有限元方法及软件应用
《有限元方法及软件应用》
Finite Element Method(FEM) and Software Applications
课程编号：20L308Q
适用专业：机械类、铁道机车车辆课程层次及学位课否：专业技术基础课
学时数：32 学分数：2
执笔者：王文静吴作伟丁莉芬编写日期：2006年6月
一、课程的任务和教学目标
从教学思想和方法上对原课程进行改革，使学生从较高层次上理解有限元方法的实质，掌握有限元分析的工具，并具备初步处理工程问题的能力；使该课程成为具有较宽口径和较大覆盖面的、面向全校机械类专业的有限元分析及机械设计方面的专业基础课。
二、课程教学内容、重点和难点
第一篇有限元分析原理
第一章绪论（1学时）
Chapter 1 Introduction
教学内容：
介绍有限元方法与传统强度计算方法的主要区别；介绍有限元方法的发展历史、背景、目前的应用领域及目前较流行的应用软件。
第二章杆梁结构的有限元法（3学时）
Chapter 2 Finite Element Method in One-Dimensional Problem
本章以杆、梁为研究对象，使学生掌握用有限元方法进行结构分析的步骤并了解相关的一些理论问题。
教学内容：
杆梁结构有限元法的基本概念；单元自由度的选择；单元刚度矩阵；结构刚度矩阵；约束处理；载荷处理；典型例题及详解；杆梁结构有限元法小结。
重点：单元位移函数、单元自由度、单元刚度矩阵、结构刚度矩阵。
难点：单元自由度、单刚元素的物理意义、刚度矩阵的奇异性及其物理意义。
第三章平面问题有限元法（6学时）
Chapter 3 Finite Element Method in Two-Dimensional Problem
本章主要涉及弹性力学的平面问题及基本的三角形单元和矩形单元，使学生了解弹性力学的研究对象、问题的描述和性质，体会有限元方法的思想，掌握二维问题有限元分析的方法、步骤以及最基本的单元类型并了解相关的一些理论问题。
教学内容：
弹性力学的基本方程及有关概念；弹性问题近似求解的虚功原理、最小势能原理及其变分基础；两类平面问题；三角形单元；位移函数；单元刚度矩阵和结构刚度矩阵；载荷处理及节点载荷的形成；典型例题及详解；小结。
重点：单元位移函数、虚功原理、单元刚度矩阵。
难点：虚功原理的概念。
第四章三维问题有限元法（4学时）
Chapter 4 Finite Element Method in Three-Dimensional Problem
本章着重阐述三维问题有限元分析的一般方法，引导学生将二维平面问题的有限元分析思想扩展到三维问题，重点介绍两者的联系与区别、常用的三维单元类型、单元自由度及其特点、性质。
教学内容：三维问题基本方程和有关概念；四面体单元；典型例题及详解；小结。
重点：四面体单元。
第五章薄板弯曲问题有限元法（3学时）
Chapter 5 Finite Element Method in Thin Plate Bending Problem
本章简要介绍了薄板弯曲问题的有限元分析方法，使学生了解薄板受弯分析的基本方程，掌握板单元的类型和单元自由度。
教学内容：薄板受弯分析的假设和基本方程；三角形与矩形板单元；位移函数；单元刚度矩阵；典型例题及详解；小结。
重点：三角形与矩形板单元。
第六章薄壳问题有限元法（3学时）
Chapter 6 Finite Element Method in Shell Problem
本章简要介绍了薄板弯曲问题的有限元分析方法，使学生了解薄板受弯分析的基本方程，掌握板单元的类型和单元自由度。
教学内容：薄壳变形分析的基本假设；板壳单元；单元刚度矩阵；典型例题及详解；小结。重点：板壳单元。
第七章需要进一步讨论的几个问题（2学时）
Chapter 5 Problems for Further Discussion
本章重点对有限元法分析中的单元和位移函数的选择、划分单元的一般原则以及边界条件的处理等几个问题进行了探讨，使学生了解和掌握利用有限元技术进行结构分析的原则和一般处理模式。
教学内容：单元和位移函数的选择；划分单元的一般原则；边界条件的处理；典型例题及详解；小结。
重点：边界条件的处理。
第二篇COSMOS软件应用
第八章COSMOS软件介绍（4学时）
Chapter 8 COSMOS Software Introduction
本章主要介绍COSMOS软件的特点、模块功能和菜单操作，并通过几个典型的例题介绍利用COSMOS软件进行有限元分析的过程和步骤。
教学内容：COSMOS软件特点；模块功能；基本菜单；典型例题及分析过程。
重点：COSMOS软件分析过程。
第九章工程实例分析（6学时）
Chapter 9 Projects Analysis in Engineering
本章重点对几个典型的实际工程问题进行分析，使学生初步掌握对工程问题中载荷和约束的处理方法，掌握使用COSMOS软件采用平面、三维以及板壳元进行有限元结构分析的步骤和方法。
教学内容：圆柱齿轮的受力分析；空调吊装箱体的强度分析；轮对的受力分析。
重点：载荷和约束的处理方法。
三、课程的教学基本要求
本课程的主要教学环节包括课堂授课、上机实习及课外作业。
（一）授课要求
授课中应强调对基本概念的了解和掌握；注重对问题的提出和分析并加强对工科学生理论分析能力的培养和逻辑思维能力的锻炼以及对实际动手能力的培养。理论授课内容为22学时，软件应用及算例介绍10学时。
（二）作业要求
课外作业要求学生巩固知识、举一反三。课外作业量为6～8道题。
（三）上机要求
掌握COSMOS有限元分析程序的使用方法并使用该软件完成一个结构分析的综合性练习。作业的基本要求由教师提出，具体结构可由学生自行设计。要求完成结构建模、分析计算及结果的整理。课内上机安排时间为10学时；课外上机安排时间为20学时。
（四）考试要求
要求学生较好地掌握基本概念、分析方法及解题技巧。试题类型包括：简述题（20％）；判断题（10％）；分析、计算题（70％）。试题难度为：一般难度试题占70％；较难试题占30％。
（五）成绩评定
最终的总评成绩包括：平时上课及课外作业成绩占20％；考试卷面成绩占50％；综合性练习成绩占30％。
四、本课程的先修课程
本课程的先修课程为材料力学、线性代数和三维造型软件（例如SolidEdge）。
五、教材及参考书
1) 王勖成，邵敏，有限单元法基本原理和数值方法，北京：清华大学出版社，1997
2) 朱伯芳，有限单元法原理与应用，北京：中国水利水电出版社，1998
有限元理论方法
