微分选择填空题题库

1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子-_________。

４、若12(),(),

,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们

线性无关的充要条件是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'

()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有

的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

１、()M N y x x N ???-??= ()M N y x

y M ???-??=-

２、

2()()()dy

p x y Q x y R x dx =++

y y z =+

３

、

()()n dy

p x y Q x y dx =+

(1)()(,)n p x dx

n u x y y e --?

=

４、12[(),(),

,()]0n w x t x t x t ≠

５、1

11

10n n n n n n n d y d

dy

x a a a y dx dx

dx ---++

++=

６、()()t t C ψφ=

７、零 稳定中心

1、 形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ?分别为的连续函数。

2、 形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里

x

x Q x P 为)().(的连续函

数.n ，可化为线性方程。是常数。引入变量变换-------≠1.0

3、 如果存在常数使得不等式,0 L _____________对于

所有

称为利普希兹常数。都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R 上关于y 满足利普希兹条件。

4、 形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里

是常数。,,21a a

5、 设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ?φ=')()(t f x t A x +='的某一解，则它的任一解可表为)(t γ_____________-。

1)()(y x f dx dy ?= 2、n y x Q y x P dx dy

)()(+= z=n

y -1

3

),(),(21y x f y x f -2

1y y L -≤

4、011

1

11=++++----y a dx dy x a dx y d x a dx y d x n n n n n n n n

5、)()()(t t t ?φγ+=

1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。

２、当（ ）时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。

３、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果（ ）。

４、对毕卡逼近序列，())()(1≤--x x k k ??。 ５

、

解

线

性

方

程

的

常

用

方

法

有

（ ）。

６、若),,2,1)((n i t X i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（ ）。

７

、

方

程

组

x

t A x )(='（ ）。

８、若)(t φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t φ和)(t ψ具有关系：（ ）。

９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（ ）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（ ）。

１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（ ）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（ ）。当（ ）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（ ）。

１１、若)(t φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足

η=)(0t x 的解（ ）。

１、形如)

()(x g x f dx dy =的方程

)(1y g u = ２、

x N

y M ??=??

３、存在常数Ｌ>0，对于所有R y x y x ∈)(),,(2,211都有使得不等式

2

12,211)(),(y y L y x f y x f -≤-成立

４、k

k h

k ML !1-

５、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法 ６、

)

()(1t x c t x i n

i i ∑==，其中n c c c ,,2,1 是任意常数

７、

n 个线性无关的解)(),(),(21t x t x t x n 称之为x t A x )(='的一个基本解组

８、)(t ψ＝)(t φc )(b t a ≤≤c 为非奇异常数矩阵 ９、等于零

稳定中心

1．)()(x Q y x P dx dy

+=称为一阶线性方程，它有积分因子

?-dx

x P e )( ，其通解为 _________ 。

2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。

3． 若)(x ?为毕卡逼近序列{})(x n ?的极限，则有

)()(x x n ??-≤______ 。

4．方程2

2y x dx dy

+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经

过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。

5．函数组t

t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。

6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -

为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。

7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= _______是)()('

t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?=

_____

是)()('

t f x t A x +=的满足初始条件η?=)(0t 的解。

8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线

性方程组Ax x ='

的一个基解矩阵。

9．满足 _______ 的点),(*

*y x ，称为驻定方程组。

1．

)

)(()()(?+??

=-c dx e x Q e y dx

x P dx

x P

2．),(y x f 在R 上连续，存在0>L ，使

2121),(),(y y L y x f y x f -≤-，对于任意R y x y x ∈),(),,(21

3．1

)!1(++n n h

n ML

4．41

4

1≤

≤-

x 5．t

t

t

t t t

t t t e e e e e e e e e 22242----

6．

)

()()(1

t x t x c t x i n

i i -

=+=∑

7

．ds

s f s t t

t )()()(10

-ΦΦ?

ds

s f s t t t t t )()()()()(0

101?--ΦΦ+ΦΦη

8．[]n

t t t

v e v e v e

n λλλ,,,2121

9．0),(,0),(==y x Y y x X

1、 当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全

微分方程。

2、________________称为齐次方程。

3、求

dx

dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程

____________________的连续解。

4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹

条件，则方程),(y x f dx dy

=的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它

的存在范围内是__________。

5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无

关

的

充

要

条

件

是

__________________________________________。

6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一

个基本解组。

7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/

的基解矩阵，则expAt

=____________。

8、满足___________________的点（*

*,y x ），称为方程组的奇

点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定

的，对应的奇点称为___________。

1、x y x N y y x M ??=

??)

