等比数列，则a1=
A. 2
B. ?2
C. 1
2D. ?1
2
6. 据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：＂2001年国内生产总值达到95933
亿元，比上年增长7.3%＂．如果＂十·五＂期间（2001年- 2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到＂十·五＂末我国国内年生产总值约为
A. 115000亿元
B. 120000亿元
C. 127000亿元
D. 135000亿元
7. 已知等比数列a n满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=
A. 64
B. 81
C. 128
D. 243
8. 设等差数列a n的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
9. 在等比数列a n中，S n表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q等于
A. ?3
B. ?1
C. 1
D. 3
10. 设S n为等比数列a n的前n项和，已知3S3=a4?2，3S2=a3?2，则公比q=
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
11. 已知a n为等比数列，S n它的前n项和，若a2?a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为5
4
，则S5=
A. 35
B. 33
C. 31
D. 29
12. 已知数列a n中，a n=2n．下列关于该数列的说法，错误的是
A. 该数列是等差数列
B. 该数列是等比数列
C. 该数列的前8项和为510
D. 484不是该数列中的项
13. 设a n是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i,a i+1的矩形面积（i=1,2,?），则A n为
等比数列的充要条件为
A. a n是等比数列
B. a1,a3,?,a2n?1,?或a2,a4,?,a2n,?是等比数列
C. a1,a3,?,a2n?1,?和a2,a4,?,a2n,?均是等比数列
D. a1,a3,?,a2n?1,?和a2,a4,?,a2n,?均是等比数列，且公比相同
14. 已知数列a n的前n项和为S n=2n?1，则a12+a22+a32+?+a n2等于
A. 2n?12
B. 4n?1
C. 1
34n?1 D. 1
3
2n?1
15. 如果等比数列a n满足a n>0，n=1，2，…，且a5?a2n?5=22n n≥3，那么当n≥1时，
log2a1+log2a3…+log2a2n?1等于
A. n2n?1
B. n+12
C. n2
D. n?12
16. 设等比数列a n的公比为q，前n项和为S n，且a1>0．若S2>2a3，则q的取值范围是
A. ?1,0∪0,1
2B. ?1
2
,0∪0,1
C. ?∞,?1∪1
2,+∞ D. ?∞,?1
2
∪1,+∞
17. 已知a n为等比数列，a4+a7=2，a5a6=?8，则a1+a10=
A. 7
B. 5
C. ?5
D. ?7
18. 已知a n是等比数列，a2=2，a5=1
4
，则a1a2+a2a3+?+a n a n+1=
A. 161?4?n
B. 161?2?n
C. 32
31?4?n D. 32
3
1?2?n
19. 设a n是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则
下列等式中恒成立的是
A. X+Z=2Y
B. Y Y?X=Z Z?X
C. Y2=XZ
D. Y Y?X=X Z?X
20. 定义在?∞,0∪0,+∞上的函数f x，如果对于任意给定的等比数列a n，f a n仍是等
比数列，则称f x为"保等比数列函数"．现有定义在?∞,0∪0,+∞上的如下函数：
①f x=x2；②f x=2x；③f x=∣x∣；④f x=ln∣x∣．则其中是"保等比数列函数"的
f x的序号为
A. ①②
B. ③④
C. ①③
D. ②④
21. 已知数列a n的前n项和S n=p×2n+2，a n是等比数列的充要条件是
A. p=1
B. p=2
C. p=?1
D. p=?2
22. 设等比数列a n的前n项和为S n，若S2=3，S4=15，则S6=
A. 31
B. 32
C. 63
D. 64
23. 已知数列a n满足3a n+1+a n=0，a2=?4
3
，则a n的前10项和等于
A. ?61?3?10
B. 1
9
1?310
C. 31?3?10
D. 31+3?10
24. 1+1+1
2+1+1
2
+1
4
+?+1+1
2
+1
4
+?+1
2
的值为
A. 18+1
2B. 20+1
2
C. 22+1
2
D. 18+1
2