关于有限元分析法及其应用举例 摘要：本文主要介绍有限元分析法，作为现代设计理论与方法的一种，已经在 众多领域普遍使用。介绍了它的起源和国内外发展现状。阐述了有限元法的基 本思想和设计方法。并从实际出发，例举了有限元法的一个简单应用———啤 酒瓶的应力分析和优化,表明了利用有限元分析法的众多优点。随着计算机的 发展，基于有限元分析方法的软件开发越来越多。本文也在其软件开发方面进 行阐述，并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。并就这一领域的 未来发展趋势进行阐述。 关键词：有限元分析法软件啤酒瓶 Abstract：This thesis mainly introduces the finite element analysis, as a modern design theory and methods used widely in in most respects. And this paper introduces its origins and development in world. It also expounds the basic thinking and approach of FEM..Proceed from the actual situation,this text holds the a simple application of finite-element method———the analysis and optimized of an beer bottle and indicate the the numerous benefits of finite element analysis .As computers mature and based on the finite element analysis of the software development is growing. This article introduces its application in the software development aspects as well, and briefly states the development and scope of the mainstream software. And it’s also prospect future development tendency in this area . Key: Finite Element Analysis Software Beer bottle 0 绪论 有限元法(Finite Element Method，FEM)，是计算力学中的一种重要的方法，它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域；
有限元分析理论基础
有限元分析概念 有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类：
1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。 3）非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。
有限单元法与有限元分析
有限单元法与有限元分析 1.有限单元法 在数学中，有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 随着电子计算机的发展，有限单元法是迅速发展成一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 1.1.有限元法分析本质 有限元法分析计算的本质是将物体离散化。即将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算精度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 1.2.特性分析 1）选择位移模式： 在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。 当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如
有限元理论与方法
第一章 绪论 有限元发展过程： 有限元法在西方起源于收音机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德教授，于1954—1955年间分阶段在《Aircraft Engineering 》上发表上许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书内容提供了有限元法的理论基础。美国的、 、 和等人于1956年发表了了篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，并说明了如何利用计算机进行分析。美国于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首先提出了有限元的名字。1965年英国及其合作者解决了将有限元法应用于所有场的问题，使有限元法的应用更加广泛。 有限元法的基本思路： 有限元法的基本思路和基本原理以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成为有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后根据各单元在节点处的平衡协调条件建立方程，综合后作整体分析。 这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。 有限元分析中可采取三种方法： 位移法——取节点位移作为基本未知数 力 法——取节点力作为基本未知数 混合法—— 有限元法分析过程： 1、结构离散化（单元划分） 2、选择位移模式 为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体时，必须对单元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数（形函数）。 {}[]{}e u N δ= (1) 3、分析单元的力学特性 （1）利用几何方程：由位移表达式导出用点位移表示单元应变的关系式 {}[]{} e εδ=B {}ε为单元内任一点的应变列阵 (2) 非线性有限元 线性有限元 几何非线性 材料非线性 有限元
有限元分析的概念和理论
第五章有限元素方法
§5.1有限元素方法的基本思想 有限元素法是一套求解微分方程的系统化数值计算方法。它比传统解法具有理论完整可靠，物理意义直观明确，适应性强，形式单纯、规范，解题效能强等优点。 从数学上来说, 有限元素方法是基于变分原理。它不象差分法那样直接去解偏微分方程, 而是求解一个泛函取极小值的变分问题。有限元素法是在变分原理的基础上吸收差分格式的思想发展起来的。 采用有限元素法还能使物理特性基本上被保持, 计算精度和收敛性进一步得到保证。 有限元素法优点： - 降低实验所需成本 - 減少試验对象的变异困难 - 方便参数控制 - 可获得实验无法获得的信息
有限元素法基本概念： 元素(element)，节点(node)，连結元素 有限元素法的基本思想: ?实际的物理問題很难利用单一的微分方程式描述，更无法順利求其解析解. ?有限元素法是将复杂的几何外型結构的物体切割成许多简单的几何形状称之为元素. ?元素与与元素间以“节点”相连. ?由于元素是简单的几何形状，故可以順利地写出元素的物理方程式,並求得节点上的物理量. ?采用內插法求得元素內任意点的物理量.
