物理学第三版刘克哲第二章解析及答案

第二章 机械能守恒定律

§2-1 功和功率

一、功

定义：力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。 1、恒力的功

恒力：力的大小和方向均不变。 如图2-1，功为

S F S F W

?==αcos 即

S F W ?= 说明：⑴W 为标量

?????????

==<≤<><≤力对物体不做功力对物体做负功力对物体做正功,0,2,0,2

,0,20W W W παπαπ

παα ⑵功是过程量 ⑶功是相对量

⑷功是力对空间的积累效应

⑸作用力与反作用力的功其代数和不一定为零。

2、变力的功

设质点做曲线运动，如图2-2。F 为变力，在第i 个位移元i S ?中，i F 看作恒力，i F

对

物体做功为

i i i i i S F S F W

??=?=?αcos

质点从b a →过程中，F

对质点做的功为

∑∑??≈?=i

i i i i S F W W

功的精确数值为

??∑?=?=??=→?b a

b a

i

i i S r

d F S d F S F W

lim {}[]max

i S S ?=?

即：

?

?=b

a

S d F W

讨论：⑴恒力功

S

F S d F S d F W b a

b a

?=?=?=??

⑵直线运动

设i x F x F )()(=，如图3-10，质点在b a →中，功为

曲线下面积代数和

==?=?=???

b a

b a

b

a

Fdx i

dx i F x d F W

⑶合力功

设质点受n 个力，1F

，2F ，…，n F ，合力功为 ???+???++=?=b a n b a

r

d F F F r d F W

)(21

n

b a

n b a

b a

W W W r d F r d F r d F +???++=?+???+?+?=???

2121

各分力功代数和=

二、功率

定义：力在t t t ?+-内对物体做功为W ?，下式

t W P ??=

称为在t t t ?+-时间间隔内的平均功率。下式

V

F dt r d F dt dW t W lim P lim P 0t t

?=?==??==→?→?

称为瞬时功率，即

V F P

?=

§2-2 动能和动能定理

一、动能

定义：

221mv E k =

式中，m 、v 分别为物体质量和速率。称k E 为质点的动能。

说明：(1)k E 为标量；

(2)k E 为瞬时量； (3)

k E 为相对量。

质点的动能定理

恒力，直线运动

)

v v (m cos FS S F A 212221

-==?=α

k k k E E E A ?=-=12

变力，曲线运动

)

v v (m dS cos F S d F A a b b a b

a 2221

-==?=??α

k E A ?=

合外力做的功等于动能的增量。 讨论：

1、 221mv E k = 为状态量，??=b a S d F A 为过程量；

2、

k E ,A 的数值与参照系有关，但动能定理形式不变。

§2-3 势能

一、保守力与非保守力

如果力F

对物体做的功只与物体始末二位置有关而与物体所经路径无关，则

该力称为保守力，否则称为非保守力。数学表达依次为：?=?l

l d F 0

及 ?≠?l

l d F 0

由上可知，重力、弹性力、万有引力均为保守力，而摩擦力、汽车的牵引力等都是非保守力。 二、势能

对任何保守力，则它的功都可以用相应的势能增量的负值来表示，即：

)E E (W pa pb --=

结论：保守力功=相应势能增量的负值 。

[*从理论上讲，∵?=?l l d F 0 ∴0=??F

即F 是无旋的，

∵0=??F

∴F 与p E ?有对应关系，p E 可定义为与F 相应的势能。也就是说，保守

力场中才能引进势能的概念。可见，引进势能概念是有条件的。注意：势能是相对的，属于系统的。]

）势能零点取在无限远处万有引力势能：(r

mM

G

E p -= 面上）

势能零点取在某一水平重力势能：(mgh E p = 处）势能零点取在弹簧原长弹性势能：(2

1

2kx E p =

说明： （1）能概念保守力场中才能引进势 （2）势能是属于系统的 （3）势能是相对的

§2-4 机械能守恒定律

一、功能原理

作用在质点上的力可分为保守力和非保守力，把保守力的受力与施力者都划在系统中，则保守力就为内力了，因此，内力可分为保守内力和非保守内力，内力功可分为保守内力功和非保守内力功。 由质点动能定理

1

k 2k E E W W -=+内外

有

1

k 2k E E W W (W -=++）非保守保守内外

()[]

