第3讲变量间的相关关系与统计案例 (1)
第3讲变量间的相关关系与统计案例
一、选择题
1.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()
A.模型1的相关指数R2为0.98
B.模型2的相关指数R2为0.80
C.模型3的相关指数R2为0.50
D.模型4的相关指数R2为0.25
解析相关指数R2越大，拟合效果越好，因此模型1拟合效果最好.
答案 A
2.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝
3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()
A.y^＝0.4x＋2.3
B.y^＝2x－2.4
C.y^＝－2x＋9.5
D.y^＝－0.3x＋4.4
解析因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标代入检验，A满足.
答案 A
3.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是()
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心(x，y)
C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析∵0.85>0，∴y与x正相关，∴A正确；
∵回归直线经过样本点的中心(x，y)，∴B正确；
∵Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85，
∴C 正确. 答案 D
4.通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计
60
50
110
由K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）算得，
K 2＝110×（40×30－20×20）2
60×50×60×50
≈7.8.
附表：
P (K 2≥k 0)
0.050 0.010 0.001 k 0
3.841
6.635
10.828
A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析 根据独立性检验的定义，由K 2≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 答案 A
5.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x ，据此估计，
该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
解析由题意知，x＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9
5
＝10，
y＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8
5
＝8，
∴a^＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，y^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).
答案 B
二、填空题
6.若8名学生的身高和体重数据如下表：
编号12345678
身高/cm165165157170175165155170
体重/kg4857546461
43
59
第3名学生的体重漏填，但线性回归方程是y＝0.849x－85.712，则第3名学生的体重估计为________.
解析设第3名学生的体重为a，则
1
8(48＋57＋a＋54＋64＋61＋43＋59)＝0.849×1
8(165＋165＋157＋170＋175＋
165＋155＋170)－85.712.解之得a≈50.
答案50
7.(2017·广州模拟)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：
理科文科总计
男131023
女72027
总计203050
已知P(K2≥3.841)
根据表中数据，得到K2＝50×（13×20－10×7）2
23×27×20×30
≈4.844，则认为选修文理科
与性别有关系出错的可能性约为________.
解析由K2＝4.844＞3.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%.
答案5%
8.某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)181310－1
用电量(度)24343864
由表中数据得回归直线方程y＝b x＋a中的b＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量约为________度.
解析根据题意知x＝18＋13＋10＋（－1）
4
＝10，y＝
24＋34＋38＋64
4
＝40，因
为回归直线过样本点的中心，所以a^＝40－(－2)×10＝60，所以当x＝－4时，y ＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度.
答案68
三、解答题
9.(2017·郑州调研)某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份2009201020112012201320142015 年份代号t 1234567
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(2)利用(1)中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯
收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b ^＝∑n
i ＝1 （t i －t ）（y i －y ）∑n
i ＝1
（t i －t －）2
，a ^＝y －－b ^t －. 解 (1)由所给数据计算得t －＝1
7(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， y －
＝17×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
∑7
i ＝1 (t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28， ∑7
i ＝1
(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋
(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14， b ^＝∑7
i ＝1 （t i －t ）（y i －y ）∑7
i ＝1
（t i －t ）2
＝1428＝0.5， a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y ^
＝0.5t ＋2.3.
(2)由(1)知，b
^＝0.5>0，故2009至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年约增加0.5千元.
将2017年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ^
＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
10.(2017·西安质检)某省会城市地铁将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下： 月收入(单位：
百元) [15，25)
[25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75]
赞成定价 者人数 1
2
3
5
3
4
认为价格偏 高者人数
4
8
12
5
2
1
定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.
月收入不低于55百元的人数
月收入低于
55百元的人数
总计
认为价格偏高者
赞成定价者
总计
附：K2＝
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
P(K2≥k0)0.050.01
k0 3.841 6.635 解(1)
x1＝20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×4
1＋2＋3＋5＋3＋4
≈50.56.
“认为价格偏高者”的月平均收入为
x2＝20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×1
4＋8＋12＋5＋2＋1
＝38.75，
∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元).
(2)根据条件可得2×2列联表如下：
月收入不低于55百元的人数
月收入低于
55百元的人数
总计
认为价格偏高者32932 赞成定价者71118 总计104050
K2＝
10×40×18×32
≈6.27<6.635，
∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.