§5.2二维场的有限元素方法 1． 场域划分的约定 三角形元素。三角形元素越小，场域的分割就越细，计算的精度就会越高。因而在实际应用中是按精度的要求来决定场域内各处三角形元素的大小。 一般规定每个三角形元素的三个边的边长尽量地接近，尽量避免三角形元素具有大的钝角，一般最长的一条边不得大于最短边的三倍。 在分割场域时要求各三角形元素之间只能以顶点相交，即两相邻的三角形元素有两个公共的顶点及一条等长的公共边。不能把一个三角形的顶点取在另一个三角形的边上。 划分时还应当注意要尽量地使由相邻边界节点之间的线段所近似构成的曲线足够光滑。 如果在场域D内有不同的介质，则需要将介质的交面线选为分割线。
有限元方法课件
第1讲 抛物问题有限元方法 1、椭圆问题有限元方法 考虑椭圆问题边值问题： （1） ()? ??Ω?∈=Ω ∈=?-x u x x f u ,0, 问题（1）的变分形式：求()Ω∈1 0H u 使满足 （2） ()()()Ω∈?=1 , ,,H v v f v u a ()v u a ,的性质，广义解的正则性结果。 区域Ω的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。 剖分区域上分片k 次多项式构成的有限元空间()Ω?1 0H S h 。 h S 的逼近性质，逆性质： ∞≤≤≤≤≤≤-+-+p k k m u Ch u I u p k m k p m h 1,1,0,,11, h h p m h q n p n l m q l h S v l m q p v Ch v ∈?≤∞≤≤≤---,,,1,), 0(max , 这里，h h S u I ∈为u 的插值逼近。 问题（2）的有限元近似：求h h S u ∈使满足 （3） ()()h h h h h S v v f v u a ∈?=, ,, （3）的解唯一存在，且满足f M u h ≤1 。 （3）的解()()∑== N i i i h x u x u 1φ所满足的矩阵方程（离散方程组）形式： ()()N j f u a j N i i j i Λ,2,1, ,,1 ==∑=φφφ （4） f u K ? ?= 刚度矩阵()() N N j i a K ?=φφ,的由单元刚度矩阵组装而成。 -1H 模误差分析：由（2）－（3）可得
（5） h h h h S v v u u a ∈?=-,0),( 由（5）可首先得到 ()()11 21 ,,u I u u u M u I u u u a u u u u a u u r h h h h h h h --≤--=--≤- 则得到 （6） 1,1 11 ≥≤-≤-+k u Ch u I u C u u k k h h 2L －模误差分析 设21 0H H w I ∈ 满足 h h u u C w w in u u w -≤=Ω-=?-Ω ?2, 0,, 用h u u -与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到 ()()w u u A u u w A u u h h h ,,2 -=-=- ()h h h h h h h u u u u Ch w u u Ch w I w u u C w I w u u A --≤-≤--≤--=1 2 1 11, 再利用-1H 模误差估计结果，得到 （7） 1,1 11 ≥≤-≤-++k u Ch u u Ch u u k k h h 最优阶误差估计和超收敛估计概念。 当()t u u =与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得 （8） h h h t h S v v u u a ∈?=-,0),)(( 利用（7），类似分析可得 （9） ()()1,1 11 ≥≤-+-++k u Ch u u h u u k t k t h t h 2、抛物问题半离散有限元方法 考虑抛物型方程初边值问题： （10） ()()()()()()()()??? ? ???Ω∈=Ω??∈=Ω?∈=?-??x x u x u T x t x u T x t x t f u t u ,,0,0,,0,0,, ,0 （10）的变分形式：求 ()())()0(, ],0(:01 0x u u H T t u =Ω→ 使满足 （11） ()()()()Ω∈?=+1 , ,,,H v v f v u a v u t
有限元理论与技术-习题-弹性力学DOC
弹性力学 填空题： 1、连续体力学包括固体力学、流体力学、热力学和电磁场力学，非连续体力学包括量子力学。 2、弹性力学所研究的范围属于固体力学中弹性阶段。 3、弹性力学的基本假定为：连续性、完全弹性、均匀性和各向同性、变形很小、无初应力。 4、连续性假设是指：物体内部由连续介质组成，物体中应力、应变和位移分量为连续的，可用连续函数表示。 5、均匀性和各向同性假设是指：物体内各点和各方向的介质相同，即物理性质相同，物体的弹性常数杨氏模量和泊松比不随坐标和方向的变化而变化。 6、完全弹性假设是指：物体在外载荷作用下发生变形，在外载荷去除后，物体能够完全恢复原形，材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。 7、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程为：平衡方程、几何方程和物理方程，三组方程分别表示：应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。 8、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 9、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 10、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 11、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
