《周亚夫军细柳》知识点归纳
周亚夫军细柳
知识点归纳
1.通假字
（1）军士吏被甲被（通“披”）穿着
（2）改容式车。式（式，同“轼”，车前横木）
2.重点词语
（1）已而之细柳军已而（不久）之（到达）
（2）天子且至且（将）
（3）居无何无何（不久）
（4）亚夫乃传言开壁门。乃（才）壁（营垒）
（5）壁门士吏谓从属车骑从属（随从）
（6）于是天子乃按辔徐行按（控制）辔（马缰绳）（7）介胄之士不拜请以军礼见介（甲）胄（头盔、后代）（8）使人称谢称谢（致谢，向人致意，表示问候）（9）曩者霸上、棘门军曩（以往，从前）
（10）乃拜亚夫为中尉。拜（授予官职）
（11）楚兵剽轻剽（强悍，勇猛）
（12）难与争锋争锋（交兵作战）
（13）愿以梁委之委（抛弃）
（14）后吴奔壁东南陬陬（角落）
（15）乃引而去。引（退）
（16）购吴王千金购（悬赏）
（17）凡相攻守三月凡：（总共）
3.一词多义
（1）兵
①收天下之兵，聚之咸阳（兵器，军械）
②赵亦盛设兵以待秦，秦不敢动（士兵，军队）
③故上兵伐谋，其次伐交（用兵策略，战略）
④左右欲兵之（用兵器杀人，名词作动词）
⑤赢闻晋鄙之兵符常在王卧内（兵符，复合词，古代调兵用的凭证）
（2）介
①无此疆尔介。（界线；边界）
②前向崧高，后介大河（间隔；隔开）
③敝邑褊小，介于大国。（居……之间）
④介胄之士不拜，请以军礼见。（披上铠甲）
⑤大王遣一介之使至赵。（个）
⑥孟尝君为相数十年，无纤介之祸者，冯谖之计也。通“芥”，比喻微小。
4.词类活用
（1军霸上军：名词用作动词（驻军）
（2）深壁而守壁名词活用为动词加高营垒
（3）梁日使使请太尉日名词作状语天天
（4）太尉守便宜便宜形容词作名词有利的地势
5.特殊句式
（1）此真将军矣！判断句译文：这才是真正的将军呀！
（2）太尉既会（于）荥阳省略句译文：太尉周亚夫把各路军队会合到荥阳之后。
（3）购吴王（以）千金省略句译文：又用千金悬赏吴王之头
6.翻译
（1）直驰入，将以下骑送迎。
译文：皇帝一直奔驰进入军营，从将军到下属官员都骑马迎送。
（2）介胄之士不拜请以军礼见。
译文：穿戴铠甲的将士不能行跪拜礼，请允许我以军礼拜见您。
（3）至于亚夫，可得而犯邪！
译文：至于周亚夫，怎么可能受到侵犯呢？
（4）太尉引兵东北走昌邑，深壁而守。
译文：太尉周亚夫带领军队向东北跑到昌邑，加高营垒据守不出。
周亚夫军细柳练习题及答案
周亚夫军细柳 21.《细柳营》 一. 知识积累 1. 给下列加点的字注音。 彀弓弩曩者霸上天子之诏介胄之士 2. 填空题。 司马迁，时期，伟大的家家。《史记》是我国第一部通史，包括五部分：共篇。 3. 解释下列加点的词。 （1）居无何 （2）军中闻将军令 （3）将军约 （4）天子为动 （5）使人称谢 （6）曩者霸上 4. 翻译句子。 已而之细柳军，军士吏被甲，锐兵刃、彀弓弩，持满。 二. 强化阅读 阅读下面的选文，回答 5～8题。 文帝之后六年，匈奴大入边。乃以宗正刘礼为将军，军霸上；祝兹侯徐厉为将军，军棘门以河内守亚夫为将军，军细柳，以备胡。 上自劳军。至霸上及棘门军，直驰入，将以下骑送迎。已而之细柳军，军士吏被甲，锐兵刃，彀弓弩，持满。天子先驱至，不得入。先驱曰：“天子且至！”军门都尉曰：“将军令曰：‘军中闻将军令，不闻天子之诏。’”居无何，上至，又不得入。于是上乃使使持节诏将军：“吾欲入劳军。”亚夫乃传言开壁门。壁门士吏谓从属车骑曰：“将军约，军中不得驱驰。”于是天子乃按辔徐行。至营，将军亚夫持兵揖曰：“介胄之士不拜，请以军礼见。”天子为动，改容式车，使人称谢：“皇帝敬劳将军。”成礼而去。 既出军门，群臣皆惊。文帝曰：“嗟乎，此真将军矣！曩者霸上、棘门军，若儿戏耳，其将固可袭而虏也。至于亚夫，可得而犯邪？”称善者久之。 5. 解释下列句子中加点的字词。 （1）文帝之后六年，匈奴大入边。 （2）已而之细柳军，军士吏被甲，锐兵刃，彀弓弩，持满。 （3）天子为动，改容式车，使人称谢。 （4）其将固可袭而虏也。 6. 阅读课文，说说从哪些地方可以看出周亚夫不愧为“真将军”。 7. 课文标题是“周亚夫军细柳”，为什么还要写刘礼军霸上、徐厉军棘门？这样写有什么好处？ 8. 试着概括一下周亚夫和汉文帝的人物形象。 三. 链接课外新课标第一网
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程
的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
解三角形知识点归纳总结
第一章解三角形 .正弦定理: 2）化边为角： a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 ）化边为角： a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 ）化角为边: sin A sin B a ； sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 ）化角为边：si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ① 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中，已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsinA 或a b 时，B 有一个解; ③ bsinA a b 时，B 有两个解。 如：①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径， 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形：1） a b c a sin sin si sin 2R （其中R 是三角形外接圆的半径） b c sin sinC c 2R 沁；求出 sin C 1.正弦定理：在一个三角形中, bsin A
