光学透镜公式
§6 薄透镜
焦距公式
我们研究了单个球面的折射，反射成像的物象距公式。横向放大率公式及规定的符号法则 r n n s n s n -'=''+ n n nr f -'= 1=''+s f s f n n r n f -''=' n n f f '=' y y s n s n V '-=''-= 反射： r s s 211-='+
2r
f f -
='=
s s V '-
=
及共轴球面光具组成像用逐次成像的方法 下面我们研究薄透镜成像问题
图6-1 透镜：
如图：透镜是由两个折射球面组成的光具组，两球面间是构成透镜的媒质（通常是玻璃），其折射率为n L 。透镜前后媒质的折射率（物象方折射率）分别为n 和n '，在多数场合下，透镜置于空气中，则1='=n n . 在轴上一物点Q 经Σ1折射成像于Q 1, Q 1作为Σ2虚物经第二次折射成像于Q 2,
两次成像可分别写出两折射成像的物象公式
第一次 111
11=''+s f s f n n nr f L -=11
11
1s n ns V L '-=
n n r n f L L -='1
1 第二次 122
22=''+s f s f
L L n n r n f -'=2
2 22
2s n s n V L ''-=
L n n r n f -''=
'22 21V V V =
设21A A =d 则d s s -'
=-12
d 为透镜的厚度，d 很小的透镜称为薄透镜
在薄透镜中A 1和A 2，几乎重合为一点，这个点叫透镜的光心记为O 薄透镜的物距S 和像距S '都是从光心算的。
于是，对薄透镜
'≈1s S ，'≈'2s S ，'-=12s s ，代入上式得 1
11
1=''+s f s f 2f ? 121
2='+'-s f
s f 1f ?
推出
2
1
1221f s f f s f f =''
+
'
=''+'-'1121
12f s f f s f f 两式相加消去'12,s s 得
122121f f s f f s f f '
+=''
'+ (6,1)
据焦距定义='=s f s ,∞或f s '=',s=∞
1221f f f f f '+= 1221f f f f f '+'
'=
' 推出
211
1f f n n f L
+
'= n n f f L ='
1
1
121
1f f n n f L
'+
'
=
' L n n f f '='22 将单个球面焦距公式代入得 2
21r n n n f L L
-'=
1
11r n n n f L L -='
21r n n r n n n
f L
L -'+-=
21r n n r n n n f L
L -'+-'
=
' n n f f '='
这是薄透镜焦距公式
如果物象方折射率1≈'=n n ，则有
)
1
1)(1(1
21r r n f f L --=
'=
此式给出了薄透镜焦距与21,,r r n L 的关系，称为磨镜者公式。
磨镜者公式
)11)(
1(121r r n f f L --=
'=
正透镜或会聚透镜：
具有实焦点（f 和f '>0）的透镜叫正透镜。 负透镜或发散透镜：
具有虚焦点（f 和f '<0）的透镜叫负透镜。
画图用符号代表凸凹透镜
会聚透镜的共同特点：中央厚，边缘薄，这类透镜叫凸透镜。 发散透镜的共同特点：中央薄，边缘厚，这类透镜叫凹透镜。 如图6-2各种形状的透镜
图6-2
成像公式
将焦距公式代入（）式中，则有 1=''+s f s f 这便是薄透镜的物象距公式 如f f n n '='=, 则有
f s s 111=
'+这便是薄透镜的物象距公式的高斯形式，按此式可绘出s s '-曲线，物像距关系
由图可见特点有几个。
对凸透镜，虚物不能成像，在2倍焦距出物象距相等。 对凹透镜，实物不能成实象，在2倍焦距处物象距相等。 s s ',符号规则与单个球面相同
入射光从左→右，s s ',从光心O 算起。 (Ⅰ) 若Q 在O 点之左，则s>0 （实物），否则
(Ⅱ)Q '在O 点之右，则s '>0 ； （实象）。s s ',也可以从F F ',算起 (Ⅲ) 当物点Q 在i F 之左，则x>0 (Ⅳ) 当象点Q '在i F '右，则x '>0
不难看出
f x s +=
f x s '+'=', 代入物象距公式得xx '=ff ',这便是薄透镜公式的牛顿公式。 焦距公式： 物象距公式： 横向放大率公式：
薄透镜的横向放大率分别为：
s n s n V L 11'-= 22s n s n V L
''-= 12s s '-=
所以
s
f s f s n s n V V V ''-
=''-==21 或
f x x f V ''-
=-= 如果1='=n n ，即，透镜置于空气中 s s V '-
= (f f n n '='=,)
这便是薄透镜的横向放大率公式
密接薄透镜组
在实际中，我们往往需要将两个或更多的透镜组合起来使用，透镜组合最简单的情形是两个薄透镜紧密接触在一起，有时还用胶将它们粘和起来，成为复合透镜，下面讨论这种复合透镜与组成它的每个透镜焦距之间的关系，我们用逐次成像方法，两次用高斯公式 111111f s s ='+ 222111f s s ='+ 1
221s s s s s s '-='
== (密接) ∴ 211111f f s s +
='+
≈'s ∞ ,f s =
∴ 2
1111f f f +=
即 密接复合透镜焦距的倒数是组成它的透镜焦距倒数之和。
通常把焦距的倒数f 1
称为透镜的光焦度P 。
如果物象方折射率为n n ',。则
f n f n P ''==
单个折射球面的光焦度定义为
f n f n r n n P '==-'=
可见密接复合透镜的光焦度是组成它的透镜光焦度之和。 21111f f f += or 21P P P +=
光焦度单位为屈光度记为D(diopter)[( f 1)or 米1
]
例：透镜焦距以m 为单位，则D=m 1
f= 0.50- cm 的凹透镜的光焦度D
f P 00.21
-==,
眼镜的度数→是屈光度的100倍，上面的凹透镜作眼镜片是200度。
焦面
入射光线从左→右入射
物方焦面——（第一焦面，前焦面）记F 像方焦面——（第二焦面，后焦面）记 F '
通过物方焦点F 与光轴垂直的平面叫物方焦面。 焦面的共轭平面
因焦点与轴上无穷远点共轭 焦面的共轭也在无穷远处
焦面上轴外点的共轭在轴外无穷远
即 以物方焦面上轴外一点P 发出的同心光束转化为与光轴成一定倾角的出射平行光束。
同样，与光轴成一定倾角的入射平行光束转化为像方焦面F '上轴外一点P '为中心的出射同心光束。
倾斜的平行光束的方向可由P 或P '与光心O 的连线来确定，这连线叫副光轴。相应的对称轴称主光轴。 画出图6-5 P 63
作图法
除利用物象公式外，求物象关系的另一方法是作图法。 作图法依据：是共轭点之间同心光束转化的性质。 每条入射光线经光具组后转化为
一条出射线，这一对光线称为共轭光线。
按照成像的含义：通过物点每条光线的共轭光线都通过像点 “通过”指光线本身或其延长线。
因此只需选两条通过物点的入射光线，画出它们的出射光线，即可求的像点。 在薄透镜的情形里，对轴外物点P 有三种特殊的共轭光线可共选择。
（1）n n '=,通过光心O 的光线，经透镜后方向不变。 （2）通过物方焦点F 的光线，经透镜后平行与光轴。
（3）平行与光轴的光线经透镜后的出射光线一定通过像方焦点F ' （以上3条光线可用于凹透镜）
以上三条光线中任选两条做图，出射后的交点即为像点P '
求轴上物点的像或任意入射光线的共轭线，可利用焦面的性质 这种作图一般用于联合光具组中间成像时作图用，（目的为了保证入射光线经光
具组的路径连续）
物：
1区实物——5区缩小的倒立的实象（在2倍焦距处成等大倒立实像）
2区实物——6区放大的倒立的实象
3区实物——1，2，3区放大的正立的虚象
4区虚物——4区缩小的正立的实象
5区…
6区…
（同学们可总结凹透镜成像规律，用作图法）
透镜组成像
利用逐次成像物象距公式或逐次成像作图法即可求透镜组最后成像的性质，性质包括
（像的位置，缩放，倒正虚实等）
举例说明：
例题1（投影膜）
凸透镜L
