高等数学大一期末试卷(B)及答案

中国传媒大学

2009-2010学年第 一 学期期末考试试卷（B 卷）

及参考解答与评分标准

考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2009级工科各班 考试方式： 闭卷

命题教师：

一. 填空题（将正确答案填在横线上。本大题共3小题，每小题3分，总计9分 ）

1、0)(0='x f 是可导函数)(x f 在0x 点处取得极值的 必要 条件。

2、设)20()

1tan(cos ln π

<

，确定函数)(x y y =，则

=dx

dy

)1(sec cot 2t t e t e +-。 3、=++?5

22x x dx C x ++21

arctan 21。

二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在

题末的括号中。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分）

1、，则，若设0)(lim 1

3

4)(2=++-+=∞→x f b ax x x x f x )

44()()44()()44()()44).((，．；　，．；　，．；　，）可表示为，的值，用数组（，----D C B A b a b a

答( B ) 2、下列结论正确的是（ ）

)(A 初等函数必存在原函数；

)(B 每个不定积分都可以表示为初等函数； )(C 初等函数的原函数必定是初等函数； )(D C B A ,,都不对。

答( D )

3、若?-=x e x

e dt t

f dx

d 0)(，则=)(x f

x

x e D e C x B x A 2222)( )()( )(-----

答( A )

三. 解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限0lim →x x

x

x 3sin arcsin -。

解：

lim

→x =-x

x

x 3

sin arcsin 0

lim

→x 3

arcsin x x

x - （3分）

lim

→=x

31112

2

=--

x x 0

lim

→x ()

()x

x x

6212

12

3

2---6

1-

=。

（5分）

2、2tan ln x y =,求dx

dy 。 解

:

2sec 212

tan 1

2x

x y ??=

' （3分）

x

x x x csc sin 1

2

cos

2sin 21==?=

。

（5分）

四. 解答下列各题 （本大题共3小题，每小题8分，总计24分 ）

1、设 .0,1,01

)(???

??=≠-=x x x

e x

f x ， 求)0(f '。 解：0

)

0()(lim )0(0

--='→x f x f f x

（3分）

=--=--→→lim lim []

x x x x e x x e x x 002

1

110

0 （5分）

2

1

21lim 0=

-=→x e x x 。

（8分）

2、证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中

0,0>>b a ）。

证：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续。 （2分）

又0

)0(>=b f ，

]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f 。

（4分）

若0)(=+b a f ，则结论成立。

（6分）

若

0)(<+b a f ，则由零点定理

0)(),0(=+∈?ξξf b a 使得。

总之，方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根。 （8分）

3、证明不等式：当2

0π

<+。

证：令x

x x x f 2tan sin )(-+=，

（2分）

2sec cos )(2

-+='x x x f ，

)1sec 2(sin sec tan 2sin )(3

2-=+-=''x x x x x x f 。

显然，当

2

0π

<

)(>''x f 。

（5分）

)(x f '∴在)2,0(π

内单调增加。又0)0(='f ，

)(x f '∴在

)2,0(π

内大于零。 )(x f ∴在)2

,0(π

内单调增加。而)0(f =0， )(x f ∴在)2,0(π

内恒大于零。

（7分）

即当2

0π

<-+=x x x x f ，

即.

2tan sin x x x >+。

（8分）

五. 解答下列各题 （本大题共3小题，每小题8分，总计24分 ）

1、试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3

π

=x 处取得极值？

它是极大值还是极小值？并求出此极值。

解：x x a x f 2cos 32

cos )(+='，令0)(='x f ，则

02cos 3

2cos =+x x a ， 即x x a cos /2cos 3

2

-=。

3

π

=

x 时)(x f 取得极值。

3

2

3cos /32cos 32=-=∴ππa ，

（4分）

x x x x a x f 2sin 3

4

sin 322sin 34sin )(--=--=''，

033

2sin 343sin 32)3(<-=--=''πππf ，

（6分）

)(x f ∴在3

π

=x 处取得极大值，其值为

2

3

。

（8分）

2、求不定积分x x

x

x d cos 12sin sin 2?++。 解：???+-++-=++x

x

d x x d dx x x x 2222cos 1cos cos 1cos cos 12sin sin

（5分）

()C

x x ++--=2

cos 1ln )arctan(cos 。

（8分）

3、计算积分?--++212

12

8

])1(ln 1

sin [

dx x x x 。 解：

?

--++212

128])1(ln 1

sin [dx x x x dx x ?--+=212

1)1ln(0

（4分）

dx

x dx x ??---=-210

2

1)1ln()1ln(

（6分）

2

1ln 23ln 23+=

。

（8分）

六. 解答下列各题 （本大题共4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分dx x x x ?+--6

55

22。

解：

??+-+-=+--65)

65(6552222x x x x d dx x x x

（3分）

C

x x ++-=)65ln(2。

（6分）

2、计算积分．?1

0arctan xdx

解：．?1

0arctan xdx ?+-=1

2

1

1arctan dx x x

x x （4分）

=-+??????π

412120

1

ln()x =

-π

41

2

2ln 。 （6分）

3、求曲线 dt t y x

?-=2

cos π （2

2

π

π

≤

≤-

x ）的长度。

解： '=y x cos ,

??

-

-+='+=22

2

2

cos 112

π

πππdx x dx y S

（3分）

42sin 242cos 222

2

===?π

π

x dx x

。

（6分）

4、求微分方程x

e x y y 525-+='+''的一个特解。

解：特征方程0

52=+r r 的根为

r r 1205==-,。

（2分）

故设特解为y x Ax B Cxe p x

=++-()5，

（4分）

代入方程得y x x xe p x =---1

25

52525()。

（6分）