相似三角形定理

专题: 相似三角形定理与圆幂定理

本专题主要复习相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识．通过本专题的复习，了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．

【知识要点】

1．相似三角形概念

相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形．

相似比：相似三角形对应边的比．

2．相似三角形的判定

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两角对应相等两三角形相似)．

如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)．

3．直角三角形相似的判定定理

直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似．

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

4．相似三角形的性质

相似三角形对应角相等，对应边成比例．

相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

相似三角形周长的比等于相似比．

相似三角形的面积比等于相似比的平方．

5．相关结论

平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．

三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．

经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰．

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．

若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．

6．弦切角定理

弦切角定义：切线与弦所夹的角．

弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．

7．圆内接四边形的性质

圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．

8．圆幂定理

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D则有P A·PB＝PC·PD．

【复习要求】

1．了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．

2．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．

3．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．

【例题分析】

例1 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为AC 中点，AD ⊥BC 于D ，DE 交BA 的延长线于F ．求证：BF ∶DF ＝AB ∶AC ．

【分析】欲证

AF

DF

AC AB =

，虽然四条线段可分配于△ABC 和△DFB 中，由于△ABC 和△FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证Rt △BAC ∽Rt △BDA ，得出=AC AB AD

BD

，于是只需证出

AD

BD

AF DF =

，进而须证△DFB ∽△AFD 即可． 证明：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，

∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∠DAC ＝∠B ，∴

AD

BD

AC AB =

……① 又∵AD ⊥BC ，E 为AC 中点，

∴DE ＝AE ，∠DAE ＝∠ADE ，∴∠B ＝∠ADE ， 又∵∠F ＝∠F ，∴△F AD ∽△FDB ，∴DF

BF

AD BD =

………②， 由①②得

?=DF

BF

AC AB 【说明】由于△ABC 和△FBD 这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧．此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要．

例2 △ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，求证：BC DE 2

1=

【分析】欲证BC DE 2

1=

，只须证

21

=BC DE ． 由已知易得21

=AB AD ，于是只须证明,AB

AD BC DE =

进而想到证明△ADE ∽△ABC ，这可以由2

1

==AC AE AB AD 证得．

证明：∵∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，∴∠ABD ＝∠ACE ＝30°

∵AB AD 21=

，AC AE 2

1=，∴21==AC AE AB AD ，又∠A ＝∠A

∴△ADE ∽△ABC ，∴BC DE AB AD BC DE 2

1

21=∴==.

【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三

角形相似”这条判定定理．

例3 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，AD 、EC 交于F ，求证

BD

FD

AD CD =

【分析】CD 、FD 在△FDC 中，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．

证明：∵AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°，

∵∠BAD ＋∠B ＝90°，∠BCE ＋∠B ＝90°，∴∠BAD ＝∠BCE ，∴△FDC ∽△BDA ，

∴

?=BD

FD

AD CD 【说明】为什么找到△FDC 与△BDA 相似呢?从求证的比例式出发，“竖看”，线段CD 、AD 在△ADC 中，但线段FD 、BD 却不在一个三角形中；那么“横瞧”，CD 、FD 在△FDC ，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．

小结为“横瞧竖看分配相似三角形”． 例4 如图，平行四边形ABCD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，求证：AB ·DE ＝BC ·DF

【分析】化求证的等积式为比例式：DE

DF

BC AB =

，又因为CD ＝AB ，AD ＝BC ，即证明比例式

DE

DF

AD CD =

证明：∵平行四边形ABCD ，∴∠C ＝∠A ， ∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，

∴∠AED ＝∠DFC ＝90°，∴△CFD ∽△AED ，∴DE

DF

AD CD =

∵CD ＝AB ，AD ＝BC ，∴DE

DF

BC AB =

即AB ·DE ＝BC ·DF ． 【说明】

DE

DF

BC AB =

，“横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段：CD ＝AB ，AD ＝BC 所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式：DE

DF

AD CD =

，这个比例式中的四条线段可分配在两个相似三角形中．

例5 AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝60°，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交PQ 于点D ．

(1)求证：△CDQ 是等腰三角形；

(2)如果△CDQ ≌△COB ，求BP ∶PO 的值．

【分析】证明△CDQ 是等腰三角形，只需证明∠DCQ ＝∠Q ，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来．并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为1，简化计算．

(1)证明：由已知得∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°， ∴∠Q ＝30°，∠BCO ＝∠ABC ＝30°．∵CD ⊥OC ， ∴∠DCQ ＝∠BCO ＝30°，∴∠DCQ ＝∠Q ， ∴△CDQ 是等腰三角形．

