测量误差理论的基本知识习题答案
测量误差的基本知识
一、填空题：
1、真误差为观测值减去真值。
2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。
3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因产生的。
4、距离测量的精度高低是用—相对中误差—来衡量的。
5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。
6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为_误差传播定律。
7、权等于1的观测量称单位权观测。
8权与中误差的平方成反比。
9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为112.329m，则相对误差为1/7488。
10、用经纬仪对某角观测4次，由观测结果算得观测值中误差为土20〃,则该角的算术平均值中误差为—10”
11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200,则该线段中误差为_9.4 mm _。
12、设观测一个角度的中误差为土8〃，则三角形内角和的中误差应为±13.856 〃。
13、水准测量时，设每站高差观测中误差为土3mm若1km观测了15个测站，则1km的高差观测中误差为11.6mm 1公里的高差中误差为11.6 mm
二、名词解释：
1、观测条件----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。观测者视觉鉴别能力和技
术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。
2、相对误差K----是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为1的分式表示
3、等精度观测----是指观测条件（仪器、人、外界条件）相同的各次观测。
4、非等精度观测----是指观测条件不同的各次观测。
5、权----是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。
三、选择题：
1、产生测量误差的原因有（ABC ）。
A、人的原因
B、仪器原因
C、外界条件原因
D、以上都不是
2、系统误差具有的性质是（ABCD ）。
A、积累性
B、抵消性
C、可消除或减弱性
D、规律性
3、衡量精度高低的标准有（ABC ）
A、中误差
B、相对误差
C、容许误差
D、绝对误差
4、误差传播定律包括哪几种函数（ABCD ）
A、倍数函数
B、和差函数
C、一般线性函数
D、一般函数
5、用钢尺丈量两段距离，第一段长1500m第二段长1300m中误差均为+22mm问哪一段的精度高（A ）
A、第一段精度高，B 、第二段精度高。 C 、两段直线的精度相同。
6、在三角形ABC
中，测出/ A和/ B,计算出/
C。已知/ A的中误差为+4"，Z B的中误差为+3"，求/ C的中误
差为（C)
A +3 〃B、+4" C 、+5" D 、+7 "
7、一段直线丈量四次，其平均值的中误差为+10cm,若要使其精度提高一倍，问还需要丈量多少次（C ）
A 4 次
B 、8 次
C 、12 次
D 、16 次
8用经纬仪测两个角，/ A=10° 20.5 '/ B=81° 30.5 '中误差均为土0.2 '，问哪个角精度高（C ）
A.、第一个角精度高B、第二个角精度高C、两个角的精度相同
9、观测值L和真值X的差称为观测值的（D ）
A、最或然误差 B 、中误差C 、相对误差 D 、真误差
10、一组观测值的中误差m和它的算术平均值的中误差M关系为：（C ）
M
m m m
A M m
B 、 . n
M ——
M
C 、
. n D 、
.n 1
m
一
11、在误差理论中，公式
■ n 中的△表示观测值的：(C )
A 、最或然误差
B 、中误差
C 、真误差
D 、容许误差
四、 判断题：(正确的在括号内打 V,打错误的打X )
(V ) 1、测量成果不可避免地存在误差，任何观测值都存在误差。 (X ) 2、观测条件好，则成果精度就高；观测条件差，则成果精度就低。 (V ) 3、观测误差与观测成果精度成反比。
(V )4、产生系统误差的主要原因是测量仪器和工具构造不完善或校正不完全准确。
(X ) 5、系统误差和偶然误差通常是同时产生的，当系统误差消除或减弱性后，决定观测精度的主要是偶然误 差。
(V ) 6、偶然误差不能用计算改正或一定的观测方法简单地消除，只能根据其特性来改进观测方法并合理地处理 数据，加以
减少影响。
(X) 7、在相同观测条件下，对某一量进行一系列观测，若误差的大小和符号保持不变，或按一定的规律变化， 这种误差称为偶然误差。
(V ) 8、误差的绝对值与观测值之比称为相对误差。 (V ) 9、中误差、容许误差、闭合差都是绝对误差。
(V ) 10、用经纬仪测角时，不能用相对误差来衡量测角精度，因为测角误差与角度大小无关。
(V ) 11、在相同的观测条件下，算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比。 (V ) 12、误差传播定律是描述直接观测量的中误差与直接观测量函数中误差之间的关系。 (V ) 13、在观测条件不变的情况下，为了提高测量的精度，其唯一方法是增加测量次数。 五、 简答题
1、 什么叫观测误差？产生观测误差的原因有哪些？
答：(1)、观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种差异称为测量误差或观测误差。
(2) 、测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。观测误差来源于以下三个方面：观 测者视觉鉴
别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。通常我们把这三个方面综合起来, 称为观测条件。观测条件将影响观测成果的精度。
2、 什么是粗差？什么是系统误差？什么是偶然误差？
答：粗差：是疏忽大意、失职造成的观测误差，通过认真操作检核是可消除的。
系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、方向、符号上表现岀系统性并按一定的规 律变化或为常数，这种误差称为系统误差。
偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差表现岀偶然性，单个误差的数值、大小和符号变化 无规律性，事先不能预知，产生的原因不明显，这种误差为偶然误差。 3、 偶然误差有哪些特性？
答：(1)、在一定条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的界限
(有限性)；
(2) 、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差岀现的机会多
(单峰性)；
(3) 、绝对值相等的正误差与负误差岀现的机会相等， (对称
性)；
(4) 、偶然误差的平均值，随着观测次数的无限增加
而趋近于零，
(抵偿性)。
4、 举例说明如何消除或减小仪器的系统误差？
答：在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有两种：一是在观测方法和观测程序上采用必要的措施，限
制或削弱系统误差的影响，如角度测量中采取盘左、盘右观测，水准测量中限制前后视视距差等，另一
种是找岀产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的改正，如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和
倾斜改正，对竖直角进行指标差改正等。
5、写岀衡量误差精度的指标。
答：(1)、平均误差：在一定条件下的观测系列中，各真误差的绝对值的平均数，
即P:9= [| △|] /n
(2)、中误差：在一定条件下的观测系列中，各真误差平方和的平均数的平方根：
m亠[VV]/n
(3)、允许误差(极限误差)：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过某一定限值，通常以三倍中误
差或二倍中误差为极限值，称此极限值为允许误差。
(4)、相对误差：是误差的绝对值与相应观测值之比。
6、等精度观测中为什么说算术平均值是最可靠的值？
答：这是因为：设对某量进行了n次观测，其观测值分别为LI，L2,……Ln
(1)、其算术平均值为L = (LI + L2 +……+ Ln)/n = [L] /n，设该量的真值为X;
(2)、真误差为：△ 1 = L1-X，A 2= L2-X，……△ n = Ln-X，等式两边相加并各除以n，即：
[△ ] /n = [L]/n - X;
Lim
(3)、当观测次数无限增加时.有n[ △ ] / n = 0;
Lim L
(4)、所以：n= X;
所以说算术平均值是真值的最优估值。
7、从算术平均值中误差(M的公式中，使我们在提高测量精度上能得到什么启示？
答：从公式可以看岀，算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比。因此增加观测次数可以提高箕术平
均值的精度。当观测值的中误差m=1时，算术平均值的中误差M与观测次数n的关系如图5-4所示。由图可以
看出，当口增加时，M减小。但当观测次数口达到一定数值后(如n=io)，再增加观测次数，工作量增加，但提
高精度的效果就不太明显了。故不能单纯以增加观测次数来提高测量成果的精度，应设法提高观测值本身的精度。
例如，使用精度较高的仪器、提高观测技能、在良好的外界条件下进行观测等。
8写岀误差传播定律的公式，并说明该公式的用途。
答：设一般函数，Z= (Xl，X2，……Xn)，式中X1, X2，……X。为可直接观测的量，m1, m2,……mn为各观
测量相应的中误差，则：函数Z的中误差为计算式：
mZ =± ,( F/ XJ2m2( F/ X2)2m2 ( F/ X n)2m：
此式就是误差传播定律。
可以用各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。
六、计算题：
1、设对某线段测量六次，其结果为312.581m、312.546m、312.551m、312.532m、312.537m、312.499m。试求算术平均值、观测值中误差、算术平均值中误差及相对误差。
解：算术平均值L —b -------------- * — =312.541 m
n n
观测值中误差：m=±
：[VV]/(n 1)=± 0.0268 ;
算术平均值中误差：M L =m/ '-n土0.011 （m）；
结果：312.541 ± 0.011 相对误差：K 一
D
2、已知DJ6光学经纬仪一测回的方向中误差m=± 6〃，问该类型仪器一测回角值的中误差是多少？如果要求某角度的算术平均值的中误差m角=±5〃，用该仪器需要观测几个测回。
解：由M= m，则心9，需测9个测回
n
解：Y =180- a - B
由误差传播定理得m =± '■/ )2m 2(/ )2m 2
=±
8.5 〃
5、设量得A、B两点的水平距离D=206.26m,其中误差m D= ±
0.04m,
同时在A点上测得竖直角=30° 00
中误差m=± 10〃。试求A, B两点的高差h=Dtg
a）
及其中误差m h?
解: h=Dtan a =119.08m
由误差传播定理得m h ,2 2 2 、2 / m 、2
tg m D (DSec )(—) 0.03m
h=119.08±0.03m
6、用同一架经纬仪，以不同的测回数观测某一角度，其观测值为：B 1=24。13'36〃（4个测回），B 2=24。13'30〃
,3 3=24。13'24〃（8个测回），试求单位权观测值的中误差，加权平均值及其中误差。
（6个测
回）
解：
(1)
(2) 各次观测权为：P = 4, P2= 6, P3= 8,或R = 1 , P2 = 1.5 , P3= 2 3 平=(P1 3 l + P2 3 2+ P3 3 3)/(P1+ P2+ P3) = 24° 13 '29〃
(3) 单位数中误差m0且二=± 14〃
n 1
1
=1/28412
D
解：一测回角值的中误差：由和差函数得m m2m；62 628.5〃
M= 孚,n = 3,需测3个测回
.n
3、用某经纬仪测量水平角，一测回的中误差m=± 15，欲使测角精度达到土5〃问需要观测几个测回？
4、同精度观测一个三角形的两内角a、B,其中误差: m =m =±6〃，求三角形的第三角丫的中误差m
(4)加权平均值中误差为M ——PV =±3.3
Y p n 1
所以24° 13' 29" 土 3.3 "