高二第一学期数学期中考试题(含答案解析)

高二第一学期期中测试

数学试题

（总分150分 时间150分钟）

一、单选题：（本大题一共10道小题，每题只有一个正确答案，每题4分，共40分）

1、数列3，6，11，20L 的一个通项公式为（ ） A 、3n a n =

B 、()2n a n n =+

C 、2n

n a n =+

D 、21n a n =+

2、在等差数列{}an 中，31340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ） A ．40

B ．60

C ．80

D ．100

3、已知3x >，1

3

y x x =+-，则y 的最小值为（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

4、已知:12P x +>，2

:56q x x ->，则P 是q 的（ ） A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，且315S =，648S =，则S 的值为（ ） A ．63

B ．81

C ．99

D ．108

6、若关于x 的不等式2

40x x a -->在14x <<内有解，则实数a 的取值范围（ ） A ．3a <-

B ．0a ≤

C ．4a <-

D ．4a ≤-

7、已知数列3，y ，x ，9是等差数列，数列1，a ，b ，c ，4是等比数列，则

b

x y

=+（ ） A ．16

B ．16

±

C ．

512

D ．512

±

8、《算法统综》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的“九问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小几多少岁？试问这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ） A 、8岁

B 、11岁

C 、20岁

D 、35岁

9、已知点()2,1A 在直线10ax by +-=()0,0a b >>上，若存在满足该条件的a ，b 使得不等式

212

2m m a b

+≤+成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,4][2,)-∞-+∞U

B ．(,2][4,)-∞-+∞U

C ．(,6][4,)-∞-+∞U

D ．(,4][6,)-∞-+∞U

10、已知等比数列{}n a 的公比为q ，且1q <，数列{}n b 满足1n n b a =-，若数列{}n b 有连续四项在集合

{}28,19,13,7,17,23---中，则q =（ ）

A ．23

-

B ．

23

C ．13

-

D ．13

二、多选题：（本大题一共3道小题，每题4分，共12分，每题漏选得2分，错选或多选不得分）

11、给出下面四个推段，其中正确的为（ ）

A ．若a ，(0,)b ∈+∞，则

2b a

a b

+≥； B ．若x ，(0,)y ∈+∞则lg lg x y +≥

C ．若a R ∈，0a ≠，则

4

4a a

+≥； D ．若x ，y R ∈，0xy <，则

2x y

y x

+≤-． 12、下列命题的是真命题的是（ ） A ．若a b >，则11a b

<； B ．若x y >

，m n >，则x n y m ->-

C ．若x y >

，m n >，则xm yn > D ．若2

2

ac bc >，则a b >

13、在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1432a a ?=，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ） A ．2q = B ．数列{}2n S +是等比数列

C ．8510S =

D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列

三、填空题：（本大题一共4道小题，每题4分，共16分）

14、已知命题

:p “x ?∈R ，10x e x --≤”，命题p 的否定为______________．

15、在数列{}n a 中，22a =，51a =，数列11n a ??

?

?+??

是等差数列，则8a =_________．

16、已知实数0x >，0y >，且31x y +=，则

212x y y

++的最小值为___________．

17、已知函数()2f x x =，()2x g x m =-，m R ∈，若1[1,2]x ?∈-，2[0,2]x ?∈都有()()21f x g x ≥则实数m 的取值范围是________________．

四、解答题：（本大题一共6道题，共82分）

18、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知120a =-，348S =-． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）求n S ，并指出当n S 的取得最小值时对应的n 的值．

19、已知：函数2

()lg 6(4)f x kx kx k ??=-++?? （1）当1k =时，求函数()y f x =的定义域．

（2）当函数()y f x =的定义域为R 时，求实数k 的取值范围．

20、如图，有一壁画，最高点A 处离地面6米，最低点B 处离地面3米．若从离地高2米的C 处观赏它，视角为θ

（1）若3

tan 4

θ=时，求C 点到墙壁的距离．

（2）当C 点离墙壁多远时，视角θ最大？

21、记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，12663

63

780S S S S S S ---?-=． （1）求数列{}n a 的公比q 的值．

（2）若516a =，设2n S 为该数列的前2n 项的和，n T 为为数列{}2

n

a 的前n 项和，若2n

n S

tT =，试求实数

t 的值．

22、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，满足2n n S a n =+(*)n N ∈ （1）证明数列{}1n a -是等比数列，并求出通项公式n a ．

（2）数列{}n na 的前n 项和n T

23、已知函数2

()f x x ax b a =++-(,)a b R ∈

（1）设4a =-，若不等式2

()3f x b b >-对于任意的x 都成立，求实数b 的取值范围；

（2）设3b =，解关于x 的不等式组()0

1f x x >??

>?