1和凹透镜L
2
的焦距分别为20.0CM和40.0CM，L
2
在L
1
之右40.0CM，
傍轴小屋放在L
1
之左30.0CM，求它的像。
解：（1）作图法
第一次成像用特殊光作图，第二次以后成像利用焦面性质，这样可保证入射的两光线与出射光线共轭，光线在透射组中是连续的。
（2）高斯公式
第一次对成像 s 1=30.0cm f 1=20.0cm 计算起点为O 1
111111f s s ='+ ∴ 1
s '=60.0cm （实象）
21
1
1-='-
=s s V （放大）
第2次对成像 s 2= - 20.0cm f 2= - 40.0cm 计算起点O 2
22
2111f s s ='+ ∴ 0.402
='s cm （实象） 22
2
2='-=s s V （放大）
∴ 421-==V V V （放大的，倒立的） ∴ 最后成像在O 2右侧距离40.0cm 处，成放大的倒立的实象。 （3）用牛顿公式
第1次对成像x 1=10.0cm ，f 1=20.0cm
2
11
1f x x =' ∴ 1x '=40.0cm （实象）
21
1111-=-='-
=x f
f x V （倒立，放大）
第2次对L 2成像 x 2= 20.0cm ， f 2= - 40.0cm
2
222f x x ='，∴ 2
x '=80cm （实象） 22
2
2=''-
=f x V
∴ 421-==V V V （倒立，放大）
∴ 最后成像在F '右侧，距离80.0cm 处，成倒立放大的实象 由上面可以看出用三种方法得到的结果相同。
例题2 凸透镜L 1和L 2及其焦点的位置示图6-9中，将傍轴小物PQ 放在L 1的第一焦面上，用作图法求它的像。
薄透镜成像的规律
用直观图解总结一下薄透镜的成像的规律，以凸透镜为例，取物高为1单位，则纵坐标大小表示横向放大率V 的大小，横坐标代表光轴，O 为光心，F,F '为焦点，
将由∞向光心O 靠近，并通过光心O 成为虚物。 像点轨迹为通过直线如图 如果
实物 2f s=∞ f f s ='=' f s 2=' f s 2='等大倒立实象，在O 右侧 f 0 §8 光学仪器 几何光学仪器有投影仪，摄影仪（照相机），目视仪（放大镜，显微镜，望远镜等），棱镜分光仪等。 投影仪 投影仪就是将照明的平面物成实像于大屏幕上，这就是一种投影仪（课堂上用的），还有幻灯机，电影放映机，印象放大机，映谱仪等。 图8-1 照明系统（光源+聚光镜）──要求投影仪得到足够强的均匀照明，高效率地利用光能。 投影物镜──是将被照明的物成一明亮清晰的实像在大屏幕上，且由于物镜与屏幕距离（即像距s ′比物镜的f 大得多，所以画片总在物方焦面外侧附近，即 s ∽f 。 f s s s V '- ≈'-= ∝ s ' 屏幕越远，像越大。 照明系统可分为临界照明和柯勒照明两大类。 1． 1．临界照明： 特点：是用照明系统将光源成像于投影画片上。 这种照明系统的优点是光能利用率高，它适用于画片面积较小的情况，如电影放映机。 缺点：不易得到均匀照明。 2． 2．柯勒照明： 特点：是聚光镜将光源像成在投影物镜上。 优点：易得到均匀照明，常用于大投影物面系统，如投影仪。 照像机（属于摄影仪器） 摄影仪器的成像系统刚好与投影仪器相反，它是把空间物体成像于感光底片上如 图8--2 它是将较远空间物成一缩小的实像于底片上因此 s(物距)》f 像平面（感光底片）应在物镜的像方焦平面外侧附近，s′≈f. (1)(1)照像时，我们通过调节镜头（在小范围内）改变镜头与感光底片之间距离s',可以使不同距离以外的物体成清晰的实像于底片上 （由直观图可见小范围改变s',s变化范围很大。） 照像机镜头上都附有一个大小可改变的光阑。 （2）光阑的作用有2：(Ⅰ)影响底片上的照度，从而影响暴光时间的选择。 (Ⅱ)影响景深。 光圈数或者f数等于相对孔径f d 的倒数d f 。 相对孔径：f d 其中d为入瞳直径，f为物镜焦距。 相邻两个光圈数对应照度相差一倍。 E∝ 2 ?? ? ? ? ? f d ∴ = 2 f d 光圈数 2 4? ? ? ? ? ? = f D B E τπ 481116 d f 242282112 值 光阑（光圈）的大小用光圈数表示，标在照相机镜头上，数值越小，光圈越大。相对孔径的标记值为相对孔径的倒数。 光圈数倒数即物镜的相对孔径──是指入瞳直径D与物方焦距f之比值F D 。（3）影深：照相机镜头只能使某个平面π上的物点成像在底片上（傍轴条件），在此平面前后的点成像在底片前后，如在底片上接收，应是一个圆斑。 图8-3 如果这些圆斑的线度小于底片能够分辨的最小距离，还可以为它们在底片上的像是清晰的，对于给定的光阑，只有平面π前后一定范围内的物点，在底片上形成的圆斑才会小于这个限度。 物点的这个可允许的前后范围称为景深。 影响景深的因素有二个（Ⅰ)光阑 (Ⅱ)f,x(物距) （Ⅰ）光阑──当光阑直径缩小时，光束变窄，离平面π一定距离的物点在底片上形成的圆斑变小，从而景深加大） （Ⅱ）f 一定时，越小，则景深越小。 因此拍摄不太近的物体时，很远的背景可以很清晰拍摄近物时（景深小）稍远的物体就变得模糊了。 眼睛 助视仪器 ──如放大镜，望远镜，显微镜都是用眼睛看的，因此，先了解一下眼睛结构及成像原理。 人类眼睛是一个相当复杂的天然光学仪器。 从结构上看类似于照相机 (Ⅰ) 眼球的结构 图8-4 图8—4 为眼球在水平方向上的剖面图，其中 (1)布满视觉神经的网膜──相当于照相机中的感光底片。 (2)虹膜（或程虹采，采帘）──相当于照相机中的可变光阑。 (3)瞳孔──虹膜中间的圆孔可虽环境亮度变化自动调节调节范围从2mm__8mm. (4)晶状体（或称眼球）──它是一个折射率不均匀的透镜相当于照机中的镜头。 (5)角膜，巩膜──包在眼球外面的坚韧的膜，最前面透明的部分称为角膜，其 余部分称为巩膜。 (6)前房──角膜与晶状体之间的部分称为前房，其中充满水状液（前房液）。 (7)后房──晶状体与网膜之间眼球的内腔称为后房，其中充满玻璃状液。 (8)有毛肌──可以改变晶状体的曲率。 眼睛是一个物像方媒质折射率不相等的例子。f f '≠ mm f 1.17max = mm f 8.22max =' 在照相机中f 一定，通过镜头和底片间距离s ′的改变来调节聚焦的。 而眼睛是靠改变晶状体的曲率（即改变f ）来实现的。 (9)黄斑──网膜中有一直径约2mm 的微凹部分叫黄斑，黄斑中央直径约0.25mm 区域叫中心窝，是网膜上视觉最灵敏的地方，观看景物时，眼球会本能得转动，使中心窝对正目标，同时调焦，使像成在黄斑上，只有成在黄斑上的像才能被清晰地感觉到。 (10)盲点 了解了结构及成像原理，以后画图时用眼睛的简化图表示 正常视力的眼睛： 当肌肉完全松弛的时候，无穷远的物体成像在网膜上，为了观察较近物体，肌肉压缩晶状体，使焦距缩短。 眼睛这种调节聚焦的能力有一定的限度，小于一定距离的物体无法看清楚。 儿童的这个极限距离在10cm 以下，随着年龄的增长，眼睛的调焦能力逐渐衰退，这个极限距离因之而加大，造成老花眼的原因就在于此。 (Ⅱ)①远点、近点──眼睛肌肉完全松弛和最紧张时所能看清楚的点分别称为它 调焦范围的远点和近点。 这个范围是人眼最大调焦范围。 ②正常眼睛──远点在无穷远 近点儿童在10cm 以下，年龄越大，近点越远。 近视眼──它的远点在有限远，近点〈10cm 〉。 因眼球过长（凸出，曲率小，f 短），当肌肉完全松弛时，无穷远的物体成像在网膜之前。 要将像成在网膜上，即远点和近点与正常眼相同或∞一远点内物看清，戴凹透镜做的近视镜即可。 远视眼──眼球过短，曲率大，f >s ′,无穷远物成像在网膜之后，戴凸透镜做的花镜即可。 远点在眼球之后。 近点>10cm 。 图8—5 （Ⅲ）视角──物体对人眼的张角ω,规定正负号法则： 物体在网膜上成像的大小，正比于它对眼睛所张的角度。如图，因此物体越近越能看清细节。 （Ⅳ）明视距离──但太近又将使眼感到疲劳，只有在适当的距离上眼睛才能比较舒适地工作，这个距离称为明视距离。 习惯上规定明视距离为25cm 。 （Ⅴ）人眼的最小分辨角──人眼恰可分辨的两个离得最近的物对人眼的张角称最小分辨角。 