浅谈一笔画问题

浅谈一笔画问题

摘要：一笔画问题是一个几何问题，传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复？例如汉字‘日’和‘中’字都可以一笔画的，而‘田’和‘目’则不能。

关键词:一笔画规律原理

早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。一笔画问题是图论中一个著名的问题。一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题。一般认为，欧拉的研究是图论的开端。与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。

一、一笔画规律

数学家欧拉找到一笔画的规律是：

（一）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

（二）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起，，另一个奇点终点。

（三）其他情况的图都不能一笔画出。（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成）

比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。

补充：相关名词的含义

◎顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。

◎奇顶点：指数为奇数的顶点。

◎偶顶点：指数为偶数的顶点。

二、一笔画原理

(一)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；

(二)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；

(三)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；

(四)奇点个数超过两个的图形不是一笔画

利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。

三、顺便补充两点：

（一）一个图形的奇点数目一定是偶数

因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。

（二）有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成

例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画。如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。将线段GF和BJ去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即(6÷2)笔画成。

一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成

了偶点。如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点。所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。

到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画。

四、巩固练习

（一）下列图形分别是几笔画？怎样画？

（二）能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？

（三）从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短？

参考文献：

[1]杜学知.小学趣味数学

[2]胡作玄.数学是什么

[3]网上查阅