25. 若等比数列a n的各项均为正数且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+?+log3a10=
A. 12
B. 10
C. 8
D. 2+log35
26. 对任意等比数列a n．下列说法一定正确的是
A. a1，a3，a9成等比数列
B. a2，a3，a6成等比数列
C. a2，a4，a8成等比数列
D. a3，a6，a9成等比数列
27. 已知a n为等差数列，其公差为?2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为a n的前n项和，
n∈N?，则S10的值为
A. ?110
B. ?90
C. 90
D. 110
28. 设函数f x在定义域D上满足f1
2
=?1，f x≠0，且当x,y∈D时，f x+f y=
f x+y
1+xy ，若数列x n中，x1=1
2
，x n+1=2x n
1+x n2
x n∈D,n∈N?，则数列f x n的通项公式为
A. f x n=?2n+1
B. f x n=?2n?1
C. f x n=?3n?1
D. f x n=3n+1
29. 已知a n是等比数列，a2=2，a5=1
4
，则a1a2+a2a3+?+a n a n+1等于
A. 161?4?n
B. 161?2?n
C. 32
31?4?n D. 32
3
1?2?n
30. 下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列a n的前4项，则这个数列的一个通项
公式为
A. a n=3n?1
B. a n=3n
C. a n=3n?2n
D. a n=3n?1+2n?3
31. 已知等比数列a n的首项a1=1，公比q=2，则log2a1+log2a2+?+log2a11=
A. 50
B. 35
C. 55
D. 46
32. 设数列a n为等比数列，则下面四个数列：
①a n3；②pa n（p为非零常数）；③a n?a n+1；④a n+a n+1．其中是等比数列的有
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
33. 等比数列a n满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=
A. 21
B. 42
C. 63
D. 84
34. 已知等比数列a n中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是
A. ?∞,?1
B. ?∞,0∪1,+∞
C. 3,+∞
D. ?∞,?1∪3,+∞
35. 等比数列a n中，首项a1=2007，公比q=?1
2
，记T n为它的前n项之积，则T n最大时，n 的值为
A. 9
B. 11
C. 12
D. 13
36. 在等比数列a n中，a1>1，前n项和S n满足lim
n→∞S n=1
a1
，那么a1的取值范围是
A. 1,+∞
B. 1,
C. 1,2
D. 1,4
37. 已知f x=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且
g n=1n=0,
f g n?1n≥1,设a n
=g n?g n?1n∈N?，则数列a n是
A. 等差数列
B. 等比数列
C. 递增数列
D. 递减数列
38. 已知等比数列的首项为8，S n是其前n项的和，某同学计算得到S2=20，S3=36，S4=65，
后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为
A. S1
B. S2
C. S3
D. S4
39. 已知等比数列a n的公比为q，记b n=a m n?1+1+a m n?1+2+?+a m n?1+m，c n=
a m n?1+1?a m n?1+2???a m n?1+m,m,n∈N?，则以下结论一定正确的是
A. 数列b n为等差数列，公差为q m
B. 数列b n为等比数列，公比为q2m
C. 数列c n为等比数列，公比为q m2
D. 数列c n为等比数列，公比为q m m
40. 已知数列a n中，a1=a，b n是公比为2
3的等比数列．记b n=a n?2
a n?1
n∈N?，若不等式
a n>a n+1对一切n∈N?恒成立，则实数a的取值范围是
A. 2,+∞
B. 1,3
C. 3,+∞
D. 2,4
二、填空题（共40小题；共200分）
41. 已知在等比数列a n中，各项均为正数，且a1=1，a1+a2+a3=7，则数列a n的通项公
式是a n=．
42. 设等比数列a n的公比为q，前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，则q的值
为．
43. 在各项均为正数的等比数列a n中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是．
44. 已知a n是递增等比数列，a2=2，a4?a3=4，则此数列的公比q=．