正常人眼的最小分辨角约1' 要想分辨更靠近的两个物点就得借助放大镜，显微镜 放大镜和目镜 放大镜和目镜是用来观察微小物体细结构的。 最简单的放大镜就是一个焦距f很短的会聚透镜。 如果用肉眼观察物体，当物体由远移近时，它所张的视角增大。如图，到s 以后继续前移，视角虽继续增加但眼睛感到吃力，甚至看不清，因此，用肉眼观察物体的视角最大不超过 s y = ω 因视角是逆着光线看的，对视角的正负号规定正好与角度u相反。 好处是它直接与像的正倒相对应。 因此眼睛的调焦范围∞─S 之间，靠近S 越好越能看清细节。 现在我们设想将放大镜紧贴眼睛放置。 物放置何处，才能使其经放大镜L成的像在眼睛的调焦范围内哪 由直观图解曲线，知物应放在焦点F内侧附近一个小范围。 焦深──这个小范围称为焦深。 计算焦深──在0s f<<条件下，由牛顿公式) ( s f x+ - =' 2 ) (f f s x= + - ∴0 2 2 s f f s f x- ≈ + - = ∴ f x<< (s 常数) 即物体放在焦点内侧附近即可，这时它对光心张角即视角 f y =' +ω 可以认为ω′就是像Y′对眼睛中心的张角（L靠近眼睛）由于放大镜的作用是放大物体在网膜上成的像即放大视角，我们引入视角放大率M ω ω' = M 视角放大率定义为像所张的视角ω′与用肉眼观察时物体在明视距离处所张视角ω之比 f s s y f M 0 =='=ωω∝f 1 放大镜用短焦距会聚透镜。 目镜──从原理上看就是一个放大镜。 为了消除各种象差用复合透镜，典型的有惠更斯目镜和冉斯登目镜。 显微镜 简单放大镜放大倍数有限（几倍到几十倍），欲得到更大的放大倍率要靠显微镜。 显微镜的原理光路示于图8—8 图8-8 在放大镜L e （目镜）前再加一个焦距极短的会聚透镜组称为物镜。 物镜L 0与目镜L e 之间距离比它们各自焦距大得多。 e f f O O ,021>> 令?=21O O 称光学筒长 被观察物体PQ 放在物镜物方焦点F 0外侧附近，它经L 0成一放大的实像在L e 物方焦点F e 内侧附近，再经L e 成一放大的虚像位于明视距离以外。 在实际中高倍显微镜中物镜，目镜为了减少各种像差，它们都是复杂的会聚透镜组。 推导显微镜的视角放大率为 ωω'= M 计算公式。 如图 e f y s y 1 0-=-=+ωω e e f s M y y V 01 0== e e M V f s y y s y y M 0010 ==='=ωω { ω为肉眼直接对在明视距离物张的视角 ω'为肉眼对物经显微镜成像于明视距离处像所张的视角 或者 ∵?≈'x 0 f f =' ∴ 000f f x V ?-='- = ∴ e f f s M 00?-= ∝, 1 ,10e f f Δ e f f ,0越短，Δ越长，M 越高。 但Δ不能太长，理论计算表明Δ=17-19cm 。 显微镜光学筒长固定不动，调焦时整体平移，改变物距使两次成像在明视距离以外（人眼的调焦范围）。 显微镜有偏光，生物，相衬显微镜，光子，电子，电子扫描隧道显微镜。 望远镜 由物镜和目镜组成，用于望远。 物镜用反射镜的称反射式望远镜。 物镜用透镜的称为透射式望远镜。 透射式望远镜有两种：（1）目镜是会聚透镜的称开普勒（Kepler ）望远镜（或天 文望远镜 （2）目镜是发散透镜的称伽利略（Galilei ）望远镜 因此望远镜要观察很远地方的物体，因此物镜焦距较长。e F F ,0几乎重合。 推导望远镜的视角放大率 M=ωω' 。 ω'是最后的虚象对目镜所张的视角，即对肉眼所张的视角。 ω是物体在实际位置所张的视角。 图8-10 如图不难看出。由于物距远比望远镜筒长大得多，它对眼睛张的视角实际上和它对物镜所张视角是一样的。 f y '-= ω e f y 1 -= '-ω ∴e e f f f y f y M 0 11-=-=' =ωω∝ e f f 1,0 （可见f 0越大M 越大） 总结：望远镜调焦时，改变目镜相对物镜之间距离，使像成在明视距离的以外。 物镜焦距长，目镜焦距短。 第一次成像在目镜物方焦点上，第二次成像在无穷远处。 望远镜F 0′F e 重合时称无焦系统。 应用：①可以做扩束镜，平行光入射，平行光射出。 ① ①还可测两平行光束的夹角。 棱镜光谱仪 我们已介绍过了，棱镜的折射和色散，棱镜光谱仪变是利用棱镜的色散作用 将非单色光按波长分开的装置，其结构的主要部分见图8—11 图8-11 棱镜前那部分装置称为准值管（或平行光管） 它是由一个会聚透镜L 1+放在它第一焦面的狭缝S 组成，经棱镜折射后，不同波长的光线沿不同方向折射，但同一波长的光线保持平行，经L 2会聚到像方焦平面上不同地方，形成狭缝S 的一系列不同颜色的像，这变是光谱，若光谱仪中望远镜装有目镜，用眼睛直接观察光谱称之为分光计。 若在望远物镜像方焦面放上感光底片称之为摄谱仪，若在望远物镜像方焦面上放一狭缝，是用来将某种波长的光分离出来的称为单色仪。 色散本领和色分辨本领是标志任何类型分光仪器性能的两个重要指标。 下面讨论棱镜色散本领──定义偏向角对波长的微商称为棱镜的角色散本领（用D 代表）。 λδλδd d d d D m = ≡ ∵ 2 sin 2sin α δαm n += ∴ λδd d D m = 只有通过狭缝S 中点的光线才在棱镜的主截面内折射，由于不在棱镜主截面内的光线偏折方向不同，在望远镜焦平面上S 的像（即光谱线）是弯的，可以证明，沿产生最小偏向角的方向入射时，光谱线弯曲得最少所以在光谱仪棱镜通常是装在接近于产生最小偏向角的位置，因此棱镜的角色散本领D λδd d D m = 又 ∵ 2 sin 2 sin α δαm n += ∴ λαα λδαα λδλδλδd dn n d dn d dn d dn d dn dn d d d D m m m m ?-=?+=???? ??=?== -2sin 12sin 22cos 2sin 2221 λd dn 称为色散率，它是材料的性质。 ∵D ∝λd dn ,光谱仪中棱镜常用色散率尽可能大的玻璃（如重火石玻璃）制成。 §9 光阑 我们前面已讲过了实际共轴球面光具组，只有把光束限制在傍轴区域内，才能成 像，光具组中对光束限制作用的可以是透镜的边缘，框架，或特别设置的带孔的屏障即光阑。 光阑有限制光束孔径和限制视场两方面的作用，它影响着像差，像的亮暗，景深，分辨本领等一系列实际中很关心的问题。 下面介绍一些有关光阑的基本概念。 孔径光阑，入瞳和出射光瞳 每个光具组内部都有一定数量的光阑，例如： 由轴上物点Q发出的光束通过光具组时，一般说来，不同光阑对此光束的孔径限制到不同程度，其中只有一个光阑对入射光束的孔径限制的最多，即真正决定着通过光具组光束孔径的，这个光阑称为孔径光阑，有时称为有效光阑。 例如图： 入射光瞳──孔径光阑在物方的共轭称为入射光瞳，简称入瞳。 出射光瞳──孔径光阑在像方的共轭称为出射光瞳，简称出瞳。 入射孔径角──轴上物点向入瞳边缘引直线，此线与光轴夹角0u称为入射孔径角。 出射孔径角──轴上物点在像方的共轭Q'（即像点）对出瞳边缘引直线，此线与光轴夹角0u'称为出射孔径角。 注：①因为入瞳，孔径光阑，出瞳三者共轭，故通过入瞳中心的光线一定通过孔径光阑，出瞳的中心。 ②入瞳，孔径光阑，出瞳中心在一条直线上，即光轴。 在一定范围内的轴上，轴外物点发出的光束通过入瞳，都通过孔径光阑，出瞳。（通过入瞳边缘光线一定通过孔径光阑边缘，出瞳的边缘）。 因此出瞳是出射光束的公共截面。 它是所有光束的必经之路。 如图P101—图9—5 以显微镜光路为例。 物镜，目镜，孔径光阑，孔径光阑在像方的共轭为出瞳。轴上物点Q，轴外傍轴物点P，R通过孔径光阑，也通过出瞳，出瞳是出射光束的必经之路，眼睛的瞳孔很小，放在上看到P看不到R，放在下看不到P，放在出瞳位置最好。 出瞳位置很靠近目镜（∵f 很短）。 e 视场光阑，入射窗（入窗）和出射窗（出窗） 前面讨论的孔径光阑是对轴上共轭点而言的，现在要讨论的视场光阑牵涉到轴外共轭点。它对成像空间范围起限制作用。 如图：P102图9—6 透镜成像公式 透镜是光学仪器中最基本的元件,焦距是反映透镜特征的一个重要参量。由于用途不同, 需要选择不同焦距的透镜,因而测定透镜焦距、了解透镜成像的规律是最基本的光学实验。 