,(),( 2、)

(x y

f dx

dy = 3、y=0y +dx

y x f x

x

?0

),(

4、连续的

5、w []0)(),...,,(),(21≠t x t x t x n

6、n 个线性无关解

7、)0()(1

-ΦΦt

8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0 9、为零 稳定中心

1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2

2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件．

（A ）充分 （B ）必要 （C ）充分必要 （D ）必要非充分

3. 方程21d d y x y -=过点)

1,2(π共有（ ）个解．

（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三

4．方程

x

x y x y

+-=d d （ ）奇解．

（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个

5．方程y

x

y =

d d 的奇解是（ ）．

（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y

1、 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。

2、函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 。

3、若)(,),(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关

的

充

要

条

件

是 。

4

、形如

的方程称为欧拉方程。

5、若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )('=的基解矩阵，则)(t Φ和)(t ψ具有的关系： 。

6、若向量函数);(y t g 在域R 上 ，

则方程组0

000),;(),;(y y t t y t g dt dy

==?的解?存在且惟一。

7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零解是稳定的，对应的奇点称为 。

1、

形如)()(x Q y x P dx dy

+=的方程，?-dx

x P e )(，

?+??

=-)

)(()()(c dx e x Q e y dx x P dx

x P

2、 存在常数

0>L ，使得R y x y x ∈?),(),,(2211，有

2121),(),(y y L y x f y x f -≤-

3、 []0)(),(),(21≠t x t x t x w n

4、

n n n

dx y d x 11

11---+n n n dx y d x a 01=+++-y a dx dy x a n n 5、 C t t )()(Φ=ψ （C 为非奇异方程）

6、 连续且关于y 满足利普希兹条件

7、 等于零，稳定中心

1．方程x

x y x y

e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定

是 ．

2．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．

4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．

5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．

6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．

1．),(∞+-∞ 2．x x 2cos ,2sin 3．必要 4．充分 5．n 6．必要

1、

)(x y g dx dy =称为齐次方程，)()()(2x R y x Q y x P dx dy ++=称为黎卡

提方程。

2、如果),(y x f 在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件，则方程

),(y x f dx dy

=存在唯一的解)(x y ?=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满

足初始条件00)(y x =?，其中

),

min(M b

a h =，)

,(max ),(y x f M R y x ∈=。

3、若)(t x i =i (1，2，……，)n 是齐线性方程的n 个解，)(t w 为其

伏朗斯基行列式，则)(t w 满足一阶线性方程0)()()(1'

=+t w t a t w 。

4、对逼卡逼近序列，k

k k k x x k ML x x )(!)()(01

1-≤---??。

5、若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )('

=的基解矩阵，则)(t Φ和)(t ψ具有关

系C t t )()(Φ=ψ。

6、方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是

)(x N x N y M ?=??-??。有只含y 的积分因子的充要条件是)

(y M x

N

y M ?=-??-??。

7、方程

21

2-=y dx dy 经过)0,0(点的解在存在区间是),(+∞-∞。

1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。

2． 称为黎卡提方程，若

它

有

一

个

特

解

y(x),

则

经

过

变

换 ，可化为伯努利方程。

3．若?（x ）为毕卡逼近序列{})(x n ??的极限，则有?（x ）—

)

(x n ?≤

。

4．若)(t x i （i=1,2,┄,n ）是齐线形方程的n 个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则

w(t)满足一阶线性方

程 。

5．若)(t x i （i=1,2,┄,n ）是齐线形方程的一个基本解组，x(t)为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表

为 。

6．如果A(t)是n ×n 矩阵，f(t)是n 维列向量，则它们在 a ≤t ≤b 上满足

时，方程组x ˊ= A(t) x+ f(t)满足初始条件x （t 0）=η的解在a ≤t ≤b 上存在唯一。

7．若?（t ）和ψ（t ）都是x ˊ= A(t) x 的 基解矩阵，则?（t ）与ψ（t ）具有关系：

。

8．若?（t ）是常系数线性方程组x Ax '=的 基解矩阵,则该方程满足初始条件0()t ψη=的解()t ψ=_____________________

9.满足 _________________________________________的点（

**

,x y ），称为方程组的奇点。

10．当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部__________________________ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _______________________ 。

1.

