沪教版(上海)高二数学第二学期-11.1 直线方程-教案
直线方程
【教学目标】
理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心。
【教学重难点】
重点
1．理解直线的方向向量概念。
2．能根据已知条件求出直线的点方向式方程。
3．理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系。
4．通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量可简化推到过程且有明确的几何意义。 难点
理解直线方程的定义。通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义。通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想。从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力。
【教学过程】
一、回顾
在初中平面几何里，我们定性的研究直线的平行，垂直或直线相交所成角是否相等。在函数教学中，直线是一次函数的图像。在本章中，我们进一步用定量的方法来研究直线。
二、讲授新课
（一）直线方程
定义：对于坐标平面内的一条直线，如果存在一个方程，满足
（1）直线上的点的坐标都满足方程；
（2）以方程的解为坐标的点都在直线上。
那么我们把方程叫做直线的方程。
从上述定义可见，满足（1）、（2），直线上的点的集合与方程的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系。
l (,)0f x y =l (,)x y (,)0f x y =(,)0f x y =(,)x y l (,)0f x y =l l (,)0f x y =
（二）点方向式方程
1．概念引入
在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个不重合的点（不重合的两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等等。我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程。若此方程满足直线方程定义中的
（1）、（2），就找到了直线的方程。
2．概念形成
? 直线的点方向式方程的定义
在平面上过一已知点，且与某一方向平行的直线是惟一确定的，我们在直角坐标平面中求该直线的方程。
? 直线的点方向式方程的推导 建立平面直角坐标系，设的坐标是，方向用非零向量表示。
设直线上任意一点的坐标为，由直线平行于非零向量，故。根据的充要条件，得①；反之，若为方程①的任意一解，即
，记为坐标的点为，可知，即在直线上。综上，根
据直线方程的定义知，方程①是直线的方程。
当时，方程①可化为②。值得注意的是：方程②不能表示过且与坐标轴垂直的直线。事实上当时，方程①可化为③，表示过且与轴垂直的直线；当时，方程①可化为④，表示过且与轴垂直的直线。
我们把方程叫做直线的点方向式方程，非零向量叫做直线的方向向量。 3．例题解析
例1：观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量。
①； ②； ③； ④。 解①经过点，它的一个方向向量是；
②化简得到：，从中可见该直线经过点，一个方向向量是； P l P 00(,)x y (,)d u v =r l Q (,)x y d r //PQ d u u u r r //PQ d
u u u r r 00()()v x x u y y -=-11(,)x y 1010()()v x x u y y -=-11(,)x y 1Q 1//PQ d u u u u r r 1Q l l 00u v ≠≠且00x x y y u v
--=00(,)P x y 0u =0v ≠00x x -=00(,)P x y x 0v =0u ≠00y y -=00(,)P x y y 00x x y y u v
--=l d r l 4
533+=-y x ()()6744-=--y x 1=x 2-=y ()5,3-()4,3=→d 4674--=-y x ()6,4()4,7-=→d
③经过点，它的一个方向向量是；
④经过点(0，-2)，它的一个方向向量是。
[说明]通过直线的点方向式方程，可以判断一条直线经过的一个点和它的方向向量。
例2：已知点和，求经过点且与平行的直线的点方向式方程？
解： ，
所以过点且与平行的直线的点方向式方程是。 变式1：求经过点、C 两点的直线的点方向式方程。
解： ，。 思考：有没有别的表达方式？ 是否一样呢？不妨化简，得到的都是：
变式2：在中，求平行于边的中位线所在直线的点方向方程。
解的中点为，的中点为，则， 所以所在直线的点方向方程是。 [说明]这些题目的解法关键在于找点和方向向量！
三、课堂小结
1．直线方程的定义。
2．直线的点方向式方程的推导。
3．用向量方法推导直线方程的主要思想。
4．确定直线方程的几个要素。
()0,1()1,0=→
d ()1,0d →=()()1364--，，，B A ()54-，C A BC l ()4,7-=→--BC A BC l 4
674--=-y x B l ()4,7-=→--BC 4
173-+=+y x 4
574-+=-y x 01974=++y x ABC ?BC MN AB ??? ??25,21M AC ??