45. 等差数列a n中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，
那么该等比数列公比的值等于．
46. 已知数列a n是等比数列，且，a1?a3=4，a4=8，则a5的值为．
47. 在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，a2，b2，c2成等差数列，则三边a，b，c的关系
为．
48. 已知等比数列a n的前n项和为S n，若a2a8=2a3a6，S5=?62，则a1的值是．
49. 各项均为正数的等比数列a n满足：a2a4=1，S3=13，且b n=log3a n，则数列b n的前10
项和是．
50. 等比数列a n的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N?都有a n+2+
a n+1?2a n=0，则S5=．
51. 设等比数列a n的前n项和为S n．若8a2+a5=0，则S5
S2
=．
52. 在8
3和27
2
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．
53. 设y=f x是一次函数，f0=1，且f1,f4,f13成等比数列，则f2+f4+?+
f2n=．
54. 设S n为等比数列a n的前n项和，若a1=1，且3S1,2S2,S3成等差数列，则a n=．
55. 在等比数列a n中，a1=1
2
，a4=?4，则公比q=；∣a1∣+∣a2∣+?+∣a n∣=．
56. 已知a n是等比数列，a2=2，a5=1
4
，则a1a2+a2a3+?+a n a n+1=．
57. 已知等比数列a n的各项均为正数，若a4=a22，a2+a4=5
16
，则a5 = ．
58. 设等比数列a n满足公比q∈N?，a n∈N?，且a n中的任意两项之积也是该数列中的一项，
若a1=281，则q的所有可能取值的集合为．
59. 已知三个数x+log272,x+log92,x+log32成等比数列，则公比为．
60. 设等比数列a n的前n项和S n=2n+a，等差数列b n的前n项和T n=n2?2n+b，则
a+b=．
61. 已知数列a n是首项为a1，公比为1
2的等比数列，S n为其前n项和．设T n=1
2
+S n，若数列
T n为等比数列，则T2+T8+T14+?+T6n?10=．
62. 已知a n是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则
S8=．
63. 设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1
a +1
b
的最小值为．
64. 已知各项均为正数的等比数列a n中，3a1，1
2a3，2a2成等差数列，则a11+a13
a8+a10
=．
65. 已知等比数列a n的公比为正数，且a2=1，a3?a9=2a52，则a10等于 .
66. 已知6，a，b，48成等差数列，6，c，d，48成等比数列，则a+b+c+d的值为．
67. 设a n是等比数列，公比q=2，S n为a n的前n项和．记T n=17S n?S2n
a n+1,n∈N?.设T n
为数
列T n的最大项，则n0=．
68. 在等比数列a n中，已知a9+a10=a a≠0，a19+a20=b，则a99+a100=．
69. 在等比数列a n中，若a1=1
2
，a4=?4，则∣a1∣+∣a2∣+∣a3∣+?+∣a n∣=．
70. 已知等差数列a n的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则a1+a3+a9
a2+a4+a10
的值是．
71. 设等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ．若 a 3=2S 2+1，a 4=2S 3+1，则公比 q = ．
72. 设 d 为非零实数，a n =1
n C n 1d +2C n 2d 2+?+ n ?1 C n n?1d n?1+n C n n d n ，n ∈N ?．
（1）写出 a 1，a 2，a 3： ；（2）判断 a n 是否为等比数列： ．
73. 若数列 a n 满足 1
a
n +1
?p
a n
=0，n ∈N ?，p 为非零常数，则称数列 a n 为“梦想数列”，已知正
项数列 1
b n
为“梦想数列”，且 b 1b 2b 3?b 99=299，则 b 8+b 92 的最小值是 ．
74. 在等比数列 a n 中，若 a 1=?24，a 4=?8
9，则公比 q = ；当 n = 时，
a n 的前 n 项积最大．
75. 在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1 x 1,y 1 、 P 2 x 2,y 2 是第一象限的两个点，若 1，x 1，x 2，