势能增量负值）保守力功保守内非保守外=----=--=+?(E E E E W E E W W 1p 2p 1k 2k 1k 2k ()()

1122p k p k E E E E +-+=

()()

1p 1k 2p 2k E E E E W W +-+=+非保守外

结论：合外力功+非保守内力功=系统机械能（动能+势能）的增量。称此为功能原理。 说明：⑴功能原理中，功不含有保守内力的功，而动能定理中含有保守内力的功。

⑵功是能量变化或转化的量度 ⑶能量是系统状态的单值函数

二、机械能守恒定律

由功能原理知，当0W W =+非保守外时，有

1122p k p k E E E E +=+

结论：当0W W =+非保守外时，系统机械能=常量，这为机械能守恒定律。（注意守恒条件）

例 如图3-18，在计算上抛物体最大高度H 时，有人列出了方程（不计空气阻力）

2

022021cos 21mv mv mgH -=

-θ

列出方程时此人用了质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律中的

那一个？

解：⑴动能定理为

合力功=质点动能增量

()

202

02

1cos 2

1

mv v m mgH -

=

-?θ ⑵功能原理为

外力功+非保守内力功=系统机械能增量 （取m 、地为系统）

()

??

? ??+-??????+=+?021cos 2

1

00202

0mv mgH v m θ

⑶机械能守恒定律

∵0=+非保内外W W

∴1122p k p k E E E E +=+

即 ()

02

1cos 212

020+=+?

mv mgH v m θ 可见，此人用的是质点的动能定理。

[物理学2章习题解答]

2-1 处于一斜面上的物体，在沿斜面方向的力f 作用下，向上滑动。已知斜面长为5.6 m ，顶端的高度为3.2 m ，f 的大小为100 n ，物体的质量为12 kg ，物体沿斜面向上滑动的距离为4.0 m ，物体与斜面之间的摩擦系数为0.24。求物体在滑动过程中，力f 、摩擦力、重力和斜面对物体支撑力各作了多少功？这些力的合力作了多少功？将这些力所作功的代数和与这些力的合力所作的功进行比较，可以得到什么结论？

解 物体受力情形如图2-3所示。力f 所作的功

；

摩擦力

,

摩擦力所作的功

；

重力所作的功

;

支撑力n 与物体的位移相垂直，不作功，即

； 这些功的代数和为

.

物体所受合力为

,

合力的功为

. 这表明，物体所受诸力的合力所作的功必定等于各分力所作功的代数和。

图2-3

2-3物体在一机械手的推动下沿水平地面作匀加速运动，加速度为0.49 m?s-2 。若动力机械的功率有50%用于克服摩擦力，有50%用于增加速度，求物体与地面的摩擦系数。

解设机械手的推力为f沿水平方向，地面对物体的摩擦力为f，在这些力的作用下物体的加速度为a，根据牛顿第二定律，在水平方向上可以列出下面的方程式

,

在上式两边同乘以v，得

,

上式左边第一项是推力的功率()。按题意，推力的功率p是摩擦力功率fv的二倍，于是有

.

由上式得

,

又有

,

故可解得

.

2-4有一斜面长5.0 m、顶端高3.0 m，今有一机械手将一个质量为1000 kg 的物体以匀速从斜面底部推到顶部，如果机械手推动物体的方向与斜面成30?，斜面与物体的摩擦系数为0.20，求机械手的推力和它对物体所作的功。

解物体受力情况如图2-4所示。取x轴沿斜面向上，y轴垂直于斜面向上。可以列出下面的方程

,(1)

,(2)

. (3)

根据已知条件

,

.

由式(2)得

.

将上式代入式(3)，得

.

将上式代入式(1)得

,

由此解得

.

推力f 所作的功为

.

2-5 有心力是力的方向指向某固定点(称为力心)、力的大小只决定于受力物体到力心的距离的一种力，万有引力就是一种有心力。现有一物体受到有心力

的作用(其中m 和 α都是大于零的常量)，从r p 到达r q ，求此有心

力所作的功，其中r p 和r q 是以力心为坐标原点时物体的位置矢量。

解 根据题意，画出物体在有心力场中运动的示意图，即图2-5，物体在运动过程中的任意点c 处，在有心力f 的作用下作位移元d l ，力所作的元功为

,

所以，在物体从点p (位置矢量为r p )到达点q (位置矢量为r q )的过程中，f 所作的总功为

.