()()dy

p x y Q x dx

=+

()p x dx

e

-?

()()(())

p x dx

p x dx

e Q x e dx c -?

?+?

2.

2()()()dy

p x y Q x y R x dx

=++

y y z =+

3.1(1)!n n ML h n ++

4. 1()0w a t w '+=

5.

1

()()()

n

i i i x t c x t x t ==+∑ 6． A(t) f(t)

连续

7．()(),det 0t t c c ?ψ=≠ 8。0()()()t t t ψ??η=

9．(,)(,)dx

X x y dt dy Y x y dt ?=???

?=??中X(x,y)=0,Y(x,y)=0 10.为0 稳定中心

1．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．

2．方程2

2d d y x x y

+=满足解的存在唯一性定理条件的区域

是 ．

3．),(y x f y '

连续是保证方程),(d d y x f x y

=初值唯一的

条件．

一条积分曲线.

4. 线性齐次微分方程组Y A Y

)(d d x x =的一个基本解组的个数不能

多于

个，其中R ∈x ，n R Y ∈．

5．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 ．

6．方程y

x x y

cos sin d d ?=满足解的存在唯一性定理条件的区域

是 ．

7．方程y

x x y

tan d d 2=的所有常数解是 ．

8．方程0d cos d sin =+y x y x y x 所有常数解是 ． 9．线性齐次微分方程组的解组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式0)(≠x W ．

10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个．

1．)()]()([1211x y x y x y C +- 2．xoy 平面 3．充分 4．n 5．线性无关 6．xoy 平面 7．πk y =， ,2,1,0±±=k 8． ,2,1,0,±±==k k y π； 或

,2,1,0,2±±=π+π

=

k k x

9．充分必要 10．n

1、 方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x 的积分因子的

充要条件是（ )

(x N x N

y M ?=??-?? ），有只含y 的积分因子的充要条件是 （ )(y M x N

y M ?-=??-?? ）。

2、

求dx dy

=f(x,y)满足00)(y x =φ的解等价于求积分方程

（y=y 0+?x

x

dx

y x f 0

),(）。

3、

方程2

2y x dx dy

+=定义在矩形域R:-22

2,2≤≤-≤≤y x 上，则经过点（0，0）的即位存在区间是（41

41≤

≤-

x ）。

4、

若X i (t)(I=1,2, ,n)是齐线性方程的 n 个解，W(t)

为伏朗斯基行列式，则W(t)满足一阶线性方程（W '(t)+a 1(t)W(t)=0）。

5、

若X 1(t), X 2(t) , X n (t)为n 阶齐线性方程的n 个

解，则它们线性无关的充要条件是（W[X 1

(t),

X 2(t) , X n (t)]≠0）。

6、

在用皮卡逐步逼近法求方程组'X =A （t ）

X+f(x),X(t

)=

η

的近似解时，则

ds

s f s s A t t

t k k )]()()([()(0

1++=?-?η?）。

1 微分方程0

)(

22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________

2 若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________

3 _________________________________________ 称为齐次方程.

4

如

果)

,(y x f ___________________________________________

,

则

),(y x f dx dy

=存在唯一的解)(x y ?=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满

足初始条件)(00x y ?=,其中

=h _______________________ .

5 对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常

数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.

6 方程2

2y x dx dy

+=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上 ,则

经过点 )0,0(的解的存在区间是 ___________________

7 若),.....2,1)((n i t x i =是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行

列

式

,

则

)

(t w 满足一阶线性方程

___________________________________

8 若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组,)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________

9 若)(x ?为毕卡逼近序列{})(x n ?的极限，则有≤-)()(x x n ?? __________________

10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．

11 1

2 )

()1

)((

y M x N y M φ=-??-??