4 依次成等差数列，而 1，y 1，y 2，8 依次成等比数列，则 △OP 1P 2 的面积是 ． 76. 设 1=a 1≤a 2≤?≤a 7，其中 a 1，a 3，a 5，a 7 成公比为 q 的等比数列，a 2，a 4，a 6 成公差为
1 的等差数列，则 q 的最小值是 ．
77. 已知等比数列 a n 的公比 q >1，其前 n 项和为 S n ．若 S 4=2S 2+1，则 S 6 的最小值
为 ．
78. 在正项等比数列 a n 中，a 5=1
2，a 6+a 7=3，则满足 a 1+a 2+?+a n >a 1a 2?a n 的最大正
整数 n 的值为 ．
79. 设 a n 是公比为 q 的等比数列，其前 n 项的积为 T n ，并且满足条件 a 1>1，a 99a 100?1>
0,a 99?1a 100?1
<0．给出下列结论：
①0 ④使 T n <1 成立的最小正整数 n 等于 199． 其中正确结论的编号是 ． 80. 对于 n ∈N ?，将 n 表示为 n =a 0×2k +a 1×2k?1+a 2×2k?2+?+a k?1×21+a k ×20．当 i =0 时，a i =1，当 1≤i ≤k 时，a i 为 0 或 1．记 I n 为上述表示中 a i 为 0 的个数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，则 I 1 =0，I 4 =2），则 I 12 = ； 2 I n 127n =1= ． 三、解答题（共20小题；共260分） 81. 已知数列 a n 为等比数列，S n 为其前 n 项和． （1）已知 a 6=192，a 8=768，求 S 10； （2）若 S 30=13S 10，S 10+S 30=140，求 S 20 的值； （3）已知 a n >0 n ∈N + ，a 3a 5+2a 4a 6+a 5a 7=81，求 a 4+a 6 的值． 82. 在等比数列 a n 中，已知 a 3=3 2 ，S 3=41 2 ，求 a 1． 83. 已知 a n 是等比数列，前 n 项和为 S n n ∈N ? ，且 1 a 1 ?1 a 2 =2 a 3 ，S 6=63． （1）求 a n 的通项公式； （2）若对任意的 n ∈N ?，b n 是 log 2a n 和 log 2a n +1 的等差中项，求数列 ?1 n b n 2 的前 2n 项 和． 84. 已知 a n 为等差数列，前 n 项和为 S n n ∈N + ， b n 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， b 2+b 3=12，b 3=a 4?2a 1，S 11=11b 4． （1）求 a n 和 b n 的通项公式； （2）求数列 a 2n b 2n?1 的前 n 项和 n ∈N + ． 85. 已知 a n 为等差数列，前 n 项和为 S n n ∈N ? ， b n 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， b 2+b 3=12，b 3=a 4?2a 1，S 11=11b 4． （1）求 a n 和 b n 的通项公式； （2）求数列 a 2n b n 的前 n 项和 n ∈N ? ． 86. 已知数列 a n 满足：a 1=1 2 ， 3 1+a n +1 1?a n = 2 1+a n 1?a n +1 ，a n a n +1<0 n ≥1 ；数列 b n 满足： b n =a n +12?a n 2 n ≥1 ． （1）求数列 a n ， b n 的通项公式； （2）证明：数列 b n 中的任意三项不可能成等差数列． 87. 已知 a n 是等差数列，其前 n 项和为 S n ， b n 是等比数列，且 a 1=b 1=2，a 4+b 4=27， S 4?b 4=10． （1）求数列 a n 与 b n 的通项公式； （2）记 T n =a n b 1+a n?1b 2+?+a 1b n ,n ∈N ?，是否存在实数 p ，q ，r ，对于任意 n ∈N ?，都有 T n =pa n +qb n +r ，若存在求出 p ，q ，r 的值，若不存在说明理由． 88. 已知 a n 是各项均为正数的等差数列，公差为 d ，对任意的 n ∈N ?，b n 是 a n 和 a n +1 的等比中 项． （1）设 c n =b n +12?b n 2，n ∈N ?，求证：数列 c n 是等差数列； （2）设 a 1=d ，T n = ?1 k 2n k =1b k 2，n ∈N ?，求证： 1T k n k =1<1 2d ． 89. 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，常数 λ>0，且 λa 1a n =S 1+S n 对一切正整数 n 都成立． （1）求数列 a n 的通项公式． （2）设 a 1>0，λ=100，当 n 为何值时，数列 lg 1 a n 的前 n 项和最大? 90. 