2-6 马拉着质量为100 kg 的雪撬以2.0 m ?s -1 的匀速率上山，山的坡度为0.05(即每100 m 升高5 m)，雪撬与雪地之间的摩擦系数为0.10。求马拉雪撬的功率。

解 设山坡的倾角为α，则

.

图

2-4

图2-5

可列出下面的方程式

,

,

.

式中m、f、f和n分别是雪橇的质量、马的拉力、地面对雪橇的摩擦力和地面对雪橇的支撑力。从以上方程式可解得

,

,

.

于是可以求得马拉雪橇的功率为

.

2-7机车的功率为2.0?106 w，在满功率运行的情况下，在100 s内将列车由静止加速到20 m?s-1 。若忽略摩擦力，试求：

(1)列车的质量；

(2)列车的速率与时间的关系；

(3)机车的拉力与时间的关系；

(4)列车所经过的路程。

解

(1)将牛顿第二定律写为下面的形式

, (1)

用速度v点乘上式两边，得

.

式中fv = p，是机车的功率，为一定值。对上式积分

,

即可得

,

将已知数据代入上式，可求得列车的质量，为

.

(2)利用上面所得到的方程式

,

就可以求得速度与时间的关系，为

. (2)

(3)由式(2)得

,

将上式代入式(1)，得

,

由上式可以得到机车的拉力与时间的关系

.

(4)列车在这100秒内作复杂运动，因为加速度也在随时间变化。列车所经过的路程可以用第一章的位移公式(1-11)

来求解。对于直线运动，上式可化为标量式，故有

.

2-8 质量为m的固体球在空气中运动将受到空气对它的黏性阻力f的作用，黏性阻力的大小与球相对于空气的运动速率成正比，黏性阻力的方向与球的运动方向相反，即可表示为f = -β v，其中β是常量。已知球被约束在水平方向上，在空气的黏性阻力作用下作减速运动，初始时刻t0 ，球的速度为v0 ，试求：

(1) t时刻球的运动速度v；

(2)在从t0 到t的时间内，黏性阻力所作的功a。

解

(1)根据已知条件，可以作下面的运算

,

式中

.

于是可以得到下面的关系

,

对上式积分可得

. (1)

当t = t0时，v = v0，代入上式可得

.

将上式代入式(1)，得

. (2)

(2)在从t0 到t的时间内，黏性阻力所作的功可以由下面的运算中得出

.

2-9一个质量为30 g的子弹以500 m?s-1 的速率沿水平方向射入沙袋内，并到达深度为20 cm处，求沙袋对子弹的平均阻力。

解根据动能定理，平均阻力所作的功应等于子弹动能的增量，即

,

所以

.

2-10 以200 N的水平推力推一个原来静止的小车，使它沿水平路面行驶了5.0 m。若小车的质量为100 kg，小车运动时的摩擦系数为0.10，试用牛顿运动定律和动能定理两种方法求小车的末速。

解设水平推力为f，摩擦力为f，行驶距离为s，小车的末速为v。

(1)用牛顿运动定律求小车的末速v：列出下面的方程式

,

.

两式联立求解，解得

,

将已知数值代入上式，得到小车的末速为

.

(2)用动能定理求小车的末速v ：根据动能定理可以列出下面的方程式

,

其中摩擦力可以表示为

.

由以上两式可解得

,

将已知数值代入上式，得小车的末速为

.

2-11 质量m = 100 g 的小球被系在长度l = 50.0 cm 绳子的一端，绳子的另一端固定在点o ，如图2-6所示。若将小球拉到p 处，绳子正好呈水平状，然后将小球释放。求小球运动到绳子与水平方向成θ = 60? 的点q 时，小球的速率v 、绳子的张力t 和小球从p 到q 的过程中重力所作的功a 。

解 取q 点的势能为零，则有

,

即

,

于是求得小球到达q 点时的速率为

.

设小球到达q 点时绳子的张力为t ，则沿轨道法向

可以列出下面的方程式

,

由此可解的

.

在小球从p 到q 的过程中的任意一点上，沿轨道切向作位移元d s ，重力所作元功可表示为

,

图2-6

式中θ是沿轨道切向所作位移元d s与竖直方向的夹角。小球从p到q的过程中重力所作的总功可以由对上式的积分求得

.

