2019年度鼓楼区数学中考一模试卷及规范标准答案

【鼓楼区】2019 年中考模拟卷（一）

九年级数学

一、选择题

1．4 的算术平方根是（）

A． 2 B．2 C． 2

D．1

6

2．鼓楼区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑 15000 次.用科学记数法表示 15000 是（）

A． 0.15 106 B．1.5 105 C．1.5 104 D．15 103

3．计算a 2

a2 3 的结果是（）

A．a8 B．a8 C．a7 D．a7

4．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是

（）A．AB∥CD B．AB BC C．AC BD D．AC BD 5．下图是某家庭 2018 年每月交通费支出的条形统计图，若该家庭 2018 年月交通费平均支出为 a 元，则下列结论中正确的是（）

30

元

280

260

220

200

180

160

1月2月 3月4月5月6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月月份

（第5题）

A． 200 a 220 B． 220 a

240

C． 240 a 260D． 260 a

280

6．A、B两地相距 900km，一列快车以 200km/h 的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回 A 地，一列慢车以75km/h的速度从 B 地匀速驶往 A 地.两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距 200km 的次数是

（A．5 B．4 C．3

）

D．2

二、填空题

7．3的绝对值是．

8．若式子x 1 在实数范围内有意义，则x的取值范围

是．

9．计算 27 6

的结果是．

2

1 / 10

10．方程 1

2 的解是

．

x

2 x

11．正五边形的每个外角的大小是 °．

12．已知关于 x 的方程 x 2 mx 2 0 有一根是 2，则另一根是

， m

． 13．如图，AB ∥EG ∥CD ，EF 平分∠BED ，若∠D =69°，∠GEF =21°，则∠B =

°．

14．如图，圆锥底面圆心为 O ，半径 OA =1，顶点为 P ，将圆锥置于平面上，若保持顶点 P

位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点 A 恰好回到原处，则圆锥的高 OP = ．

15．如图，点 A 、B 、C 、D 在⊙O 上，B 是 AC 的中点，过 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长

线于点 E .若∠AEC =84°，则∠ADC = °．

A

B

A

D

E

G

O

O

F A

P

B

C

13

D

EC

（第14题）

15

（第 题）

（第 题）

16．在△ ABC 中，AB =5，AC =4，BC =3.若点 P 在△ ABC 内部（含边界）且满足

PC PA PB ,则所有点 P 组成的区域的面积为

．

三、解答题

3x 2x 2

．

17．（7 分）解不等式组

x 3 x

2 4

a

2

3

18．（7

分）计算

a 1

． a

1

a

1

19．（8 分）⑴解方程 x 2 x 1 0 ．

⑵在实数范围内分解因式 x 2 x 10的结果为___________．

2 / 10

20．（8 分）如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，点E在BC上

⑴求证△ABC≌△ADE； A

⑵求证∠EAC=∠DEB.

D

B E C

(第20题）

21.（8 分）

⑴两只不透明的袋子中均有红球、黄球、白球各 1 个，这些球除颜色外无其他差别.分

别从每个袋子中随机摸出一个球，求摸出两个球都是红球的概率.

⑵鼓楼区实施全面均衡分班，某校为七年级各班随机分配任课教师.已知该校七年级共有

10 个班，语文洪老师、数学胡老师都执教该年级，则他俩都任教七⑴班的概率

为.

22．（8 分）妈妈准备用 5 万元投资金融产品，她查询到有A、B两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益。例如：投资 100 元，第一周的周收益率为 5%，则第一周的收益为 100×5%=5 元，第二周投资的本金将变为 100+5=105 元.下图是这两款产品过去 5 周的周收益率公告信息.（第一周：3 月 1 日~3 月 7 日）

⑴若妈妈 3 月 1 日投资产品B，到第二周结束时会不赚不赔，这种说法对吗？请判断并

说明理由.

