算法设计与分析总结

第一章绪论 1、重要特性 1.输入 2.输出 3.有穷性 4.确定性 5.可行性

2、描述算法的方法

1.自然语言：优点是直观易懂，缺点是容易出现二义性

2.流程图：优点是直观易懂，缺点是严密性不如程序设计语言，灵活性不如自然语言

3.程序设计语言：优点是计算机直接运行，缺点是抽象性差

4.伪代码：

3、递归算法分析 1.猜测技术

2.扩展递归技术

3.通用分治递归推式

1

1

)/()(>=??

?

+=n n cn

b n aT

c n T k

k k

k k a b k b a b a b a n O n O n O n T a

b <=>??

???=)()log ()()(log

第二章 NP 完全理论

第三章蛮力法

3.1 蛮力法的设计思想

蛮力法依赖的基本技术——扫描技术，即采用一定的策略将待求解问题的所有元素依次处理一次，从而找出问题的解; 关键——依次处理所有元素。

3.2 查找问题中的蛮力法 3.2.1 顺序查找O(n) 3.2.2串匹配问题 BF O(n*m) BMP O(n+m)

else j t t t t t t j k k j next j k j k j k 11}"""&"1|max{0][121121=??

?

??

=<≤=-+-+--

BM O(n*m)

else m j c t j j m

j m c dist j }

11&|max{)(-≤≤==???-=

3.3 排序问题中的蛮力法

3.3.1 选择排序O(n 2

)

3.3.2 起泡排序O(n 2

) 3.4 组合问题中的蛮力法 3.4.1 生成排列对象O(n!)

3.4.2 生成子集O(2n

)

3.4.3 0/1背包问题O(2n

) 3.4.4 任务分配问题O(n!) 3.5 图问题中的蛮力法 3.5.1 哈密顿回路问题O(n!) 3.5.2 TSP 问题O(n!)

3.6 几何问题中的蛮力法

3.6.1 最近对问题O(n 2

)

3.6.2 凸包问题O(n 3

)

3.7 实验项目——串匹配问题

第四章分治法

4.1 分治法的设计思想

设计思想：将要求解的原问题划分成k 个较小规模的子问题，对这k 个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再将每个子问题划分为k 个规模更小的子问题，如此分解下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止，再将子问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原问题的解。 步骤：（1）划分（2）求解子问题（3）合并

4.2 排序问题中的分治法 4.2.1 递归排序O(nlog 2n) 4.2.2 快速排序O(nlog 2n) 4.3 组合问题中的分治法

4.3.1 最大字段和问题O(nlog 2n)

4.3.2棋盘覆盖问题O(4k

)

4.3.3 循环赛日程安排问题O(4k

) 4.4 几何问题中的分治法 4.4.1 最近对问题O(nlog 2n) 4.4.2 凸包问题O(nlog 2n) 4.5 实验项目——最近对问题

第五章减治法

5.1 减治法的设计思想

原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中，所以，只需求解其中一个较小规模的子问题就可以得到原问题的解。

5.2 查找问题中的减治法 5.2.1 折半查找O(log 2n) 5.2.2 二叉查找树O(log 2n) 5.3 排序问题中的减治法 5.3.1 堆排序O(log 2n) 5.3.2 选择问题O(log 2n) 5.4 组合问题中的减治法 5.4.1 淘汰塞冠军问题O(n) 5.4.2 假币问题O(log 2n)

5.5 实验项目——8枚硬币问题

第六章动态规划法

6.1动态规划法的设计思想

将待求解问题分解成若干个相互重叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一个阶段，将子问题的解求解一次并填入表中，当需要再次求解此子问题时，可以通过查表获得该子问题的解而不用再次求解。 步骤：

将原始问题分解为相互重叠的子问题，确定动态规划函数； 求解子问题，填表；

根据表，自底向上计算出原问题的解。

6.2 图问题中的动态规划法

6.2.1 TSP 问题O(2n

)

)

({}),()'})}({',(min{)',(i k c k d V k k V k d c V i d ki ik ≠=∈-+=

6.2.2 多段图的最短路径问题O(n+m)

]

[cos ][)]}([cos min{][cos j t c i path n j i j t c i t ij ij +=≤≤+=

6.3 组合问题中的动态规划法 6.3.1 0/1背包问题O(n*C)

∑∑==?????

≤≤∈≤n

i i

i

i

n

i i i x v

n i x C x w 1

1

max

)1}(1,0{

i

i i i w j w j v w j i V j i V j i V j i V j V i V ≥

?