2-12 一辆重量为19.6?103 n的汽车，由静止开始向山上行驶，山的坡度为0.20，汽车开出100 m后的速率达到36 km?h-1 ，如果摩擦系数为0.10，求汽车牵引力所作的功。

解设汽车的牵引力为f，沿山坡向上，摩擦力为f，山坡的倾角为α。将汽车自身看为一个系统，根据功能原理可以列出下面的方程式

, (1)

,

.

根据已知条件，可以得出，，汽车的

质量以及。从方程(1)可以解得

.

汽车牵引力所作的功为

,

将数值代入，得

.

2-13质量为1000 kg的汽车以36 km?h-1 的速率匀速行驶，摩擦系数为0.10。求在下面三种情况下发动机的功率：

(1)在水平路面上行驶；

(2)沿坡度为0.20的路面向上行驶；

(3)沿坡度为0.20的路面向下行驶。

解

(1)设发动机的牵引力为f1 ，路面的摩擦力为f。因为汽车在水平路面上行驶，故可列出下面的方程式

,

,

.

解得

.

所以发动机的功率为

.

(2)设汽车沿斜面向上行驶时发动机的牵引力为f2，可列出下面的方程式

,

,

.

解得

.

发动机的功率为

.

(3)汽车沿斜面向下行驶时发动机的牵引力为f3，其方向与汽车行驶的方向相反。所列的运动方程为

,

所以

,

这时发动机的功率为

.

2-14一个物体先沿着与水平方向成15?角的斜面由静止下滑，然后继续在水平面上滑动。如果物体在水平面上滑行的距离与在斜面上滑行的距离相等，试求物体与路面之间的摩擦系数。

解设物体在水平面上滑行的距离和在斜面上滑行的距离都是l，斜面的倾角α = 15?，物体与地球组成的系统是我们研究的对象。物体所受重力是保守内力，支撑力n不作功，物体所受摩擦力是非保守内力，作负功。以平面为零势能面，根据功能原理可以列出下面的方程式

,

其中

,

, 将它们代入上式，可得

,

所以

.

2-15 有一个劲度系数为1200 n ?m -1 的弹簧被外力压缩了5.6 cm ，当外力撤除时将一个质量为0.42 kg 的物体弹出，使物体沿光滑的曲面上滑，如图2-7所示。求物体所能到达的最大高度h 。

解 将物体、弹簧和地球划归一个系统，并作为我们的研究对象。这个系统没有外力的作用，

同时由于曲面光滑，物体运动也没有摩擦力，即没有非保守内力的作用，故系统的机械能守恒。弹簧被压缩状态的弹力势能应等于物体达到最大高度h 时的重力势能，即

,

.

2-16 如图2-8所示，一个质量为m = 1.0 kg 的木块，在水平桌面上以v = 3.0 m ?s -1 的速率与一个轻弹簧相碰，并将弹簧从平衡位置压缩了x = 50 cm 。如果木块与桌面之间的摩擦系数为μ = 0.25，求弹簧的劲度系数k 。

解 以木块和弹簧作为研究对象，在木块压缩弹簧的过程中，系统所受外力中有重力和摩擦力，重力不作功，只有摩擦力作功。根据功能原理，可列出下面的方程

,

其中

, 代入上式，并解出弹簧的劲度

系数，得

.

2-17 一个劲度系数为k 的轻弹簧一端固定，另一端悬挂一个质量为m 的小球，这时平衡位置在点a ，如图2-1所示。现用手把小球沿竖直方向拉伸δx 并达到点b 的位置，由静止释放后小球向上运动，试求小球第一次经过点a 时的速率。

图

2-7

图2-8

解 此题的解答和相应的图2-1，见前面[例题分析]中的例题2-1。

若把小球、弹簧、地球看作一个系统，则小球所受弹性力和重力都是保守力。系统不受任何外力作用，也不存在非保守内力，所以在小球的运动过程中机械能守恒。

另外，可以把小球处于点B 时的位置取作系统重力势能零点，而系统的弹性势能零点应取在弹簧未发生形变时的状态，即图中所画的点O 。设由于小球受重力的作用，弹簧伸长了△x 0，而到达了点A 。则根据状态B 和状态A 的机械能守恒，应

有：

220202

1

)()(21)x (21mv x mg x k x k +?+?=?+? 式中v 是小球到达点A 时的速率。因为小球处于点A 时所受的重力mg 和弹性力k(△x 0)相平衡，故有

mg= k(△x 0) (2)

将式(2)代入式(1)，即可求得小球到达点A 时的速率 x m

k v ?=

有的读者认为．既然势能零点可以任意选择，那么弹力势能的零点若选在点A 不是更简便吗?