12、建立平衡方程时，在正六面微分体的6个面上共有9个应力分量，分别为：，其中正应力为：，剪应力为：，这些应力分量与外载荷共同建立 3 个方程。 13、建立几何方程时，线应变为，角应变为，这些应变与位移共同建立6 个方程。 14、物理方程表示应力与应变的关系，即为胡克定律，其中弹性常数E和μ分别表示材料的杨氏模量和泊松比，物理方程组共包含 6 个方程。 15、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题，两者所研究得对象分别为等厚度薄平板和等截面长柱体。 16、平面应力问题和平面应变问题基本方程中：平衡方程和几何方程相同，物理方程不相同。（相同或不相同） 17、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 15、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。 18、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 19、弹性力学中边界条件通常可以分为：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 20、弹性力学问题的解法分为解析法、变分法和差分法，就解题方法而言，又分为如下两种方法：位移法和应力法。 21、将平面应力情况下的物理方程中的弹性模量E，泊松比 分别换成及就要得到平面应变情况下相应的物理方程。 22、位移法为物理方程与几何方程联立消除应变分量，得到应力与位移的函数方程式，再与平衡方程联立消除应力，得到载荷与位移的方程式。简答题： 1、在弹性力学中根据什么分别推导出平衡微分方程、几何方程、物理方程，这三个方程分别表示什么关系？
有限元方法(课件)
第一章 有限元概貌与发展 有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术。这种方法大约有60年的历史。它首先在本世纪40年代被提出，在50年代开始用于飞机设计。后来，该方法得到了发展并被非常广泛地用于结构分析问题中。目前，作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法，有限元已相当著名。 有限元法应用于电磁场中，最先是用结点上的插值基函数来表征该结点上的矢量电场或磁场分量的，称为结点有限元。但是，在使用结点有限元进行电磁仿真时，会有几个严重的问题。首先，非物理的或所谓伪解可能会出现。其次，在材料界面和导体表面强加边界条件很不方便。再次，处理导体和介质边缘及角也很困难，这是由与这些结构相关的场的奇异性造成的。在这些问题中，最后一个问题比其它两个问题更严重，因为它缺少通用的处理方法。即使对前两个问题，目前的处理状况也不能完全令人满意。因此，有必要探讨其它的可能性或其它方法，而不仅仅是改进，从而将电磁场有限元分析引入一个新的时代。 幸运的是，一种崭新的方法已经被发现。这种方法使用所谓矢量基或矢量元，它将自由度（未知量）赋予棱边而不是单元结点。因为这个原因，它也叫棱边元（edge element ）。虽然Whitney 早在35年前就描述过这些类型的单元，但它们在电磁学中的应用及其重要性直到前几年才被认识到。在80年代初，Nedelec 讨论了四面体和矩形块棱边元的构造。Bossavit 和Verite 将四面体棱边元应用于三维涡流问题。Hano 独立地导出了矩形棱边元，并用于介质加载波导的分析。Mur 和de Hoop 考虑了非均匀媒质中的电磁场问题。Van Welij 和Kameari 应用六面体棱边元进一步考虑了棱边元在涡流计算中的应用。Barton 和Cendes 将四面体棱边元应用于三维磁场计算，同时，Crowley 提出了一种更复杂的单元类型，即所谓的协变（covariant ）投影单元，它允许单元带有弯曲的棱边。在所有这些工作中，已经证明：棱边元没有前面提到的所有缺点。因为这些缺点困惑了研究者多年，可以想象，棱边元的重要性很快就被认识到了，因此，在过去的几年中，开展过大量的研究也获得了很多成功的应用。 棱边元分析时谐电磁场问题通常是基于矢量波动方程的，但这也常常引发一个问题:作为电场强加条件的[]0E ε?=i ，低频时在波动方程中不起作用。这一点使得所产生的有限元矩阵严重病态。尽管这一缺陷并不影响基于场形式波动方程的边棱元方法在高频电磁分析中的应用，但是在使用自适应网格剖分产生的一些小单元中，会局部的逼近静态的情况，同样会产生病态的矩阵的。这种病态的矩阵不利于直接法的求解，并且也大大的降低了迭代法的收敛速度。近年来发展了一种矢量标量位有限元，将边棱元与结点元相结合，能在很宽的频带内直接强加电场散度条件，同时有效的改善有限元矩阵的性态，尤其适合于结合迭代法求解。 为了降低有限元矩阵未知量的数目，不少学者对高阶有限元也作过了大量的研究工作。它的主要思想就是利用高阶的基函数对未知的场获得更精确的逼近，或者说在较稀疏的网格上获得一般的线性插值基函数在稠密网格上同样的精度。但这种高阶的有限元通常也会产生严重病态的矩阵，不利于快速求解，一直是个待解决的问题。 第二章 有限元方法入门 在本章中，我们首先回顾求解边值问题的两种经典方法，它们都包含着有限元方法的本质。然后，应用一个筒单的例子，介绍有限元方法。最后，我们不针对任何特定问题来描述该方法的基本步骤。 2．1 边值问题的经典方法 在本节中，我们首先定义边值问题，然后讨论边值问题求解的两种经典方法，一是里兹