⑵请运用学过的统计知识，为妈妈此次投资金融产品提出建议并简要说明理由。

周期收益率产品A 产品B

10%

7% 6% 5% 2.9% 3.0% 2.9% 2.9%

0% 2% 1% 2.8%

2%

5%

10%

第一周第二周第三周第四周第五周

（第22题）

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23．（8 分）已知点A（1 , 1），B（2 , 3），C（4 , 7），请用两种不同的方法判断这三点是否在一条直线上.（写出必要的推理过程）

24．（8 分）已知：如图，在□ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF ⊥BD，垂足分别为 E、F.

⑴求证：四边形 GEHF 是平行四边形；

⑵已知 AB=5，AD=8。求四边形 GEHF 是矩形时 BD 的长.

25．某商品的进价是每件 40 元，原售价每件 60 元.进行不同程度的涨价后，统计了商品

售价（元/件）60 61 62 63 ···

利润（元）6000 6090 6160 6210 ···

⑴当售价为每件 60 元时，当天售出件；

当售价为每件 60 元时，当天售

出件.

⑵若对该商品原售价每件涨价 x 元（ x 为正整数）时当天售出该商品的利润为 y 元.

①用所学过的函数知识直接写出 y 与 x 之间满足的函数表达

式：.

②如何定价才能使当天的销售利润不等于 6200 元？

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26．如图①，一座石拱桥坐落在秦淮河上，它的主桥拱为圆弧形.如图②，乔宽AB为 8 米，水面 BC 宽16米， BC 表示的是主桥拱在水面以上的部分，点 P 表示主桥拱拱顶.小

明乘坐游船，沿主桥拱的中轴线向主桥拱行驶.

⑴图③是主桥拱在水面以上部分的主视图，请用直尺和圆规作出主桥拱在静水中的倒

影（保留作图痕迹，不写作法）.

⑵已知小明眼睛距离水平 1.6 米，游船的速度为 0.2 米/秒.某一时刻，小明看拱顶P

的仰角为 37°，4 秒后，小明看拱顶P的仰角为 45°.

（参考数据： sin 37 0.60 ， cos 37 0.80 ， tan 37 0.75 .）

①求桥拱 P 到水面的距离；

②船上的旗杆高1 米，某时刻游船背对阳光形式，小明发现旗杆在阳光下的投影所

在直线与航线平行且长为 2 米.请估计此刻桥的正下方被阳光照射到的部分的面积

（需画出示意图并标注必要数据）.

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27 . （9 分）把一个函数图像上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原

函数图像上纵坐标为0 的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图像，我们称这个过程为倒数变换.

例如：如图，将 y x 的图像经过倒数变换后可得到 y

1x的图像.特别地，因为y x 图像上纵坐标为0的点是原点，所以

该点不作变换，因此 y 1x的图像上也没有纵坐标为

0的点.

⑴请在下面的平面直角坐标系中画出 y x 1的图像和它经过倒数变换后的图像.

⑵观察上述图像，结合学过的关于函数图像与性质的知识，①猜想：倒数变换得到的图像和原函数的图像之间可能有怎样的联系？写出两个即可.

②说理：请简要解释你其中一个猜想.

1

⑶请画出函数y x

2

c （c 为常数）的大致图像.

