《概率论与数理统计》课后习题答案

第一章：

10．从0,1,2,,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =

‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不

含5’.

解3813107()15

C P A C ==.

333998233310101014

()15C C C P A C C C =+-=，或

182231014

()1()115

C P A P A C =-=-=，

2833107

()30

C P A C ==

. 16．设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，求()P AB 与()P A B

解()1()1()()0.3P AB P A

B P A P B =-=--=

因为,A B 不相容，所以A B ?，于是

()()0.6P A B P A ==

20．设()0.7,()0.3,()0.2P A P A B P B A =-=-=，求()P AB 与()P AB . 解0.3()()()0.7()P A B P A P AB P AB =-=-=-，

所以

()0.4P AB =，故 ()0.6P AB =；

0.2()()()0.4P B P AB P B =-=-.所以 ()0.6P B =

()1()1()()()0.1P AB P A B P A P B P AB =-=--+=

22．设AB C ?，试证明()()()1P A P B P C +-≤ [证] 因为AB C ?，所以

()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-

故

()()()1P A P B P C +-≤. 证毕.

19．设,,A B C 是三个事件，且1()()(),()()04

P A P B P C P AB P BC =====，1

()8P AC =，

求,,A B C 至少有一个发生的概率。

解()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ 因为0()()0P ABC P AB ≤≤=，所以()0P ABC =，于是

315()488

P A B C =

-= 22．随机地取两个正数x 和y ，这两个数中的每一个都不超过1，试求x 与y 之和不超过1，积不小于0.09的概率.

解01,01x y ≤≤≤≤，不等式确定平面域S .

A =‘1,0.09x y xy +≤≥’则A 发生的

充要条件为01,10.09x y xy ≤+≤≥≥不等式确定了S 的子域A ，故

0.90.10.9()(1)A P A x dx x

=--?的面积S 的面积

0.40.18ln30.2=-=

第二章

4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.

解设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =，则

345A B B B =++，

所求概率为

555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++5

1332415

133********

1686

C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.

解()()()() 1.1()(|) 1.10.40.7P A B P A P B P AB P A P B A =+-=-=-=

()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.

6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。

解设A =‘从乙袋中取出的是白球’，i B =‘从甲袋中取出的两球恰有i 个白球’0,1,2i =. 由全概公式

001122()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++

1122

232222555416131021025

C C C C C C C =?+?+?=. 7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。

解设A =‘第二次取出的均为新球’，

i B =‘第一次取出的3个球恰有i 个新球’0,1,2,3.i =

由全概公式

00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B P B P A B =+++

3312321333

6996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =?+?+?+? 5280.0895915

=≈. 17．三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是111

,,534

，求他们将此密码译出的

概率.

解1设A =‘将密码译出’，i B =‘第i 个人译出’1,2,3.i = 则

1231231213()()()()()()()P A P B B B P B P B P B P B B P B B =++=++--

23123111111111()()534535434

P B B P B B B -+=++-?-?-?

1113

0.65345

+??==. 35．一台仪器中装有2000个同样的元件，每个元件损坏的概率为0.0005，如果任一元件损坏，则仪器停止工作，求仪器停止工作的概率.

解考察一个元件，可视为一次贝努里试验，2000个元件为2000重贝努里试验。1np =，利用泊松逼近定理，所求概率为

20002000

20001

1()0.63216!

k k p p k e k -====≈∑∑

第三章

9．设随机变量X 的概率密度为

sin ,0,()0,c x x f x π<

其他.

求：（1）常数C ；（2）使()()P X a P X a >=<成立的a .

解（1）00

1()sin cos 2f x dx c xdx c x c π

+∞-∞

==-=?

?，1

c =

；（2）1111()sin cos cos 2222

a P X a xdx x a π

π>=

=-=+?， 001111()sin cos cos ,2222

a a

P X a xdx x a <==-=-?

可见cos 0a =，2

a π

∴=

13．设电子管寿命X 的概率密度为

2100

,100,

()0,100.x x

f x x ?>?=??≤?

若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y 的分布列；（3）Y 的分布函数。

解Y 为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，~(3,)Y B p ，其中

150

21001001

(150)3

p P X dx x =≤==?

，

（1）所求概率为23

121(2)(2)(3)333P Y P Y P Y C ????

≥==+==?+ ? ?????

727

=；

（2）Y 的分布列为33

12()33k

k P Y k C -????

== ? ?

????

，0,1,2,3,k =

即

01238126127272727

Y P

. （3）Y 的分布函数为

0,0,8,012720(),

12,2726,23,271, 3.

x x F x x x x

16．设随机变量~[2,5]X U ，现对X 进行3次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.

解设Y 为三次观测中，观测值大于3的观测次数，则~(3,)Y B p ，其中

532

(3)523

p P X -=>=

=-，所求概率为

21220

(2)(2)(3)33327

P Y P Y P Y C ??????≥==+==+= ? ? ???????

18．一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作了8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。解（1）设T 的分布函数为()T F t ，则

()()1()T F t P T t P T t =≤=->

事件()T t >表示两次故障的间隔时间超过t ，也就是说在时间t 内没有发生故障，故

()0N t =，于是

0()()1()1(()0)11,00!

t T t F t P T t P N t e e t λλλ--=->=-==-=->，

可见，T 的分布函数为

1,0,

()0,0.

t T e t F t t λ-?->=?≤?

即T 服从参数为λ的指数分布。（2）所求概率为

1688{16,8}(16)(16|8)(8)(8)P T T P T e P T T e P T P e

λλ--->>>>>====>>.