11.某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的四组数据如下表：
售价x 4 4.5 5.5 6
销售量y 1211109
x之间的线性回归方程为y
^＝－1.4x＋a^，那么方程中的a^值为()
A.17
B.17.5
C.18
D.18.5
解析x＝4＋4.5＋5.5＋6
4
＝5，
y＝12＋11＋10＋9
4
＝10.5，
∵回归直线过样本点的中心，
∴a^＝10.5＋1.4×5＝17.5.
答案 B
12.根据如下样本数据
x 345678
y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0
得到的回归方程为y＝b x＋a，则()
A.a^>0，b^>0
B.a^>0，b^<0
C.a^<0，b^>0
D.a^<0，b^<0
解析作出散点图如下：
观察图象可知，回归直线y^＝b^x＋a^的斜率b^<0，当x＝0时，y^＝a^>0.故a^>0，b^<0. 答案 B
13.(2017·赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：(单位：人)
几何题代数题总计
男同学22830
女同学81220
总计302050
概率不超过________.
附表：
P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解析由列联表计算K2
k0＝50（22×12－8×8）2
30×20×20×30
≈5.556>5.024.
∴推断犯错误的概率不超过0.025.
答案0.025
14.(2015·全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中w i＝x i，w＝1
8∑
8
i＝1
w i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u n，v n)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
β^＝∑
n
i＝1
（u i－u）（v i－v）
∑
n
i＝1
（u i－u）2
，α^＝v－β^u
解(1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程，由于
d^＝∑
8
i＝1
（w i－w）·（y i－y）
∑
8
i＝1
（w i－w）2
＝
108.8
1.6＝68，
c^＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y
^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值
y^＝100.6＋6849＝576.6，
年利润z的预报值z
^＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.
所以当x＝13.6
2＝6.8，即x＝46.24时，z
^取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.
统计与统计案例真题与解析
统计与统计案例 A 级 基础 一、选择题 1．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝( ) A ．860 B ．720 C ．1 020 D ．1 040 2．为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( ) A ．13 B ．19 C ．20 D ．51 3．“关注夕阳、爱老敬老”——某爱心协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了第x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (单位：万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程y ^ ＝mx ＋0.35，则预测2019年捐赠的现金大约是( ) A.5万元 C ．5.25万元 D ．5.5万元 4．如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )
A.3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7 5．(2019·衡水中学检测)某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按(0，10]，(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]分组，得到频率分布直方图如下： 记甲种酸奶与乙种酸奶的日销售量(单位：箱)的方差分别为s21，s22，则频率分布直方图(甲)中的a的值及s21与s22的大小关系分别是() A．a＝0.015，s21 统计案例 一、回归分析 1. 线性回归方程???y bx a =+的求法 （1）求变量x 的平均值，即1231 ()n x x x x x n =+++???+ （2）求变量y 的平均值，即1231 ()n y y y y y n = +++???+ （3）求变量x 的系数?b ，即1 2 1 ()() ?() n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出，不用记忆） 1 2 1()() ?() n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑ 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2n n n n i i i i i i i i n n n i i i i i x y x y xy x y x xx x =======--+= -+∑∑∑∑∑∑∑1 22 21 2n i i i n i i x y nx y nx y nx y x nx nx ==--+= -+∑∑12 21 n i i i n i i x y nx y x nx ==-= -∑∑（理解记忆） （其中1 1 n n i i i x x nx ====∑∑，1 1 n n i i i y y ny ====∑∑，() ,x y 称为样本点中心） （4）求常数?a ，即??a y bx =- （5）写出回归方程???y bx a =+（?a ，?b 的意义：以?a 为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加?b 个单位） 注意：若?0b >则正相关，若?0b <则负相关. 2. 相关系数 假设两个随机变量的取值分别是()11,x y ，()22,x y ，……，(),n n x y ，则变量间线性相关系数的计算公式如下： ()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---= = ∑∑ 相关系数r 的性质： （1）当0r >时，表明两个变量正相关；当0r <时，表明两个变量负相关；当0r =时，表明 一、选择题 1．利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( ) A ．73 B ．78 C ．77 D ．76 解析：样本的分段间隔为80 16＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5 ＝78.故选B. 答案：B 2．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量如下表所示： 则这20A ．180,170 B ．160,180 C ．160,170 D ．180,160 解析：用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 答案：A 3．(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析：根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A 错误．由图可知，B 、C 、D 正确． 答案：A 4．(2018·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( ) A ．5 B ．7 C ．10 D ．50 解析：根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50. 答案：D 5．(2018·兰州模拟)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据： 根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^ ＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 解析：∵x ＝2＋4＋5＋6＋8 5＝5， y ＝ 30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m 5 ， ∴当x ＝5时，y ＝6.5×5＋17.5＝50， ∴190＋m 5＝50，解得m ＝60. 答案：D 考试要求 1.