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
(完整版)常微分方程的大致知识点
= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项） y x 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程 令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程 若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ?x ≠ ?N ，则找积分因子，（留意书上公式） ?x f (x f ( y , （二）毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法：特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族
? ? dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ，3, 4 = ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ？ 当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时， y * = ? x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () （四）常系数方程组 方法：三部曲。 第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ，并分情况讨论。 第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，1 ≠ 2 1 1 m m m
(完整版)解三角形知识点及题型总结
基础强化（8）——解三角形 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； ②. 三角形三边关系：a+b>c; a-b 作业设计：谯城区十河中心中学刘兵舰 (一）阅读下面【甲】【乙】文段，完成1—4题。 【甲】上自劳军。至霸上及棘门军，直驰入，将以下骑送迎。已而之细柳军，军士吏被甲，锐兵刃，彀弓弩，持满。天子先驱至，不得入。先驱曰：“天子且至！”军门都尉曰：“将军令曰‘军中闻将军令，不闻天子之诏’。”居无何上至又不得入。于是上乃使使持节诏将军：“吾欲入劳军。”亚夫乃传言开壁门，壁门士吏谓从属车骑曰：“将军约，军中不得驱驰。”于是天子乃按辔徐行。至营，将军亚夫持兵揖曰：“介胄之士不拜，请以军礼见。”天子为动，改容式车。使人称谢：“皇帝敬劳将军。”成礼而去。 既出军门，群臣皆惊。文帝曰：“嗟乎，此真将军矣！曩者霸上、棘门军，若儿戏耳，其将固可袭而虏也。至于亚夫，可得而犯邪！”称善者久之。 （节选自《史记·绛侯周勃世家》，中华书局2013年版）【乙】（景）帝居禁中①，召周亚夫赐食，独置大胾②，无切肉，又不置箸。亚夫心不平，顾谓尚席③取箸。上视而笑曰：“此非不足君所乎？”亚夫免冠谢④上。上曰：“起！”亚夫因趋⑤出。上目送之曰：“此鞅鞅⑥，非少主臣也。” （节选自《资治通鉴·卷十六汉纪八》）[注]①禁中：宫中。②大胾：大块没有切好的熟肉。③尚席：主持宴席的官员。④谢：道歉，谢罪。⑤趋：快步走。⑥鞅鞅：愤愤不平。 1、用“／”给下面句子划分停顿。（断两处） 居无何上至又不得入 2、解释加粗的词。 (1)已而之细柳军( ) (2)军士吏被甲( ) (3)顾谓尚席取箸( ) (4)上视而笑曰( ) 3、用现代汉语翻译文中画线句子。 (1)介胄之士不拜，请以军礼见。 (2)此非不足君所乎？ 4、从【甲】文“嗟乎，此真将军矣！”可以看出汉文帝对周亚夫的态度是____________；【乙】文中汉景帝说“此鞅鞅，非少主臣也”可见汉景帝对周亚夫的态度是_______。 『参考答案』1、居无何／上至／又不得入 解析本题考查划分句子朗读节奏的能力。答题时，可以根据句意进行划分。 常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020 常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++= 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 《周亚夫军细柳》习题【部编版八上第23课】 班级：姓名： 一、文言现象积累： 1、分析下列句中加点字的文言现象并解释： ①军士吏被．