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【鼓楼区】2019 年中考模拟卷（一）（答案）

九年级数学

题号 1

2 3

4 5 6

答案 B C A

D

C

A

二、填空题

题号 7 8 9 10

11 答案 3

x

1

2 3

x

4

72

题号 1

2 1

3 14

15 16 答案

x

1 ， 1

27

2 2

64

27

32

三、解答题

17． 2 x

1

a 2

2 1 3

a 2 a 1

1

18 ． a

1

a

a 1

a

1 2

4

a

2

a 1 a

19．⑴ x

1 5

x 1

5

1

2

2

2

1

5

1 5

⑵ x

x

2

2

2 2

20 ．⑴证明：∵AB =AD ，AC =AE ，BC =DE ∴△ABC ≌△ADE

⑵∵△ABC ≌△ADE ∴∠DAE =∠BAC

∴ DAE BAE BAC

BAE ∴∠EAC =∠DEB

21 ．⑴ P

13 13 19

11011001

⑵P 10

22．⑴这种说法不对。

设开始投资 x 元，则两周结束后总资产为：（x12%）（12%）

0.9996x x，所以并不是不赚不赔，而是赔了。

⑵选择 A 产品，因为由图可看出两个产品平均收益率相近，但 A 产品波动较小，方

差较小，且一直是正收益，说明收益比较稳健。

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23．结论：A 、B 、C 三点共线。

证明：

方法一：设 AB 两点所在直线的解析式为 y kx b ( k 0）

将 A 、B 两点坐标代入可求得 y 2 x 1，将 C 点坐标代入验证，当 x 4 时， y 7 ，说明点 C 也在直线 AB 上，即 A 、B 、C 三点共线。

方法二：通过点坐标求出线段长度，结合三边关系来证明

2

2 5 2 2

AB （2 1）

（3

1） ， AC （4 1）

（7

1）

3 5

BC 4 2 2 7 3

2

2 5 ，∴AB +BC =AC

∴A 、B 、C 三点共线

24．⑴∵在□ABCD 中,AD ∥BC 且 AD =BC

∴∠GDE =∠FBH

∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，且 G 、H 分别是 AD 、BC 的中点 ∴在 Rt △ADE 与 Rt △BCF 中， EG

12 AD GD , FH 12

BC HB ∴EG =FH ,∠GED =∠GDE ，∠FBH =∠BFH

∴∠GED =∠BFH ∴EG ∥FH

∴四边形 GEHF 是平行四边形 ⑵连接 GH

当四边形 GEHF 是矩形时，∠EHF =∠BFC =90°，又∵∠FBH =∠BFH ∴△EFH ∽△CBF

∴

CB

FH BF EF

由(1)可得，GA ∥HB ,GA =HB ∴四边形 GABH 是平行四边形 ∴GH =AB =5

∵在矩形 GEHF 中，EF =GH ，且 AB =5，AD =8

∴ 8

5

BF 4

∴ BF

325

∴BE =BF -EF =

325 5 75

在△ABE 和△CDF 中

AEB

CFD

ABE

CDF

∴△ABE ≌△CDF (AAS )

∴BE =DF = 7

5 3

2 7 39

∴BD=BF+DF =

5 5 5 8 / 10

25．⑴300；290

⑵① y 10x 2100x 6000

②由题意，令 y 6200，即10x2100x 60006200，解得55 x

55.

又x 为正整数，所以x 3、4、5、6、7.故定价为63、64、65、66、67元. 26．⑴如图所示.

⑵①当小明刚到桥拱顶正下方时，设桥拱顶到小明眼睛距离（即 PC）为 x 米.

tan 37 PC 3 AC 4 x

；tan 45

PC

1 BC

x；

AC 4 3 BC

AB AC BC

43 x x

0.24；解得：x 2.4.

则拱桥 P 到水面的距离 PE 为：2.4 1.64米.

P

C B A

E D

②如图，红色曲线与 BC 构成的图形即为所求区域（面积设为S），与阴影部分弓形

相比，水平长度不变，竖直距离变为其两倍，所以可以认为 S 为弓形的面积两倍由

①可得 OB 10，∠BOC106

∴S弓形=

106360

102

12

166=

2659

48

∴S 2 S弓形=

5309

96

9 / 10

27 ．⑴

⑵①猜想一：倒数变换得到的图像和原函数的图像之间如果存在交点，则其纵坐标为 1 或

1；猜想二：倒数变换得到的图像和原函数的图像的对称性相同，比如原函数是轴对称图

形，

则倒数变换的图像也是轴对称图形。

②猜想一：因为只有 1 和1的倒数是其本身，所以如果原函数存在一个点的纵坐标为 1 或

1，那么倒数变换得到的图像上必然也存在这样对应的点的纵坐标为 1 或-1，即两个函

数图像的交点。

⑶

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