了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性；2.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件，会用一元线性回归模型进行预测；3.理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用. 知 识 梳 理 1.相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^ ＝b ^ x ＋a ^ ，则b ^ ＝∑n i ＝1 (x i －x － )(y i －y － )∑n i ＝1 (x i －x － )2＝∑n i ＝1 x i y i －nx － y － ∑n i ＝1 x 2 i －nx －2，a ^＝y －－b ^x －.其中，b ^是回归方程的斜率，a ^ 是在y 轴上的截距. 回归直线一定过样本点的中心(x － ，y － ). 3.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x － ，y － )称为样本点的中心. (3)相关系数 当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关. r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强. r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性. 高一数学必修3第二章学案 1 §2.3 变量间的相关关系 高二数学组:万志强 学习目标 了解相关关系与函数关系的异同点；能用不同的估算方法描述两变量的线性相关关系，会画散点图， 学习重难点 重点：图直观认识两个变量间的相关关系。 难点：对两个变量间的相关关系认识。 预习内容： 了解新知：（预习教材P84--P86 ，找出疑惑之处） 1、相关关系：变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性关系，如函数关系；另一类是 不确定性关系，即当自变量的取值一定，因变量取值带有一定的随机性，这样的两个变量之间的 关系称为____________。 2、相关关系分类：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系 称为 ，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量相关关系为_ ， 典型例题 5个学生的数学和物理成绩如下表： 画出散点图，并判断数学成绩与物理成绩是否有相关关系。 变式：某5 当堂检测 1、下列关系不属于相关关系的是。。。。。。。。（ ） A 人的年龄和身高 B 求的表面积与体积。 C ．家庭的收入与支出。 D 。人的年龄与体积。 2、下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是。。。。。（ ）。 A.角度和它的余弦值。 B.正方形的边长和面积。 B ．正n 边形的边数和内角和。 D.人的年龄和身高。 3、 在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是。。（ ） （2）（3）（4） A ：（1）（2） B ：（1）（3） C ：（2）（4） D ：（2）（3） 4、下列变量之间的关系是函数关系的是（ ） A 、光照时间和果树亩产量 B 、圆柱体积和它的底面直径 C 、自由下落的物体的质量与落地时间 D 、球的表面积和它的半径 5、下列关系中，是带有随机性相关关系的是 ① 正方形的边长面积之间的关系； ② 水稻产量与施肥量之间的关系 ③ 人的身高与年龄之间的关系 ④ 降雪量与交通事故的发生率之间的关系。 6、变量与变量之间的关系有两类：一类是 ，另一类是 7、（2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据 )是什么关系？ 学习反思: 实例1 发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.解：设每张彩票中奖的数额为随机变量X , 则X 10000 5000 1000 100 10 0p 51/1052/10510/105100/1051000/100p 每张彩票平均能得到奖金 05512()10000500001010E X p =? +?++? 0.5(),=元每张彩票平均可赚20.50.3 1.2(), --=元因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为：100000 1.2120000().?=元实例2 如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?解：设 X 为投资利润，则 X 8 -2p 0.3 0.7()80.320.71(),E X =?-?=万元存入银行的利息:故应选择投资.1050.5(),%?=万元实例3 商店的销售策略某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记使用寿命为X （以年计），规定1,1500;12,2000;23,2500; 3,3000.X X X X ≤<≤<≤>一台付款元一台付款元一台付款元一台付款元10,1e ,0,()100, 0.x X x f x x Y -?>?=??≤? 设寿命服从指数分布概率密度为试求该商店一台家用电器收费的数学期望定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术、电气课校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料、电气设备调试高中中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并 专题突破练20 统计与统计案例 1. (2020吉林辽源高三检测,18)某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数.满分为100分).从中随机抽取一个容量为120的样本.发现所有数据均在[40,100]内.现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,回答下列问题: (1)算出第三组[60,70)的频数,并补全频率分布直方图; (2)请根据频率分布直方图,估计样本的众数、中位数和平均数.(每组数据以区间的中点值为代表) 2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,17)建立模型①;y ^ =-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y ^ =99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 3.(2020河南郑州高三检测,19)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表: (3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K2=n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+b+c+d. 2．3变量间的相关关系 ●三维目标 1．知识与技能 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，认识变量间的相关关系． 2．过程与方法 明确事物间的相互联系．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系．3．情感、态度与价值观 通过对事物之间相关关系的了解，让学生们认识到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想． ●重点难点 重点：(1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系； (2)利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系． 难点：(1)变量之间相关关系的理解； (2)作散点图和理解两个变量的正相关和负相关． 从现实生活入手，抓住学生们的注意力，引导学生分析得出概念，让学生真正参与到概念的形成过程中来．通过对典型事例的分析，向学生们介绍什么是散点图，并总结出如何从散点图上判断变量之间关系的规律．通过实验让学生们感受散点图的主要形成过程，并由此引出线性相关关系强化本节重点．通过学生讨论、交流，用TI图形计算器展示、对比自己作出的散点图，得出线性相关关系、正负相关关系的概念．教师及时将求线性方程的公式展示出来，通过例题的讲解和训练，进一步加深对散点图和回归方程的理解，突破难点． 下表是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 1. 【提示】散点图如下： 2．施化肥量与水稻产量有关系吗？ 【提示】有关系． 1．相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性． 2．散点图：将样本中几个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形． 3．