一 实验目的 1. 了解薄透镜的成像规律; 2. 掌握光学系统的共轴调节及测量薄透镜焦距的基本方法。 二 仪器和用具 光具座, 薄透镜, 光源, 狭缝, 观察屏, 平面反射镜等。 三 实验原理 由于物体距薄透镜的距离不同,通过它所成的像的性质就有所不同。在近轴光线的条件下,薄透镜成像的高斯公式为 f v u 1 11=+ （5-1） 式中u 为物距,恒为正值;v 为像距,当物和像在透镜异侧时v 为正值,在透镜同测时v 为负值;f 为焦距,对凸透镜f 取正值,对凹透镜f 取负值。 1. 薄凸透镜焦距的测定 (1) 自准法(平面镜法): 根据焦距定义,用平行主光轴的平行光照射透镜可直接测量焦距。如图5-1所示,若物AB 正好位于透镜L 的前焦面上,则物上任一点发出的光束经L 后成为平行光,由平面镜M 反射后仍为平行光,再经L 必仍会聚于前焦平面上,得到与原物等大的倒立实像B A ''。此时,物距就等于透镜的焦距。 (2) 物距像距法: 只要f u >,就可得到一个倒立实像,在光具座上分别测出物体、透镜L 及像的位置,就可得到v u ,,由式(5-1)求得f 。 (3) 共轭法(贝塞尔法,位移法): 前两种方法都需要估计透镜光心的位置,而此方法避免了估计光心位置而引起的误差。如图5-2所示,固定物与像屏的间距s ,并设f s 4>,而物与像屏可以互换,移动透镜可以成两次像,一大一小,这就是物像共轭。由图5-2可看出 21l s u -= ,2 11l s u s v +=-=，代入式(5-1)可得 s l s f 42 2-= （5-2） 3.2 摄像机的光学系统 摄像机光学系统是摄像机重要的组成部分，它是决定图像质量的关键部件之一，也是摄像师拍摄操作最频繁的部位。摄像机的光学系统由内、外光学系统两部分组成，外光学系统便是摄像镜头，内光学系统则是在机身内部的分光系统和各种滤色片组成。图3—7所示为三片摄像机光学系统的基本组成。 图中：1—镜头；2—色温滤色片；3—红外截上滤色片； 4—晶体光学低通滤色片；5—分光棱镜；6—红、绿、蓝谱带校正片。 一.透镜成像的误差及其补偿 除了平面反射镜之外，任何光学系统成像都是有误差的。因此，我们要了解透镜成像的误差性质及其补偿方法。进而了解摄像机光学系统如何解决了透镜质量问题。 1.球差 为凸透镜孔径较大时，从轴上物点P发出的单色光束。通过透镜时，由于凸透镜的边缘部分比中心部分弯曲的厉害些，所以通过边缘部分的光线比近轴光线折射的严重，致使边缘部分的光线含聚于焦点F之前的F的点，因此在焦点处形成了一个中心亮、边缘模糊的小图盘，而不是很清晰的小亮点，这样的像差称为球差。如图3—8。 图3—8 2.色差 如图3—9，轴上一点P发出的光为复色光，由于玻璃对不同波长的光折射率略有不同，因此不同波长的光不能会聚于一点，如图上蓝光因波长较短成像于Q F点，而红光因波长较长成像于Q C点。这样形成的像差称为色差，表现为图像边缘有彩色镶边。 图3—9 3.像的几何失真 这种失真影响像与物的几何相似性，一般有桶形失真和枕形失真。（1）桶形失真 这种失真也称正失真，它是由于在物与透镜之间放置了一个光阑而形成的像差。其特点是整个像面的四个角向中心收拢，显得中间向外凸，如图3-10。 （2）枕形失真 这种失真也称负失真，它是固在透镜与像点之间放了一个光阑而形成的像差。其特点是整个像面的四个角向外拉伸，与桶形失真真正相反，如图3—11所示。 光学玻璃透镜 1 成型方法 原来的玻璃透镜模压成型法，是将熔融状态的光学玻璃毛坯倒入高于玻璃转化点50℃以上的低温模具中加压成形。这种方法不仅容易发生玻璃粘连在模具的模面上，而且产品还容易产生气孔和冷模痕迹（皱{TodayHot}纹），不易获得理想的形状和面形精度。后来，采用特殊材料精密加工成的压型模具，在无氧化气氛的环境中，将玻璃和模具一起加热升温至玻璃的软化点附近，在玻璃和模具大致处于相同温度条件下，利用模具对玻璃施压。接下来，在保持所施压力的状态下，一边冷却模具，使其温度降至玻璃的转化点以下（玻璃的软化点时的玻璃粘度约为107。6泊，玻璃的转化点时的玻璃粘度约为1013。4泊）。这种将玻璃与模具一起实施等温加压的办法叫等温加压法，是一种比较容易获得高精度，即容易精密地将模具形状表面复制下来的方法。这种玻璃光学零件的制造方法缺点是：加热升温、冷却降温都需要很长的时间，因此生产速度很慢。 为了解决这个问题，于是对此方法进行了卓有成效的改进，即在一个模压装置中使用数个模具，以提高生产效率。然而非球面模具的造价很高，采用多个模具势必造成成本过高。针对这种情况，进一步研究开发出与原来的透镜毛坯成型条件比较相近一点的非等温加压法，借以提高每一个模具的生产速度和模具的使用寿命。另外，还有人正在研究开发把由熔融炉中流出来的玻璃直接精密成型的方法。 玻璃毛坯与模压成型品的质量有直接的关系。按道理，大部分的光学玻璃都可用来模压成成型品。但是，软化点高的玻璃，由于成型温度高，与模具稍微有些反应，致使模具的使用寿命很短。所以，从模具材料容易选择、模具的使用寿命能够延长的观点出发，应开发适合低温（600℃左右）条件下模压成型的玻璃。然而，开发的适合低温模压成型的玻璃必需符合能够廉价地制造毛坯和不含有污染环境的物质（如PbO、As2O3）的要求。对模压成型使用的玻璃毛坯是有要求的： ①压型前毛坯的表面一定要保持十分光滑和清洁； ②②呈适当的几何形状； ③③有所需要的容量。毛坯一般都选用球形、圆饼形或球面形状，采用冷研磨成型或热压成型。 模具材料需要具备如下特征： ①表面无疵病，能够研磨成无气孔、光滑的光学镜面； ②在高温环境条件下具有很高的耐氧化性能，而且结构等不发生变化，表面质量稳定，面形精度和光洁度保持不变； ③不与玻璃起反应、发生粘连现象，脱模性能好； ④在高温条件下具有很高的硬度和强度等。 现在已有不少有关开发模具材料的专利，最有代表性的模具材料是：以超硬合金做基体，表面镀有贵金属合金和氮化钛等薄膜；以碳化硅和超硬合金做基体，表面镀有硬质碳、金刚石状碳等碳系薄膜；以及Cr2O-ZrO2-TiO2系新型陶瓷。 玻璃透镜压型用的模具材料，一般都是硬脆材料，要想把这些模具材料精密加工成模具，必需使用高刚性的、分辨率能达到0.01μm以下的高分辨率超精密计算机数字控制加工机床，用金刚石磨轮进行磨削加工。磨削加工可获得所期盼的形状精度，但然后还需再稍加抛光精加工成光学镜面才行。在进行高精度的非球面加工中，非球面面形的测试与评价技术是非常重要的。对微型透镜压型用模的加工，要求更加严格，必需进一步提高精度和减轻磨削的痕迹。 第四节 透镜成像公式 一、 透镜成像 透镜成像作图法的基本方法是什么？ 取三条特殊光线中的任意两条： ⑴跟主轴平行的光线，折射后通过焦点； ⑵通过焦点的光线，折射后跟主轴平行； ⑶通过光心的光线，经过透镜后 方向不变 。 透镜成像的位置除了用作图法可以得到外，还能用更简捷的办法得到比如用公式。 图1 透镜成像 由图1得：△COF ∽△A 1B 1F △ABO ∽△A 1B 1O F B OF B A CO 111= O B BO B A AB 111= AB CO = OF=f , B 1F = v －f , BO=u , B 1O=v 由 O B BO F B OF 11=得： 即： 整理得： ——此公式为透镜成像公式 ? 凸透镜：u , f 总取正值； ? u>f 时，v 为正值，像物异侧，实像 ? u 根据 得： ? 当u →∞时，u －f ≈ u , v ≈ f . 意义：太阳射来的平行光经凸透镜折射后再焦点会聚。 ? 当u >2f 时, u －f > f , vu , m=u v >1. 意义：成倒立、 放大的实像，如幻灯机。 ? 当u =f 时，u －f=0 , v →∞ . 意义：不成像或成像于无穷远处。 ? 当u §6 薄透镜 焦距公式 我们研究了单个球面的折射，反射成像的物象距公式。横向放大率公式及规定的符号法则 r n n s n s n -'=''+ n n nr f -'= 1=''+s f s f n n r n f -''=' n n f f '=' y y s n s n V '-=''-= 反射： r s s 211-='+ 2r f f - ='= s s V '- = 及共轴球面光具组成像用逐次成像的方法 下面我们研究薄透镜成像问题 图6-1 透镜： 如图：透镜是由两个折射球面组成的光具组，两球面间是构成透镜的媒质（通常 是玻璃），其折射率为n L 。