空间向量及其运算(理科 )

空间向量及其运算（理科 ）

一、 学习目标：

1、知识与技能：了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线与垂直 2、过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。

3、情感、态度、价值观：增强数学学习信心，体会数学的科学价值，获得学习的快乐。 二、知识梳理：：已知向量111222(,,),(,,)x y z x y z ==a b

1、±=a b

2、λa =

3、?a b =

4、共线向量定理：（1）//a b ()≠?0b ? （2）//a b 222(0)x y z ≠? （3）与)0(≠a a 共线的单位向量是

5、共面向量定理：

6、空间向量分解定理：

7、空间向量b a ,的数量积（1）夹角 ； （2）两个向量b a ,数量积的定义： ； （

3

）

两

个

向

量

b

a ,数量积的性

质 ， ， ， 。 （4）数量积满足

的运算

律： ， ， 。 8、两个向量的夹角及长度的计算：设),,(),,,(321321b b b b a a a a ==，

= ________，cos= ____________ 三、基础训练：

（1）在空间四边形OABC 中，,,,O A O B O C ===

a b c 点M 在OA 上，且OM=2MA ，N

是BC 的中点，则M N =

.

（2）已知,R λ∈a 为非零向量，则下列结论正确的是（ ）

（A ）λa 与a 同向 （B ）|λa |=λ|a | （C ）（λa ）//a (D) |λa |=|λ|a （3）设非零向量a ，b ，c ，,||

||

||

=

++a b c p a b c 那么||p 的取值范围是（ ）

（A ）[0,1] （B ）[1,2] （C ）[0,3] (D) [1,3]

（4）在平行六体A B C D A B C D ''''-中,AB=4,AD=3,5,AA '=90BAD ∠=

,

BAA '∠=60DAA '∠=

则AC '的长度为

四、合作、探究、展示：

例1、如图所示，在平行六面体A B C D A B C D ''''-中，,,A B A D == a b ,AA '=

c P 是C A '

的中点，M 是C D '的中点，N 是C D ''的中点，点Q 在C A '上，且:4:1,CQ QA '=

用基底{a ，b ，c }表示以下四个向量：（1）;A P （2）;A M （3）;A N （4）A Q

例2、 棱长为1的正方体111111B B B D,,DD G F E 分别是，，中，D C B A ABCD -的中点。

（1）求证：EF ⊥CF ； （2）求CG EF 与所成角的余弦； （3）求CE 的长。

例3、如图，在四棱锥P A B C D -中，P A ⊥平面A B C D ，底面A B C D 为矩形，且PA=AD,E 、F 分别为线段AB 、PD 的中点。求证：（1）AF//平面PEC ；（2）AF ⊥平面PCD.

【感悟提升】

五、课堂检测：、

1.已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )αααα==a b ，则向量+a b 与-a b 的夹角是（ ）

（A ）90 （B ）60 （C ）30 （D ）0 2.如果三点(1,5,

2),

(2,4,1),(,3,A B C a b -+在同一直线上，那么a = ，

b = 。

六、体验高考

1.（2009全国卷Ⅰ理）已知三棱柱

1

1

1

C B A ABC -的侧棱与底面边长都相等，1

A 在底面

A B C 上的射影为B C 的中点，则异面直线A B 与1

CC 所成的角的余弦值为

A 、

4

3 B 、

4

5 C 、

4

7 D 、

4

3

2.（2005年天津，理12）P A ⊥平面ABC ，PA=AC=BC=a ，90ACB ∠= ，异面直线PB

与AC 所成角的正切值为

七、课后作业

1.下列各组向量中不平行的是（ ）

（A ）(1,2,2),(2,4,4)=-=--a b （B ）(1,0,0),(3,0,0)==-c d （C ）(2,3,0),(0,0,0)==e f （D ）(2,3,5),(16,24,40)=-=-g h 2.下列条件使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）

（A ）2OM OA OB OC =-+ （B ）OM OA OB OC +++=0

（C ）111333

O M O A O B O C =+-

（D ）M A M B M C ++=0

3.下列命题中，正确的是（ ）

(A)若a 与b 共线，则a 与b 所在直线平行

（B ）若//a b ，则存在唯一的实数，使λ=a b

（C ）若{,,}a b c 为空间的一组基底，则{,,}+++a b b c c a 构成空间的另一组基底

（D ）若1123

O P O A O B =+

，则P 、A 、B 三点共线

4.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足,,,AB AC AC AD AB AD ?=?=?=000

则

B C D ? 是（ ）（A ）钝角三角形（B ）锐角三角形（C ）直角三角形（D ）不确定

5..已知空间四边形ABCD 中，2,565,A B C D =-=+-

a c a

b

c 对角线AC 、BD 的中点分别

为E 、F ，则EF

=

6.已知点A 、B 、C 的坐标分别为（0，1，0），（-1，0，1），（2，1，1），点P 的坐标为(,0,)x z ，

若,,PA AB PA AC ⊥⊥

则P 点的坐标为

7.在60 的二面角l αβ--中，,,A B αβ∈∈已知A 、B 到l 的距离分别是2和4，且AB=10， 求：（1）CD 的长度；（2）AB 和棱l 所成的角。

8、（A 层能力提升）.（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABC D -中，底面ABC D 为矩

形，SD ⊥底面ABC D ， AD =

2D C SD ==，点M 在侧棱SC 上，A B M ∠=60°

（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 . (II ）求二面角S AM B --的大小。