函数和图像知识点汇总

《函数及其图像》知识点

一、函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。

①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 ②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。

③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。此时，我们也称因变量是自变量的函数

④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。练习：在函数r c π2=中，自变量是，因变量是，常量是，叫做

的函数。

二、函数的三种表示方法：

①解析法：

②列表法：

三、函数自变量的取值范围：函数自变量取值范围的确定如下表：

四、平面直角坐标系：在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。水平的数轴叫做横轴（x 轴），取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。 x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限（如图）:

第四象限

第三象限

第二象限第一象限

五、平面内点的坐标：（横坐标，纵坐标）

如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为（2 , 3）

六、平面内特殊位置的点的坐标情况：（连线）

第一象限第二象限第三象限第四象限 x 轴上 y 轴上（- ，-）（- ，+）（+ ，+）（+ ，-）（0 ，a ） (b , 0) 七、点的表示（横坐标，纵坐标）注意： ①不要丢了括号和中间的逗号；

②表示的意思：当___x =时，___y =如点A （2，1）表示：当2x =时，1y =

③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。八、对称点的坐标关系：

⑴关于x 轴对称的点：横坐标，纵坐标。 ⑵关于y 轴对称的点：横坐标，纵坐标。 ⑶关于原点对称的点：横坐标，纵坐标。

(,)P a b 关于x 轴对称_________；关于y 轴对称__________；关于原点对称___________

思考：如何解决点关于y=x ，y=-x 对称，以及点旋转90°之后的坐标。

九、数轴上的点和是一一对应的；在平面直角坐标系中的点和也是一一对应的。

十、点(,)P a b 到x 轴的距离为________；到y 轴的距离为_______ 1、点（-3，2）到X 轴的距离是，到Y 轴的距离是

2、点P 在第3象限，P 到X 轴的距离是4，到Y 轴的距离是3，那么点P 的坐标是十一、点的平移：

(,)P a b 向上平移2格______；

向下平移3格_______；向右平移1格______；向右平移5格_______（概括：左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标）十二、两点之间的距离：

①在同一条水平上线上的时候：求A 、B 两点之间的距离

概括：A 、B 两点之间的距离为：12x x -或12y y -

②当两点不在同一水平上的时候，我们是通过构造直角三角形的方法来进行求解的，这就需要用到勾股定理的相关知识，同时也要用到①中两点在同一水平线上的时候，两点之间的距离求法。

A 、

B 两点之间的距离：221212()()AB x x y y =-+- A 、 B 两点的中点坐标为：1212

(

,)22

x x y y ++ 1、点A （0，2）与点B （0，-3）,则AB= 2、点A （2，0）与点B （-5，0）,则AB= 3、点A （2，3）与点B （3，2）,则AB=

十三、画函数图像通常用描点法，步骤是：列表、描点、连线三步。十四、如何根据解析式作图，在作图的过程中，我们应该关注哪些方面

①确定x 的取值范围，特别要小心有些情况下x 并不能取到所有的值，图像也会受到一定的限制。

B(4,3)

A(-2,3)O

B(-2,2)

A(-2,3)

②初步判断函数图像的增、减性，来初步判断函数应该是上升的、还是下降的。

③判断函数图像是直线、还是双曲线（可以通过x 的指数来判断，也可以通过变化速度是匀速的还是变速的来进行判断）

④最后从函数与x 轴（未必一定会有）、y 轴的交点；以及极值点（未必一定会有）；对称性（如原点对称）；分段性；从而画出比较准确的草图。

十五、点是否在函数图像上：（其本质就是判断这个点所代表的,x y 的值是不是解析方程的解）如：判断点(4,6)是否在函数223y x x =--图像上，即相当于4,6x y ==是不是方程223y x x =--的解。或者说：当4x =，22234243y x x =--=-?-是否会等于6。

1、点（-3，2），（a ,1+a ）在函数1-=kx y 的图像上，则______,==a k

2、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（－1，2），则k= . 十六、已知横坐标求纵坐标、或者已知纵坐标求横坐标：

如：22y x =-的图像上已知点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为-4；求点A 、B 的坐标。解析：A 点相当于问你，当 2x =时，____y =；B 点相当于问你：4y =-时，___x =。十七、寻找与题意相符的函数图像：