在数列 a n 中，a 1=2，a n +1=4a n ?3n +1，n ∈N ?． （1）证明数列 a n ?n 是等比数列； （2）求数列 a n 的前 n 项和 S n ； （3）证明不等式 S n +1≤4S n ，对任意 n ∈N ? 皆成立． 91. 在数列 a n 中，a 1=2，a n +1=λa n +λn +1+ 2?λ 2n n ∈N ? ，其中 λ>0． （1）求数列 a n 的通项公式； （2）求数列 a n 的前 n 项和 S n ； （3）证明存在 k ∈N ?，使得 a n +1a n ≤ a k +1a k 对任意 n ∈N ? 均成立． 92. 在数列 a n 中，a 1=1，a 2=2，且 a n +1= 1+q a n ?qa n?1（n ≥2，q ≠0）． （1）设 b n =a n +1?a n （n ∈N ?），证明 b n 是等比数列； （2）求数列a n的通项公式； （3）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N?，a n是a n+3与a n+6的等差中项． 93. 已知数列a n满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N?，a1=1，a2=2，且a2+a3， a3+a4，a4+a5成等差数列． （1）求q的值和a n的通项公式； （2）设b n=log2a2n a2n?1 ，n∈N?，求数列b n的前n项和． 94. （1）已知数列c n，其中c n=2n+3n，且数列c n+1?pc n为等比数列，求常数p． （2）设a n、b n是公比不相等的两个等比数列，c n=a n+b n，证明数列c n不是等比数列． 95. 设S n为数列a n的前n项和，且S n=3 2 a n?1n∈N?，数列 b n的通项公式为b n=4n+ 3n∈N?． （1）求数列a n的通项公式； （2）若将数列a n与b n的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列d n，证明数列d n的通项公式为d n=32n+1n∈N?． 96. 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M=0,1,2,?,q?1，集合A=x∣x=x1+ x2q+?+x n q n?1,x i∈M,i=1,2,?,n． （1）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A； （2）设s,t∈A，s=a1+a2q+?+a n q n?1，t=b1+b2q+?+b n q n?1，其中a i,b i∈M，i=1,2,?,n．证明：若a n 97. 等差数列a n的前n项和为S n，a1=1+2，S3=9+32． （1）求数列a n的通项a n与前n项和S n； （2）设b n=S n n n∈N?，求证：数列b n中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 98. （1）设a1，a2，?，a n是各项均不为零的n n≥4项等差数列，且公差d≠0，若将此数列 删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n=4时，求a1 d 的数值；②求n的所有可能值； （2）求证：对于一个给定的正整数n n≥4，存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1，b2，?，b n，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列． 99. 在数列a n中，a1=0，且对任意k∈N?．a2k?1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为d k． （1）若d k=2k，证明a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列k∈N?； （2）若对任意k∈N?，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列，其公比为q k． （i）设q1≠1．证明1 q k?1 是等差数列； （ii）若a2=2，证明3 2<2n?k2 a k n k=2 ≤2n≥2． 100. 已知数列a n中，前n项和为S n，点a n+1,S n+1在直线y=4x?2上，其中n=1,2,3,?．（1）设b n=a n+1?2a n，且a1=1，求证：数列b n是等比数列； （2）令f x=b1x+b2x2+?+b n x n，求函数f x在点x=1处的导数f?1，并比较f?1与6n2?3n的大小． 答案 第一部分 1. B 【解析】两式相减得3a3=a4?a3，故a4=4a3，所以q=a4 a3 =4． 2. D 【解析】由题意知2b=a+c, a2=bc, a+3b+c=10, 解得 a=2, b=2, c=2, 或 a=?4, b=2, c=8, 因为a，b，c是互不相等的实数，所以a=?4． 