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础 有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。 1.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。 虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。 2.最小势能原理 最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。最小势能原理仅适用于弹性力学问题。 2.2有限元法求解问题的基本步骤 弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。 2.2.1问题的分类 求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。 2.2.2建模 在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。因此，我们可以忽略几何不规则性，把一些载荷看做是集中载荷，并把某些支撑看做是固定的。材料可以理想化为线弹性和各向同性的。根据问题的维数、载荷以及理论化的边界条件，我们能够决定采用梁理论、板弯曲理论、平面弹性理论或者一些其他分析理论描述结构性能。在求解中运用分析理论简化问题，建立问题的模型。 2.2.3连续体离散化 连续体离散化，习惯上称为有限元网络划分，即将连续体划分为有限个具有规则形状的单元的集合，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为节点。单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形的需要和计算精度而定，如二维连续体的单元可为三角形、四边形，三维连续体的单元可以是四面体、长方体和六面体等。为合理有效地表示连续体，需要适当选择单元的类型、数目、大小和排列方式。 离散化的模型与原来模型区别在于，单元之间只通过节点相互连接、相互作用，而无其他连接。因此这种连接要满足变形协调条件。离散化是将一个无限多自由度的连续体转化为一个有限多自由度的离散体过程，因此必然引起误差。主要有两类：建模误差和离散化误差。
有限元理论与方法讲
讲 授 内 容 备 注 第13讲(第13周) 4.1 结构动力学问题有限元方法 动力学问题在国民经济和科学技术的发展中有着广泛的应用领域。最经常遇到的是结构动力学问题，它有两类研究对象：一类是在运动状态下工作的机械或结构，例如高速旋转的电机、汽轮机、离心压缩机，往复运动的内燃机、冲压机床，以及高速运行的车辆、飞行器等，它们承受着本身惯性及与周围介质或结构相互作用的动力载荷。如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性，是极为重要的研究课题。另一类是承受动力载荷作用的工程结构，例如建于地面的高层建筑和厂房，石化厂的反应塔和管道，核电站的安全壳和热交换器，近海工程的海洋石油平台等，它们可能承受强风、水流、地震以及波浪等各种动力载荷的作用。这些结构的破裂、倾覆和垮塌等破坏事故的发生，将给人民的生命财产造成巨大的损失。正确分析和设计这类结构，在理论和实际上也都是具有意义的课题。 动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。它是研究短暂作用于介质边界或内部的载荷所引起的位移和速度的变化，如何在介质中向周围传播，以及在界面上如何反射、折射等的规律。它的研究在结构的抗震设计、人工地震勘探、无损探伤等领域都有广泛的应用背景，因此也是近20多年一直受到工程和科技界密切关注的课题。 现在应用有限单元法和高速电子计算机，已经可以比较正确地进行各种复杂结构的动力计算，本章阐明如何应用有限单元法进行动力分析。 4.1.1 运动方程 结构离散化以后，在运动状态中各节点的动力平衡方程如下 F i +F d +P (t )=F e (2-2-1) 式中：F i 、F d 、P (t )分别为惯性力、阻尼力和动力荷载，均为向量；F e 为弹性力。 弹性力向量可用节点位移δ和刚度矩阵K 表示如下 F e =K δ 式中：刚度矩阵K 的元素K ij 为节点j 的单位位移在节点i 引起的弹性力。 根据达朗贝尔原理，可利用质量矩阵M 和节点加速度22t ??δ 表示惯性力如下 22i t ??-=δ M F 式中：质量矩阵的元素M ij 为节点j 的单位加速度在节点i 引起的惯性力。 设结构具有粘滞阻尼，可用阻尼矩阵C 和节点速度 t ??δ 表示阻尼力如下 2d t ??-=δC F 式中：阻尼矩阵的元素C ij 为节点j 的单位速度在节点i 引起的阻尼力。 将各力代入式(2-2-1)，得到运动方程如下 )(22t t t P K δδC δM =+??+?? (2-2-2)
有限元分析的基本步骤