透镜前后媒质的折射率（物象方折射率）分别为n 和n '，在多数场合下，透镜置于空气中，则1='=n n . 在轴上一物点Q 经Σ1折射成像于Q 1, Q 1作为Σ2虚物经第二次折射成像于Q 2, 两次成像可分别写出两折射成像的物象公式 第一次 111 11=''+s f s f n n nr f L -=11 111s n ns V L '-= n n r n f L L -= '11 第二次 12222=''+s f s f L L n n r n f -'=22 222s n s n V L ''-= L n n r n f -''= ' 22 21V V V = 设21A A =d 则d s s -' =-12 d 为透镜的厚度，d 很小的透镜称为薄透镜 在薄透镜中A 1和A 2，几乎重合为一点，这个点叫透镜的光心记为O 薄透镜的物距S 和像距S '都是从光心算的。 于是，对薄透镜'≈1s S ，'≈'2s S ，'-=12s s ，代入上式得 111 1=' ' +s f s f 2f ? 121 2='+'-s f s f 1f ? 推出 2 1 1221f s f f s f f ='' + ' =''+'-'1121 12f s f f s f f 透镜成像公式及其应用练习 1. 一个物体在离透镜20cm处，当它向外移动时，其倒立的像移动速度小于物体移动速度，可见此透镜是：（） A. 凸透镜，焦距f≤10cm B. 凸透镜，焦距f>10cm C. 凹透镜，f<10 cm D. 凹透镜，焦距f>10cm 2. 一物体放在透镜前20cm处恰能成放大率为3的像，则该透镜的焦距可能为：（） A. 15cm B. 30cm C. －15cm D. －30cm 3. 有一个凸透镜，一物体放在镜前某处时，可得到放大6倍的像，若将物体向透镜移动2cm时，可得到放大3倍的像，求该凸透镜的焦距。 4. 有一束会聚光束，通过遮光板上圆孔在孔后相距l=21cm处的光屏上形成一个直径为d2=3cm的光斑，如图4所示，已知圆孔直径d1=5cm，若在遮光板的圆孔上放一个凸透镜，恰好在光屏上出现同样大小的光斑，求该凸透镜的焦距。 图4 5. 物体经焦距为f的凸透镜成像，要得到放大n倍的实像，物体离透镜的距离是：（） A. () n f n +1 B. () n f n -1 C. nf n+1 D. nf n-1 6. 测一凸透镜的焦距，把凸透镜固定在某一位置，一支蜡烛放在凸透镜的主光轴上，然后移动光屏，能得到放大3倍的清晰的像，然后沿主光轴移动蜡烛3cm，调整光屏的位置，再次出现清晰的像时，像的长度为蜡烛的5倍，该凸透镜的焦距是_______cm。 7. 会聚光束射到凹透镜上，折射后在主轴上交于距光心为a的一点A，如图5的示。如果移走凹透镜，会聚光束的交点则向原透镜侧移到B点，两点间距离为b，求此透镜的焦距。 图5 8. 某人透过焦距为10cm、直径为4.0cm的薄凸透镜观看方格纸，每个方格的边长为0.30cm，他使透镜的主轴与方格纸垂直，透镜与纸面相距10cm，眼睛位于透镜主轴上离透镜5.0cm处，问他至多能看到一行上几个完整的方格。 9. 有一个焦距为36cm的凸透镜，在主轴上垂直放置一支蜡烛，得到一个放大率为4的虚像。如果想得到放大率为4的实像，蜡烛应向哪个方向移动？移动多少？ 光学系统设计（五） 参考答案及评分标准 20 分） 二、填空题（本大题11小题。每空1分，共20 分） 21.小 22.色差、色差、场曲 23.95.56 24.球心处、顶点处、齐明点处（r n n n L '+=） 25.%100y y y q z ?' '-'=' 26.0 27.0 28.-0.125、前、0.09375 29.场曲 30.边缘、0.707 31.彗差、畸变、倍率色差 三、名词解释（本大题共5 小题。每小题2 分，共 10 分） 32．像差：实际光学系统所成的像和近轴区所成的像之间的差异称为像差。 评分标准：主要意思正确得2分。 33．二级光谱：如果光学系统已对两种色光校正了位置色差，这两种色光的公共像点相对于第三种色光的像点位置仍有差异，该差异称为二级光谱。 评分标准：答对主要意思得2分。 34．焦深：由于实际像点在高斯像点前后0l '?范围以内，波像差不超过1/4波长， 故把0l 2'?定义为焦深，即2 0u n l 2''≤'?λ。 评分标准：主要意思正确得2分。 35．正弦差：正弦差是轴外小视场成像的宽光束的不对称性的量度，其表达公式 为y K C S S ' '≈'。 评分标准：主要意思正确得2分。 36．复消色物镜：校正了系统二级光谱的物镜，称为复消色物镜。 评分标准：答对主要意思得2分。 四、简答题（本大题共 6 小题。每小题 5 分，共30 分） 37．简述瑞利判断和斯托列尔准则，二者有什么关系？ 答：瑞利判断：实际波面与参考球面波之间的最大波像差不超过4/λ时，此波面可看作是无缺陷的。 斯托列尔准则：成像衍射斑中心亮度和不存在像差时衍射斑中心亮度之比 五、光的反射 1、光源：能够发光的物体叫光源 2、光在均匀介质中是沿直线传播的 大气层是不均匀的，当光从大气层外射到地面时，光线发了了弯折（海市蜃楼、早晨看到太阳时，太阳还在地平线以下、星星的闪烁等） 3、光速 光在不同物质中传播的速度一般不同，真空中最快， 光在真空中的传播速度：C = 3×108 m/s，在空气中的速度接近于这个速度，水中的速度为3/4C，玻璃中为2/3C 4、光直线传播的应用 可解释许多光学现象：激光准直，影子的形成，月食、日食的形成、小孔成像等 5、光线 光线：表示光传播方向的直线，即沿光的传播路线画一直线，并在直线上画上箭头表示光的传播方向（光线是假想的，实际并不存在） 6、光的反射 光从一种介质射向另一种介质的交界面时，一部分光返回原来介质中，使光的传播方向发生了改变，这种现象称为光的反射 7、光的反射定律 反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；反射角等于入射角 可归纳为：“三线一面，两线分居，两角相等” 理解： （1）由入射光线决定反射光线，叙述时要“反”字当头 （2）发生反射的条件：两种介质的交界处；发生处：入射点；结果：返回原介质中 （3）反射角随入射角的增大而增大，减小而减小，当入射角为零时，反射角也变为零度 8、两种反射现象 （1）镜面反射：平行光线经界面反射后沿某一方向平行射出，只能在某一方向接收到反射光线（2）漫反射：平行光经界面反射后向各个不同的方向反射出去，即在各个不同的方向都能接收到反射光线 注意：无论是镜面反射，还是漫反射都遵循光的反射定律 9、在光的反射中光路可逆 10、平面镜对光的作用 （1）成像（2）改变光的传播方向 11、平面镜成像的特点 （1）成的像是正立的虚像（2）像和物的大小（3）像和物的连线与镜面垂直，像和物到镜的距离相等 理解：平面镜所成的像与物是以镜面为轴的对称图形 12、实像与虚像的区别 实像是实际光线会聚而成的，可以用屏接到，当然也能用眼看到。虚像不是由实际光线会聚成的，而是实际光线反向延长线相交而成的，只能用眼看到，不能用屏接收。 13、平面镜的应用 （1）水中的倒影（2）平面镜成像（3）潜望镜 六、光的折射 1、光的折射 光从一种介质斜射入 ．．．另一种介质时，传播方向一般会发生变化，这种现象叫光的折射理解：光的折射与光的反射一样都是发生在两种介质的交界处，只是反射光返回原介质中，而折射光则进入到另一种介质中，由于光在在两种不同的物质里传播速度不同，故在两种介质的交界处传 凸凹透镜成像规律光路图总结 实像可用承接物接收到，虚像承接不到，只能眼睛看到。 一、透镜 凸透镜：中间厚边缘薄的透镜； 凹透镜：中间薄边缘厚的透镜。 焦点：平行光线（太阳光）通过透镜后会聚的点，或通过透镜后发散光线的反向延长线的会聚点。（焦点一般有两个，并且一般关于透镜对称） 焦距：焦点到光心的距离。 凸透镜对光线有会聚作用，凹透镜对光线有发散作用 光心：透镜的几何中心 *三条特殊光线 1.