3. C 【解析】因为9S3=S6，q≠1，所以9?1?q3 1?q =1?q6 1?q ，即1+q3=9，解得q=2，由等比数列 的性质知1 a n 是以1 a1 =1为首项，1 q =1 2 为公比的等比数列，则其前5项和为 1? 1 2 5 1?1 2 =31 16 ． 4. B 【解析】因为3a?3b=3，所以a+b=1，于是1 a +1 b =a+b1 a +1 b =2+b a +a b ≥2+ 2b a ?a b =4，当且仅当b a =a b 即a=b=1 2 时“ =” 成立． 5. D 【解析】解析：由题意知=S_{1}·S_{4}，则（a_{1}+a_{1}-1）^2=a_{1}（4a_{1}-6），解得a_{1}=-．故选D． 答案：D 6. C 【解析】959331+ 7.3%4=127000（亿元）． 7. A 【解析】设公比为q，则q=a2+a3 a1+a2 =2，所以a1+2a1=3，a1=1，a7=26=64． 8. B 【解析】因为a k是a1与a2k的等比中项， 则a k2=a1?a2k，9d+k?1d2=9d?9d+2k?1d， 又d≠0，则k2?2k?8=0，解得k=4或k=?2（舍去）． 9. D 【解析】已知的两式相减，得a4?a3=2a3，即a4 a3 =3． 10. B 【解析】提示：两式相减即可． 11. C 【解析】因为a2?a3=a1q?a1q2=2a1， 所以a1q3=2，即a4=2． 又a4与2a7的等差中项为5 4 ， 所以a4+2a7=5 2，得a7=1 4 ． 所以q=1 2 ,a1=16， 所以S5=161?1 25 1?1 2 =32?1=31． 12. A 【解析】将已知通项公式变形为a n=2n=2×2n?1，则数列a n为首项、公比均为2的等比数列， 易知B、C、D正确． 13. D 【解析】因为A i=a i a i+1，所以A n+1 A n =a n+1a n+2 a n a n+1 =a n+2 a n . 若A n为等比数列，则a n+2 a n 为常数，因而a1,a3,?,a2n?1,?和a2,a4,?，a2n，?均是等比数列；反之，若a1,a3,?,a2n?1,?和a2,a4,?,a2n,?均是等比数列，且公比相同，设公比为q． 则A n+1 A n =a n+1a n+2 a n a n+1 =a n+2 a n =q，所以A n为等比数列． 于是A n为等比数列的充要条件为a1,a3,?,a2n?1,?和a2,a4,?,a2n,?均是等比数列，且公比相同．14. C 【解析】由S n=2n?1=1×2n?1，得a n是公比q=2，首项a1=S1=1的等比数列， 则数列a n2是首项a12=1，公比q2=4的等比数列， 所以a12+a22+a32+?+a n2=1×1?4n 1?4=1 3 4n?1． 15. C 【解析】由a5?a2n?5=22n n≥3，得a n2=22n． 因为a n>0，所以a n=2n， 所以log2a1+log2a3+?+log2a2n?1=1+3+?+2n?1=n2． 16. B 【解析】提示：由a1+a2>2a3，且a1>0，得2q2?q?1<0，结合q≠0可得． 17. D 【解析】因为a n为等比数列，所以a5a6=a4a7=?8， 又a4+a7=2， 所以a4=4，a7=?2或a4=?2，a7=4． 若a4=4，a7=?2，解得a1=?8，a10=1，a1+a10=?7； 若a4=?2，a7=4，解得a10=?8，a1=1，仍有a1+a10=?7． 18. C 【解析】a5 a2=q3=1 8 ，所以q=1 2 ，所以 a n?a n+1=4? 1 2 n?1 ?4? 1 2 n =25?2n, 故 a1a2+a2a3+a3a4+?+a n a n+1=23+21+2?1+2?3+?+25?2n =32 3 1?4?n. 19. D 【解析】由于等比数列a n中，S n=X，S2n=Y，S3n=Z，根据等比数列的相关性质，对应的S n，S2n?S n，S3n?S2n也成等比数列，即X，Y?X，Z?Y成等比数列，则有Y?X2=X Z?Y，即Y Y?X=X Z?X． 20. C 【解析】举一个例子说明判断方法，比如①，如果a n是等比数列，设a n a n?1 =q（q为公比），则 f a n f a n?1=a n2 a n?1 2 =q2，所以f a n仍是等比数列，f x是“保等比数列函数”． 21. D 22. C 【解析】因为S2=3,S4=15, 所以由等比数列前n项和的性质,得S2,S4?S2,S6?S4成等比数列, 所以S4?S22=S2S6?S4,即15?32=3S6?15,解得S6=63,故选C.答案：C 23. C 【解析】由3a n+1+a n=0，得a n≠0（否则a2=0），且a n+1 a n =?1 3 ，所以数列a n是公比 为?1 3 的等比数列，代入a2可得a1=4，故 S 10= 4× 1? ?13 10 1+1 3 =3× 1? 