正相关与负相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关．若散点图中的点分布在从左上角到右 计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝，则P (ξ≤－2)＝( ) A ． B ． C ． D ． 2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分) 已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,6 B ．2,7 C ．3,6 D ．3,7 3．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒 子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 4．已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，fx gx ＝a x ，f 1g 1＋ f －1 g －1＝52，则关于x 的方程abx 2＋2x ＋5 2＝0(b ∈(0,1))有两个不同实根的概率为( ) 5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 6．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ^ ＝－； ② y 与x 负相关且y ^ ＝－＋； ③y 与x 正相关且y ^ ＝＋； ④y 与x 正相关且y ^ ＝－－. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ 第3讲 变量间的相关关系与统计案例 【2015年高考会这样考】 以选择题或填空题的形式考查回归分析及独立性检验中的基本思想方法及其简单应用． 【复习指导】 高考在该部分的主要命题点就是回归分析和独立性检验的基础知识和简单应用．复习时要掌握好回归分析和独立性检验的基本思想、方法和基本公式． 基础梳理 1．相关关系的分类 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关． 2．线性相关 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． 3．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法． (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据： (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则 ?? ??? b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2 ＝ ∑i ＝1n x i y i －n x y ∑i ＝1 n x 2i －n x 2 ， a ^＝y －b ^ x . 其中，b 是回归方程的斜率，a 是在y 轴上的截距． 4．样本相关系数 r＝ ∑ i＝1 n (x i－x)(y i－y) ∑ i＝1 n (x i－x)2∑ i＝1 n (y i－y)2 ，用它来衡量两个变量间的线性相关关系． (1)当r＞0时，表明两个变量正相关； (2)当r＜0时，表明两个变量负相关； (3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 5．线性回归模型 (1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差． (2)相关指数 用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝，R2的值越大，说明残差 平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好． 6．独立性检验 (1)用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量．例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等． (2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表． (3)一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 2×2列联表 y1y2总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝n(ad－bc)2 (a＋b)(a＋c)(c＋d)(b＋d) (其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，可利用独立性检验 2.3 变量间的相关关系 [知识与技能] 1 两个变量间的相关关系 （1）、两个变量间的相关关系的定义。 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系。 （2）、两个变量间的种类。 两个变量之间的关系分两类： ①确定性的函数关系，例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等； ②带有随机性的变量间的相关关系。例如“身高者，体重也重”。我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系。 2 两个变量间的相关关系的判断 （1）、散点图。 （2）、根据散点图中变量的对应点的离散程度，可以准确的判断两个变量是否具有相关关系。 （3）、正相关、负相关的概念。 3 回归直线方程 （1）回归直线的概念 （2）回归直线方程 4、回归直线方程的系数公式 [过程与方法] [例1] 下列关系中，是带有随机性相关关系的是 ①正方形的边长面积之间的关系； ②水稻产量与施肥量之间的关系 ③人的身高与年龄之间的关系 ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系。 [分析] 两变量之间的关系有两种：函数关系与带有机性的相关关系。①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系。②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系。③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系。④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系，因此填②、④。 [例2] 现随机抽取某校10名学生在入学考中的数学成绩X与入学后的第一次数学考试成绩Y，数据如下： [分析] 应用散点图分析 解：（图略）这10名同学的两次数学考试成绩具有相关关系。 [创新思维训练] 一、选择题 1、在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（） 专题二十 统计与统计案例 一、单选题 1．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ≥， 1x ，2x ，……，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =???都在直线2 15 y x = +上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A ．-1 B ．0 C ． 12 D ．1 二、多选题 2．（2020·江苏省丰县中学期末）某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算2K 的观测值 5.059k ≈，则可以推断出（ ） 附： A ．该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为 2 3 ； B ．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意； C ．有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异； D ．有99%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异. 第II 卷（非选择题） 三、解答题 3．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200名员工中0090的人使用微信，其中每天使用微信时间少于一小时的有60人，其余的员工每天使用微信时间不少于一小时，若将员工分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，那么使用微信的人中0075是青年人.若规定：每天使用微信时间不少于一小时为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中 2 3 都是青年人. （1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，完成22?列联表： （2）由列联表中所得数据判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“经常使用微信与年龄有关”？ 