甲：通假字，“被”通“披”，穿，披着。 ②改容式．车：通假字，“式”通“轼”，车前横木，这里用作动词，扶轼。 ③使之称谢．：古今异义，古义：向人致意，表示问候；今义：感谢。 ④已而之．细柳军：古今异义，古义：往，到。 ⑤天子且．至：古今异义，古义：将。 ⑥成礼而去．：古今异义，古义：离开。 ⑦其将固．可袭而虏也：古今异义，古义：必定。 ⑧天子先驱 ．．至：古今异义，古义：先行引导的人员；今义：走在前面引导。 ⑨军中闻．将军令：古今异义，古义：听从；今义：用鼻子嗅。 ⑩持节．诏将军：古今异义，古义：符节，皇帝派遣使者或调动军队的凭证；今义：节日。 ?亚夫乃传言开壁．门：古今异义，古义：营垒；今义：墙壁。 ?请．以军礼见：古今异义，古义：请允许我；今义：希望对方做某事。 ?于是上乃使使持节诏．将军：词类活用，名词用作动词，下诏。 ?锐．兵刃：词类活用，形容词使动用法，使……锋利。 ?军． ? ?改容式．车：词类活用，名词用作动词，指扶着车前横木。 2、一词多义： 军： ①周亚夫军．细柳：驻军，动词。 ②至霸上及棘门军．：军营，名词。 ③上自劳军．：军队，名词。 ④曩者霸上、棘门军．：军队，名词。 之： ①已而之．细柳军：到，动词。 ②不闻天子之．诏：的，助词。 ③称善者久之．：句末语气助词，无实在意义。 以： ①乃以．宗正刘礼为将军：动词，用、任命。 ②以．备胡：连词，用来。 使： ①于是上乃使．使持节诏将军：动词，派遣。 ②于是上乃使使．持节诏将军：名词，使臣。 诏： ①军中闻将军令，不闻天子之诏．：名词，皇帝的命令。 ②于是上乃使使持节诏．将军：动词，通告、下诏令。劳： ①皇帝敬劳．将军：慰问，犒劳。 ②上自劳．军：慰问，犒劳。 ③劳．其筋骨：使……劳累。 居： ①居．无何：经过。 ②居．天下之广居．：住；住宅。 习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 周亚夫军细柳练习题及 答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT 周亚夫军细柳 21.《细柳营》 一. 知识积累 1. 给下列加点的字注音。 彀弓弩曩者霸上天子之诏介胄之士 2. 填空题。 司马迁，时期，伟大的家家。《史记》是我国第一部通史，包括五部分：共篇。 3. 解释下列加点的词。 （1）居无何 （2）军中闻将军令 （3）将军约 （4）天子为动 （5）使人称谢 （6）曩者霸上 4. 翻译句子。 已而之细柳军，军士吏被甲，锐兵刃、彀弓弩，持满。 二. 强化阅读 阅读下面的选文，回答5～8题。 文帝之后六年，匈奴大入边。乃以宗正刘礼为将军，军霸上；祝兹侯徐厉为将军，军棘门以河内守亚夫为将军，军细柳，以备胡。 上自劳军。至霸上及棘门军，直驰入，将以下骑送迎。已而之细柳军，军士吏被甲，锐兵刃，彀弓弩，持满。天子先驱至，不得入。先驱曰：“天子且至！”军门都尉曰：“将军令曰：‘军中闻将军令，不闻天子之诏。’”居无何，上至，又不得入。于是上乃使使持节诏将军：“吾欲入劳军。”亚夫乃传言开壁门。壁门士吏谓从属车骑曰：“将军约，军中不得驱驰。”于是天子乃按辔徐行。至营，将军亚夫持兵揖曰：“介胄之士不拜，请以军礼见。”天子为动，改容式车，使人称谢：“皇帝敬劳将军。”成礼而去。 既出军门，群臣皆惊。文帝曰：“嗟乎，此真将军矣！曩者霸上、棘门军，若儿戏耳，其将固可袭而虏也。至于亚夫，可得而犯邪”称善者久之。 5.解释下列句子中加点的字词。 （1）文帝之后六年，匈奴大入边。 （2）已而之细柳军，军士吏被甲，锐兵刃，彀弓弩，持满。 （3）天子为动，改容式车，使人称谢。 （4）其将固可袭而虏也。 6.阅读课文，说说从哪些地方可以看出周亚夫不愧为“真将军”。 7.课文标题是“周亚夫军细柳”，为什么还要写刘礼军霸上、徐厉军棘门这样写有什么好处 常微分方程期末复习提要 中央电大 顾静相 常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习． 一、复习要求和重点 第一章 初等积分法 1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法． 常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。 2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分??+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。 （2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=； 当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ??+=C x x M x M y y N y N d ) ()(d )()(2112求出通解。 3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法． 