13 10 =3 1?3?10 . 24. B 【解析】因为 1+1 2+1 4+?+12n =2?1 2n ，原式一共有 11 项，所以前 11 项的和为 S 11=2×11? 1 1? 1211 1?1=22?2+ 1210 =20+ 1210 ． 25. B 【解析】由等比数列的性质 a 5a 6=a 4a 7=a 1?a 10=a 2?a 9=? 因为 a 5a 6+a 4a 7=18， 所以 a 5a 6=9． 又 a 1?a 2?a 3?a 10= a 1a 10 5=95． 所以 log 3a 1+log 3a 2+?+log 3a 10=log 395=log 3310=10． 26. D 【解析】由等比数列的性质得 a 3?a 9=a 62 ≠0，因此 a 3，a 6，a 9 一定成等比数列． 27. D 【解析】由 a 72=a 3?a 9，d =?2，得 a 1?12 2= a 1?4 a 1?16 , 解得 a 1=20，从而 S 10=10×20+ 10×9 2 ?2 =110. 28. B 【解析】提示：f x n +1 =f 2x n 1+x n 2 =f x n +f x n =2f x n ，f x 1 =f 1 2 =?1． 29. C 【解析】因为 q 3=a 5a 2 =1 8， 所以 q =1 2 ，a 1=4． 所以 a n =a 1q n?1=4× 12 n?1 ， 所以 a n a n +1=16× 12 n?1 × 12 n =32× 14 n ． 所以 a 1a 2+a 2a 3+?+a n a n +1=8 1? 14 n 1?14 = 323 1?4?n ． 30. A 【解析】由题意分析知 a 1=1，a 2=3，a 3=9，a 4=27，则数列 a n 是首项为 a 1=1，q =3 的等比数列，所以 a n =a 1?q n?1=3n?1． 31. C 【解析】由于数列 a n 是等比数列，且 a 1=1，公比 q =2，故 a n =a 1q n?1=1×2n?1，所以 log 2a n =log 22n?1=n ?1，所以 log 2a 1+log 2a 2+?+log 2a 11= 0+10 ×11 2 =55． 32. C 【解析】提示：设数列 a n 的首项为 a 1，公比为 q ，则： 对于①， a n 3a n ?13= a n a n ?1 3 =q 3（n ≥2），所以数列 a n 3 是等比数列； 对于②，pa n pa n ?1 =a n a n ?1 =q （n ≥2），所以数列 pa n 是等比数列； 对于③，a n ?a n +1 a n ?1?a n =a n +1a n ?1 =q 2（n ≥2），所以数列 a n ?a n +1 也是等比数列； 对于④，当 q =?1 时，a n +a n +1=0，所以数列 a n +a n +1 不是等比数列． 33. B 【解析】设等比数列公比为 q ，则 a 1+a 1q 2+a 1q 4=21 ，又因为 a 1=3 ， 所以 q 4+q 2?6=0 ，解得 q 2=2 ，所以 a 3+a 5+a 7= a 1+a 3+a 5 q 2=42 . 34. D 【解析】设等比数列 a n 的公比为 q ． 因为等比数列 a n 中，a 2=1． 所以 S 3=a 1+a 2+a 3=a 2 1+q +1 q =1+q +1 q ． 所以当公比 q >0 时，S 3=1+q +1 q ≥1+2 q ?1 q =3； 当公比 q <0 时， S 3 =1? ?q ?1 =1? ?q + ?1 q ≤1?2 ?q ? ?1 =?1. 所以 S 3∈ ?∞,?1 ∪ 3,+∞ ． 35. C 【解析】 T n =a 1a 2a 3?a n =a 1? a 1q a 1q 2 ? a 1q n?1 = a 1 n q 1+2+3+?+n?1=2007n ?1 2 n n ?1 . 当 n =4k k ∈N ? 或 n =4k ?3 k ∈N ? 时，T n 为正数；当 n =4k ?2 k ∈N ? 或 n =4k ?1 k ∈N ? 时，T n 为负数．所以当 T n 最大时，n =4k k ∈N ? 或 n =4k ?3 k ∈N ? ． T 4 k +1 4k =2007 4k +4 ?1 2 4k +4 4k +3 220074k ?1 2 2 =20074 1 8k +3 k ∈N ? . 当 k ≤2 时， T 4 k +1 T 4k >1；当 k >2 时， T 4 k +1 T 4k <1．所以 T 4 n =4k k ∈N ? 时，T 12 最大．同理可得，当n =4k ?3 k ∈N ? 时，T 13 最大．又 T 13T 12 = 20074096 <1，所 以 T 13 36. B 【解析】设公比为 q ，由 lim n→∞S n =1a 1，知 a 1 1?q =1 a 1,∣q ∣<1,q ≠0, 即 a 12=1?q ,∣q ∣<1,q ≠0, 即 ∣a 12?1∣<1,a 12?1≠0, 也 即 0 <2,a 12≠1,