平行于主光轴的光线，通过凸透镜后会聚于焦点；通过凹透镜后，反向延长线会聚于焦点。 2.通过焦点的光线通过凸透镜后平行于主光轴；正向延长线通过焦点的光线 通过凹透镜后平行于主光轴。 3.通过光心的光线通过透镜后方向不变。 二、凸透镜成像规律 1、u>2f 2、u=2f f u2 v , = 2= >，f < v f 2< f f u2 在异侧成倒立、缩小的实像在异侧成倒立等大的实像 3、2f>u>f 4、u=f f v f u f 2,2><< 5、u 南昌大学物理实验报告 课程名称：大学物理实验 实验名称：薄透镜焦距的测定 学院：信息工程学院专业班级： 学生姓名：学号： 实验地点：基础实验大楼座位号：01 实验时间：第7周星期3下午4点开始 一、实验目的： 1．掌握光路调整的基本方法； 2．学习几种测量薄透镜焦距的实验方法； 3. 观察薄凸透镜、凹透镜的成像规律。 二、实验原理： (一)凸透镜焦距的测定 1.自准法 如图所示，在待测透镜L的一侧放置一被光源照明的物屏AB，在另一侧放一平面反射镜M，移动透镜（或物屏），当物屏AB正好位于凸透镜之前的焦平面时，物屏AB上任一点发出的光线经透镜折射后，仍会聚在它的焦平面上，即原物屏平面上，形成一个与原物大小相等方向相反的倒立实像。此时物屏到透镜之间的距离，就是待测透镜的焦距，即 由于这个方法是利用调节实验装置本身使之产生平行光以达到聚焦的目的，所以称之为自准法，该法测量误差在之间。 2.成像法 在近轴光线的条件下，薄透镜成像的高斯公式为 当将薄透镜置于空气中时，则焦距为： 式中为像方焦距，为物方焦距，为像距，为物距。 式中的各线距均从透镜中心（光心）量起，与光线行进方向一致为正，反之为负，如图所示。若在实验中分别测出物距和像距，即可用式求出该透镜的焦距。但应注意:测得量须添加符号，求得量则根据求得结果中的符号判断其物理意义。 3.共轭法 共轭法又称为位移法、二次成像法或贝塞尔法。如图所示，使物与屏间的距离并保持不变，沿光轴方向移动透镜，则必能在像屏上观察到二次成像。设物距为时，得放大的倒立实像；物距为时，得缩小的倒立实像，透镜两次成像之间的位移为d，根据透镜成像公式，可推得： 第七章 典型光学系统 1．一个人近视程度是D 2-（屈光度），调节范围是D 8，求： （1）远点距离； （2）其近点距离； （3）配戴100度近视镜，求该镜的焦距； （4）戴上该近视镜后，求看清的远点距离； （5）戴上该近视镜后，求看清的近点距离。 解： ① 21 -== r l R )/1(m ∴ m l r 5.0-= ② P R A -= D A 8= D R 2-= ∴ D A R P 1082-=--=-= m P l p 1.010 1 1-=-== ③f D '= 1 ∴m f 1-=' ④D D R R 1-=-=' m l R 1-=' ⑤P R A '-'= D A 8= D R 1-=' D A R P 9-=-'=' m l P 11.09 1 -=-=' 2．一放大镜焦距mm f 25='，通光孔径mm D 18=，眼睛距放大镜为mm 50，像距离眼睛在明视距离mm 250，渐晕系数为%50=k ，试求（1） 视觉放大率；（2）线视场；（3）物体的位置。 eye 已知：放大镜 mm f 25=' mm D 18=放 mm P 50=' mm l P 250='-' %50=K 求：① Γ ② 2y ③l 解： ① f D P '-'- =Γ1 25 501252501250-+=''-+'= f P f 92110=-+= ②由%50=K 可得： 18.050 *218 2=='= 'P D tg 放ω ωωtg tg '= Γ ∴02.09 18 .0==ωtg D y tg = ω ∴mm Dtg y 502.0*250===ω ∴mm y 102= 方法二： 18.0='ωtg mm tg y 45*250='='ω mm l 200-=' mm f e 250=' mm l 2.22-= y y l l X '==='= 92.22200β mm y 102= ③ l P D '-'= mm D P l 20025050-=-=-'=' f l l '=-'11125 112001=--l mm l 22.22-= 3．一显微镜物镜的垂轴放大率为x 3-=β，数值孔径1.0=NA ，共扼距mm L 180=，物镜框是孔径光阑，目镜焦距mm f e 25='。 § 6薄透镜 6.1焦距公式 我们研究了单个球面的折射，反射成像的物象距公式。横向放大率公式及规定的 符号法则 f =亠 n - n ―n"r f = ---------- n - n ns y ns y 反射: 1 1 2 _ +— = ____ SS r 透镜： 如图：透镜是由两个折射球面组成的光具组，两球面间是构成透镜的媒质（通常是玻璃），其折射率为∏L。透镜前后媒质的折射率（物象方折射率）分别为n和n，在多数场合下，透镜置于空气中，则n = n丄1. 在轴上一物点Q经Σ1折射成像于Q, Q作为Σ 2虚物经第二次折射成像于Q, 两次成像可分别写出两折射成像的物象公式 主上=1 —虽V1「竺 第一次S I S I ∏L-∏∏L S1 n n n - n _ +一 = _______ SS r S 及共轴球面光具组成像用逐次成像的方法 F面我们研究薄透镜成像问题 图6-1 1 11 f 1 ∏L f/ f 2 f 1 n F n ? ∏L f ■ 1 1 f 2 n f 2 ∏ I 2 将单个球面焦距公式代入得 ∏L A 1 - ∏L - n 第二次 2 2 S 2 S 2 n - ∏L ns 2 ∩L S 2 n Q n -∏L 设 A 1A 2 =d 则-s 2 = s 1 - d d 为透镜的厚度，d 很小的透镜称为薄透镜 在薄透镜中A 和A ，几乎重合为一点，这个点叫透镜的光心记为 O 薄透镜的物距S 和像距S 都是从光心算的。 于是，对薄透镜S ："s 1， S ： s 2，s 2 = - s 1 ,代入上式得 —=1 S 1 2 =1 -S l S 推出 f 1 2 S 1 ■ -^1 = -S l S 两式相加消去S 2，S 1得 M r f 1 (6,1) =∞或 S = 一 f/f ； ^ f 2 f 1 1 I S 据焦距定义s = f,s ∣1 f 2 f 1 ,S= ∞ 推出 ∏L 第二章理想光学系统 1.针对位于空气中的正透镜组()0 '> f及负透镜组()0' () l d -= ()0=l e 2. a )( b )( l c )( ( (e g )( 2. =x ,10,m --∝- 解： （1）x= - （2）x ′= （3）x ′= （4）x ′= （5）x ′= （6）x ′= 3.设一系统位于空气中，垂轴放大率*-=10β，由物面到像面的距离（共轭距离）为7200mm ， 物镜两焦点间距离为1140mm 。求该物镜焦距，并绘出基点位置图。 解: ∵ 4.已知一个透镜把物体放大*-3投影到屏幕上，当透镜向物体移近18mm 时，物体将被放大*-4，试求透镜的焦距，并用图解法校核之。 解：方法一： 31 ' 11-==l l β ? ()183321'1--=-=l l l ① 42 '22-==l l β ? 2' 2 4l l -= ② 1821+-=-l l ? 1821-=l l ③ '/1/1/11'1f l l =- 将①②③代入④中得 mm l 2702-= mm l 1080' 2 -= ∴ mm f 216'= 方法二： 31 1-=- =x f β 方法三： 12)4)(3(21' '=--==??=ββαn n x x 5.一个薄透镜对某一物体成实像，放大率为?-1,今以另一个薄透镜紧贴在第一个透镜上，则见像向透镜方向移动，放大率为原先的3/4倍，求两块透镜的焦距为 ? 2' 21'1/1/1/1/1l l l l -=- 傅里叶变换光学系统 组号 A13 03光信 陆林轩 033012017 合作人： 邱若沂 一、实验目的和内容 1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。 