专题质量检测(六)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2011·泰安模拟)在某一样本的频率分布表中，第三组的频数和频率分别为24和1

3，

则该样本的样本容量为( )

A ．24

B ．48

C ．72

D ．108

解析：∵频率＝

频数样本容量，∴样本容量＝频数频率＝24

1

3

＝72.

答案：C

2．(2011·山西晋中模拟)某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4∶6，根据分层抽样方法，调查了该地区1 000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为( )

A ．1.6万户

B ．4.4万户

C ．1.76万户

D ．0.24万户

解析：由分层抽样按比例抽取可得1601 000×100 000＝16 000.

答案：A

3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为

( )

A.12

B.35

C.23

D.34

解析：甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率是1

2，也可

以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为12×12＝14，故甲队获得冠军的概率为14＋12＝3

4

.

4．[理](2011·杭州模拟)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为ξ，若ξ的数学期望Eξ>1.75，则p 的取值范围是( )

A ．(0，712)

B ．(7

12，1)

C ．(0，1

2

)

D ．(1

2

，1)

解析：发球次数ξ的分布列如下表，

所以期望Eξ＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2>1.75， 解得p >52(舍去)或p <1

2，又p >0，故选C.

答案：C

[文](2011·四川高考)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3

根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A.1

6 B.13 C.12

D.23

解析：由已知，样本容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率为2266＝13

.

答案：B

5．(2011·新课标卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )

A.13

B.12

C.23

D.34

解析：甲、乙各自参加一个兴趣小组是相互独立的事件，且每人报每个兴趣小组也是独立的，故两位同学参加同一兴趣小组的概率为C 13×13×13＝1

3

.

6．[理](2011·郑州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝( )

A ．0.16

B ．0.32

C ．0.68

D ．0.84

解析：∵ξ～N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84， ∴P (ξ≤－2)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ≤4)＝0.16. 答案：A

[文]x (1＋x )(1＋x 2)10的展开式中x 4的系数为( ) A ．45 B ．10 C ．90

D ．50

解析：注意到二项式(1＋x 2)10的展开式的通项是C r 10·(x 2)r ＝C r 10·x 2r ，因此x (1＋x )(1＋x 2)10的展开式中x 4的系数等于C 110＝10.

答案：B

7．某班有50名学生，在一次考试中，数学平均成绩为70分，方差为102，后来发现2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得60分却记为90分．更正后的平均成绩和方差分别为( )

A ．70,90

B ．70,114

C ．65,90

D ．65,114

解析：依题意得，更正后的平均成绩仍是70，更正后的方差是1

50

×{102×50－[(50－70)2＋(90－70)2－(80－70)2－(60－70)2]}＝90.

答案：A

8．(2011·宁波模拟)将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m 和n ，则函数y ＝2

3mx 3

－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( )

A.12

B.23

C.34

D.56

解析：所有基本事件有6×6＝36(种)，若满足条件， 则y ′＝2mx 2－n ≥0对x ≥1恒成立，又m >0， 即(2mx 2－n )min ＝2m －n ，

即2m ≥n ，而2m

∴P ＝

3036＝56

. 答案：D

9．(2011·普陀模拟)若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2

的值是( )

A ．1

B ．－1

C ．0

D ．2

解析：令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 4＝(2＋3)4， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4. 所以，(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2 ＝(2＋3)4(－2＋3)4＝1. 答案：A

10．小张正在玩“QQ 农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有( )

A ．36种

B ．48种

C ．60种

D ．64种

解析：依题意分两类：①茄子与辣椒只有一种被选中，则不同的种植方案种数为C 12A 33＝12；②茄子与辣椒都被选中，则不同的种植方案种数为C 23C 12A 3

3＝36，故不同的种植方案共

有48种．

答案：B

11．(2011·唐山模拟)将4个不相同的小球放入编号为1、2、3的3个盒子中，当某个盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个和谐盒，则恰有两个和谐盒的概率为( )

A.2

81 B.481 C.12

81

D.1681

解析：恰有两个和谐盒说明会出现两个事件，事件A ：1、2号盒子分别有1、2个球，3号盒子有一个球；事件B ：1、3号盒子分别有1、3个球，2号盒子没球．显然事件A 与事件B 互斥，

P (A )＝C 14C 2334＝1281，P (B )＝C 14C 33

34＝481

.

因此恰有两个和谐盒的概率为： P ＝P (A )＋P (B )＝16

81

. 答案：D

12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 2＝ac ，且a 、c 分别是(1＋x )4

的展开式中含x 3与x 2的项的系数，则△ABC 的面积为( )

A ．7

B.95 C ．295

D.7

解析：因为(1＋x )4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x 4，所以a ＝4，c ＝6，故b 2＝ac ＝24，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋36－2448＝2848＝712，所以sin B ＝

1－(712)2＝9512

，所以△ABC 的面积为

12ac sin B ＝12×24×9512

＝95. 答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．(2011·广州模拟)某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样本，若高收入家庭抽取了25户，则低收入家庭被抽取的户数为________．

解析：设低收入家庭被抽取的户数为x ，由每个家庭被抽取的概率相等得25125＝x

95，解

得x ＝19.