如果将弹力势能零点选择在点A ，则式(1)成为下面的形式：

2221

)()(21mv x mg x k +?=?

由此可以解得 )(2)(2x g x m

k

v ?-?=

这显然与上面的结果不一致。哪个结果正确呢?难道弹力势能零点不能任意选择吗?

势能零点的确是可以任意选择的，并且如若不指明势能零点，势能的值就没有意义。读者一定还记得，我们在讨论弹力势能时，得到弹力势能表达式E P =kx 2/2的前提是选择物体处于平衡位置(即弹簧无形变)时系统的弹力势能为零。这就是说，在使用公式E P =kx 2/2时，势能零点就已经选定在平衡位置O 点了。若再选择A 点为势能零点，岂不是在一个问题中同时选择了两个弹力势能零点了吗?这显然是不能允许的。所以，在这里读者必须注意，在使用公式E P =kx 2/2时，势能零点必须选在弹簧无形变时的平衡位置。

读者一定会想到．既然公式E P =kx 2/2是在选择了弹簧无形变状态为势能零点的情况下得到的，那么公式E P =mgh 是否也是在选择了某点为势能零点的情况下得到的?显然是这样的，把质量为m 的物体处于高度为h 处的势能写为E P =mgh ，实际上已经选定了势能零点在h=0处。那么。在我们的问题中h=0的位置在什么地方呢?显然，我们可以把B 点认为是h=O 的位置，这时A 点的高度就是h=△z(在上面的求解过程中正是这样选择的)，也可以把A 点认为是h=0的位置，这时B 点的高度就是h=-△x 。这两种选择都满足：当h=0时，E P =0。

由上面的分析可以看到，公式E P =kx 2/2和公式E P =mgh 中的x 和h 具有不同的含义。H 是物体所处的高度，只有相对意义，而x 代表弹簧的形变，具有绝对意义。

2-18 一个物体从半径为r 的固定不动的光滑球体的顶点滑下，问物体离开球面时它下落的竖直距离为多大？

解 设物体的质量为m ，离开球面时速度为v ，此时它下落的竖直距离为h 。对于由物体、球体和地球所组成的系统，没有外力和非保守内力的作用，机械能守恒，故有

. (1)

在物体离开球体之前，物体在球面上的运动

过程中，应满足下面的关系

, (2)

式中n 是球面对物体的支撑力， 是物体所

处位置到球体中心连线与竖直方向的夹角。在物体离开球体的瞬间，由图2-9可见

,

并且这时应有

，于是式(2)成为

,

即

.

将上式代入式(1)，得

.

图2-9

2-19 已知质量为m 的质点处于某力场中位置矢量为r 的地方，其势能可以表示为

，

其中k 为常量。 (1)画出势能曲线； (2)求质点所受力的形式；

(3)证明此力是保守力。

解

(1)势能曲线如图2-10所示。 (2)质点所受力的形式可如下求得

.

可见，质点所受的力是与它到力心的距离r 的n +1次方成反比的斥力。 (3)在这样的力场中，质点沿任意路径从点p 移到点q ，它们的位置矢量分别为r p 和r q ，该力所作的功为

.

这表明，该力所作的功只决定于质点的始末位置，而与中间路径无关，所以此力是保守力。

2-20 已知双原子分子中两原子的相互作用的势能函数可近似表示为

,

其中m 和n 都是大于零的常量，r 是两原子中心的距离。试求： (1) r 为何值时e p (r )等于零？r 为何值时e p (r )为极小值？ (2)原子之间的相互作用形式；

(3)两原子相互作用为零时其中心的距离(即平衡位置)。 解

图2-10

(1) , 即

,

由此解得

.

e p 为极小值，要求 当

时

,

,

即

,

由此可解得

.

(2)原子之间相互作用力的形式为

.

(3)在平衡位置处应有

,

.

图2-11(a)和(b)分别画出了双原子分子中两原子的相互作用的势能函数和作用力的函数的示意图。

图2-11