2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。 3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。 4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。 二、实验原理 1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析 力。图1 在该点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因(,)x y ?后变为(,)L U x y '： 图1 (,)(,)e x p [(,L L U x y U x y j x y ?'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为： 00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ?=-+=+- （2） （2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。 用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为： 0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3） 由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为： 凸透镜呈像规律推导方法 凸透镜的成像规律是1/u+1/v=1/f（即：物距的倒数与像距的倒数之和等于焦距的倒数。）一共有两种推导方法。分别为“几何法”与“函数法” 几何法 【题】如右图，用几何法证明1/u+1/v=1/f。 几何法推导凸透镜成像规律 【解】∵△ABO∽△A'B'O ∴AB:A'B'=u:v ∵△COF∽△A'B'F ∴CO:A'B'=f:(v-f) ∵四边形ABOC为矩形 ∴AB=CO ∴AB:A'B'=f:(v-f) ∴u:v=f:(v-f) ∴u(v-f)=vf ∴uv-uf=vf ∵uvf≠0 ∴(uv/uvf)-(uf/uvf)=vf/uvf ∴1/f-1/v=1/u 即：1/u+1/v=1/f 函数法 【解】一基础 右图为凸透镜成像示意图。 其中c为成像的物体长度，d为物体成的像的长度。u为物距，v为像距，f 为焦距。 步骤 （一）为便于用函数法解决此问题，将凸透镜的主光轴与平面直角坐标系的横坐标轴（x轴）关联（即重合），将凸透镜的理想折射面与纵坐标轴（y轴）关联，将凸透镜的光心与坐标原点关联。则：点A的坐标为（-u,c），点F的坐标为（f,0），点A'的坐标为（v,-d），点C的坐标为（0，c）。 （二）将AA’，A'C双向延长为直线l1,l2，视作两条函数图象。由图象可知：直线l1为正比例函数图象，直线l2为一次函数图象。 （三）设直线l1的解析式为y=k1x,直线l2的解析式为y=k2x+b 依题意，将A(-u,c),A'(v,-d),C(0,c)代入相应解析式得方程组： c=-u·k1 -d=k2v+b c=b 把k1,k2当成未知数解之得： k1=-(c/u)k2=-(c/f) ∴两函数解析式为： y=-(c/u)x y=-(c/f)x+c ∴两函数交点A'的坐标（x,y)符合方程组y=-(c/u)x y=-(c/f)x+c ∵A'(v,-d) ∴代入得： -d=-(c/u)v -d=-(c/f)v+c ∴-(c/u)v=-(c/f)v+c=-d ∴(c/u)v=(c/f)v-c=d cv/u=(cv/f)-c fcv=ucv-ucf fv=uv-uf ∵uvf≠0 ∴fv/uvf=(uv/uvf)-(uf/uvf) ∴1/u=1/f-1/v 即：1/u+1/v=1/f 光学作图之透镜 评卷人得分 一．作图题（共8小题） 1．如图所示，SA、SB是光源S发出的两条光线。其中SA平行于主光轴，SB过左焦点，请画出这两条光线通过凸透镜后的光线。 2．如图所示，a、b是经凸透镜折射后的两条光线，请在图中画出这两条光线的入射光线。 3．完成图中的光路图。 4．如图是射向凹透镜的两条光线，请画出这两条光线通过凹透镜后的折射光线。 5．在虚线框内填上合适的透镜。 6．如图给出物体AB及像A′B′的位置，请在图中画出凸透镜及其焦点F的大致位置。 7．如图，MN为凸透镜L的主光轴，A′B′为物体AB通过凸透镜所成的虚像，请通过作图标出凸透镜L和焦点F的位置。 8．如图所示是照相机的原理图，A′B′是AB的像。请画出图中与入射光线对应的折射光线，并确定凸透镜一侧焦点的位置，用字母F表示。 光学作图之透镜 参考答案与试题解析 一．作图题（共8小题） 1．如图所示，SA、SB是光源S发出的两条光线。其中SA平行于主光轴，SB过左焦点，请画出这两条光线通过凸透镜后的光线。 【分析】关于凸透镜有三条特殊的入射光线： ①入射光线平行于主光轴，折射光线过焦点； ②入射光线过焦点，折射光线平行于主光轴； ③过光心的传播方向不变。 【解答】解：SA这条入射光线平行于主光轴，其经凸透镜折射后，折射光线过焦点；由此可以确定这条入射光线的折射光线。 SB这条入射光线过焦点，过焦点的入射光线经过凸透镜折射后平行于主光轴；由此可以确定SB的折射光线。 如下图所示： 【点评】把握凸透镜的三条特殊光线的入射光线和对应的折射光线的特殊点是解决此题的关键。 对于这三条特殊光线的考查，可以告诉入射光线做折射光线，也可以根据折射光线做入射光线。 2．如图所示，a、b是经凸透镜折射后的两条光线，请在图中画出这两条光线的 §6 薄透镜 6.1 焦距公式 我们研究了单个球面的折射，反射成像的物象距公式。横向放大率公式及规定的符号法则 r n n s n s n -'=''+ n n nr f -'= 1=''+s f s f n n r n f -''=' n n f f '=' y y s n s n V '-=''-= 反射： r s s 211-='+ 2r f f - ='= s s V '- = 及共轴球面光具组成像用逐次成像的方法 下面我们研究薄透镜成像问题 图6-1 透镜： 如图：透镜是由两个折射球面组成的光具组，两球面间是构成透镜的媒质（通常是玻璃），其折射率为n L 。透镜前后媒质的折射率（物象方折射率）分别为n 和n '，在多数场合下，透镜置于空气中，则1='=n n . 在轴上一物点Q 经Σ1折射成像于Q 1, Q 1作为Σ2虚物经第二次折射成像于Q 2, 两次成像可分别写出两折射成像的物象公式 第一次 111 11=''+s f s f n n nr f L -=11 111s n ns V L '-= n n r n f L L -= '11 第二次 122 22=''+s f s f L L n n r n f -'=2 2 22 2s n s n V L ''-= L n n r n f -''= '22 21V V V = 设21A A =d 则d s s -'=-12 d 为透镜的厚度，d 很小的透镜称为薄透镜 在薄透镜中A 1和A 2，几乎重合为一点，这个点叫透镜的光心记为O 薄透镜的物距S 和像距S '都是从光心算的。 于是，对薄透镜'≈1s S ，'≈'2s S ，' -=12s s ，代入上式得 1 11 1=''+s f s f 2f ? 121 2='+'-s f s f 1f ? 