? ??21,4N ??? ??-=→---2,27MN MN 2
252
721--=-
y x
高二数学《直线方程形式》教案
高二数学《直线方程形式》教案 Teaching plan of form of linear equation for senior two mathe matics
高二数学《直线方程形式》教案 前言：本文档根据题材书写内容要求展开，具有实践指导意义，适用于组织或个人。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 教学要求：掌握直线方程的一般形式，能熟练地从直线方程 的一般式中求斜率、倾斜角和截距。 教学重点：熟练运用一般式。 一、讲授新课： 1.教学直线方程的一般形式： ①讨论：是否所有直线都可写成＝x＋b的形式？α＝90°时直线方程是怎样的.？两种形式与Ax＋B＋C＝0有何联系？ 结论：直线的方程都是二元一次方程。 ②讨论：Ax＋B＋C＝0能否都化成＝x＋b的形式？B＝0 时表示什么图形？ 结论：二元一次方程都表示一条直线。 ③定义直线一般式方程：Ax＋B＋C＝0 （A、B不全为0） 2.教学例题：
①已知直线L过点A（-6,4），斜率为，求直线的点斜式、一般式、截距式方程。 ②学生讲各步解答，教师板演→小结：… ③练习：求直线x－2＋6＝0的斜率和在坐标轴上的截距。 二、巩固练习：（可只分析思路） 1.二次方程x －x－6 +3x＋11－4=0表示两条直线，则两条直线方程分别是。 解法：分解因式→每个因式为零即直线一般式方程。 2.直线ax－＋2＝0与直线3x－－b＝0关于直线＝x对称，则a＝，b＝。 解法：利用反函数的图像性质。 3.已知a＋2b＝1,则直线ax＋b＋3＝0一定经过定点的坐标是。 4.直线L ：4x＋＋6＝0。L ：3x－5－6＝0，L截L 、L 两直线所得线段的中点恰好是坐标原点，求直线L的方程。 5.课堂作业：书P44 1题， 7题。 -------- Designed By JinTai College ---------
2015年上海市高中数学(直线、平面、简单几何体)单元测试
高二数学（直线、平面、简单几何体）单元测试07年4月 班级 学号 姓名 一． 选择题(6′×7) 1．,a b 是平面α外的两条直线，若//,a α 则“//a b ”是“//b α” 的 （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要 2．下面四个命题中，真命题的个数是 ①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面的两条边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．已知ABC ?是正三角形，PA ⊥平面ABC ，且1 2 PA AC =，则二面角P BC A --为 （A ）60° （B ）30° （C ）45° （D ）120° 4．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1 6 ，经过这3个点的小圆的周长为6π，则这个球的半径为 （A ） （B ）4 （C （D ）5．棱长均为1的平行六面体1111ABCD A BC D -中，1BAD BAA ∠=∠=13 DAA π ∠=，若点 ,M N 分别为棱111,A D BB 的中点，则MN 的长度为 （A ）1 （B （C ）2 （D ） 6．在正方体1111ABCD A BC D -过顶点A 1在空间作直线l ，使l 与直线AC 、BC 1所成的角都等于60°，这样的直线的条数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 7．(理)正三棱锥V-ABC 的底面边长为2a ，E ，F ，G ，H 分别是VA ，VB ，BC ，AC 的中点，则四边形EFGH 面积的取值范围是 (A)(0,)+∞ (B) 2,)+∞ (C) 2 ,)+∞ (D) 21(,)2a +∞ （文）若直线l 与平面α所成角为3 π ，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是 (A)0, 3π?? ???? (B)20,3π?????? (C) 2,33ππ?????? (D) ,32ππ?? ????