在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，

如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到（）

A ．N 处

B ．P 处

C ．Q 处

D ．M 处

十八、一次函数的定义：函数解析式是用自变量的一次整式表示的函数叫做一次函数。形如：

)0,(≠+=k b k b kx y 是常数，

特别的，当b=0时，一次函数

)0(≠=k kx y 常数也叫做正比例函数。

十九、一次函数的图像是一条，因此画一次函数的图像只需要取个点。

（图1）

二十、函数图像上的点：（注：点的横坐标就是x 的值，点的纵坐标就是y 的值） ⑴已知点A （2，a ）在一次函数1+-=x y 上，则a= 。

⑵直线

34-=x y 过点（，0）、（0，）

⑶请你写出直线

1+=x y 上任意两个点的坐标。

二十一、一次函数)0,(≠+=k b k b kx y 是常数，的性质：由k 值的正负来决定。

练习：

⑴已知点（x 1，y 1）和点（x 2，y 2）在函数1+-=x y 的图像上，且x 1 >x 2，那么y 1 y 2⑵已知点

（x 1，y 1）和点（x 2，y 2）在函数1-=x y 的图像上，且y 1>y 2,那x 1 x 2

二十二、一次函数)0,(≠+=k b k b kx y 是常数，的图像特征：由k 、b 的取值决定

练习：1、一次函数

1+-=x y 的图像经过第象限。

2、直线b kx y +=1过第一、二、四象限，则直线k bx y -=2不经过象限。

二十三、一次函数

)0,(≠+=k b k b kx y 是常数，与y 轴的交点坐标：（0，b ）与x 轴的交点

坐标：（k

-，0）练习：一次函数1-=x y 与y 轴的交点坐标是。一次函数12+=x y 与x 轴的交点坐标是。

二十四、求两个一次函数图像的交点坐标：就是把这两个一次函数的解析式组成方程组，得到一个二元一次方程组，解方程组便得到它们的交点坐标。练习：一次函数

1+-=x y 和1-=x y 的交点坐标是

二十五、一次函数的作图：首先它的图像是一条直线，而确定一点直线只需要两个点，所以通常只要在直角坐标系中，描出两个点并连接即可。通常的作法是：取与x 轴和y 轴的两个交点。如：作函数

2y x =-的图像

当0x =时，2y =- 即(0,2)-为一次函数与y

当0y =时，2x =即(2,0)为一次函数与x 轴的交点坐标。二十六、用待定系数法求一次函数的解析式：

①设出要求的函数关系式；②根据条件列出方程；③解方程，从而得到所求的函数关系式。练习：已知一次函数的图像经过点（-1,1）和点（1，-5），求这个一次函数的关系式。

二十七、一次函数图像的平移：例如：31y x =-

向上平移5个单位______；向下平移2个单位_______备注：上下平移（x 值不变）向左平移1个单位____；向右平移2个单位_________备注：左右平移（y 值不变）

直线y=2x-3向下平移4个单位可得直线y=______, 再向左平移2个单位可得直线y=_________

二十八、一次函数与三角形： ①当b ≠0时，一次函数

)0,(≠+=k b k b kx y 是常数，的图像与y 轴的交点（0，b ），与x

轴的交点（k b -，0）和原点（0,0）组成一个直角三角形。这个直角三角形的面积练习：一次函数12+=x y 的图像与y 轴的交点A 的坐标为（，），与x 轴的交点B 的坐标

为（，），Rt

△ABO 的面积等于

二十九、直线之间的位置关系

已知直线：1111

2222::l y k x b l y k x b =+??=+?

①12,l l 平行的充要条件：12k k =且12b b ≠

②12,l l 重合的充要条件：12k k =且12b b = ③12,l l 垂直的充要条件：121k k ?=-

三十、直线位置关系与方程组的解之间的关系

两直线相交说明方程组有唯一解；平行说明方程组无解；重合说明方程组有无穷多个解。

如251y x y x =-??=-+?方程组的解为2

1x y =??

=-?。则交点坐标为(2,1)-。三十一、反比例函数：

反比例函数（共三种表示方式）：k

y x =

1y kx -= xy k = (0)k ≠ 其中xy k =更方便于求解解析式，而且也更容易应该于判断点是否在某个反比例函数图像上。

b b S -

提醒：关于k y x =

中k 等于多少该如何判断得引起大家的重视；如12y x

=中的k 是多少呢？ 1、已知函数()2

21m y m x -=-是反比例函数，则m 的值等于（）。

A.±1

B.1

C. 3

D.－1

2、已知变量y 与x 成反比例，并且当x ＝2时，y ＝－3。（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当y ＝2时x 的值；

三十二、正比例和反比例函数图像均关于原点对称。

正比例函数1y k x =与反比例函数2

y x

有交点的条件(如上图所示)：反比例函数和正比例函数经过相同的象限，即：1

k 、

k 同号；或者说：

120

k k ?> 正比例函数图像与反比例函

数图像的两个交点关于原点成中心对称：

例如：已知一个正比例函数与一个反比例函数图像其中一个交点的坐标为（2,3），则另一个交点的坐标为，这个正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为。三十三、判断函数图像的正误： 1、当k>0时，反比例函数x

y =和一次函数y=kx-k 的图象大致为（） x

2、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）。

三十四、反比例有关的面积问题（图7三角形AOB 的面积有多种方法）

三十五、函数与方程、不等式之间的关系：

指示：解决此类题目的关键在于，找到图像的交点，并且理解交点的意思，之后再过交点作x 轴的垂线，并且左右平移垂线，进行观察。例1：画出函数3

y x =

+的图像，根据图像，指出：

（1）x 取什么值时，函数值y 等于0（2）x 取

什么值时，函数值y 大于0

例2、如图14，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m

y x

=的图象的两个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)求方程0=-

b kx 的解（请直接写出答案）

； (4) 求不等式0<-

b kx 的解集（请直接写出答案）

；例3、如图，直线6y x =+与反比例函数k

y x

（x<0）的图像交点A 、点B ，与x 轴相交于点C ，其中点A 的坐标为（－2，4），点B 的纵坐标为2。

（1）试确定反比例函数的关系式；

（2）当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值。（直接写出来）（3）求△AOC 的面积。

例4、如图所示：直线y kx b =+与x 、y 轴轴分别交于点E 、F ，其中点E 的坐标为(8,0)-点A 的坐

标(6,0)

=+上的一动点。

-。点P 为直线y kx b

（1）、求k的值

（2）、若点(,)

P x y是第二象限内，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积s与x轴的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为27

，并说明理由。