3 形如)

(x y

g dx

dy =的方程 4 在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),

min(m b

a h =

5 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-

6 41

4

1≤

≤-x

7 0)(1'

=+w t a w

8

x

x c x n

i i i +=∑=1

9 1

)!1(++n n h n ML

10 形如)

()()(2x r y x q y x p dx dy

++=的方程 y z y +=

1．辨别题

指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)

（1） 22d d x y x y += （2）y x x x y sin d d += （3）

0d d d d 2d d 223344=+-x y

x y x y

（4）t x x x x =++ （5）2

23d d 1)d d (s r

s

r += （6）0d d 22=+x y y x

2、填空题(8%)

（1）．方程y x x y

tan d d =的所有常数解是___________.

（2）．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.

（3）.若方程M (x, y )d x + N (x, y )d y = 0是全微分方程，同它的通积分是________________.

（4）.设M (x 0, y 0)是可微曲线y = y (x )上的任意一点，过该点的切线在x 轴和y 轴上的截距分别是_________________.

3、单选题(14%)

（1）．方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ）. (A)可分离变量方程 （B ）线性方程 (C)全微分方程 （D ）贝努利方程

（2）．方程)

0(d d ∞≤≤=

y y x

y

，过点（0，0）有（ ）.

(A) 一个解 （B ）两个解 (C) 无数个解 （D ）三个解

（3）．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）. (A)y =±1, x =±1, (B) y =±1 (C) x =±1 (D) y =1, x =1

（4）．若函数y (x )满足方程0ln 2

=-+'x y y y x ，且在x =1时，y =1,

则在x = e 时y =( ).

(A)e 1 (B) 21

(C)2 (D) e

（5）．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间． （A ）n 维 （B ）1+n 维 （C ）1-n 维 （D ）2+n 维

（6）. 方程2d d +-=y x x y

（ ）奇解．

（A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个

（7）．方程3

2

3d d y x y

=过点)0,0(（ ）．

（A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解0=y （D ）只有两个解

1．辨别题

（1）一阶，非线性 （2）一阶，非线性 （3）四阶，线性

（4）三阶，非线性 （5）二阶，非线性 （6）一阶，非线性

2．填空题 （

1

）

．

,2,1,0,±±==k k y π

（2）．)()]()([1211x y x y x y C +-

（3）．??

=+y

y x

x y y x N x y x M 0

d ),(d ),(0 （4）．

y x y y y x '

-'

-

000

0,

3．单选题

（1）．B （2）．C （3）．A （4）．B （5）. A （6）. B 7. A

1.形如___________________称为变量可分离方程，它有积分因子 。

2.当__________________时，方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或全微分方程。且它只含x 的积分因子的充要条件是___________。有只含y 的积分因子的充要条件是_________________。

3. ____________________称为伯努利方程，它有积分因子______________ 。

4.方程,

222111x c x b x a x

c x b x a dx dy ++++=当0

1

1

11≠d c b a 时，通过_______________，

可化为奇次方程；当0

111

1=d c b a 时，令=u ______________，化为变量

分离方程。

5. ______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解

()x y ，则经过变换_________________，可化为伯努利方程。

6.函数()y x f ,称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数L>0,使()()R y x y x ∈?21,,,，使不等式_____________________。

7.如果()y x f ,___________________________，则()y x f dx dy

,=存在

唯一解(),x y ?=定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件

(),00x y ?=其中=h

_________________。

8.设()x y ?=是方程()y x f dx dy

,=的定义于区间h x x x +≤≤00上，满足

初始条件(),00x y ?=的解，则()x y ?=是积分方程____________________的定义于h x x x +≤≤00上的连续解

9.微分方程的某一个解称为奇解，如果_____________________________,也就是说奇解是这样的一个解，在它上面的每一点唯一性都不成立。

10.方程x dx dy

ln 1+=满足条件()01=y 的解的存在区间是

________________。

1、()()y x f dx dy

?=的方程 ()y ?1