答案：19

14．为了解某校今年报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是________．

解析：依题意得，前3个小组的频率总和是1－(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.75，则第2小组的频率是0.75×

2

1＋2＋3

＝0.25，故报考飞行员的学生人数是12÷0.25＝48.

答案：48

15．(2011·皖南八校)有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．(用数字作答)

解析：记这两项课外活动分别为A ，B ，依题意知，满足题意的安排方法共有三类：第一类，实际参加A ，B 两项活动的人数分别是4,2，则相应的安排方法有C 46＝15种；

第二类，

实际参加A ，B 两项活动的人数分别是3,3，则相应的安排方法有C 36＝20种；第三类，实际

参加A ，B 两项活动的人数分别是2,4，则相应的安排方法有C 26＝15种．因此，满足题意的

安排方法共有15＋20＋15＝50种．

答案：50

16．(2011·山东高考)若(x －a x

2

)6

展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．

解析：二项式(x －

a x

2)6

展开式的通项公式是

T r ＋1＝C r 6x 6－

r

(－a )r x －2r

＝C r 6x

6

－3r

(－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，

根据已知C 26a ＝60，

解得a ＝4. 答案：4

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)设A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，x 、y ∈N *}． (1)求从A 中任取一个元素是(1,2)的概率； (2)从A 中任取一个元素，求x ＋y ≥10的概率． 解：(1)设从A 中任取一个元素是(1,2)的事件为B ， 则P (B )＝

1

C 16C 16

，所以从A 中任取一个元素是(1,2)的概率为

1

36

. (2)设从A 中任取一个元素，x ＋y ≥10的事件为C ，

则有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种情况，于是P (C )＝6

C 16C 16

，所以从A

中任取一个元素，x ＋y ≥10的概率为1

6

.

18．(本小题满分12分)(2011·东北三校)一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答．

(1)求小张仅答错一道选择题的概率；

(2)小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表：

现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析． ①应抽取多少张选择题得60分的试卷？

②若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率．

解：(1)设“小张仅答错一道选择题”为事件A ， P (A )＝C 12×14×(1－14)＝3

8

， ∴小张仅答错一道选择题的概率为38.

(2)得60分的人数40×10%＝4.

①设抽取x 张选择题得60分的试卷，则4020＝4

x ，

∴x ＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷． ②小张的试卷被抽到的概率为P ＝C 13

C 24＝36＝12

.

19．[理](本小题满分12分)(2011·广州一测)某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润(单位：元)如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2.若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为4.9元．

表1

表2

(1)求a ，b 的值；

(2)从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率． 解：(1)设1件产品的利润为随机变量ξ，依题意得ξ的分布列为：

∵Eξ＝6×0.6＋5a ＋4×0.1－b ＝4.9，即5a －b ＝0.9. 又∵0.6＋a ＋0.1＋b ＝1，即a ＋b ＝0.3. ∴a ＝0.2，b ＝0.1.

(2)为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品．

故所求的概率P ＝0.63＋C 23×0.62×0.2＝0.432.

[文](本小题满分12分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自

行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，1

2；两小时以上且不超过三小时

还车的概率分别为12，1

4

；两人租车时间都不会超过四小时．

(1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．

解：(1)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A 、B ， 则P (A )＝1－14－12＝1

4，

P (B )＝1－12－14＝1

4

.

即甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，1

4.

(2)记两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ，则 P (C )＝(14×12)＋(14×14＋12×12)＋(12×14＋14×12＋14×14)＝3

4.

即两人所付的租车费用之和小于6元的概率是3

4

.

20．[理](本小题满分12分)(2011·山东枣庄)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考察得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是2

3，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分

别为ξ，η.

(1)写出ξ的概率分布列(不要求计算过程)，并求出Eξ，Eη；

(2)求Dξ，Dη.请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？ 解：(1)ξ的概率分布列为

所以Eξ＝1×15＋2×35＋3×1

5＝2.

由题意，η～B (3，23)，Eη＝3×2

3＝2.

或者，P (η＝0)＝C 03(13)3＝1

27

；

P (η＝1)＝C 13(23)1(13)2＝2

9； P (η＝2)＝C 23(23)2(13)＝49； P (η＝3)＝C 33(23)3＝827

. 所以，Eη＝0×127＋1×29＋2×49＋3×8

27＝2.

(2)Dξ＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝2

5，

由η～B (3，23)，Dη＝3×23×13＝2

3.

可见，Eξ＝Eη，Dξ

[文](本小题满分12分)甲、乙两名运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在8,9,10环，且每次射击成绩互不影响．已知甲、乙射击命中环数的概率如下表：

(1)若甲、乙两名运动员各射击一次，求甲运动员击中8环且乙运动员击中9环的概率； (2)若甲、乙两名运动员各自射击两次，求这4次射击中恰有3次击中9环以上(含9环)的概率．

解：(1)由已知甲射击击中8环的概率为0.2，乙射击击中9环的概率为0.4，则所求事件的概率P ＝0.2×0.4＝0.08.