一个典型的ANSYS分析过程可分为以下6个步骤： 1定义参数 2创建几何模型 3划分网格 4加载数据 5求解 6结果分析 1定义参数 1.1指定工程名和分析标题 启动ANSYS软件，选择File→Change Jobname命令 选择File→Change Title菜单命令 1.2定义单位 (2) 设置计算类型 ANSYS Main Menu: Preference→Material Props →Material Models →Structural →OK (3) 定义分析类型 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Loads →Analysis Type →New Analysis→STATIC →OK 1.3定义单元类型 选择Main Menu→Preprocessor→Element Type→Add/Edit/Delete命令 单击[Options]按钮，在[Element behavior]下拉列表中选择[Plane strs w/thk]选项，单击确定 1.4定义单元常数 在ANSYS程序主界面中选择Main Menu→Preprocessor→Real Constants→Add/Edit/Delete命令 单击[Add]按钮，进行下一个[Choose Element Type]对话框 1.5定义材料参数 在ANSYS程序主界面，选择Main Menu→Preprocessor→Material Props→Material Models命令 (1)选择对话框右侧Structural→Linear→Elastic→Isotropic命令，并单击[Isotropic]选项，接着弹出如下所示[Linear Isotropic Properties for Material Number 1]对话框。 在[EX]文本框中输入弹性模量“200000”，在[PRXY]文本框中输入泊松比“0.3”，单击OK 2创建几何模型 在ANSYS程序主界面，选择Main Menu→Preprocessor→Modeling→Creat→Areas→Rectangle →By 2Corners命令 选择Main Menu→Preprocessor→Modeling→Creat→Areas→Circle→Solid Circle命令 3网格划分(之前一定要进行材料的定义和分配) 选择Main Menu→Preprocessor→Modeling→Operate→Booleans→Subtract→Arears Circle命令 选择Main Menu→Preprocessor→Meshing→Mesh→Areas→Free命令，弹出实体选择对话框，单击[Pick All]按钮，得到如下所示网格 4加载数据 (1)选择Main Menu→Preprocessor→Loads→Define Loads→Apply→Structural→Displacement→On Lines命令， 出现如下所示对话框，选择约束[ALL DOF]选项，并设置[Displacement value]为0，单击OK。
有限元计算原理与方法..
1.有限元计算原理与方法 有限元是将一个连续体结构离散成有限个单元体，这些单元体在节点处相互铰结，把荷载简化到节点上，计算在外荷载作用下各节点的位移，进而计算各单元的应力和应变。用离散体的解答近似代替原连续体解答，当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。 1.1. 有限元分析的基本理论 有限元单元法的基本过程如下： 1.1.1.连续体的离散化 首先从几何上将分析的工程结构对象离散化为一系列有限个单元组成，相邻单元之间利用单元的节点相互连接 而成为一个整体。单元可采用各种类 型，对于三维有限元分析，可采用四 面 体单元、五西体单元和六面体 单元等。在Plaxis 3D Foundation 程序中，土体和桩体主要采用包 含6个高斯点的15节点二次楔 形体单元，该单元由水平面为6 节点的三角形单元和竖直面为四 边形8节点组成的，其局部坐标 下的节点和应力点分布见图3.1，图3.1 15节点楔形体单元节点和应力点分布界面单元采用包含9个高斯点的 8个成对节点四边形单元。 在可能出现应力集中或应力梯度较大的地方，应适当将单元划分得密集些；
若连续体只在有限个点上被约束，则应把约束点也取为节点：若有面约束，则应 把面约束简化到节点上去，以便对单元组合体施加位移边界条件，进行约束处理； 若连续介质体受有集中力和分布荷载，除把集中力作用点取为节点外，应把分布 荷载等效地移置到有关节点上去。 最后，还应建立一个适合所有单元的总体坐标系。 由此看来，有限单元法中的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料 的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。因此，用有限元法计算获得的结果 只是近似的，单元划分越细且又合理，计算结果精度就越高。与位移不同，应力 和应变是在Gauss 积分点(或应力点)而不是在节点上计算的，而桩的内力则可通 过对桩截面进行积分褥到。 1.1. 2. 单元位移插值函数的选取 在有限元法中，将连续体划分成许多单元，取每个单元的若干节点的位移 作为未知量，即{}[u ,v ,w ,...]e T i i i δ=，单元体内任一点的位移为{}[,,]T f u v w =。 引入位移函数N (x,y,z )表示场变量在单元内的分布形态和变化规律，以便用 场变量在节点上的值来描述单元内任一点的场变量。因此在单元内建立的位移模 式为： {}[]{}e f N δ= （3-1） 其中：12315[][,,......]N IN IN IN IN =，I 为单位矩阵。 按等参元的特性，局部坐标(,,)ξηζ到整体坐标,,x y z （）的坐标转换也采用 与位移插值类似的表达式。经过坐标变化后子单元与母单元(局部坐标下的规则 单元)之间建立一种映射关系。不管内部单元或边界附近的单元均可选择相同的 位移函数，则为它们建立单元特性矩阵的方法是相同的。因此，对于15节点楔 形体单元体内各点位移在整体坐标系,,x y z （）下一般取：