高中数学目录(沪教版)
高中数学教材（沪教版）目录 高一上 第一章集合与命题 一集合 1.1集合及其表示法 1.2集合之间的关系 1.3集合的运算 二四种命题的形式 1.4命题的形式及等价关系 三充分条件与必要条件 1.5充分条件、必要条件 1.6子集与推出关系 第二章不等式 2.1不等式的基本性质 2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法 2.4基本不等式及其应用 *2.5不等式的证明 第三章函数的基本性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立 3.3函数的运算 3.4函数的基本性质 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数 4.1幂函数的性质与图像 二指数函数 4.2指数函数的性质与图像 *4.3借助计算器观察函数递增的快慢 高一下 第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数 4.4对数的概念及其运算 四反函数 4.5反函数的概念 五对数函数 4.6对数函数的性质与图像 六指数方程和对数方程 4.7简单的指数方程
4.8简单的对数方程 第五章 三角比 一 任意角的三角比 5.1任意角及其度量 5.2任意角的三角比 二 三角恒等式 5.3同角三角比的关系和诱导公式 5.4两角和与差的正弦、余弦和正切 5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切 三 解斜三角形 5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形 第六章 三角函数 一 三角函数的图像及性质 6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 6.2正切函数的图像与性质 6.3函数()sin y A x ωφ=+的图像与性质 二 反三角函数与最简三角方程 6.4反三角函数 6.5最简三角方程 高二上 第七章 数列与数学归纳法 一 数列 7.1数列 7.2等差数列 7.3等比数列 二 数学归纳法 7.4数学归纳法 7.5数学归纳法的应用 7.6归纳—猜想—证明 三 数列的极限 7.7数列的极限 7.8无穷等比数列各项的和 第八章 平面向量的坐标表示 8.1向量的坐标表示及其运算 8.2向量的数量积 8.3平面向量的分解定理 8.4向量的应用 第九章 矩阵和行列式初步 一 矩阵 9.1矩阵的概念 9.2矩阵的运算 二 行列式 9.3二阶行列式 9.4三阶行列式
高二数学 直线的方程
典型例题一 例1 直线l 过点P （－1，3），倾斜角的正弦是 5 4 ，求直线l 的方程． 分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解． 解：因为倾斜角α的范围是：πα<≤0 又由题意：5 4sin =α， 所以：3 4tan ± =α， 直线过点P （－1，3），由直线的点斜式方程得到：()13 4 3+±=-x y 即：01334=+-y x 或0534=-+y x ． 说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角α的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个． 典型例题二 例2 求经过两点A （2，m ）和B （n ，3）的直线方程． 分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到n 与2的分类；如果选用两点式，还要涉及m 与3的分类． 解：法一：利用直线的两点式方程 ∵直线过两点A （2，m ）和B （n ，3） （1）当3=m 时，点A 的坐标是A （2，3），与点B （n ，3）的纵坐标相等，则直线 AB 的方程是3=y ； （2）当2=n 时，点B 的坐标是B （2，3）,与点A （2，m ）的横坐标相等，则直线AB 的方程是2=x ； （3）当3≠m ，2≠n 时，由直线的两点式方程 1 21 121x x x x y y y y --=--得： 2 2 3--= --n x m m y 法二：利用直线的点斜式方程 （1）当2=n 时，点B A ,的横坐标相同，直线AB 垂直与x 轴，则直线AB 的2=x ； （2）当2≠n 时，过点B A ,的直线的斜率是2 3--=n m k ， 又∵过点A （2，m ） ∴由直线的点斜式方程()11x x k y y -=-得过点B A ,的直线的方程是：
沪教版(上海)高二数学第二学期-11.2 直线的倾斜角与斜率-教案
直线的倾斜角和斜率 【教学目标】 1．在理解直线的倾斜角和斜率概念的基础上，掌握过两点的直线的斜率；公式并牢记斜率公式的特点及适用范围； 2．进一步了解向量作为数学工具在进一步学习数学中的作用； 3．培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的培养； 4．充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，培养学生数形结合的数学思想． 【教学重点】 斜率概念理解与斜率公式 【教学难点】 斜率概念理解与斜率公式 【课时安排】 1课时 【教学准备】 多媒体、实物投影仪 【教学过程】 一、复习引入： 1．直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。 2．直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示。 3．概念辨析：①当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°；③倾斜角是90°的直线没有斜率。 提问：
