直线与抛物线的位置关系专题

抛物线的简单几何性质

————叶双能

一．教学目标：

1. 掌握抛物线的简单几何性质

2. 能够熟练运用性质解题

3. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题

4. 进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想. 二．教学重难点：

重点：抛物线的几何性质

难点：抛物线几何性质的运用.

易错点：直线与抛物线方程联立时，要讨论二次项系数是否为零. 三．教学过程 （一）复习回顾：

（1）抛物线2

(0)y ax a =≠的焦点坐标是__________;准线方程__________. （2）顶点在在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点(1,4)M ，则抛物线的标准方程为

_______________________.

(3)过点()2,0M 作斜率为1的直线l ，交抛物线2

4y x =于A ，B 两点，求||AB

（二）典例分析：

例1.已知抛物线2

4,y x =直线l 过定点()2,1P -，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线

24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

设计意图：（1）类比直线与双曲线的位置关系的处理方法，解决直线与抛物线的位置关系. (2)掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法;

(3)培养学生的运算推理能力和分类讨论的数学思想.

变式1：已知抛物线方程x y 42

=，当b 为何值时，直线b x y l +=:与抛物线（1）只有一

个交点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点；（4）当直线与抛物线有公共点时，b 的最大值是多少？

例2：过点()4,1Q 作抛物线2

8y x =的弦AB ，恰好被点Q 所平分.

(1)求AB 所在的直线方程； （2）求||AB 的长.

变式1：斜率为1的直线l 经过抛物线2

=4y x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，求

线段AB 的长.(教材69页例4)

方法（一）方程联立??

→求交点坐标??→根据两点间距离公式 方法（二））方程联立??

→根据韦达定理求12+x x ??→运用弦长公式

方法（三）（数形结合）方程联立??→根据韦达定理求12+x x ??→运用焦点弦公式

拓展：标准方程对应的焦点弦公式：1212(1):|=||+||+p

)||=|y |+||+p AB x x AB y ??

?焦点在x 轴上（2焦点在y 轴上：

（由焦半径公式推导而来） 变式2：已知抛物线2

y x =-与直线(1)y k x =+相交于两点。

（1）求证：OA OB ⊥；

（2）当OAB ?的面积等于10时，求k 的值（1

6

±） （本题主要要熟悉，三角形面积的常见表示方法

(1)2??

?

分解成两个共底的三角形的面积之和

（）利用底乘高的一半公式） 变式3：已知抛物线:C 2

2y x =.

(1).若直线1y kx k =++与曲线C 只有一个交点，求实数k 的取值范围. (2).求过点()0,1P 且与抛物线C 只有一个公共点的直线方程.

(3).过点()1,1A 作抛物线C 弦AB ，恰好被点A 所平分，求AB 的直线方程和弦||AB 的长. ((1)13130,

,22??-+--?

???????

;(2)0x =或1y =或112y x =+);(3)y x =,22 例3.过抛物线2

2y px =的焦点F 的一条直线和抛物线相交于1122(,),(,)A x y B x y

(1).求证：2

2

1212,4

p y y p x x =-=

(2).求证：122

2(sin p

AB x x p θθ

=++=为直线的倾斜角） (3).求证：

112FA FB p

+= (4).求证0

11A FB 90∠=

(5).求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切

(6).AF BF 求证：以（或）为直径的圆与y 轴相切

(7).求证：点A 、O 、B1三点共线.

(8).若AF a BF b ==，，M 是A1,B1的中点，求证MF ab =

??→变式练习：若抛物线的方程为22x py =，则能得到什么结论？

:

例４．已知抛物线C ：2

4y x =．

（１）在抛物线C 上求一点P ，使得点P 到直线3y x =+的距离最短.

（2）在抛物线C 上求一点P ，使得点Ｐ到点()3,0A 的距离最近，并求最近的距离． （３）若点A 的坐标为()1,1，在抛物线C 上求一点P 使得||||PF PA +最小，并求最小值. （４）若点A 的坐标为()1,4，在抛物线C 上找一点Ｐ使得||||PF PA +最小，并求最小值. （５）在抛物线C 上求一点P ，使得点Ｐ到点()0,2A 距离与P 到准线的距离之和最小，并求最小的值.

（6 ）求下列函数的最值.

(1)2

1

+-=

x y z (2) y x z -= （7）过抛物线C 的焦点F ，做互相垂直的两条焦点弦AB 和CD ，求||||AB CD +的最小

值.

变式1：过抛物线2

4y ax =(0)a >的焦点F ，做互相垂直的两条焦点弦AB 和CD ，求

||||AB CD +的最小值.

变式2：过定点M(4,0)作直线L ，交抛物线x y 42

=于A 、B 两点，F 是抛物线的焦点，求AFB ?

的面积的最小值。

变式3：已知抛物线C ：x y 42

=的焦点为F ，过点F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点。

（1）若3

16

=AB ，求直线L 的方程。（2）求AB 的最小值。

例5.已知抛物线2

2(0)y px p =>的动弦AB 恒过定点(2,0)M p ，求证：.1OA OB k k =- 变式1：若直线L 与抛物线)0(22

>=p px y 交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，:求证：直线

L 过定点

变式2：如图所示，F 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点，点()4,2A 为抛物线内一定点，点

P 为抛物线上一动点，且||||PA PB +的最小值为8.

（１）求抛物线的方程；

（２）若O 为坐标原点，问是否存在点M ，使过点Ｍ的动直线与抛物线交于Ｂ，Ｃ两

点，且

.0OB OC =u u u r u u u r ，若存在，求出定点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由． 三．练习反馈：

1. 抛物线2

12y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标为______________________. 2. 过抛物线28y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，

则||AB =___________________________.

3. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,,,P x y P x y P x y 在抛物线

上，且123,,x x x 成等差数列，则有（ ）

A.123||||||FP FP FP +=

B. 222

123||||||FP FP FP += C. 231

2||||||FP FP FP =+ D. 2

231||||.||FP FP FP = 4 .一个正三角形的三个顶点，都在抛物线x y 42

=上，其中一个顶点为坐标原点，求这个三角形的面积

5.直线2y x =-与抛物线2

2y x =相交于,A B 两点，求证：OA OB ⊥

6.已知直线与抛物线2

2y px =(0)p >交于,A B 两点，,OA OB ⊥且OD AB ⊥并交AB 于点Ｄ，点Ｄ的坐标为()2,1,求p 的值．

7.设直线2y x b =+与抛物线2

4y x =交于,A B 两点，已知弦||35AB =，点P 为抛物线

上一点，30,PAB S ?=求点P 的坐标(()()16,8,9,6-)

第２题图

8.过抛物线2

2(0)y px p =>焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.

9（05北京）如图，O 为坐标原点，过点.()2,0P ，且斜率为k 的直线l 交抛物线2

2y x =于

()()1122,,,M x y N x y 两点.

(1)写出直线l 的方程；（2）求12x x 与12y y 的值；（3）求证OM ON ⊥

10. 已知直线:l y x b =+与抛物线x y 22

=相交

于

两点A 、B ，求：

(1)线段AB 的中点M 的轨迹方程; (2)b 为何值时OA OB ⊥.

11.过抛物线x y 22

=的焦点作倾斜角为045的弦AB ，则弦0

45的长度是多少？

变式1：已知抛物线x y 22

=截直线y x b =+所得的弦长为4，求b 的值. 变式2：已知抛物线x y 22

=截直线1y kx =+所得的弦长为4，求k 的值.

（四）小节

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