国内外主要有限元分析软件比较
有限元分析是对于结构力学分析迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。有限元分析软件目前最流行的有：ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC四个比较知名比较大的公司。 常见软件 有限元分析软件目前最流行的有：ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC四个比较知名比较大的公司，其中ADINA、ABAQUS在非线性分析方面有较强的能力目前是业内最认可的两款有限元分析软件，ANSYS、MSC进入中国比较早所以在国内知名度高应用广泛。目前在多物理场耦合方面几大公司都可以做到结构、流体、热的耦合分析，但是除ADINA以外其它三个必须与别的软件搭配进行迭代分析，唯一能做到真正流固耦合的软件只有ADINA。 软件对比 ANSYS是商业化比较早的一个软件，目前公司收购了很多其他软件在旗下。ABAQUS专注结构分析目前没有流体模块。MSC是比较老的一款软件目前更新速度比较慢。ADINA是在同一体系下开发有结构、流体、热分析的一款软件，功能强大但进入中国时间比较晚市场还没有完全铺开。 结构分析能力排名：1、ABAQUS、ADINA、MSC、ANSYS 流体分析能力排名：1、ANSYS、ADINA、MSC、ABAQUS 耦合分析能力排名：1、ADINA、ANSYS、MSC、ABAQUS 性价比排名：最好的是ADINA，其次ABAQUS、再次ANSYS、最后MSC ABAQUS软件与ANSYS软件的对比分析 1．在世界范围内的知名度 两种软件同为国际知名的有限元分析软件，在世界范围内具有各自广泛的用户群。ANSYS软件在致力于线性分析的用户中具有很好的声誉，它在计算机资源的利用，用户界面开发等方面也做出了较大的贡献。ABAQUS软件则致力于更复杂和深入的工程问题，其强大的非线性分析功能在设计和研究的高端用户群中得到了广泛的认可。 由于ANSYS产品进入中国市场早于ABAQUS，并且在五年前ANSYS的界面是当时最好的界面之一，所以在中国，ANSYS软件在用户数量和市场推广度方面要高于ABAQUS。但随着ABAQUS北
有限元的基础理论
§1有限元的基础理论 §1-1 概述 有限元法是一种数值计算的近似方法。早在40年代初期就已有人提出，但当时由于没有计算工具而搁置，一直到50年代中期，高速数字电子计算机的出现和发展为有限元法的应用提供了重要的物质条件，才使有限元法得以迅速发展。 有限元法在西方起源于飞机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德的J.H.Argyris教授，于1954–1955年间，他在《Aircraft engineering》上发表了许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书成为有限元法的理论基础。美国的M.T.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin和L.J.Topp等人于1956年发表了一篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，说明了如何利用计算机进行分析。美国教授R.W.Clough于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首次提出了有限元法的名字。1965年英国的O.C.Zienliewice教授及其合作者解决了将有限元应用于所有场的问题，使有限元法的应用范围更加广泛。 有限元法的优点很多，其中最突出的优点是应用范围广。发展至今，不仅能解决静态的、平面的、最简单的杆系结构，而且还可以解决空间问题、板壳问题、结构的稳定性问题、动力学问题、弹塑性问题和粘弹性问题、疲劳和脆性断裂问题以及结构的优化设计问题。而且不论物体的结构形式和边界条件如何复杂，也不论材料的性质和外载荷的情况如何，原则上都能应用。 §1-2 有限元的基础理论 有限元法的基本思路和基本原则以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连接而组成整体。把连续体分成有限个单元和节点，称为离散化。先对单元进行特性分析，然后根据各节点处的平衡和协调条件建立方程，综合后作整体分析。这样一分一合，先离散再综合的过程，就是把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合的问题。因此，一般的有限元解法包括三个主要步骤：离散化、单元分析、整体分析。 §1-2-1 离散化 一个复杂的弹性体可以看作由无限个质点组成的连续体。为了进行解算，可以将此弹性体简化为有限个单元组成的集合体，这些单元只在有限个节点上铰接，因此，这集合体只具有有限个自由度，这就为解算提供了可能。有无限个质点的连续体转化为有限个单元的集合体，就称为离散化。 §1-2-2 单元分析 单元分析首先要进行单元划分。