（1）哪些条件可以确定一条直线？ （2）在平面直角坐标系中，过点P 的任何一条直线l ，对x 轴的位置有哪些情形？如何刻划它们的相对位置？ （3）给定直线的倾斜角α，如何求斜率？ （4）设α是直线的倾斜角，k 为其斜率，则当0≥k 及0 【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。 ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0 ③倾斜角α的围000180α≤< （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0 90的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠ ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0 tan 00k == ⑵当直线l 与x 轴垂直时, 0 90α=,k 不存在. ②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（ ）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=- ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法： ①已知直线上两点，根据斜率公式212121 ()y y k x x x x -=≠-求斜率； ②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 【知识点二：直线平行与垂直】 （1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =? 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行 （2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=??⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确； 由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. （2）线段的中点坐标公式 121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是， 上海市高二第二学期期末模拟考试卷（一） 一、填空题 1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______． 2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______． 3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为 ______． 4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______． 5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______． 7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数） 相切，切点在第一象限，则实数a的值为______． 9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B 两地的球面距离为______． 10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______． 11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）． 12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______． 13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T 的最小值为______． 14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号） ①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0． 二、选择题 15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（） A．关于x轴对称 B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称 17．下列命题中，正确的命题是（） A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2 B．若z∈R，则z?=|z|2不成立 C．z1、z2∈C，z1?z2=0，则z1=0或z2=0 D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0 18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题： ①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变 ②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变 ③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变 ④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（） 直线的点法向式方程 教学目标： 1、掌握直线的点法向式方程 2、通过直线点法向式方程的推导，体会向量知识的应用和坐标法的含义.初步认识曲线与方程的关系，并体会解析几何的基本思想 3、培养学生的自主探索研究能力. 教学重点：直线的点法向式方程 教学难点：选择恰当的形式求解直线方程 教学方法：教师启发引导，学生主动探索 教学过程： 一、复习引入 上节课我们学习了直线方程及直线的点方向式方程，首先我们一起回顾一下： （1） 若给出方程y ＝x －1 问：①点（2,1），（3,2）是否在直线l 上？②如 何判断点P 是否在直线l 上？ （①l 上任意点的坐标满足方程y ＝x －1②以方程y ＝x －1的任意解为坐标 的点都在直线l 上） 我们就称方程y ＝x －1是直线l 的方程，直线l 是方程y ＝x －1的图形 （2） 复习点方向式方程 直线的方向，与直线平行的向量有无数个，所以方向向量不唯一，则直线的点方向式方程显然也不唯一 问：若过已知点与某一非零向量垂直的直线是否唯一确定呢？ 今天我们就来学习根据上述条件求出直线l 的方程。（写出课题） 二、概念形成 设P 00(,)x y ，非零向量(,)n a b =r ，Q (,)x y 为直线l 上任意一点 则=PQ ),(O O y y x x -- ∵PQ n ⊥u u u r r ∴0=? 