第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得x u u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得?=-u u g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ?=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ?=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为： 0)(d d =+y x p x y 通解为：?=-x x p C y d )(e 。 （2）一阶线性非齐次微分方程为： )()(d d x f y x p x y =+； 用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：??+?=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x x p x x p 。 （3）伯努利方程为：)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p x y n ， 常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx 伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x] 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;s in s in B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 《周亚夫军细柳》《绛侯周勃世家》对比阅读 （一）《周亚夫军细柳》 文帝之后六年，匈奴大入边。乃以宗正刘礼为将军，军霸上；祝兹侯徐厉为将军，军棘门；以河内守亚夫为将军，军细柳，以备胡。 上自劳军。至霸上及棘门军，直驰入，将以下骑送迎。已而之细柳军，军士吏被甲，锐兵刃，彀弓弩，持满。天子先驱至，不得入。先驱曰：“天子且至！”军门都尉曰：“将军令曰：‘军中闻将军令，不闻天子之诏。’”居无何，上至，又不得入。于是上乃使使持节诏将军：“吾欲入劳军。”亚夫乃传言开壁门。壁门士吏谓从属车骑曰：“将军约，军中不得驱驰。”于是天子乃按辔徐行。至营，将军亚夫持兵揖曰：“介胄之士不拜，请以军礼见。”天子为动，改容式车。使人称谢：“皇帝敬劳将军。”成礼而去。 既出军门，群臣皆惊。文帝曰：“嗟乎，此真将军矣！曩者霸上、棘门军，若儿戏耳，其将固可袭而虏也。至于亚夫，可得而犯邪！”称善者久之。 （二）《绛侯周勃世家》 周勃，沛人。高祖为沛公初起，从入汉中，拜为将军。食绛八千二百八十户，号绛侯。文帝即立，以勃为右丞相。居十余月，乃谢请归相印。岁余，陈丞相平卒，上复用勃为相。十余月，上曰：“前日吾诏列侯就国，或颇未能行，丞相朕所重，其为朕率列侯之国。”乃免相就国。岁余，每河东守尉行县至绛，绛侯勃自畏恐诛，常被甲，令家人持兵以见。其后人有上书告勃欲反下廷尉逮捕勃治之。文帝朝，太后以冒絮①提文帝，曰：“绛侯绾皇帝玺，将兵于北军，不以此时反，今居一小县，顾欲反邪！”文帝既见勃狱辞②，乃谢曰：“吏方验而出之。”于是使使持节赦勃，复爵邑。孝文十一年薨，谥曰武侯。 注释：①冒絮：头巾。②狱辞:案件的供词。 1．给文中画波浪线的句子的断句（两处） 其 后 人 有 上 书 告 勃 欲 反 下 廷 尉 逮 捕 勃 治 之 2．下列句中加点词语解释有误的是（ ） A ．军．细柳（驻军） B ．已而．． 之细柳军（ 后来 ）不久 C ．居．十余月（经过） D ．顾． 欲反邪！（反而） 3下列句中加点词语的用法相同的一项是（ ） A ．①称善者久之． ②吏方验而出之． B ．①请以．军礼见 ②不以． 此时反 C ．①其将固可袭而．虏也 ②吏方验而．出之 D ．①亚夫乃．传言开壁门 ②乃． 免相就国 4．把文中画横线的句子翻译成现代汉语。 （1）上自劳军。至霸上及棘门军，直驰入，将以下骑送迎。 （2）不以此时反，今居一小县，顾欲反邪！ 5．从文中看，周勃、周亚夫父子二人的共同特点是： ；文帝在对待父子两人的态度中也有一共同点是： 。 参考答案： 1．其 后 人 有 上 书 告 勃 欲 反 /下 廷 尉 /逮 捕 勃 治 之 2．B 不久 3．C （A ①音节助词 ②他B ①用②在C 都是承接关系D ①才②于是） 4．（1）皇上亲自去慰劳军队。到了霸上和棘门的军营，皇上的车队长驱直入，将军及其属下骑马迎送。 （2）他不在这时造反，如今住在一个小小的县里，反倒要造反吗？ 5．忠心耿耿；知错能改 参考译文： 期末考试 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）． (A) 1±=x (B)1±=y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16．求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解《周亚夫军细柳》对比阅读
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