在工程结构中，一般采用四种类型的基本单元，即标量单元、线单元（杆、梁单元）、面单元和体单元。四种基本单元的若干例子及各单元节点自由度（节点位移）表示在图（1-1）中。而单元划分一般注意下面几点： 一、从有限元本身来看，单元划分的越细，节点布置得越多，计算的结果越精确。但计算时间和计算费用的增加。所以在划分单元时对应兼顾这两个方面。 二、在边界比较曲折，应力比较集中，应力变化较大的地方，单元应划分的细点，而在应力变化平缓处单元划分的大些。单元由小到大应逐渐过渡。 三、对于三角形单元，三条边长应尽量接近，不应出现钝角，以免计算出现较大的偏差。对于矩形单元，长度和宽度也不应相差过大。 四、任意一个三角形单元的角点必须同时也是相邻单元边上的角点，而不能是相邻单元边上的内点。划分其他单元时也应遵循此原则。
有限元分析方法在工程中的应用
有限元分析方法在工程中的应用 Application of finite element analysis method in Engineering 一、引言 从20世纪50年代诞生到现在，有限元方法和技术经历了60年的发展历程，已经成为当今科学与工程领域中分析和求解微分方程的系统化数值计算方法。由于有限元分析方法适用性强、形式简单、理论可靠等众多优点，近年来已被推广应用到航空航天、土木建筑、机械等相关科学领域。本文以ANSYS软件为例，介绍其功能和应用，包括几何建模技术、网格划分与有限元建模技术、施加载荷与求解过程、结果后处理技术等。图1是用有限元方法分析工程问题时的具体步骤[1]。 本文以车轮钢的疲劳性能研究为例，介绍有限元分析方法在其中的应用。 图1. 有限元方法进行计算机辅助工程分析的步骤 二、ANSYS操作步骤 ANSYS的基本操作步骤包括建模、划分网格、加载求解和后处理等步骤。进入ANSYS系统后有六个系统，提供使用者和软件之间的交流凭借这六个窗口可以实现输入命令、检查模型的建立、观察分析结果及图形输出与打印。ANSYS
各窗口及工具条如图2所示。 图2. ANSYS的窗口及工具条 1、建立模型 首先必须指定作业名和分析标题，接着使用PREP7前处理器定义单元类型、单元实常数、材料特性，然后建立几何模型。需要注意的是，ANSYS的GUI界面下没有类似WORD中的后退操作按钮，所以就出现了一个常见问题：做错一步操作如何后退？这里可以采用三种方法：（1）建模阶段可以使用Delete(删除)图元命令，划分网格阶段可以使用Clear（清除）单元命令。（2）每完成一个模块的操作，都用SA VE AS保存数据到不同名的数据库文件中，出错后点击Resum Form恢复。（3）使用命令：UNDO，ON以便激活ANSYS内部的返回命令。 本文以车轮钢为例，建立好的模型与图2类似，只是未划分网格。 2、单元网格划分 一个实体模型进行网格划分（meshing）之前必须指定所产生的单元属性（element attribute）。ANSYS有限元网格划分是进行数值模拟分析至关重要的一步，它直接影响着后续数值计算分析结果的精确性。ANSYS软件平台提供了映射网格划分和自由网格划分的策略。映射网格划分用于曲线、曲面、实体的网格划分方法，自由网格划分方法用于空间自由曲面和复杂实体。
有限元理论与方法
第一章 绪论 有限元发展过程： 有限元法在西方起源于收音机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德J.H.Argyrb 教授，于1954—1955年间分阶段在《Aircraft Engineering 》上发表上许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书容提供了有限元法的理论基础。美国的M.T.Turner 、 R.W.cloagh 、 H.C.martin 和L.J.Topp 等人于1956年发表了了篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，并说明了如何利用计算机进行分析。美国于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首先提出了有限元的名字。1965年英国及其合作者解决了将有限元法应用于所有场的问题，使有限元法的应用更加广泛。 有限元法的基本思路： 有限元法的基本思路和基本原理以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成为有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后根据各单元在节点处的平衡协调条件建立方程，综合后作整体分析。 这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。 有限元分析中可采取三种方法： 位移法——取节点位移作为基本未知数 力 法——取节点力作为基本未知数 混合法—— 有限元法分析过程： 1、结构离散化（单元划分） 2、选择位移模式 为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体时，必须对单元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数（形函数）。 {}[]{}e u N δ= (1) 3、分析单元的力学特性 （1）利用几何方程：由位移表达式导出用点位移表示单元应变的关系式 {}[]{}e εδ=B {}ε为单元任一点的应变列阵 (2) 非线性有限元 线性有限元 几何非线性 材料非线性 有限元