即00()()0a x x b y y -+-=① ∴直线l 上的任一点都满足方程① 反之，若11(,)x y 为方程①的解，即1010()()0a x x b y y -+-=，则1Q 11(,)x y 符合1PQ n ⊥u u u u r r ，即1Q 在直线l 上. 根据直线方程的定义知，方程①是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线. 上海高中数学教材知识目录详 细版(总9页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直 接删除 2 第1章集合和命题 一集合 集合及其表示法 集合的概念 集合的表示方法 集合之间的关系 子集 相等的集合 真子集 集合的运算 交集 并集 补集 二四种命题的形式 命题的形式及等价关系 命题与推出关系 四种命题形式 等价命题 三充分条件与必要条件 充分条件，必要条件 子集与推出关系 第2章不等式 不等式的基本性质 一元二次不等式的解法 其他不等式的解法 分式不等式的解法 含绝对值的不等式的解法 基本不等式及其应用 不等式的证明 第3章函数的基本性质 函数的概念 函数关系的建立 函数的运算 函数的基本性质 定义域、值域 奇偶性 单调性 最值 零点存在定理与二分法 第4章幂函数、指数函数和对数函数 一幂函数 3 幂函数的性质与图像 形如的函数的性质与图像 图像的对称性、作图的平移与翻折 四指数函数 指数函数的图像与性质 借助计数器观察函数递增的快慢 五对数 对数的概念及其运算 对数的概念 对数的运算 换底公式 六反函数 反函数的概念 七对数函数 对数函数的图像与性质 八指数方程和对数方程 简单的指数方程 简单的对数方程 第5章三角比 一任意角的三角比 任意角及其度量 任意角（） 弧度制 任意角的三角比 坐标定义 单位圆定义 三角恒等式 同角三角比的关系和诱导公式 同角三角比的关系 诱导公式（、） 两角和与差的余弦、正弦和正切 两角和与差的余弦 诱导公式（） 两角和与差的正弦 两角和与差的正切 三角函数线形组合 二倍角与半角的正弦、余弦与正切 二倍角公式 半角公式 万能置换公式 （理科）半角公式的应用 4 高二数学练习题—直线的方程 满分:100 时间：40分钟 姓名_____________________总分______________ 一、选择题（每道题5分，共60分） 1．点(-1,4)P 作圆22-4-6120x y x y ++=的切线，则切线长为 （ ） A ． 5 B ． 5 C ． 10 D ． 3 2．圆22-64120 x y x y +++=与圆22-14-2140x y x y ++=的位置关系是 ( ) A ．相切 B ． 相离 C ．相交 D ．内含 3 .如果直线l 将圆x 2+y 2 –2x –4y =0平分，且不通过第四象限，则l 的斜率的取值范围( ) A .[0, 2] B. [0, 1] C. [0, 21] D. [– 1, 0] 4．设M ={(x , y )| y y ≠0}, N ={(x , y )| y =x +b }，若M ∩N ≠?，则b 的取值范围是（ ） A ．–32≤b ≤32 B 。 –3≤b ≤32 C ． 0≤b ≤32 D 。 –3 上海中学高二期末数学试卷 2021.01 一. 填空题 1. 若复数 3i 12i a ++（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 2. 函数()i i n n f x -=?（n ∈N ，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为 3. 已知方程22 3212x y λλ +=---+表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围是 4. 已知双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点 在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 5. 若点(3,1)是抛物线2y px =（0p >）的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p = 6. 把参数方程sin cos sin cos x y θθ θθ=-??=+? （θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是 7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则AB 的中点到y 轴的距离是 8. 已知复数z 满足条件||1z =，那么|i |z +的最大值为 9. 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则实数k 、b 分别应满足的条件是 10. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=?， 则12||||PF PF ?= 11. 已知双曲线22 22:1x y C a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条 渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近 线方程为 12. 直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积 为1-，以线段AB l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ， 则22||||MP MQ +的最小值为 二. 选择题 1. 已知椭圆2222122x y a b +=（0a b >>）与双曲线22 221x y a b -=有相同的焦点，则椭圆的离 心率为（ ） A. B. 1 2 C. D. 直线的倾斜角和斜率 （1）倾斜角定义 （2）斜率k=tan α=1 212x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。 例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 。 