矩阵基本性质完整版

矩阵基本性质标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]

矩阵的基本性质

矩阵A的第A第A列的元素为A AA。我们A A或（A）表A×A的单位矩阵。

1.矩阵的加减法

（1）A=A±A,对应元素相加减

（2）矩阵加减法满足的运算法则

a.交换律：A+A=A+A

b.结合律：(A+A)+A=A+（A+A）

c.A+A=A

d.A?A=A

2.矩阵的数乘

（1）A=A A，各元素均乘以常数

（2）矩阵数乘满足的运算法则

a.数对矩阵的分配律：A(A+A)=A A+A A

b.矩阵对数的分配律：(A+A)A=A A+A A

c.结合律：(AA)A=A(A A)

d.A?A=A

3.矩阵的乘法

（1）A=A A×A A A×A，左行右列对应元素相乘后求和为C的第A行第A列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则

a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有AA=AA=A

b.分配律：A(A+A)=AA+AA

c.结合律：(AA)A=A(AA)

d.数乘结合律：A(AA)=A(A A)

4.矩阵的转置A A, (A A)AA=A AA

（1）矩阵的幂：A1=A,A2=AA,…,A A+1=A(A A)

（2）矩阵乘法满足的运算法则

a. (A A)A=A

b. (A+A)A=A A+A A

c. (A A)A=A(A A)

d. (AA)A=A A A A

5.对称矩阵：A A=A即a AA=a AA；反对称矩阵：A A=?A即a AA=?a AA （1）设A,A为（反）对称矩阵，则A±A仍是（反）对称矩阵。

（2）设A,A为对称矩阵，则AA或AA仍是对称矩阵的充要条件AA=AA。

（3）设A 为（反）对称矩阵，则A A ，A A 也是（反）对称矩阵。

（4）对任意矩阵A ，则A ≡12(A +A A ),A ≡12(A +A A )分别是对称矩阵和反对称矩阵且A =A +A .

（5）(A A )A =A

6. Hermite 矩阵：A A =A 即a AA =a AA ???????；反Hermite 矩阵，A A =?

A

即a AA =?a AA ??????? a.A A =(A ?)A

b. (A +A )A =A A +A A

c. (A A )A =A ???(A A )

d. (AA )A =A A A A

e. (A A )A =A

f. (A A )?A =(A ?A )A （当A矩阵可逆时）

7.正交矩阵：若A A A =A A A =A ,则A ,(A )∈A A ×A 是正交矩阵

（1）A ?A =A A ∈A A ×A

（2）det A =±1

（3）AA , AA ∈A A ×A

8.酉矩阵：若A A A =A A A =A ,则A ,(A )∈A A ×A 是酉矩阵

（1）A ?A =A A ∈A A ×A

（2）|det A |=1

（3）AA , AA ∈A A ×A

（4）A A ∈A A ×A

9.正规矩阵：若A A A =A A A ,则A 是正规矩阵；若A A A =AA A ,则A 是实正规矩阵

10.矩阵的迹和行列式

（1）AA (A )=∑A AA A A =A =∑A A A A =A 为矩阵A 的迹；|A |或det (

A )为行列式

（2）AA (AA )=AA (AA )；注：矩阵乘法不满足交换律

（3）AA (AAA )=AA (AAA )=AA (AAA )

（4）A =AAA , A 为酉矩阵，则AA (A )=AA (A )

（5）|A A +AA A |=|A A +A A A |

（6）|A A +AA A |=|A A +A A A |

（7）|A A |=|A |

（8）|A A |=A A |A |

（9）|AA |=|A ||A |

（10）det (

A +AA )=det (

A +AA )

（11）|A |=∏A A A A =A

（12）A =log [det (A A +AAA ?)], A =A A A A ，则 A =∑log (1+A A

A A )A A =1其中A A 为AA ?奇异分解值的特征值

11.矩阵的伴随矩阵A ?

（1）设A ={A AA }由行列式|A |的代数余子式A AA 所构成的矩阵

（2）AA ?=A ?A =|A |A

12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的）

（1）A 的逆矩阵记作A ?A , AA ?A =A ?A A =A ;

（2）|A |≠0（A 为非奇矩阵）时，A ?A =A

|A |A ?

（3）|A |≠0且A ≠0，则(A A )?A =1A A ?A

（4）由AAA ?A A ?A =A ，得(AA )?A =A ?A A ?A

（5）(A A )?A =(A ?A )A

（6）若|A |≠0，|A ?A |=A

|A |

（7）若A 是非奇上（下）三角矩阵，则A ?A 也上（下）三角矩阵

（8）A ?A =(A ?A )A

（9）(A ?A +A A A ?A A )?A A A A ?A =AA A (AAA A +A )?A

（10）(A +AA )?A A =A (A +AA )?A

（11）Woodbury 恒等式 :(A +AA ?A A )?A =A ?A ?A ?A A (A +AA ?A A )?A AA ?A

（12）A ?A =A ∧?1A A

12.对角矩阵，矩阵A 为对称矩阵，A 正交矩阵，则A ?A AA =AAAA

(A A ,A A )为对角矩阵或A ?A AA =A A AA =AAAA (A A ,A A )=∧，则A =A ∧A A =

∑A A A A A A A A A =A ; A ?A =A ∧?1A A =∑1

A A

A A A A A

A A =A 13.矩阵的导数

（1）A (AA )=A A A +A A A

（2）A (A ?A )=?A ?A A A A ?A

（3）A AA |A |=AA (A ?A A A )

（4）A AA AA (AA )=A AA

（5）A AA (AA )=A A

（6）A AA (A A A )=A

（7）A AA (A )=A

（8）A AA (AAA A )=A (A +A A )

AA|A|=(A?A)A （9）

A