2 2 ()()()()() n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 4．（2020·江苏泰州·期末）某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x ， y 的数据如下： 课时作业 58 变量间的相关关系与统计案例 一、选择题 1．(2018·石家庄模拟(一))下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(x －，y － ) B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1 C ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 D ．在回归直线方程x ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^ 平均增加0.2个单位 解析：本题考查命题真假的判断．根据相关定义分析知A ，B ，D 正确；C 中对分类变量 X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故 C 错误，故选C. 答案：C 2．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －－b ^x － .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元 解析：∵x －＝10.0，y －＝8.0，b ^＝0.76，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴回归方程为y ^ ＝0.76x ＋0.4，把x ＝15代入上式得，y ^ ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 答案：B 3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 合计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 由K 2 ＝ n ad －bc 2a ＋b c ＋ d a ＋c b ＋d ， 第3讲 变量间的相关关系、统计案例 1．变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． 2．两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． (2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． (3)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^ ＝，a ^＝y －－b ^x －． (4)相关系数 当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关． r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3．独立性检验 (1)2×2列联表：假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为： y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d a ＋ b ＋ c ＋d (2)K 2K 2＝ n （ad －bc ）2 （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( ) (2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．( ) 变量间的相关关系 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系. 2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系. 3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程． 1．相关关系 (1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的________性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系． (2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从________角到________角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从________角到________角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关． 随机 左下 右上 左上 右下 两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系． 2．线性相关 (1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条________附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做_________． (2)最小二乘法：求线性回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^ 时，使得样本数据的点到它的________________最小的方法叫做最小二乘法，其中a ，b 的值由以下公式给出： 直线 回归直线 距离的平方和 必修三 2.3 变量间的相关关系 一、选择题 1、回归直线方程表示的直线＝＋x必经过点( ) A．(0,0) B．(x，0) C．(x，y) D．(0，y) 2、给出两组数据x、y的对应值如下表，若已知x、y是线性相关的，且回归直线方程：y＝＋x， 经计算知：＝－1.4，则为( ) A. 17.4 C．0.6 D．－0.6 3、某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A. ＝－10x＋200 B. ＝10x＋200 C. ＝－10x－200 D. ＝10x－200 实用文档 4、工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为＝60＋90x，下列判断正确的是 ( ) A．劳动生产率为1千元时，工资为50元 B．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元 C．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元 D．劳动生产率为1千元时，工资90元 5、下列有关线性回归的说法，不正确的是( ) A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图 C．回归直线方程最能代表观测值x、y之间的关系 D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程 6、下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系？( ) 实用文档 A．匀速行驶车辆的行驶距离与时间 B．圆半径与圆的面积 C．正n边形的边数与内角度数之和 D．人的年龄与身高 二、填空题 7、在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下： 8、期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x 的回归直线方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______分． 9、设有一个回归方程＝3－2.5x，当变量x增加一个单位时，变量y________个单位． 实用文档 专题突破练20 统计与统计案例 1.(2019四川成都二模,理18)为了让税收政策更好地为社会发展服务,国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后,发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》,明确“专项附加扣除”就 是子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等费用,并公布了相应的定额扣除标准,决定自2019年1月1日起施行.某企业为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系,通过问卷调查,整理数据得如下2×2列联表: (1)根据列联表,能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关? (2)为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难,该企业拟按员工贡献积分x(单位:分)给予相应的住房补贴y(单位:元),现有两种补贴方案,方案甲:y=1 000+700x;方案 乙:y=已知这8名员工的贡献积分为2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A类员工”.