例2：过两点A （m 2+2,m 2-3）,B （3-m-m 2,2m ）的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。 例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围。 例4：已知a ＞0,若平面内三点A （1，—a ），B （2，a 2）,C(3,a 3)共线，则a 值为 。 两直线的平行与垂直 1、 两直线平行：l 1//l 2 ?k 1=k 2 例（1）l 1 经过点M （-1，0）, N (-5,-2)，l 2经过点R （-4,3），S （0,5），l 1与l 2是否平行？ （2）l 1 经过点A （m ，1）, B (-3,4), ）l 2 经过点C （1，m ）, D (-1, m+1),确定m 的值，使l 1//l 2。 2、 垂直：l 1 ⊥ l 2 ?k 1k 2 =—1 例（1） l 1的倾斜角为45，l 2经过点P （-2,-1），Q （3,-6）. 例（2）已知点M （2,2）和N （5，-2），点P 在x 轴上，且∠MPN 为直角，求点P 的坐标。 直线的方程 二、直线方程的分类： 1、点斜式: y-y 0=k (x －x 0) 1、 斜截式： y=kx +b (b 是与y 轴的交点) 2、 两点式: 121y y y y --=1 21x x x x -- 3、 一般式：A x +B y +C=0 4、 截距式：a x +b y =1 三、典型例题 1.过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程。 2、直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。 3、经过点A （-1,8），B （4，-2）的直线方程。 4、已知A(1,2), B （3,1），求线段AB 的垂直平分线方程。 5、一条光线从点P （6,4）射出，与x 轴相交于点Q （2，0）经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程。 直线的交点坐标与距离公式 1、求两条直线的交点（联立方程组） 高中数学知识点归纳 高一(上)数学知识点归纳 第一章 集合与命题 1.主要内容：集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、 并、补运算。四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。 2.基本要求：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、 真子集、集合相等等概念，能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；理解 交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意 义，能求出已知集合的补集。理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个 简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件 的意义，能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。 3.重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。难点 是对集合有关的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。 4.集合之间的关系：(1)子集：如果A 中任何一个元素都属于B ，那么A 是B 的 子集，记作A ?B.(2)相等的集合:如果A ?B,且B ?A ，那么A=B.(3).真子集： A ?B 且B 中至少有一个元素不属于A ，记作A ?B. 5.集合的运算：(1)交集：}.{B x A x x B A ∈∈=且I (2)并集:}.{B x A x x B A ∈∈=或Y （3）补集：}.{A x U x x A C U ?∈=且 6.充分条件、必要条件、充要条件 如果P Q ?,那么P 是Q 的充分条件，Q 是P 的必要条件。 如果P Q ?,那么P 是Q 的充要条件。也就是说，命题P 与命题Q 是等价命题。 有关概念：1.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。 2.数集有：自然数集N ，整数集Z ，有理数集Q ,实数集R 。 3.集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。 4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图 叫做文氏图。 2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷 、填空题（本大题共 12题，每题3分，共36分） 1. ______________________________________ （ 3分）抛物线x 2= 4y 的准线方程为 ? 2 2 2. _______________________________________________________________ （ 3分）若方程--,-表示椭圆，则实教 m 的取值范围是 ____________________________________ . r-m nrl 3. （ 3分）若直线11： ax+2y - 10 = 0与直线12： 2x+ （a+3） y+5 = 0平行，则11与12之间的 距离为 _______ . 4. （3 分）过点（3, 3）作圆（x - 2） 2+ （y+1） 2= 1的切线，则切线所在直线的方程为 _________________________________________________________________ 5. （ 3分）若一条双曲线与 先-一化 1有共同渐近线，且与椭圆 8 则此双曲线的方程为 ________ . 6. （ 3分）已知三角形 ABC 的顶点A （- 3, 0） , B （3, 0）,若顶点C 在抛物线y 2= 6x 上移 动， 则三角形ABC 的重心的轨迹方程为 ______________ . 为参数，0段）上的点，贝U ||PQ|的取值范围是 ________ . & （ 3分）已知直线1: 4x - 3y+8 = 0，若P 是抛物线y 2= 4x 上的动点，则点P 到直线l 和它 到y 铀 的距离之和的最小值为 ______________ 那么V ? 