(2)解：设⊙O 的半径为1，则AB ＝2，OC ＝1，

.3,12

1

===

BC AB AC ∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ ＝BC ＝3．

∵31+=+=CQ AC AQ ，,2312

1+==

AQ AP

∴=-=AP AB BP 2

3

32312-=+-

2

31+=

-=AO AP PO 21

31-=-，

∴3:=PO BP ．

【说明】利用好相似三角形对应角相等的条件，进行角的转化是解题中常用的技巧．

例6 △ABC 内接于圆O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于D 点，交⊙O 的切线BE 于F ，连结BD ，CD ．

求证：(1)BD 平分∠CBE ；(2)AB ·BF ＝AF ·DC ．

【分析】可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出．由条件及(1)的结论，可知BD ＝CD ，因此欲求AB ·BF ＝AF ·DC ，可求

BF

BD

AF AB =

，因此只须求△ABF ∽△BDF 即可． 证明：(1)∵∠CAD ＝∠BAD ＝∠FBD ，∠CAD ＝∠CBD ， ∴∠CBD ＝∠FBD ，∴BD 平分∠CBE ． (2)在△DBF 与△BAF 中，

∵∠FBD ＝∠F AB ，∠F ＝∠F ，∴△ABF ∽△BDF ，

BF

BD

AF AB =

，∴AB ·BF ＝BD ·AF ． 又∵BD ＝CD ，∴AB ·BF ＝CD ·AF ．

例7 ⊙O 以等腰三角形ABC 一腰AB 为直径，它交另一腰AC 于E ，交BC 于D ．求证：BC ＝2DE

【分析】由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，由圆内接四边形性质可得∠B ＝∠DEC ，所以∠C ＝∠DEC ，所以DE ＝CD ，连结AD ，可得AD ⊥BC ，利用等腰三角形“三线合一”性质得BC ＝2CD ，即BC ＝2DE ．

证明：连结AD ∵AB 是⊙O 直径 ∴AD ⊥BC ∵AB ＝AC ∴BC ＝2CD ，∠B ＝∠C

∵⊙O 内接四边形ABDE

∴∠B ＝∠DEC (四点共圆的一个内角等于对角的外角) ∴∠C ＝∠DEC ∴DE ＝DC ∴BC ＝2DE

例8 ⊙O 内两弦AB ，CD 的延长线相交于圆外一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，作切线FG ，G 为切点，求证：EF ＝FG ．

【分析】由于FG 切圆O 于G ，则有FG 2＝FB ·FC ，因此，只要证明FE 2＝FB ·FC 成立即可．

证明：∵在△BFE 与△EFC 中有

∠BEF ＝∠A ＝∠C ，又 ∠BFE ＝∠EFC ，

∴△BFE ∽△EFC ，

FE

FC

FB FE

，∴FE 2＝FB ·FC ． 又∵FG 2＝FB ·FC ，∴FE 2＝FG 2，∴ FE ＝FG ．

作业：

一、选择题

1．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于D ，AB ＝a ，则DB ＝（ ） A ．

4

a B ．

3

a C ．

2

a D ．

4

3a 2．如图，AD 是△ABC 高线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则(1)AD 2＝BD ·CD (2)AD 2＝AE ·AB (3)AD 2＝AF ·AC (4)AD 2＝AC 2－AC ·CF 中正确的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是半圆的三等分点，则∠C ＋∠E ＋∠D ＝( )

A ．135°

B ．110°

C ．145°

D ．120°

4．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么( )

A ．∠BAD ＋∠CAD ＝90°

B ．∠BAD ＞∠CAD

C ．∠BA

D ＝∠CAD D ．∠BAD ＜∠CAD

二、填空题

5．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝2，DB ＝1，则DC ＝______，AD ＝______．

6．在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，S △ABC ＝4S △ABD ，则AB ∶BC ＝______．

7．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ ，则tan 2

2

θ

______．

8．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 与B ，CD 切⊙O 与D ，交BA 的延长线于E ．若AB ＝3，ED ＝2，则BC 的长为______．

三、解答题

9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，⊙O 为内切圆，E 为切点，

(Ⅰ)求∠AOD的度数；

(Ⅱ)若AO＝8 cm，DO＝6 cm，求OE的长．

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．

(1)求证：BC是⊙O切线；

(2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长．

11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．

(1)求证：∠ACO＝∠BCD；

(2)若BE＝2，CD＝8，求AB和AC的长．