推出 2 1 1221f s f f s f f ='' + ' =''+'-'1121 12f s f f s f f 两式相加消去'12,s s 得 122121f f s f f s f f '+='' '+ (6,1) 据焦距定义='=s f s ,∞或f s '=',s=∞ 1221f f f f f '+= 122 1f f f f f '+''=' 推出 初中物理光学基础知识 光的反射 1、光源：能够发光的物体叫光源 2、光在均匀介质中是沿直线传播的 大气层是不均匀的，当光从大气层外射到地面时，光线发了了弯折 3、光速 光在不同物质中传播的速度一般不同，真空中最快， 光在真空中的传播速度：C = 3×108 m/s，在空气中的速度接近于这个速度 4、光直线传播的应用 可解释许多光学现象：激光准直，影子的形成，月食、日食的形成、小孔成像等 5、光线 光线：表示光传播方向的直线，即沿光的传播路线画一直线，并在直线上画上箭头表示光的传播方向（光线是假想的，实际并不存在） 6、光的反射 光从一种介质射向另一种介质的交界面时，一部分光返回原来介质中，使光的传播方向发生了改变，这种现象称为光的反射 7、光的反射定律 反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；反射角等于入射角 可归纳为：“三线一面，两线分居，两角相等” 理解：（1）由入射光线决定反射光线，叙述时要“反”字当头 （2）发生反射的条件：两种介质的交界处；发生处：入射点；结果：返回原介质中 （3）反射角随入射角的增大而增大，减小而减小，当入射角为零时，反射角也变为零度 8、两种反射现象 （1）镜面反射：平行光线经界面反射后沿某一方向平行射出，只能在某一方向接收到反射光线 （2）漫反射：平行光经界面反射后向各个不同的方向反射出去，即在各个不同的方向都能接收到反射光线注意：无论是镜面反射，还是漫反射都遵循光的反射定律 9、在光的反射中光路可逆 10、平面镜对光的作用（1）成像（2）改变光的传播方向 11、平面镜成像的特点 （1）成的像是正立的虚像（2）像和物的大小（3）像和物的连线与镜面垂直，像和物到镜的距离相等理解：平面镜所成的像与物是以镜面为轴的对称图形 12、实像与虚像的区别 实像是实际光线会聚而成的，可以用屏接到，当然也能用眼看到。虚像不是由实际光线会聚成的，而是实际光线反向延长线相交而成的，只能用眼看到，不能用屏接收。 13、平面镜的应用（1）水中的倒影（2）平面镜成像（3）潜望镜 P1：用费马原理证明光的反射定律 P2：r/mm d/mm n 26.67 1 189.67 5.2 1.614 -49.66 7.95 1 25.47 1.6 1.6475 72.11 6.7 -35.00 2.8 1.614 1.有一双胶合物镜，其结构参数为： n1=1 r1=83.220 d1=2 n2=1.6199 r2=26.271 d2=6 n3=1.5302 r3=-87.123 n4=1 （1）计算两条实际光线的光路，入射光线的坐标分别为： L1=-300; U1=-2° L1=∞ ; h=10 （2）用近轴光路公式计算透镜组的像方焦点和像方主平面位置及与l1=-300的物点对应的近轴像点位置。 2. 有一放映机，使用一个凹面反光镜进行聚光照明，光源经过反光镜反射以后成像在投影物平面上。光源长为10mm，投影物高为40mm，要求光源像等于投影物高；反光镜离投影物平面距离为600mm，求该反光镜的曲率半径等于多少? 6. 已知照相物镜的焦距f′=75mm，被摄景物位于距离x=-∞,-10,-8,-6,-4,-2m处，试求照相底片应分别放在离物镜的像方焦面多远的地方? 9. 已知航空照相机物镜的焦距f′=500mm，飞机飞行高度为6000m，相机的幅面为300×300mm2，问每幅照片拍摄的地面面积。 10. 由一个正透镜组和一个负透镜组构成的摄远系统，前组正透镜的焦距f1′=100，后组负透镜的焦距f2 ′=-50，要求由第一组透镜到组合系统像方焦点的距离与系统的组合焦距之比为1∶1.5，求二透镜组之间的间隔d应为多少? 组合焦距等于多少? 实验10 傅里叶变换光学系统 实验时间：2014年3月20日 星期四 一、 实验目的 1. 了解透镜对入射波前的相位调制原理。 2. 加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。 3. 观察透镜的傅氏变换力图像，观察4f 系统的反傅氏变换的图像，并进行比较。 4. 在4f 系统的变换平面插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。 二、 实验原理 1. 透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析 透镜由于本身厚度的不同，使得入射光在通过透镜时，各处走过的光程差不同，即所受时间延迟不同，因而具有相位调制能力。假设任意点入射光线在透镜中的传播距离等于改点沿光轴方向透镜的厚度，并忽略光强损失，即通过透镜的光波振幅分布不变，仅产生位相的变化，且其大小正比于透镜在该点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 的光通过透镜后，其复振幅分布受到透镜的位相调制后变为(,)L U x y '： (,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ?'= (1) 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0(,)D D x y -，透镜折射率为n ，则该点的位相延迟因子(,)t x y 为： 0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- (2) 由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，并引入焦距f ，有： 22012 111(,)()()2D x y D x y R R =-+- (3) 12 111(1)()n f R R =-- (4) 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f =-+ (5) 第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。当考虑透镜孔径后，有： 22(,)exp[()](,)2k t x y j x y p x y f =-+ (6) 第二章 理想光学系统 1.针对位于空气中的正透镜组() 0'>f 及负透镜组() 0' () /f l d -= ()0=l e ()/f l f = ')(f f l g -= = '22)(f f l h -== +∞=l i )( 2.0' 0 e l (= ) f= l 2/ (f ) ( ) f g= l (= h) l l i)( +∞ = 2. 已知照相物镜的焦距f’＝75mm,被摄景物位于（以F 点为坐标原点） =x ,2,4,6,8,10,m m m m m -----∝-处，试求照相底片应分别放在离物镜的像方焦面多远 的地方。 解： （1）x= -∝ ，xx ′=ff ′ 得到：x ′=0 （2）x ′=0.5625 （3）x ′=0.703 （4）x ′=0.937 （5）x ′=1.4 （6）x ′=2.81 3.设一系统位于空气中，垂轴放大率*-=10β，由物面到像面的距离（共轭距离）为7200mm ， 物镜两焦点间距离为1140mm 。求该物镜焦距，并绘出基点位置图。 解: ∵ 系统位于空气中，f f -=' 10' '-=== l l y y β 由已知条件：1140)('=+-+x f f 7200)('=+-+x l l 解得：mm f 600'= mm x 60-= 4.已知一个透镜把物体放大*-3投影到屏幕上，当透镜向物体移近18mm 时，物体将被放大 *-4，试求透镜的焦距，并用图解法校核之。 解：方法一： 31 ' 11-==l l β ? ()183321'1--=-=l l l ①《透镜成像公式》教案3
摄像机的光学系统
光学透镜的加工工艺
第四节 透镜成像公式
光学透镜公式
高二物理透镜成像公式及其应用练习
光学系统设计(五)答案
光学透镜基本概念
凸凹透镜成像光路图规律总结
薄透镜焦距的测定 物理实验报告
工程光学习题参考答案第七章-典型光学系统
光学透镜公式
工程光学习题解答 理想光学系统
傅里叶变换光学系统
凸透镜成像规律推导过程
光学作图之透镜
光学透镜公式
光学及凸透镜知识点
光学习题答案
傅里叶变换光学系统 实验报告
工程光学习题参考答案第二章 理想光学系统