参考答案

一、单项选择题：

1-5：CDDBC

6-10：BABAA

二、多项选择题

11．AD

12．BD

13．ABC

三、填空题：

14、x R ?∈，10x e x -->

15、

12

16、3+ 17、0m ≥

四、解答题：

18．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则

1(1)

2n n n S na d -=+

Q ，120a =- 33(31)

3(20)482

S d -∴=?-+

=- 解之得：4d =

1(1)20(1)4424n a a n d n n ∴=+-=-+-?=-

221()11121

2222()222

n n n a a S n n n +=

=-=-+ （2）法1）

由于*

n N ∈，所以5n =或者6时，n S 有最小值60-． 法2）由4240n a n =-≤ 解得6n ≤，且60a =

于是，当n 取值5或6时，n S 取最小值5660S S ==- 19．解：（1）当1k =时，函数为2

()lg(65)f x x x =-+

由2

650x x -+>得5x >或1x <

所以，此函数的定义域为(,1)(5,)-∞+∞U

（2）当0k =时，2

6(4)4kx kx k -++=大于0恒成立． 当0k ≠时，必有0k >且0?<既有2

(6)4(4)0

k k k k >??

--+

k <<

综上所述：实数k 的取值范围是10,2??????

20、解：（1）设ACD α∠=，BCD β∠=，侧视角θαβ=-， 设C 点到墙壁的距离为x 米，则有4tan x α=

，1

tan x

β= 所以241

tan tan 3tan tan()411tan tan 4

1x x x x x x

αβθαβαβ-

-=-==

=+?++? 当3

tan 4

θ=

时，解得2x = （2）由（1）知2333

tan 444x x x x

θ=

=≤++（当且仅当4x x

=即2x =时等号成立） 所以，当2x =视角θ达到最大 答：当3

tan 4

θ=

时，C 点到墙壁距离为2米，此时视角θ达到最大． 21、解：（1）经检验当1q =时，

1266363780s s s s

s s ---?-≠，故1q ≠ 1266363

780s s s s

s s --∴

-?-= 612

63

720s s s S --= 1261163

11(1)(1)11720(1)(1)11a q a q q q

a q a q q q

------=----

化简得：63

780q q --= 解之得：2q =，1q =-

2q ∴=

（2）在等比数列{}n a 中：2q =，4

5116a a q ==

所以11a = 所以212(1)1441112

n n n n

a q S q --===---

易知数列{}2

n

a 是首项为1公比为4的等比数列

所以1(14)1(41)143

n n

n T -=

=-- 由2n n S tT =，故3t = 22、解（1）2n n S a n =+Q ，

∴当1n =时，1121a a =+，所以11a =-；

∴当2n ≥时，()()111221221n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=+-+-=-+，

即121n n a a -=-

()1121n n a a --=-，所以

11

21

n n a a --=-，2n ≥

∴数列{}1n a -是等比数列

112a -=-，1122n n a --=-?，即12n n a =-．

综上，数列{}n a 的通项公式为12n

n a =-()*

n N ∈

（2）因为2n

n na n n =-?所以

()123(123)222322n n T n n =++++-+?+?++?L L ． (1)

2

n n n D +=

-．()

123222322n n D n =+?+?++?L 由123222322n n D n =+?+?++?L 得，2341

2222322

n n D n +=+?+?++?L ．

两式作差得，()231121222222212

n n n n n D n n ++--=++++-?=-?-L ，

即1

(1)22n n D n +=-?+

故1(1)(1)

(1)2222

n n n n n n n T D n +++=

-=--?-． 23解：(1)当4a =-时，2

2

443x x b b b -++>-恒成立，即2

2

444x x b b -+>-恒成立． 因为2

2

44(2)0x x x -+=-≥， 所以2

40b b -<，解之得04b <<， 所以实数b 的取值范()0,4．

(2)当3b =时，2

()3f x x ax a =++-，()f x 的图象的对称轴为2

a

x =-

． (ⅰ)当0?<，即62a -<<时，由()0

1f x x >??>?

，得1x >，

(ⅱ)当0?=，即2a =或6-时

①当2a =时，由()0

1f x x >??>?，得22101

x x x ?++>?>?，所以1x >，

②当6a =-时，由()01f x x >??>?，得2690

1x x x ?-+>?>?

，所以13x <<或3x >，

(ⅲ)当0?>，即6a <-或2a >时，方程()0f x =的两个根为

1x =

，2x =①当6a <-时，由(1)0

32f a >??

?->??知121x x <<，所以()01f x x >??>?的解为11x x <<或2x x >，

②当2a >时，由(1)0

12

f a >??

?-<-??知121x x <<，所以()01f x x >??>?的解为1x >，

综上所述：

当6a ≤-时，不等式组的解集为1,22a a ???

---++∞

? ? ?????

U ， 当6a >-时，不等式组的解集为()1,+∞．