(2)设事件A 表示“甲运动员射击一次，击中9环以上(含9环)”，记“乙运动员射击一次，击中9环以上(含9环)”为事件B ，则P (A )＝0.35＋0.45＝0.8.

P (B )＝0.35＋0.4＝0.75.

“甲、乙两名运动员各自射击两次，这4次射击中恰有3次击中9环以上(含9环)”包含甲击中2次、乙击中1次，与甲击中1次、乙击中2次两个事件，显然，这两个事件互斥．

甲击中2次、乙击中1次的概率为 [C 22×(45)2×(15)0]×[C 1

2

×(34)1×(14)1]＝625； 甲击中1次、乙击中2次的概率为 [C 12×(45)1×(15)1]×[C 2

2×(34)2×(14)0]＝950

.

所以所求概率为P ＝625＋950＝21

50

.

即甲、乙两名运动员各自射击两次，这4次射击中恰有3次击中9环以上(含9环)的概率为2150

.

21．(本小题满分12分)一个袋中有若干个大小相同的小球，分别编有1个1号，2个2号，m 个3号和n 个4号．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个4号球的概率是2

3.

若袋中共有10个球．

(1)求4号球的个数；

(2)[理]从袋中任意摸出2个球，记得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.

[文]从袋中任意摸出2个球，求得到小球的编号数之和不大于5的概率． 解：(1)从袋中任意摸出2个球，其中没有4号球的概率为P 0＝C 210－n

C 210＝13，

解之得，n ＝4.

(2)[理]由题意得，ξ的所有可能取值为3,4,5,6,7,8，由(1)知n ＝4，所以m ＝3，

P (ξ＝3)＝C 12C 1

1C 210＝2

45，P (ξ＝4)＝C 2

2＋C 1

3C 1

1C 210＝445，

P (ξ＝5)＝C 13C 12＋C 11C 14

C 2

10＝1045， P (ξ＝6)＝C 23＋C 12C 14

C 2

10＝1145

， P (ξ＝7)＝C 13C 14C 210＝1245，P (ξ＝8)＝C 24

C 210＝645

.

随机变量ξ的分布列为

∴Eξ＝3×245＋4×445＋5×1045＋6×1145＋7×1245＋8×6

45

＝6.

[文]记“小球的编号数之和为3”、“小球的编号之和为4”；“小球的编号之和为5”分别为事件A 、B 、C ，则

P (A )＝C 12C 11

C 210＝245，

P (B )＝C 22＋C 13C 1

1

C 2

10＝445

，

P (C )＝C 13C 12＋C 14C 11

C 2

10＝1045＝29

， 因为A 、B 、C 互斥，所以所求的概率为 P (A )＋P (B )＋P (C )＝

16

45

. 22．[理](本小题满分12分)(2011·福建高考)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．

(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：

且X 1的数学期望EX 1＝6，求a ，b 的值；

(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3

4 6 3 4 7

5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5

6 7

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．

注：①产品的“性价比” ＝

产品的等级系数的数学期望

产品的零售价

；

②“性价比”大的产品更具可购买性． 解：(1)因为EX 1＝6，

所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2.

又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5.

由????? 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得?????

a ＝0.3，

b ＝0.2.

(2)由已知得，样本的频率分布表如下：

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：

所以EX 2＝3P (X 2＝3)＋4P (X 2＝4)＋5P (X 2＝5)＋6P (X 2＝6)＋7P (X 2＝7)＋8P (X 2＝8)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为6

6＝1.

因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.8

4＝

1.2.

据此，乙厂的产品更具可购买性．

[文](本小题满分12分)一个口袋中装有n 个红球(n ≥5且n ∈N)和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．

(1)试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；

(2)若n ＝5，求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率；

(3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为P .当n 取多少时，P 最大？

解：(1)一次摸奖从n ＋5个球中任选两个，有C 2n ＋5种，其中两球不同色有C 1n C 1

5种，

则一次摸奖中奖的概率p ＝

10n

(n ＋5)(n ＋4)

.

(2)若n ＝5，一次摸奖中奖的概率p ＝5

9，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖(每次摸

奖后放回)恰有一次中奖的概率是P 3(1)＝C 13·

p ·(1－p )2＝80

243

. (3)设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 P ＝P 3(1)＝C 13·p ·(1－p )2＝3p 3－6p 2＋3p,0＜p ＜1， 则P ′＝9p 2－12p ＋3＝3(p －1)(3p －1)，

可知在(0，13)上P 为增函数，在(13，1)上P 为减函数，故当p ＝1

3时，P 取得最大值．

又P ＝

10n (n ＋5)(n ＋4)＝1

3

，解得n ＝20.

故当n＝20时，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率最大．