+----===}),1(),,1(max{),1(),(0

),0()0,( ),1(),(),1(),(,10j i V j i V j i V j i V w j j x i i ->-=?

??

-==

6.3.2 最长公共子序列问题O(n*m)

1,1,]}][1[],1][[max{1]1][1[]][[)1,1(0]][0[]0][[]0][0[≥≠≥=??

?--+--=≤≤≤≤===j y x i y x j i L j i L j i L j i L n j m i j L i L L j i j i . ]][1[]1][[&]

][1[]1][[&321

]][[j i L j i L y x j i L j i L y x y x j i S i i i i i i -<-≠-≥-≠=??

?

??=

6.4 查找问题中的动态规划法

6.4.1 最优二叉查找树O(n^3)

∑

=≤≤≤≤≤+

++-=≤≤=+≤≤=-j

i

s s i j k i n j i p j k C k i C j i C n i p i i C n i i i C )

,1}(),1()1,(min{),()

1(),()11(0)1,(

6.4.2 近似串匹配问题

i

i i i t p j i t p j i j i j i D j i D j i D j i D j i D j i D i j i D ≠>>=>>==???

?

?

?

?

+-+-+--+-+---=,0,0,0,000}1)1,(,1),1(,1)1,1(min{}1)1,(,1),1(),1,1(min{0),(

6.5 实验项目——最大子段和问题

第七章贪心法

7.1 贪心法的设计思想

贪心法在解决问题的策略上目光短浅，只根据当前已有的信息就做出局部最优选择，而且一旦做出了选择，不管将来有什么结果，这个选择都不会改变。 贪心法的关键在于决定贪心策略。

7.2 图问题中的贪心法 7.2.1 TSP 问题O(2n

) 7.2.2 图着色问题

7.2.3 最小生成树问题O(2n

) 7.3 组合问题中的贪心法 7.3.1 背包问题O(nlog 2n)

7.3.2 活动安排问题O(nlog2n)

7.3.3 多机调度问题O(n*m)

7.4 实验项目——哈夫曼编码

第八章回溯法

8.1 回溯法的设计思想

从解空间树根结点出发，按照深度优先策略遍历解空间树，在搜索至树中任一结点时，先判断该结点对应的部分解是否满足约束条件，或者是否超出目标函数的界，也就是判断该结点是否包含问题的（最优）解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的搜索，即所谓剪枝（Pruning）；否则，进入以该结点为根的子树，继续按照深度优先策略搜索。直到搜索到叶子结点，则得到问题的一个可能解。

步骤：

确定解向量和分量的取值范围，构造解空间树；

确定剪枝函数；

对解空间树按深度优先搜索，搜索过程中剪枝；

从所有的可能解中确定最优解。

8.2 图问题中的回溯法

8.2.1 图着色问题

8.2.2 哈密顿回路问题

8.3 组合问题中的回溯法

8.3.1 八皇后问题

8.3.2 批处理作业调度问题

8.4 实验项目——0/1背包问题

第九章分支界限法

9.1 分支限界法的设计思想

1）首先确定一个合理的限界函数，并根据限界函数确定目标函数的界[down, up] ，并确定限界函数；

2）然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算这些孩子结点的限界函数的可能取值；

3）如果某孩子结点的限界函数可能取得的值超出目标函数的界，则将其丢弃；否则，将其加入待处理结点表（以下简称表PT）中；

4）依次从表PT中选取使限界函数的值是极值的结点成为当前扩展结点；

5）重复上述过程，直到找到搜索到叶子结点，如果叶子结点的限界函数的值是极值，则就是问题的最优解，否则，找到其他极值结点重复扩展搜索。 步骤： 确定解空间树 确定限界函数

按广度优先搜索解空间树，计算限界函数的值，填入PT 表

从PT 表中寻找极值，继续扩展结点，直到找到限界函数值为极值的叶子结点。

9.2 图问题中的分支限界法 9.2.1 TSP 问题

∑∑

∑

-=?∈++

+

=1

1

12/)min ]][[2(k i U

r j U

r i i j i r r r c lb

9.2.2 多段图的最短路径问题

∑∑+=+=++

+=

k

i j p i i

j j j

v r c r r

c lb 2

11

1min

]}][[min{]][[

9.3 组合问题中断饿分支限界法 9.3.1 任务分配问题

∑+=+

=n

i k v lb 1

min

9.3.2 批处理作业调度问题

5

9.4 实验项目——电路布线问题

第十章概率算法