2019-2020学年上海七宝中学高二上学期数学期末试卷
七宝中学高二期末数学试卷
2020.01
一. 填空题
1. 直线l 的倾斜角范围是
2. 方程22
14x y m
+=表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是 3. 抛物线2y ax =（0a ≠）的焦点坐标为
4. i 对应点的直线的倾斜角为
5. 下面四个命题：①a 、b 是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数；②任何两个
复数不能比较大小；③若12,z z C ∈，且2212
0z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数；其中正确的序号为
6. 已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积为
7. 已知直线l 经过点(2,1)P -，且点(1,2)A --到直线l 的距离是1，则直线l 的方程是
8. 直线2y k =与曲线2222918||k x y k x +=（k ∈R ，0k ≠）的公共点的个数为
9. 当实数a 、b 变化时，两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过同一个定点，则点(,)m n 所在曲线的方程为
10. 动点P 到点(1,0)F -的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是
11. 椭圆2
214
x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终 与一定圆相切，则定圆的方程是
12. 实数x 、y 满足x -=x 的取值范围是
二. 选择题
13. 已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2)a =，(,32)b m m =-，且平面内的任一向量c 都
可以唯一的表示成c a b λμ=+（λ、μ为实数），则实数m 的取值范围是（ ）
A. (,2)-∞
B. (2,)+∞
C. (,)-∞+∞
D. (,2)(2,)-∞+∞
14. 椭圆22
:1169
x y C +=与直线:(21)(1)74l m x m y m +++=+（m ∈R ）的交点情况是 （ ）
A. 没有交点
B. 有一个交点
C. 有两个交点
D. 由的取值而确定
15. 过点(1,1)P 作直线与双曲线2
2
12y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 的中点，则这 样的直线（ ）
A. 存在一条，且方程为210x y --=
B. 存在无数条
C. 存在两条，且方程为2(1)0x y ±+=
D. 不存在
16. 已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A 、B 、C ，其中0OA OB ?=，存在实数λ、μ满足0OC OA OB λμ++=，则λ、μ的关系为（ ）
A. 221λμ+=
B.
111λμ+= C. 1λμ= D. 1λμ+=
三. 解答题
17. 已知x ∈R ，设22log (3)ilog (3)z x x =++-，当x 为何值时；
（1）在复平面上z 对应的点在第二象限？
（2）在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上.
18. 已知直线l 与抛物线22y px =（0p >）交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y .
（1）求证：若直线l 过该抛物线的焦点，则212y y p ?=-；
（2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断.
19.（1）若圆C 的方程是222x y r +=，求证：过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=；
（2）若圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程
为 ，并证明你的结论.
20. 已知双曲线2
212
x y -=的两焦点为1F 、2F ，P 为动点，若12||||4PF PF +=. （1）求动点P 的轨迹E 方程；
（2）若1(2,0)A -、2(2,0)A 、(1,0)M ，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R 、Q 两点，直线1A R 与2A Q 交于点S ，试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论，若不是，请说明理由.
21. 已知椭圆E 两个焦点1(1,0)F -、2(1,0)F ，并经过点22
. （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）设M 、N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，1(,0)A x 、2(,0)B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线AM 、NB 的交点P 仍在椭圆E 上；
（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.
参考答案
一. 填空题
1. [0,)π
2. (0,
3. 1(0,)4a
4. y =
5. （4）
6.
7. 2x =-或4
533
y x =-- 8. 4个 9. 226n m =- 10. 24y x =- 11. 224x y += 12. [4,20]{0}
二. 选择题
13. D 14. C 15. D 16. A
三. 解答题
17.（1）32x -<<-；（2）x =18.（1）证明略；（2）逆命题：若212y y p =-，则直线过抛物线的焦点，真命题.
19.（1）证明略；（2）00()()()()0x a x a y b y b --+--=.
20.（1）2
214
x y +=；（2）4x =. 21.（1）2
212
x y +=；（2）证明略；（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线AM 、NB 的交点P 仍在椭圆E 上.