的最大值为 ___________ 10. （3分）若关于x 的方程71^2= I K -a I -a 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范 围是 _______ . n v 2 n 一一 11. （3分）已知直线I : ax+by = 0与椭圆 寸+士-二L 交于A, B 两点，若C （ 5,5），则口^（^ 的取值范围是 _______ . 7. （3分）设P , Q 分别为直线 （t 为参数，t CR ）和曲线:（0 9. （3分）如果M 为椭圆 c r 2 2 :二一上的动点, 2 2 N 为圆上的动点, 目录 一、集合与常用逻辑 二、不等式 三、函数概念与性质 四、基本初等函数 五、函数图像与方程 六、三角函数 七、数 列 八、平面向量 九、复数与推理证明 十、直线与圆 十一、曲线方程 十二、矩阵、行列式、算法初步 十三、立体几何 十四、计数原理 十五、概率与统计 补集： C U A {xx U 且x A} 3．集合关系 空集 A 子集 A B : 任意 x A x B 注：数形结合 --- 文氏图、数轴 4．四种命题 原命题：若 p 则 q 否命题：若 p 则 q 原命题 逆否命题 5．充分必要条件 p 是 q 的充分条件： P q p 是 q 的必要条件： P q p 是 q 的充要条件： p? q 6．复合命题的真值 ① q 真(假) ? “ q ”假(真) ② p 、q 同真 ? “ p ∧ q ”真 ③ p 、q 都假 ? “ p ∨ q ”假 7. 全称命题、存在性命题的否定 M, p(x )否定为 : M, p(X) M, p(x )否定为 : M, p(X) 并集： A B {x x A 或 x B} 一、集合与常用逻辑 1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集 U ：如 U=R 交集： A B {x x A 且x B} 逆命题：若 q 则 p 逆否命题：若 q 则 p 否命题 逆命题 二、不等式 1．一元二次不等式解法 若a 0，ax2 bx c 0有两实根, ( ) ，则ax2 bx c 0 解集( , ) ax2 bx c 0 解集( , ) ( , ) 注： 若a 0，转化为a 0 情况 2．其它不等式解法—转化 x a a x a x2 a2 x a x a 或x a x2 a2 f(x) 0 f (x)g(x) 0 g(x) a f(x) a g(x) f (x) g(x)( a 1) f (x) 0 log a f(x) log a g(x) (0 a 1) a a f (x) g(x) 3．基本不等式 ①a2 b 2 2ab ②若a,b R ，则 a b ab 2 注：用均值不等式a b 2 ab 、ab (a b)2 2 求最值条件是“一正二定三相等” 三、函数概念与性质 1．奇偶性 f(x) 偶函数 f ( x) f (x) f(x) 图象关于y 轴对称 f(x) 奇函数 f ( x) f(x) f(x) 图象关于原点对称注：① f(x) 有奇偶性定义域关于原点对称 ② f(x) 奇函数, 在x=0 有定义f(0)=0 ③“奇+奇=奇”(公共定义域内) 2．单调性 f(x) 增函数：x1 2015—2016学年第一学期高二标准化考试 数学试卷（直线与方程） 一、选择题（每小题5分，共50分） 1、过点(2,),(,4)M m N m 的直线的斜率等于1，则m 的值为（） （A ）1 （B ）4 （C ）1或3 （D ）1或4 2、经过(5,3),(5,5)M N 两点的直线l 的斜率和倾斜角分别是（） （A ）不存在，00（B ）0，0 0（C ）0，090（D ）不存在，0 903、已知直线:20l ax y 在,x y 轴上截距相等，则a （） （A ）1 （B ）1（C ）2或1（D ）2或1 4、过点(2,2),(2,2)A B 的直线方程为（） （A ）2y （B ）2 x （C ）40x y （D ）0 x y 5、已知两条直线12:(1)210,:30.l a x y l x ay 若12//l l ，则a （ ） （A ）2 （B ）1（C ）2或0（D ）1或2 6、直线3260x y 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，则（） （A ）3 ,32k b （B ）2 ,2 3k b （C ）3 ,32k b （D ）2 ,3 3k b 7、两直线240,2360x my mx y 的交点位于第二象限，则m 的范围（ ）（A ）322m （B ）3 2 2m （C ）322m （D ）3 22m 2015—2016学年第一学期高二标准化考试答题卡数学试卷（直线与方程）班级：_____ 姓名：________ 考号:_________ 一、选择题（每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（每小题5分，共20分）11、____________________ 12、____________________ 13、____________________ 14、____________________ 三、解答题（每小题10分，共30分）15、本小题10分（1）（2） 沪教版高二数学试题 一、曲线与方程 1．已知曲线C上点的坐标都是方程f（x，y）=0的解，则下列命题准 确的是（） A．坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上 B．方程f（x，y）=0是曲线C的方程 C．曲线C是满足方程f（x，y）=0的曲线 D．方程f（x，y）=0的曲线包含曲线C上任意一点 2．已知坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上，那么下列结论 准确的是（） A．曲线C上的点的坐标都适合方程f（x，y）=0 B．凡坐标不适合f（x，y）=0的点都不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程f（x，y）=0 D．不在曲线C上的点的坐标有的适合方程f（x，y）=0，有的不适合 方程f（x，y）=0 3．等腰△ABC中，若底边两端点坐标分别是B（4，2），C（－2，0），则顶点A的轨迹方程是（） A．x－3y+2=0（x≠1） B．