为了解员工对补贴方案的认可度,现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,求恰好抽到3名“A类员工”的概率. 附:K2=-,其中n=a+b+c+d. 参考数据: 2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为 … 7 建立模型①;=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为 … 7 建立模型②:=99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. （二十二） 变量间的相关关系与统计案例 1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是 A ．正方体的棱长与体积 B ．单位面积产量为常数时，土地面积与产量 C ．日照时间与水稻的亩产量 D ．电压一定时，电流与电阻 2．一位母亲记录了儿子3~9岁的身高，数据略，由此建立的身高与年龄的回归模型为,93.7319.7?+=x y 用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是 ． A ．身高一定是145.83 cm B ．身高在145.83 cm 以上 C ．身高在145.83 cm 左右 D ．身高在145.83 cm 以下 3．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是 423.1?+=?x y A 523.1?+=?x y B 08.023.1?+=?x y C 23.108.0?+=?x y D 4．对分类变量X 与Y 的随机变量2 K 的观测值k ，说法正确的是 A ．k 越大，“X 与y 有关系”的可信程度越小 B ．后越小，“X 与y 有关系”的可信程度越小 C ．尼越接近于O ，“X 与y 无关”的可信程度越小 D ．后越大，“X 与y 无关”的可信程度越大 5．已知算与y 之间的几组数据如下表： 则y 与x 的线性回归方程a bx y +=?必过 A ．点(2，2) B ．点(1.5，0) C ．点(1，2) D ．点(1.5，4) 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到 ,844.430202723)7102013(502 2 ≈????-??=K 因为≥2K ,841.3所以判定主修统计专业与性别有关系，那么 这种判断出错的可能性为 第3讲 变量间的相关关系与统计案例 以选择题或填空题的形式考查回归分析及独立性检验中的基本思想方法及其简单应用． 【复习指导】 高考在该部分的主要命题点就是回归分析和独立性检验的基础知识和简单应用．复习时要掌握好回归分析和独立性检验的基本思想、方法和基本公式． 1．相关关系的分类 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关． 2．线性相关 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． 3．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法． (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据： (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^ ，则 ()()() 11 22 211 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====? ---? ?==??--?? =-??∑∑∑∑ 其中，b 是回归方程的斜率，a 是在y 轴上的截距． 4．样本相关系数 ()() n i i x x y y r --= ∑，用它来衡量两个变量间的线性相关关系． (1)当r ＞0时，表明两个变量正相关； (2)当r ＜0时，表明两个变量负相关； (3)r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r |＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 5．线性回归模型 高二期末数学变量间的相关关系必背知识点梳 理 数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。小编准备了高二期末数学变量间的相关关系必背知识点，希望你喜欢。 基础知识梳理 知识点1：变量之间的相关关系 两个变量之间的关系可能是确定的关系(如：函数关系)，或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系;当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系。注意：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系(不确定性的关系)，如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系。点睛：两个变量相关关系与函数关系的区别和联系 相同点：两者均是两个变量之间的关系，不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关 系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系;函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。 知识点2.散点图. 1.在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。 2.从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合。 3.对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到由上角的区域内。如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散步在从左上角到右下角的区域。 注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中 本资料分享自千人QQ 群323031380 期待你的加入与分享 第1讲 统计与统计案例 [考情分析] 高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查随机抽样与用样本估计总体，线性回归方程的求解与运用，独立性检验问题．常与概率综合考查，中等难度． 考点一 统计图表 核心提炼 1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率 组距. 2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数． 频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 例1 (1)(多选)(2020·新高考全国Ⅱ)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( ) A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加 B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量 C ．第3天至第11天复工复产指数均增大都超过80% D ．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量 答案CD (2)学校为了了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示： 将阅读时间不低于30分钟的学生称为“阅读霸”，则下列结论正确的是() A．抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸 B．该校只有50名学生不喜欢阅读 C．该校只有50名学生喜欢阅读 D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸 答案 A 解析根据频率分布直方图可列下表： 阅读时间(分钟)[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60] 抽样人数(名)1018222520 5 抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校约有一半学生为阅读霸． 易错提醒(1)对于给出的统计图表，一定要结合问题背景理解图表意义，不能似懂非懂．(2)频率分布直方图中纵坐标不要误以为频率． 跟踪演练1(1)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大案例统计公式(绝对精华)
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