3x―y―2=0（x≠1） C．3x+y－4=0（x≠1） D．3x－y+1=0（x≠1） 4．方程(|y|-x )(x--y2)=0的曲线是图21中的（） 5．曲线x+y-4ax+2ay-20+20a=0(a∈R)恒过定点，则定点的坐标为 ________________________________。 220γχ 6．由动点p向 + = 1 引两条切线PA、PB，切点为A，B, ∠APB=60 则22 p的轨迹方程___________________。 7．已知点A（－a，0），B（a，0）（a∈R），若动点C与点A、B构成直角三角形，试求直角顶点C的轨迹方程。 8．求由方程|2x+3|+|y－2|=3确定在多边形所围成的图形的面积S。 3y=x-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t，s单位长度 9．设曲线C的方程是 后得到曲线C1。 （1）写出的曲线C1方程； tsA() （2）证明曲线关于点22对称； （3）如果曲线C1和C有且仅有一个公共点，证明： 参考答案 1．D （点评：曲线与方程的定义应包含两条：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都是曲线上的点，因给出了曲线上的点的坐标都是方程的解，故以方程的解为坐标的点必都在曲线上，于是对照定义知，答案应选D） 2．C （点评：本题与上题是曲线与方程的定义中所要求的两个要求的不同表现，对于本题，设方程f（x，y）=0所表示的曲线为E，依题意有曲线E为曲线C的一部分，故不在曲线C上的点的必不适合方程f （x，y）=0） s=13t-t4，且t≠0。3．C （点评：设A（x，y），显 直线方程的其它形式（2） 教学目标 1．理解点斜式、截距式和一般式的基本含义，并进一步掌握它们的具体意义联系与区别； 2．会用待定系数法求直线方程，学会直线的方程综合运用。 教学过程 一、 复习与引入 1．复习：默写直线的斜截式方程、点斜式方程、截距式方程、两点式方程、法线式方程； 2．引入：请你说出以上的直线方程是关于y x ,的几次方程？ 揭示：关于y x ,的一次方程一定表示直线吗？直线的方程一定是关于y x ,的一次方程吗？ 说明：关于y x ,的一次方程一定表示直线（见教材14页，略）；直线的方程一定是一次方程；（略） 二、新课设计 1．直线的一般式方程：0=++C By Ax （B A ,不全为零） 说明：（1）分类讨论；（2）为什么B A ,不全为零；（3）强调一般式的规范写法（最简）。 2．应用举例 例1：已知原点到直线l 的距离为r ，且直线l 两坐标轴在第一象限交成的三角形的面积为3 322 r ，求直线l 的一般式方程。 说明：（1）两解023=-+r y x 或023=-+r y x ；（2）注意截距式、法线式的应用； （3）最后化为一般式。 例2：求被两直线0103=+-y x 及082=-+y x 所截得的线段平分于点)1,0(P 的直线方程。 说明：（1）044=-+y x ；（2）设所求直线为1+=kx y 时要注意讨论直线0=x ；（3）分析两交点的表达式；（4）利用平行四边形亦可 例3：直线l 过点)2,1(P ，且与x 轴、y 轴正方向于A 、B 两点，若OB OA +最小，求出直线l 的方程。 解法1：设所求的直线方程为1=+b y a x ，于是121=+b a ，1 2-=a a b ，那么 =+b a 32221 2+≥+-+a a ,当且仅当21+=a 时最小。此时22+=b 直线的方程为12 221=+++y x 解法2：设所求的直线方程为1=+b y a x ，于是121=+b a ， 223221)21)((+≥?+++=++=+b a a b b a b a b a ，（下略）； 解法3：设所求的直线方程为)1(2-=-x k y （0 11.1直线方程（1）-点方向式方程 一、教学目标： 1、理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系； 2、理解直线的方向向量的概念； 3、能根据已知条件求出直线的点方向式方程； 4、通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量可简化推导过程且有明确的几何意义。 二、教学重点：1、理解直线的方向向量的概念； 2、能根据已知条件求出直线的点方向式方程。 教学难点：理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系。 三、教学过程： 1、引入新课： 确定直线的条件 ? 两点确定一条直线 ? 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 ? 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 问：已知直线l 过定点 ，且与向量 平行，这样的直线是否唯一？ 引例：在直角坐标系中，点 ， 非零向量 ，直线l 经过点P 且与 平行，求直线l 的方程。 解：设Q （x,y ）是直线上任意一点，则 直线l 上的所有的点的坐标（x,y ）都满足方程（1） 反之，如果 是方程（1）的任意一个解，即 那么把坐标为 的点 作为终点，把P 作为起点，可 知向量 ，即点 在直线l 上。 以方程的所有解（x,y ）作为坐标的点都在直线l 上 方程（1）叫做直线l 的方程,直线l 是方程（1）的图形， 叫做直线l 的一 个方向向量。(注：方向向量有无数个) 2、提出概念： 1、当u 、v 都不为零时，（1）化为 我们把（2）叫做直线l 的点方向式方程。 2、当 时，（1）化为 表示经过点P ，且平行于y 轴的直线。 3、当 时，（1）化为 表示经过点P ，且平行于x 轴的直线。 00(,) PQ x x y y =--||,||l d PQ d 即00()()(1)x x v y y u ∴-=- P 1010()()x x v y y u ∴-=-00()()(1)x x v y y u -=-00()()(2)x x y y u v --=00(, )P x y (,)d u v =00(,)P x y d 11(,)x y 11(,)x y 1||PQ d 1Q 1Q (,)d u v =0,0u v =≠0,0u v ≠=00 x x -=00 y y -=高二数学_直线与方程典型习题教师版资料全
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